Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung

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Autor: Johann Georg von Soldner
Titel: Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht
Untertitel:
aus: Astronomisches Jahrbuch für das Jahr 1804, S. 161–172
Herausgeber: Johann Elert Bode
Auflage:
Entstehungsdatum: 1801
Erscheinungsdatum: 1804
Verlag: G. A. Lange
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Erscheinungsort: Berlin
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Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht.
Von Hrn. Joh. Soldner.
Berlin, im März 1801.


Bey dem jetzigen, so sehr vervollkommneten, Zustande der praktischen Astronomie wird es immer nothwendiger, aus der Theorie, das heißt aus den allgemeinen Eigenschaften und Wechselwirkungen der Materie, alle Umstände zu entwickeln, welche auf den wahren oder mittlern Ort eines Weltkörpers Einfluß haben können: um aus einer guten Beobachtung den Nutzen ziehen zu können, dessen sie an sich fähig ist.

Es ist zwar wahr, daß man beträchtliche Abweichungen von einer angenommenen Regel schon durch Beobachtungen und zufällig gewahr wird: wie es z. B. der Fall mit der Aberration des Lichtes war. Es kann aber Abweichungen geben, die so klein sind, daß es schwer ist zu entscheiden, ob es wirkliche Abweichungen, oder Fehler der Beobachtungen sind. Auch kann es Abweichungen geben, die zwar beträchtlich sind; aber mit Größen kombinirt, mit deren Ausmittelung man selbst noch nicht ganz aufs Reine gekommen ist, dem geübtesten Beobachter entgehen.

Von der letzteren Art könnte wohl auch die Ablenkung eines Lichtstrals von der geraden Linie seyn, wenn er einem Weltkörper nahe kommt, und daher dessen Attraktion beträchtlich ausgesetzt ist. Denn da man leicht sieht, daß diese Ablenkung am größten seyn muß, wenn, auf der Oberfläche des anziehenden Körpers gesehen, der Lichtstral in horizontaler Richtung ankommt; und Null wird wenn er senkrecht herabkommt: so wird die Größe der Ablenkung eine Funktion der Höhe seyn. Da aber auch die Stralenbrechung eine Funktion der Höhe ist, so müssen diese beiden Größen mit einander kombinirt seyn: und es wäre daher möglich, daß die Ablenkung in ihrem Maximum mehrere Sekunden betrüge, ohne daß es bisher durch Beobachtungen hätte ausgemittelt werden können.

– Dies sind ungefähr die Betrachtungen, welche mich bewogen haben, über die Perturbation der Lichtstralen, die meines Wissens noch von niemandem untersucht worden ist, weiter nachzudenken. –

Ehe ich zur Untersuchung selbst gehe, will ich noch einige allgemeine Bemerkungen machen, durch welche der Kalkul erleichtert werden wird. – Da ich fürs Erste nur das Maximum einer solchen Ablenkung bestimmen will, so lasse ich den Lichtstral an dem Orte der Beobachtung, auf der Oberfläche des anziehenden Körpers, horizontal gehen, oder ich nehme an, das Gestirn, von welchem er herkommt, sey scheinbar im Aufgehen begriffen. – Der Bequemlichkeit in der Untersuchung wegen nehme ich an: der Lichtstral komme nicht an dem Beobachtungsorte an, sondern gehe von ihm aus. Man sieht leicht, daß dieses bey Bestimmung der Figur der Bahn ganz gleichgültig ist. – Ferner wenn ein Lichtstral an einem Punkte auf der Oberfläche des anziehenden Körpers in horizontaler Richtung ankommt, und dann seinen Lauf, anfänglich wieder horizontal, weiter fortsetzt: so wird man leicht bemerken, daß er bey dieser weitern Fortsetzung die nämliche krumme Linie beschreiben wird, welcher er bis dahin gefolgt ist. Wenn man also durch den Beobachtungsort und den Mittelpunkt des anziehenden Körpers eine gerade Linie legt, so wird diese Linie die Hauptaxe der krummen für die Bahn des Lichtes seyn; indem unter und über dieser geraden zwey ganz kongruente Schenkel der krummen Linie beschrieben werden. –

Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung.jpg

Fig. 3

Es sey nun (Fig. 3) C der Mittelpunkt des anziehenden Körpers, A ein Ort auf der Oberfläche desselben. Von A gehe ein Lichtstral nach der Richtung AD oder horizontal, mit einer Geschwindigkeit, daß er in einer Sekunde den Weg v zurücklegt. Der Lichtstral wird aber, anstatt in der geraden AD fortzugehen, durch die Attraktion des Weltkörpers genöthigt werden, eine krumme Linie AMQ zu beschreiben, deren Natur wir untersuchen werden. Auf dieser krummen Linie befinde sich nach der Zeit t, vom Zeitpunkte des Auslaufens von A an gerechnet, der Lichtstral in M, in einem Abstande CM=r vom Mittelpunkte des anziehenden Körpers. Die Beschleunigung der Schwere auf der Oberfläche des Körpers sey g. Ferner sey CP=x, MP=y und der Winkel MCP=φ. Die Kraft, mit welcher der Lichtstral in M vom Körper nach der Richtung MC angezogen wird, wird seyn 2gr-2 Diese Kraft läßt sich in zwey andere,

\frac {2g} {r^2} cos\phi und \frac {2g} {r^2} sin\phi,

nach den Richtungen x und y zerlegen; und dafür erhält man folgende zwey Gleichungen (S. Traité de mécanique céleste par Laplace, Tome I. pag. 21.)

\frac {ddx} {dt^2}= -\frac {2g} {r^2} cos\phi (I)
\frac {ddy} {dt^2}= -\frac {2g} {r^2} sin\phi (II)

Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit - sin φ, die zweite mit cos φ und addirt sie, so bekommt man:

\frac {ddy\ cos\phi - ddx\ sin\phi} {dt^2} =0 (III)

Nun multiplicire man die erste mit cos φ die zweyte mit sin φ und addire sie, so hat man:

\frac {ddx\ cos\phi+ ddy\ sin\phi} {dt^2} =-\frac {2g} {r^2}. (IV)

Um in diesen Gleichungen die Zahl der veränderlichen Größen zu verringern, wollen wir x und y durch r und φ ausdrücken. Man sieht leicht, daß

x=r\ cos\phi und y= r\ sin\phi.

Differenziirt man, so wird man erhalten:

dx=cos \phi\ dr- r sin\phi\ d\phi, und dy =sin \phi\ dr+ r cos \phi\ d\phi.

Und wenn man noch einmal differenziirt,

ddx=cos\phi\ ddr- 2 sin\phi\ d\phi\ dr- r\ sin\phi\ dd\phi- r\ cos\phi\ d\phi^2,

und

ddy=sin\phi\ ddr+ 2 cos\phi\ d\phi\ dr+ r\ cos\phi\ dd\phi- r\ sin\phi\ d\phi^2.

Substituirt man diese Werthe für ddx und ddy in den obigen Gleichungen, so erhält man aus (III):

\frac {ddy\ cos\phi- ddx\ sin\phi} {dt^2} = \frac {2d\phi\ dr+ r\ dd\phi} {dt^2}.

