Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen/Zweites Buch

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Erstes Buch Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen (1525) von Albrecht Dürer
Zweites Buch
Drittes Buch
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Hernach folget das ander buechlein von
den ebnen felderen.

Nach dem jch hie forren angetzeigt hab / wie man etlich linien ziehen soll / will jch nun wie jch im anfang gemelt / an die planos oder ebnen komen / vnd etlich auß den selben figuren der vil sind leren machen / Damit man aber verstee / was ein planus oder ebne figur sey / ist das ein ding das durch die linien geendert vnd abgesondert wirdt / vnnd noch kein Corpus schleuest / solch figuren zeuecht man eins teyls mit gestrackten eins teyls mit krumen / vnd etlich mit geraden vnd krumen zuesamen gesetzten linien / vnd zuo gleicher weiß / wie die linien ein ebne schlyssen / also schlissen die ebnen die Corpora / Nun ist wißlich durch den Euclidem / das zwo gerad linien kein ebne schlissen / darumb machen sie kein figur / dann sie machen kein gentze / zeuecht man sie paralel / so ist ein ofne zue beden seyten / zeuecht man sie dann das sie an einem teyl zuesamen laufen / so bleyben sie hynden ofen / wie jch das hie vnden hab aufgeryssen / durch zwo barlini .a.b. vnd .c.d. Des gleichen zwo ander .e.f. und .g.h. die ein spitz machen.

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1

Aber so zwuo krum linien / die ein sey .a. die ander .b. mit jren hoelenn / im ziehenn gegenn ein ander gekert werden / so schlyssen sie ein figur / Auch schlyssen sie ein figur / wenn das außgebogen gegenn dem eynbogen geryssen wirdet / dise figur gewint die gestalt des newen Monscheins. Des gleichen so ein krume .d. vber ein gerade lini .c. getzogen wirdet. schlyssen sie auch ein figur Auch gewint ein krume lini die ein feldt schleuest kein eck / vnd ob der zug gleich ablang wer hynwiderum kein ebne die mit geraden linien vmbtzogen wirdet / kan an eck oder winckel gemacht werden / also ist es auch gestalt in den gantzen Corporibus / wie jch das vnden hab aufgerissen.

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2
Aber ee das jch die figuren an heb zuomachen / will jch vor ein wenig von den wincklen reden / Erstlich soll man mercken / das ein winckel vnd ein eck glech linien haben / Aber die vnderschid des winckels vnd eckes / im werck ist diser / Wenn du aussen auf die scherpf sichst / so heist es eyn eck / sichstu aber jnnen in die tyfe / so heist es ein winckel / das hab jch vnden aufgeryssen / zum eck außwendig gesetzt ein .a. vnd in winckel ein .b.
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eck     winckell
3

Man soll auch mercken das dreyerley winckel vnd eck sind / ein rechter ein weyter vnd ein enger / die werden leichtlich also gemacht / Erstlich zu dem rechten winckel / reiß zwuo gerad lini / ongeferlich creutzweiß vber eynander / vnnd in dem puncktenn da sie an eynander abschneidenn / setz ein .a. vnnd nym ein zirckel / setz jn mit dem ein fuß in das .a. vnd mit dem andern reiß durch drey oertter der gestrackten linien / Vnd wo sie abgeschnyden werden / da setz .b.c.d. vnd zeuech .b.c. vnd .c.d. mit geraden linien zuosamen / so ist .b.c.d. ein rechter winckelhacken / Darnach zeuech die lini .c.d. lenger hynauß / biß an das end .e. vnd neig die aufrecht lini mit dem end .b. gegen dem .d. so begeben sich zweyerley winckel / ein enger zwischen .b.d. vnnd ein weytter zwischen .b.e. dann was eim teyl genuomen / wirdet dem andern zuegelegt / diß hab jch vnden aufgeryssen.

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4

Man soll auch wissen / wenn zwo gerad linien / durch einander creutzweiß gleich getzogen werden so geben sie vier recht winckel / werden sie aber vngleich durch einander getzogen / so werden zweyerley winckel / allweg die gegen eynander vber steen die sind gleich an einander / sie sind weit oder eng wie das vnden aufgeryssen ist.

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gleich / wincklich     weit / eng
5

Dise dreyerley winckel muegen auch mit krumen linien getzogen werden / außgebogen als wen zwen zirckel durch einander gend / oder eingebogen hol / als wenn zwen kegel aussen in einem punckt an ein ander anruoren / so machen sie zwen solch winckel / es ist auch die endrung in kleinen vnnd grossen zirckelryssen / die man im winckel zuesamen zeuecht / Es werden auch winckel getzogen mit zirckelryssen in ein ander / die ein form gewinen wie die eber zeen / die muegen mit gleichen zirckellinien oder vngleichen getzogen werden / Darnach sind winckel zuo machen / auß geraden vnd krumen linien / ein vnd außgebogen soelcher winckel hab ich eins teyls hie vnden aufgeryssen.

