Seite:Ueber das Doppler'sche Princip.djvu/3

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\frac{\beta\gamma}{\omega^{2}}=m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}+p_{2}p_{3}

\frac{\gamma\alpha}{\omega^{2}}=m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}+p_{3}p_{1}

\frac{\alpha\beta}{\omega^{2}}=m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}

4)
\frac{\alpha}{\omega^{2}}=am_{1}+bn_{1}+cp_{1}

\frac{\beta}{\omega^{2}}=am_{2}+bn_{2}+cp_{2}

\frac{\gamma}{\omega^{2}}=am_{3}+bn_{3}+cp_{3}

5)

Nimmt man \alpha\beta\gamma als gegeben an, so hat man 12 verfügbare Constanten, kann also über drei von ihnen willkürlich verfügen.

Die Auflösung erfolgt am bequemsten, wenn man vorübergehend ein Coordinatensystem X_{1}, Y_{1}, Z_{1}, benutzt, für welches in den Gleichungen (2) \beta und \gamma verschwinden, \alpha gleich \chi wird; d. h. ein solches, dessen X_{1}-Axe in die Richtung fällt, deren Richtungscosinus gegen X, Y, Z mit \alpha, \beta, \gamma proportional sind.

Es sei ferner gesetzt

\begin{array}{clcclcclcclc} m_{h}^{2}+n_{h}^{2}+p_{h}^{2} & = & q_{h}^{2}, & m_{h}/q_{h} & = & \mu_{h}, & n_{h}/q_{h} & = & \nu_{h}, & p_{h}/q_{h} & = & \pi_{h}\\\\ a^{2}+b^{2}+c^{2} & = & d^{2}, & a/d & = & \mu, & b/d & = & \nu, & c/d & = & \pi, \end{array}

dann sind \mu, \nu, \pi die Richtungscosinus von 4 Richtungen, die wir durch \delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3} und \delta bezeichnen wollen, gegen das System X_{1}, Y_{1}, Z_{1}.

Durch diese Einführungen werden unsere Gleichungen (3), (4) und (5):

1-\omega^{2}d^{2}=q_{1}^{2}-\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}=q_{2}^{2}=q_{3}^{2} 3')


\mu_{2}\mu_{3}+\nu_{2}\nu_{3}+\pi_{2}\pi_{3}=\mu_{3}\mu_{1}+\nu_{3}\nu_{1}+\pi_{3}\pi_{1}=\mu_{1}\mu_{2}+\nu_{1}\nu_{2}+\pi_{1}\pi_{2}=0


\text{d. h. }\cos(\delta_{2},\delta_{3})=\cos(\delta_{3},\delta_{1})=\cos(\delta_{1},\delta_{2})=0 4')


\mu\mu_{1}+\nu\nu_{1}+\pi\pi_{1}=\frac{\chi}{\omega^{2}q_{1}d}, \mu\mu_{2}+\nu\nu_{2}+\pi\pi_{2}+\mu\mu_{3}+\nu\nu_{3}+\pi\pi_{3}=0


\text{d. h. }\cos(\delta,\delta_{1})=\frac{\chi}{\omega^{2}q_{1}d},\cos(\delta,\delta_{2})=\cos(\delta,\delta_{3})=0. 5')

Nach (4') stehen die drei Richtungen \delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3} zu einander senkrecht, nach (5') fällt \delta_{1} mit \delta zusammen, es muß also sein:

\mu=\mu_{1}, \nu=\nu_{1}, \pi=\pi_{1}\text{ und }\frac{\chi}{\omega^{2}q_{1}d}=1. 6)
Empfohlene Zitierweise:

Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 43. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/3&oldid=1863132 (Version vom 15.08.2012)