Seite:Ueber das Doppler'sche Princip.djvu/2

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

	Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip

Vertauscht man in $U$, $V$, $W$ resp. 2) $\begin{array}{l} x\text{ mit }\xi=xm_{1}+yn_{1}+zp_{1}-\alpha t\\ y\text{ mit }\eta=xm_{2}+yn_{2}+zp_{2}-\beta t\\ z\text{ mit }\xi=xm_{3}+yn_{3}+zp_{3}-\gamma t\\ t\text{ mit }\tau=t-(ax+by+cz)\\ \end{array}$ und bezeichnet die so erhaltenen Functionen resp. mit $(U)$, $(V)$, $(W)$, so läßt sich durch $u = (U)$, $v = (V)$, $w = (W)$ ebenfalls den Gleichungen (1) genügen. Denn man erhält z. B. für die erste von ihnen: $\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau^{2}}\left(1-\omega^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right)=\omega^{2}\left\{\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\xi^{2}}\left(m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}-\frac{\alpha^{2}}{\omega^{2}}\right)\right.$ $+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\eta^{2}}\left(m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}-\frac{\beta^{2}}{\omega^{2}}\right)+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\zeta^{2}}\left(m_{3}^{2}+n_{3}^{2}+3_{3}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{\omega^{2}}\right)$ $+2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\eta\ \partial\zeta}\left(m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}+p_{2}p_{3}-\frac{\beta\gamma}{\omega^{2}}\right)$ $+2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\zeta\ \partial\xi}\left(m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}+p_{3}p_{1}-\frac{\gamma\alpha}{\omega^{2}}\right)$ $+2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\xi\ \partial\eta}\left(m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}-\frac{\alpha\beta}{\omega^{2}}\right)$ $-2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau\ \partial\xi}\left(am_{1}+bn_{1}+cp_{1}-\frac{\alpha}{\omega^{2}}\right)$ $-2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau\ \partial\eta}\left(am_{2}+bn_{2}+cp_{2}-\frac{\beta}{\omega^{2}}\right)$ $\left. -2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau\ \partial\zeta}\left(am_{3}+bn_{3}+cp_{3}-\frac{\gamma}{\omega^{2}}\right)\right\}$ und diese ist, da ja sein muß: $\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau^{2}}=\omega^{2}\left(\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\xi^{2}}+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\eta^{2}}+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\zeta^{2}}\right)$ erfüllt, wenn folgende neue Gleichungen bestehen: $\begin{align} 1-\omega^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) & =m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}-\frac{\alpha^{2}}{\omega^{2}}\\ & =m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}-\frac{\beta^{2}}{\omega^{2}}\\ & =m_{3}^{2}+n_{3}^{2}+p_{3}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{\omega^{2}} \end{align}$ 3) Anmerkungen des Autors

Empfohlene Zitierweise:

Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 42. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/2&oldid=1863135 (Version vom 15.08.2012)