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6

Weyter ist wissenlich das kein ebne mynder dann mit dreyen geraden linien mag vmbzogen werden / Dann aufs wenigst schlyssen drey ein dreyecket figur / die dryangel aber von geraden linien sind dreyerley art / der erst ist von dreyen gleichen seyten / der hat drey gleicher eck oder winckel / der ander ist vonn zweyenn gleichenn / vnnd vonn einer vngleichenn seitenn / hat zween gleich vnd ein vngleichen winckel / Der dryt dryangel / hat drey vngleich seyten / vnd drey vngleich winckel / Soelch dreyerley dryangel / muogen auch mit krumen linien getzogen werden / außwartz oder einwartz gebogen / oder durch schlangen linien / Es muegen auch figur gemacht werden / da kein scharpf eck an ist / sonder alle ding gend mueglet darinn / solch figur muegen auch mit zirckellinien oder schlangenweiß getzogen werden / wie jch das vnden hab aufgeryssen.

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7

Weyter ist zuo mercken so vier linien / die alle ein leng haben / zuorechtenn wincklen / an einander gesetzt werden / so machen sie ein rechte fierung die sey .a. Darnach sind ander gefiert figuren / aber nit gleich seytig / nemlich ist eine die hat vier recht winckel / vnd die zwuo seyten gegen einander vber / sind lenger dann die andern zwuo / dise fierung sey .b. Die dryt fierung hat vier gleiche seyten / vnd wird rautens weiß getzogen / gewint zweyerley eck / vnd die gegen einander vber stend / sind gleich an einander / dise fierung sey .c. Die viert fierung / ist auch eyn rauten / aber mit zweyen langen seyten gegen einander vber / vnd die andern zwo sind kurtz dise fierung sey .d. Die fuenft fierung hat zwey rechte eck / zwo gleiche seytten / vnd zwey vngleiche eck / vnnd zwuo vngleich seytten / da auch in den ungleichen seiten eine lenger dann die ander ist / dise fierung sey .e. Die sechst fierung hat ein rechten winckel zwuo recht seyten / vnd zwuo vngleich doch ist der selben eine so lang als die ander / die mag man lenger oder kuerzer machen / dann die rechten seyten sind / vnd hat zwen eng ein rechten vnd ein weiten winckel dise fierung sey .f. Aber ist ein fierung eins rechten winckels / dreyer rechten[1] seiten / vnd dreyer vngleicher winckel dise fierung sey .g. Darnach ist ein fierung von vier vngleichen wincklen vnd seyten / dise fierung sey /h. Der gleichen fierung muegen mancherley weiß getzogen werdenn / als mit krumen linien / auß oder eingebogen / wie jch das nachfolget mancherley weiß zuo ziehen hab aufgeryssen / in ordnung des .a.b.c. nach eynander betzeichet.

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8
Nvn will ich anzeygen wie man auf einer ebne gleych ecket figuren / gerad oder vngerad / als da sind / drey / fier / fuenf / sechs ecket figuren etc. sol machen. Erstlich mach ein sechs ecket figur / darum das die der zirkell vnuerruckt selbs gibt. Nim ein zirkel / setz jn mit dem ein fus / in ein Centrum .a. vnd reyß mit dem andern fus ein runden riß groß oder kleyn / wie du jn haben wilt / so du dann den zirkel mit dem ein fuß in den runden riß stelst / vnd drittest mit beden fuessen im zirkel ryß herumb / so werden .6. puncten die bezeychen mit zifern .1.2.3.etc. Darnach zeuch die puncten .1.2. vnd .2.3 vnd .3.4. etc. mit geraden linien zusamen / so wurt ein .6. ecket figur darauß / vnd kan nit feln / dann auß dem Centrum .a. biß an die zirkel lini ist eim sechs teyl / so ist auch der seyten eine zwischen den zalen auch[2] ein sechs teyl / wie ich dann das hie vnden hab aufgerissen.
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9

Nvn schickt es sich am negsten / das man durch das .6. eck ein dryangel in ein zirckel schlyß / dem thue ich also / ich nym den vorgemachten zirckelryß mit den .6. punckten / vnnd zeuech mit geraden linien / .1.3. vnnd .3.5. vnd .5.1. zuosamen / so gibt sich das der dryangel die zirckellini ruert / vnd vber all gleich ist / wie hie aufgeryssen ist.

