Seite:Ueber das Doppler'sche Princip.djvu/2

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Vertauscht man in U, V, W resp.

2) \begin{array}{l}
x\text{ mit }\xi=xm_{1}+yn_{1}+zp_{1}-\alpha t\\
y\text{ mit }\eta=xm_{2}+yn_{2}+zp_{2}-\beta t\\
z\text{ mit }\xi=xm_{3}+yn_{3}+zp_{3}-\gamma t\\
t\text{ mit }\tau=t-(ax+by+cz)\\
\end{array}

und bezeichnet die so erhaltenen Functionen resp. mit (U), (V), (W), so läßt sich durch u = (U), v = (V), w = (W) ebenfalls den Gleichungen (1) genügen.[AU 1]

Denn man erhält z. B. für die erste von ihnen:

\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau^{2}}\left(1-\omega^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right)=\omega^{2}\left\{\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\xi^{2}}\left(m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}-\frac{\alpha^{2}}{\omega^{2}}\right)\right.
+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\eta^{2}}\left(m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}-\frac{\beta^{2}}{\omega^{2}}\right)+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\zeta^{2}}\left(m_{3}^{2}+n_{3}^{2}+3_{3}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{\omega^{2}}\right)
+2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\eta\ \partial\zeta}\left(m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}+p_{2}p_{3}-\frac{\beta\gamma}{\omega^{2}}\right)
+2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\zeta\ \partial\xi}\left(m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}+p_{3}p_{1}-\frac{\gamma\alpha}{\omega^{2}}\right)
+2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\xi\ \partial\eta}\left(m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}-\frac{\alpha\beta}{\omega^{2}}\right)
-2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau\ \partial\xi}\left(am_{1}+bn_{1}+cp_{1}-\frac{\alpha}{\omega^{2}}\right)
-2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau\ \partial\eta}\left(am_{2}+bn_{2}+cp_{2}-\frac{\beta}{\omega^{2}}\right)
\left. -2\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau\ \partial\zeta}\left(am_{3}+bn_{3}+cp_{3}-\frac{\gamma}{\omega^{2}}\right)\right\}

und diese ist, da ja sein muß:

\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\tau^{2}}=\omega^{2}\left(\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\xi^{2}}+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\eta^{2}}+\frac{\partial^{2}(U)}{\partial\zeta^{2}}\right)

erfüllt, wenn folgende neue Gleichungen bestehen:

\begin{align}
1-\omega^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) & =m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}-\frac{\alpha^{2}}{\omega^{2}}\\
 & =m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}-\frac{\beta^{2}}{\omega^{2}}\\
 & =m_{3}^{2}+n_{3}^{2}+p_{3}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{\omega^{2}}
\end{align} 3)

Anmerkungen des Autors

  1. Wegen der gleichen Ordnung aller Glieder der Gleichung (1) können die rechten Seiten der Substitutionsformeln (2) mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden, ohne daß sich an den Resultaten etwas ändert.
Empfohlene Zitierweise:

Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 42. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/2&oldid=1863135 (Version vom 15.08.2012)