Seite:RiemannPrim1859.djvu/8

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=-\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-\infty i}^{a+\infty i}\frac1s\log\left(1-\frac s\beta\right)x^sds

=\int\limits_\infty^x\frac{x^{\beta-1}}{\log x}dx+\text{const. im ersten}

\text{und}=\int\limits_0^x\frac{x^{\beta-1}}{\log x}dx+\text{const. im zweiten Falle.}

Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von \beta negativ unendlich werden läßt; im zweiten Falle erhält das Integral von 0 bis x um 2\pi i\, verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positiven oder negativen Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von i in dem Werthe von \beta positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird. Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite \log(1-\tfrac s\beta) zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt.

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck für \,f(x) erhält man

wenn in \sum^\alpha\, für \alpha sämmtliche positiven (oder einen positiven reellen Theil enthaltenden) Wurzeln der Gleichung \xi(\alpha)=0\,, ihrer Größe nach geordnet, gesetzt werden. Es läßt sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function \xi, leicht zeigen, daß bei dieser Anordnung der Werth der Reihe

\sum\left(Li\left(x^{\frac12+\alpha i}\right)+Li\left(x^{\frac12-\alpha i}\right)\right)\log x

mit dem Grenzwerth, gegen welchen

\frac1{2\pi i}\int\limits_{a-bi}^{a+bi}\frac{d\frac1s\sum\log\left(1+\frac{\left(s-\frac12\right)^2}{\alpha\alpha}\right)}{ds}x^sds
  1. Riemann schreibt fälschlich \log \xi(0)\, anstelle von -\log 2. Da er \xi\, für die Bezeichnung einer anderen Funktion verwendet, bedeutet sein \xi(0)\, eigentlich \xi(\tfrac12) \neq \tfrac12\,. Dieser Fehler wurde zu Lebzeiten Riemanns entdeckt von Angelo Genocchi (1817–1889): Formole per determinare quanti siano i numeri primi fino ad un dato limite. In: Annali di Matematica Pura ed Applicata 3 (1860), S. 52-59. (Digitalisat, italienisch) Vgl. Harold M. Edwards: Riemann's Zeta Function. New York: Academic Press, 1974, S. 31.
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 678. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/8&oldid=1874616 (Version vom 11.09.2012)