Seite:Ueber das Doppler'sche Princip.djvu/9

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gesetzt ist. Es wird also \textstyle{\eta=\frac{T}{4}} für r=R und \eta=0 wenn r sehr groß gegen die Wellenlänge T\omega ist.

Die fortgepflanzten Verrückungen folgen aus \psi durch:

U=0,\ V=-\psi z,\ W=\psi y;

wir setzen kurz:

U=0,\ V=MC,\ W=NC.

Setzt man hierin für x, y, z die Werthe \xi, \eta, \zeta nach (10), so wird der periodische Theil C:

(C)=\cos\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{\chi x}{\omega^{2}}-\frac{1}{\omega}\left(\sqrt{(x-\chi t)^{2}+y^{2}+z^{2}}-R\right)-(\eta)\right){,} 17)
\text{falls }\operatorname{cotg}\frac{2\pi(\eta)}{T}=\frac{2\pi}{T\omega}\left(\sqrt{(x-\chi t)^{2}+y^{2}+z^{2}}-R\right)\text{ ist.}

Für (x-\chi t)^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} d. h. an der Oberfläche einer mit der Geschwindigkeit x parallel der X-Axe verschobenen Kugel wird dies

(\overline{C})=\sin\frac{2\pi}{T}\left(t\left(1-\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}\right)-\frac{\chi}{\omega^{2}}\sqrt{R^{2}-y^{2}-z^{2}}\right)

also, da nach der Annahme \textstyle{\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}} und \textstyle{\frac{\chi R}{\omega^{2}}} zweiter Ordnung ist:

(\overline{C})=\sin\frac{2\pi t}{T}.

(M) und (N) haben denselben Werth, als ob die kleine Kugel um die zur Zeit t erreichte Position x_{0}=\chi t als Gleichgewichtslage oscillirte. Wir erhalten demnach durch (U), (V), (W) die von einem in fortschreitender Geschwindigkeit \chi parallel der Richtung der Rotationsaxe befindlichen durch Rotation »leuchtendem Punkte« ausgesandte Bewegung gegeben.

Die fortgepflanzten Wellenflächen beurtheilen sich nach dem Werth (17) für (C), der sich unter Einführung der relativen Coordinaten gegen den bewegten leuchtenden Punkt \xi=x-\chi t, y=\eta, z=\zeta schreiben läßt bei Vernachlässigung von \textstyle{\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}} neben 1 und für gegen T\omega großes r:

(C)=\cos\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{\chi\xi}{\omega^{2}}-\frac{1}{\omega}\left(\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}-R\right)\right).
Empfohlene Zitierweise:

Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 49. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/9&oldid=1278441 (Version vom 18.10.2010)