Seite:RiemannPrim1859.djvu/9

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bei unaufhörlichem Wachsen der Größe b convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können.

Aus f(x)\, findet sich F(x)\, mittelst der durch Umkehrung der Relation

f(x)=\sum\frac1nF\left(x^\frac1n\right)

sich ergebenden Gleichung

F(x)=\sum(-1)^\mu\frac1mf\left(x^\frac1m\right),

worin für m der Reihe nach die durch kein Quadrat außer 1 theilbaren Zahlen zu setzen sind und \mu die Anzahl der Primfactoren von m bezeichnet.

Beschränkt man \sum^\alpha\, auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für f(x)\, oder, bis auf einen mit wachsendem x sehr schnell abnehmenden Theil,

\frac1{\log x}-2\sum^\alpha\frac{\cos(\alpha\log x)x^{-\frac12}}{\log x}

einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen + der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate +\tfrac13 von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Größe x.

Die bekannte Näherungsformel F(x)=Li(x)\, ist also nur bis auf Größen von der Ordnung der Größe x^\frac12 richtig und giebt einen etwas zu großen Werth; denn die nicht periodischen[1] Glieder in dem Ausdrucke von F(x)\, sind, von Größen, die mit x nicht in’s Unendliche wachsen, abgesehen:

Li(x)-\frac12Li\left(x^\frac12\right)-\frac13Li\left(x^\frac13\right)-\frac15Li\left(x^\frac15\right)+\frac16Li\left(x^\frac16\right)-\frac17Li\left(x^\frac17\right)+\ldots

In der That hat sich bei der von Gauß und Goldschmidt[2] vorgenommenen und bis zu x= drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von Li(x)\, mit der Anzahl der Primzahlen unter x diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Genaugenommen sind die Terme Li(x^{\frac12 + \alpha i}) nicht periodisch, sondern oszillierend.
  2. Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt (1807–1851), ein Gauß-Schüler.
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 679. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/9&oldid=1874622 (Version vom 11.09.2012)