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	Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip

mit dem ersteren zusammen hängen möge, so erhält man schließlich

12)

${\begin{aligned}\xi &=xq+(x\alpha _{1}+y\beta _{1}+z\gamma _{1})\alpha _{1}(1-q)-\varkappa \alpha _{1}t\\\eta &=yq+(x\alpha _{1}+y\beta _{1}+z\gamma _{1})\beta _{1}(1-q)-\varkappa \beta _{1}t\\\zeta &=zq+(x\alpha _{1}+y\beta _{1}+z\gamma _{1})\gamma _{1}(1-q)-\varkappa \gamma _{1}t\\\tau &=t-{\frac {\varkappa }{\omega ^{2}}}(x\alpha _{1}+y\beta _{1}+z\gamma _{1}).\end{aligned}}$

Das ist die allgemeine Form (2) von der wir ausgegangen sind, aber mit vollständig durch $\chi$, $\alpha _{1}$, $\beta _{1}$, $\gamma _{1}$ bestimmten Constanten, sie enthält das, was man gewöhnlich unter dem Doppler’schen Princip versteht, soweit dasselbe richtig ist.

Kann man hierin $\chi ^{2}$ neben $\omega ^{2}$ vernachlässigen, so ist $q=1$ und man erhält sehr einfach:

13)	${\begin{aligned}\xi &=x-\varkappa \alpha _{1}t\\\eta &=y-\varkappa \beta _{1}t\\\zeta &=z-\varkappa \gamma _{1}t\\\tau &=t-{\frac {\varkappa }{\omega ^{2}}}(x\alpha _{1}+y\beta _{1}+z\gamma _{1}).\end{aligned}}$

Die Bedingung (1') lautet hierbei:

13')	$0={\frac {\chi }{\omega ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(U\alpha _{1}+V\beta _{1}+W\gamma _{1}\right)$

und ist bei den angenommenen Vernachlässigungen nur soweit zu erfüllen nöthig, daß das in $\textstyle {\frac {\chi }{\omega }}$ multiplicirte Glied von erster Ordnung wird.

Bewegt sich außer der leuchtenden Oberfläche auch der Beobachter, etwa mit der constanten Geschwindigkeit $\chi '$ in einer durch die Richtungscosinus $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ gegebenen Richtung, so sind die Verschiebungen $u$, $v$, $w$, nur auf ein mit dem Beschauer bewegtes Coordinatensystem $X'$, $Y'$, $Z'$ zu beziehen, also in (12) oder (13) $x$ mit $x'+\chi '\alpha 't$, $y$ mit $y'+\chi '\beta 't$, $z$ mit $z'+\chi '\gamma 't$ zu vertauschen.

Wir machen von dem Gefundenen einige Anwendungen.

1) Sei eine Ebene parallel der $YZ$-Ebene in Schwingungen versetzt nach dem Gesetz

${\overline {W}}=A\sin {\frac {2\pi t}{T}}{,}$

so ist die nach der positiven $X$-Axe fortgepflanzte Bewegung gegeben durch:

$W=A\sin {\frac {2\pi }{T}}\left(t-{\frac {x}{\omega }}\right).$

Empfohlene Zitierweise:
Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 46. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/6&oldid=- (Version vom 1.8.2018)