Also hat man

\frac {2d\phi\ dr+ r\ dd\phi} {dt^2}=0. (V)

Und ferner aus (IV),

\frac {ddr- r\ d\phi^2} {dt^2} =-\frac {2g} {r^2}. (VI)

Um die Gleichung (V) zur wirklichen Differenzialgröße zu machen, multiplicire man sie mit rdt, so wird:

\frac {2r\ d\phi\ dr+ r^2\ dd\phi} {dt} =0,

und wenn man wiederum integrirt, wird man erhalten:

r^2d\phi=C\ dt,

wo C eine willkürliche beständige Größe ist. Um dieses C zu bestimmen, bemerke man, daß r2dφ(=r rdφ) gleich ist: der doppelten Fläche des kleinen Dreyeckes, welches der Radiusvektor r in der Zeit dt beschrieben hat. Die doppelte Fläche des während der ersten Zeitsekunde beschriebenen Dreyecks ist aber: =AC·v; also hat man C=AC v. Und wenn man den Halbmesser AC des anziehenden Körpers für die Einheit annimmt, was wir in der Folge immer thun werden, so ist C=v. Setzt man diesen Werth für C in die obige Gleichung, so ist:

r^2\ d\phi=v\ dt.

Also hat man

d\phi=\frac {v\ dt} {r^2}. (VII)

Diesen Werth für in der Gleichung (VI) gesetzt, erhält man:

\frac {ddr} {dt^2}- \frac {v^2} {r^3} =- \frac {2g} {r^2}.

Multiplicirt man diese Gleichung mit 2dr, so wird:

\frac {2dr\ ddr} {dt^2}- \frac {2v^2\ dr} {r^3} =- \frac {4g\ dr} {r^2},

und wenn man wieder integrirt,

\frac {dr^2} {dt^2} + \frac {v^2} {r^2} = \frac {4g} {r} +D,

wo D ein beständige Größe ist, die von den in der Gleichung befindlichen, constanten Größen abhängt. Aus dieser eben gefundenen Gleichung läßt sich die Zeit eliminieren, und es ist:

dt=\frac {dr} {\sqrt {D+ \frac {4g} {r}- \frac {v^2} {r}}}.

Setzt man diesen Werth für dt in die Gleichung (VII), so hat man:

d\phi=\frac {v\ dr} {r^2\sqrt {D+ \frac {4g} {r}- \frac {v^2} {r^2}}}.

Um diese Gleichung zu integriren, bringe man sie auf die Form:

d\phi=\frac {v\ dr} {r^2\sqrt {D+ \frac {4g^2} {v^2}- \left( \frac {v} {r}- \frac {2g} {v}\right)^2}}.

Nun setze man

\frac {v} {r}- \frac {2g} {v}=z,

so wird

\frac {v\ dr} {r^2} =- dz.
Wird dieses und z in die Gleichung für dφ gesetzt, so wird man haben:
d\phi=-\frac {dz} {\sqrt {D+ \frac {4g^2} {v^2}- z^2}}.

Hiervon ist nun das Integral:

\phi=Arc.cos \frac {z} {\sqrt {D+ \frac {4g} {v^2}}} +\ \alpha,

wo α die constante Größe ist. Nach bekannten Eigenschaften ist ferner:

cos(\phi- \alpha)=\frac {z} {\sqrt {D+ \frac {4g} {v^2}}},

und wenn man wiederum anstatt z dessen Werth setzt:

cos(\phi- \alpha)=\frac {v^2- 2gr} {r\sqrt {v^2 D+ 4g^2}}.

Es wäre nun φ–α der Winkel, welchen r mit der Hauptaxe der zu bestimmenden krummen Linie macht. Da ferner φ der Winkel ist, den r mit der Linie AF, der Axe für die Koordinaten x und y, macht, so muß α der Winkel seyn, welchen die Hauptaxe und die Linie AF formiren. Da aber AF durch den Beobachtungsort und den Mittelpunkt des anziehenden Körpers geht, so muß, nach dem obigen, AF die Hauptaxe selbst seyn; also ist α=0, und daher:

cos \phi=\frac {v^2- 2gr} {r\sqrt {v^2 D+ 4g^2}}.

Für φ=0 muß r=AC=1 werden, und man erhält aus dieser Gleichung:

\sqrt {v^2 D+ 4g^2}=v^2- 2g.

