Seite:Ueber das Doppler'sche Princip.djvu/6

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mit dem ersteren zusammen hängen möge, so erhält man schließlich

12) \begin{align} \xi & =xq+(x\alpha_{1}+y\beta_{1}+z\gamma_{1})\alpha_{1}(1-q)-\varkappa\alpha_{1}t\\ \eta & =yq+(x\alpha_{1}+y\beta_{1}+z\gamma_{1})\beta_{1}(1-q)-\varkappa\beta_{1}t\\ \zeta & =zq+(x\alpha_{1}+y\beta_{1}+z\gamma_{1})\gamma_{1}(1-q)-\varkappa\gamma_{1}t\\ \tau & =t-\frac{\varkappa}{\omega^{2}}(x\alpha_{1}+y\beta_{1}+z\gamma_{1}). \end{align}

Das ist die allgemeine Form (2) von der wir ausgegangen sind, aber mit vollständig durch \chi, \alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1} bestimmten Constanten, sie enthält das, was man gewöhnlich unter dem Doppler’schen Princip versteht, soweit dasselbe richtig ist.

Kann man hierin \chi^{2} neben \omega^{2} vernachlässigen, so ist q=1 und man erhält sehr einfach:

13) \begin{align} \xi & =x-\varkappa\alpha_{1}t\\ \eta & =y-\varkappa\beta_{1}t\\ \zeta & =z-\varkappa\gamma_{1}t\\ \tau & =t-\frac{\varkappa}{\omega^{2}}(x\alpha_{1}+y\beta_{1}+z\gamma_{1}). \end{align}

Die Bedingung (1') lautet hierbei:

13') 0=\frac{\chi}{\omega^{2}}\frac{\partial}{\partial t}\left(U\alpha_{1}+V\beta_{1}+W\gamma_{1}\right)

und ist bei den angenommenen Vernachlässigungen nur soweit zu erfüllen nöthig, daß das in \textstyle{\frac{\chi}{\omega}} multiplicirte Glied von erster Ordnung wird.

Bewegt sich außer der leuchtenden Oberfläche auch der Beobachter, etwa mit der constanten Geschwindigkeit \chi' in einer durch die Richtungscosinus \alpha', \beta', \gamma' gegebenen Richtung, so sind die Verschiebungen u, v, w, nur auf ein mit dem Beschauer bewegtes Coordinatensystem X', Y', Z' zu beziehen, also in (12) oder (13) x mit x'+\chi'\alpha't, y mit y'+\chi'\beta't, z mit z'+\chi'\gamma't zu vertauschen.

Wir machen von dem Gefundenen einige Anwendungen.

1) Sei eine Ebene parallel der YZ-Ebene in Schwingungen versetzt nach dem Gesetz

\overline{W}=A\sin\frac{2\pi t}{T}{,}

so ist die nach der positiven X-Axe fortgepflanzte Bewegung gegeben durch:

W=A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{\omega}\right).
Empfohlene Zitierweise:

Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 46. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/6&oldid=2007614 (Version vom 25.05.2013)