Substituirt man dies in der obigen Gleichung, so wird dadurch das noch unbekannte D, und zugleich auch das Wurzelzeichen, weggeschaft; und man erhält:

cos \phi=\frac {v^2- 2gr} {r\left(v^2- 2g\right)};

und ferner hieraus

r+ \left[ \frac {v^2- 2g} {2g} \right] r\ cos\phi=\frac {v^2} {2g}. (VIII)

Aus dieser endlichen Gleichung zwischen r und φ läßt sich die krumme Linie bestimmen. Um aber dieses bequemer zu bewerkstelligen, wollen wir die Gleichung wieder auf Koordinaten zurückführen. Es sey (Fig. 3) AP=x und MP=y, so hat man:

\begin{align}
x & = 1-r\ cos\phi{,} \\
y & = r\ sin\phi \\
\text{und}\ r & = \sqrt{(1-x)^2+y^2}.
\end{align}

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (VIII), so findet man:

y^2=\frac {v^2\left(v^2- 4g\right)} {4g^2}\left[1-x\right]^2- \frac {v^2\left(v^2- 2g\right)} {2g^2}\left[1-x\right]+ \frac {v^2} {4g^2},

und wenn man alles gehörig entwickelt,

y^2=\frac {v^2} {g} x+ \frac {v^2\left(v^2- 4g\right)} {4g^2}x^2. (IX)

Da diese Gleichung vom zweyten Grade ist, so ist die krumme Linie ein Kegelschnitt, der nun näher untersucht werden kann.

Wenn p der Parameter und a die halbe Hauptaxe, so ist, wenn man die Abscisse vom Vertex an rechnet, die allgemeine Gleichung für alle Kegelschnitte:

y^2=px+ \frac {p} {2a} x^2.

Diese Gleichung enthält die Eigenschaften der Parabel, wenn der Koefficient von x² Null; der Ellipse, wenn er negativ und der Hyperbel, wenn er positiv ist. Das letztere ist in unserer Gleichung (IX) offenbar der Fall. Denn da für alle uns bekannte Weltkörper 4g kleiner ist, als v², so muß der Koefficient von x² positiv seyn.

Wenn also ein Lichtstral an einem Weltkörper vorbeigeht, so wird er durch die Attraktion desselben genötigt, anstatt in der geraden Richtung fortzugehen, eine Hyperbel zu beschreiben, deren konkave Seite gegen den anziehenden Körper gerichtet ist.

Die Bedingungen, unter welchen der Lichtstral einen andern Kegelschnitt beschreiben würde, sind nun auch leicht zu bestimmen. Er würde eine Parabel beschreiben, wenn 4g=v², eine Ellipse, wenn 4g größer als v² und einen Zirkel, wenn 2g=v² wäre. Da wir aber keinen Weltkörper kennen, dessen Masse so groß ist, daß sie eine solche Beschleunigung der Schwere auf seiner Oberfläche hervorbringen kann, so beschreibt ein Lichtstral, in der uns bekannten Welt, allezeit eine Hyperbel.

Nun ist nur noch zu untersuchen übrig, wieviel hierdurch der Lichtstral von der geraden Linie abgelenkt wird; oder wie groß der Perturbationswinkel, wie ich ihn nennen will, ist.

Da jetzt die Figur der Bahn bestimmt ist, so kann man den Lichtstral wieder als ankommend betrachten. Und weil ich fürs Erste blos das Maximum des Perturbationswinkels bestimmen will, so nehme ich an, der Lichtstral komme von einer unendlich großen Entfernung her. – Das Maximum muß in diesem Falle statt finden; weil der anziehende Körper länger auf den Lichtstral wirkt, wenn dieser von einer größeren, als wenn er von einer kleinern Entfernung herkommt. – Kommt nun der Lichtstral unendlich weit her, so war seine anfängliche Richtung die der Asymptote BR (Fig 3.) der Hyperbel; weil in einer unendlich großen Entfernung die Asymptote mit der Tangente zusammen fällt. Der Lichtstral kommt aber in der Richtung DA ins Auge des Beobachters; also wird ADB der Perturbationswinkel seyn. Nennt man diesen Winkel ω, so hat man, da das Dreyeck ABD bey A rechtwinklig ist:

tang\ \omega=\frac{AB} {AD}.

Aus der Natur der Hyperbel ist aber bekannt, daß AB die halbe Hauptaxe, und AD die halbe Queraxe ist. Es müssen also diese Größen noch bestimmt werden. Wenn a die halbe Hauptaxe, und b die halbe Queraxe, so ist der Parameter

p=\frac {2b^2} {a}.

Substituirt man diesen Werth in der allgemeinen Gleichung der Hyperbel

y^2=px+ \frac {p} {2a} x^2,

so verwandelt sie sich in:

y^2=\frac {2b^2} {a} x+ \frac {b^2} {a^2} x^2.

Vergleicht man nun diese Koefficienten von x und x² mit denen in (IX), so erhält man die halbe Hauptaxe

a=\frac {2g} {v^2- 4g}=AB,

und die halbe Queraxe

b=\frac {v} {\sqrt{v^2- 4g}}=AD.

Setzt man diese Werthe für AB und AD in den Ausdruck für tang ω, so hat man:

tang\ \omega=\frac {2g} {v\sqrt{v^2- 4g}}.

Wir wollen nun von dieser Formel eine Anwendung auf die Erde machen, und untersuchen, wieviel ein Lichtstral von der geraden Linie abgelenkt wird, wenn er an der Oberfläche der Erde vorbeygeht.

Unter der Voraussetzung, daß das Licht 564″,6 Decimalsekunden Zeit brauche, um von der Sonne zur Erde zu kommen, findet man, daß es in einer Decimalsekunde 15,562085 Erdhalbmesser durchlauft. Also ist v=15,562085. Nimmt man unter der geographischen Breite deren Quadrat des Sinus 1/3 (Entspricht einer Breite von 35° 16′), den Erdhalbmesser 6369514 Mètres, und die Beschleunigung der Schwere daselbst 3,66394 Mètres (S. Traité de mécanique céleste par Laplace, Tome I, pag. 118): so ist, in Erdhalbmessern ausgedruckt, g=0,000000575231. – Ich bediene mich dieser Eintheilung, um die neuesten und zuverlässigsten Bestimmungen der Größe des Erdhalbmessers und der Beschleunigung der Schwere, ohne besondere Reduktion, aus dem Traité de mécanique céleste nehmen zu können. Es wird dadurch am Endresultate nichts geändert, denn es kommt hier blos auf das Verhältniß der Geschwindigkeit des Lichts zur Geschwindigkeit eines fallenden Körpers auf der Erde an. Der Erdhalbmesser und die Beschleunigung der Schwere muß deswegen unter dem genannten Grade der Breite genommen werden, weil der Erdsphäroid, an körperlichem Inhalte, einer Kugel gleich ist, welche den Erdhalbmesser daselbst, oder 6369514 Mètres, zum Radius hat. –

Wenn man diese Werthe für v und g in die Gleichung für tang ω setzt, so erhält man, in Sexagesimalsekunden, ω=0″,0009798, oder in runder Zahl, ω=0″,001. Da dies Maximum ganz unbeträchtlich ist, so würde es überflüssig seyn, weiter zu gehen; oder zu bestimmen, wie dieser Werth mit den Höhen über den Horizont abnimmt; und um wieviel er kleiner wird, wenn die Distanz des Gestirnes, von welchem der Lichtstral kommt, endlich und einer gewissen Größe gleich angenommen wird. Eine Bestimmung, die keine Schwürigkeit haben würde.

Will man vermittelst der gegebenen Formel untersuchen, wieviel ein Lichtstral vom Monde abgelenkt wird, wenn er an demselben vorbey und auf die Erde geht, so muß man, nachdem die gehörigen Größen substituirt und der Halbmesser des Mondes für die Einheit angenommen worden, den aus der Formel gefundenen Werth doppelt nehmen; weil ein Lichtstral, der an dem Monde vorbey und auf die Erde geht, zwey Arme der Hyperbel beschreibt. Aber demungeachtet muß das Maximum doch noch viel kleiner ausfallen, als bey der Erde; weil die Masse des Mondes, und daher g, viel kleiner ist. – Die Inflexion muß also blos von der Kohäsion, Zerstreuung des Lichts und der Atmosphäre des Mondes herrühren; die allgemeine Attraktion trägt nichts merkliches dazu bey. –

Wenn man in der Formel für tang ω die Beschleunigung der Schwere auf der Oberfläche der Sonne substituirt, und den Halbmesser dieses Körpers für die Einheit annimmt, so findet man ω=0″,84. Wenn man Fixsterne sehr nahe an der Sonne beobachten könnte, so würde man wohl darauf Rücksicht nehmen müssen. Da dies aber bekanntlich nicht geschieht, so ist auch die Perturbation durch die Sonne zu vernachlässigen. Für Lichtstralen, die von der Venus kommen, welches Gestirn Vidal nur zwey Minuten vom Sonnenrande beobachtet, (S. Hr. O. L. v. Zachs monatliche Correspondenz etc. II. Band pag 87.) beträgt sie viel weniger; weil man die Entfernungen der Venus und der Erde von der Sonne nicht unendlich groß annehmen darf.

Durch Kombination mehrerer Körper, die ein Lichtstral auf seinem Wege antreffen könnte, würden die Resultate etwas größer werden; aber für unsere Beobachtungen doch gewiß immer unbemerkbar.

Also ist es ausgemacht: daß man, wenigstens bey dem jetzigen Zustande der praktischen Astronomie, nicht nöthig hat, auf die Perturbation der Lichtstralen, durch anziehende Weltkörper, Rücksicht zu nehmen.

Nun muß ich noch einem Paar Einwürfen zuvorkommen, die man mir vielleicht machen könnte.

Man wird bemerken, daß ich von der sonst gebräuchlichen Methode abgegangen bin, daß ich schon vor dem Kalkul einige allgemeine Eigenschaften der krummen Linie bestimmt habe; welches doch gewöhnlich erst durch diesen geschieht, und auch hier hätte geschehen können. Der Kalkul wurde aber dadurch sehr abgekürzt; und warum soll man da kalkuliren, wo das zu Beweisende durch ein wenig Nachdenken viel evidenter dargethan werden kann?

Hoffentlich wird es niemand bedenklich finden, daß ich einen Lichtstral geradezu als schweren Körper behandle. Denn daß die Lichtstralen alle absoluten Eigenschaften der Materie besitzen, sieht man an dem Phänomen der Aberration, welches nur dadurch möglich ist, daß die Lichtstralen wirklich materiel sind. – Und überdies, man kann sich kein Ding denken, das existiren und auf unsere Sinne wirken soll, ohne die Eigenschaft der Materie zu haben. –

nihil est, quod possis dicere ab omni
Corpore seiunctum, secretumque esse ab inani:
Quod quasi tertia sit rerum natura reperta.
 Lucretius de nat. rer. I, 431.

Uebrigens glaube ich nicht nöthig zu haben, mich zu entschuldigen, daß ich gegenwärtige Abhandlung bekannt mache; da doch das Resultat dahin geht, daß alle Perturbationen unmerklich sind. Denn es muß uns fast eben so viel daran gelegen seyn, zu wissen, was nach der Theorie vorhanden ist, aber auf die Praxis keinen merklichen Einfluß hat; als uns dasjenige interessirt, was in Rücksicht auf Praxis wirklichen Einfluß hat. Unsere Einsichten werden durch beyde gleichviel erweitert. So beweist man z. B. auch, daß die tägliche Aberration, die Störung der Rotation der Erde, und andere dergleichen Dinge mehr, – unmerklich sind.