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10

Nvn will jch durch den vorigen dryangel / vnd auß seiner beschreibung durch einen gemeinen weg / den man von behendigkeyt wegen / in der arbeyt braucht ein siben eck machen / ich thuee im also / ich zeuech ein gerade lini auß dem Centrum .a. in den punckten .2. so schneidt sich die seytten des dryangels .1.3 in der mitt von einander in den selben punckten setz ich ein .b. so geet die leng .1.b. siben mal herum / wie das oben in der figur[3] angetzeigt vnd hie vnden auch aufgeryssen ist / vnd die eck mit geraden linien zuosamen getzogen.

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11

Nvn ist es am negsten das man auß dem .7. eck. eyn .14. eck mach / thuoe jm also / nym das trum des zirckels im .7. ecke. zwischen .1.2. vnd teyl das in zwey gleiche felt / vnd trit mit der leng im zirckelryß herumb so werden dir .14. punckten die zeuech mit geraden linien zuosamen / so wirdet ein .14. ecket figur darauß / wie jch das hie hab aufgeryssenn / Diß mag man durch den obgemelten weg in .28. teil teyllen vnd dupelen.

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12

Nvn will jch ein vierecket figur in ein zirckel machen / also / ich reiß auß einem Centrum .a. eyn zirckellini vnd reiß durchs Centrum .a. ein gerade zwerch lini / vnd wo dise die zirckellini zuo beden seyten durchschneidt / da setz ich .b.c. Darnach reißich ein aufrechte lini / auß dem Centrum .a. vbersich vnd vndersich zuo gleichen winckeln / vnd wo die den zirckel oben ruert da setz ich ein .d. vnd vnden eyn .e. Darnach zeuech ich .b.d. vnd .d.c. vnd .c.e. vnd .e.b. zuosamen mit geraden linien / dise rechte viereckete figur ruert den zirckel vberall gleich / wie jch das vnden hab auf geryssen.

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13

Nvn schickt es sich am negsten ein 8 eck zue machen / dem thuee also / Nym den obgemachtenn zirckelriß / vnd behalt darinn die seiten .b.d. vnd teil die zirckellini darzwischen in zwey teyl / in disen punckten setz ein .f. Darnach reiß .f.d. gerad zuosamen / diß wirdet ein seiten eins achten eckes im zirckel herum / Nun[4] begibt sich ein .16. eck. so du die zirckellini .f.d. mit eim punckten .g. entzwey teylst / vnd .g.d. zuosamen reist / die ist ein seyten eins .16. ecks / das im zirckel herumb langt / wie jch das in disen dreyen figuren hie vnden hab aufgeryssen.

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14
Nvn ist von noetten ein fuenfeck zuemachen / in ein zirckelryß / dem thuoe also / Reiß auß einem Centrum .a. ein zirckelryß / vnd zeuech ein zwerchlini durch das Centrum .a. vnd da sie zuo beden seyten die zirckellini durch schneidet / da setz .b.c. Darnach zeuech durch das Centrum .a. ein aufrechte lini zuo gleychen wincklen / vnd wo sy eben die zirkellini durch schneydet / do setz ein .d. Darnach reiß ein gerade lini .e.d. vnd nym ein zirckel / setz jn mit dem ein fuß in den punckten .e. den andern in das .d. vnd reiß von dann herab auf die zwerch lini .b.c. wo sie die durchschneidt da setz ein .f. vnd reiß .f.d. gerad zuo samen / dise lenge .f.d. ist ein seiten eins fuenfteyls / das ecket im zirckel herum dryt / so ist .f.a. ein seyten eins zehenecks / Darnach teyl .a.c. mit einem punckten .e. in zwey gleiche teyl / so du dann auß dem punckten .e. mit einer aufrechten lini vbersich ferst / biß an die zirckellini / so hast du ein sibenteil des zirckels Mechanice / wie jch das vnden hab aufgeryssen.
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15[5]

Aber ein fuenfeck auß vnuerruckten zirckel zuo machenn / dem thuoe also / Reiß zwen zirckel durch einander / also das eins ytlichen ruende / durch des andern[6] Centrum gee / vnd die zwey Centra a.b. zeuech mit einer geraden lini zuosamen / das wirdet ein leng einer seyten des fuenften eckes / wo aber die zirckellini an einander durchschneiden / da setz oben ein .c. vnden ein .d. vnd reiß ein gerade lini .c.d. Darnach nym den vnuerruckten zirckel vnd setz jn mit dem ein fuß in den punckten .d. vnd mit dem andern reiß durch die zwen zirckelryß / vnd jre bede Centro .a.b. vnd wo die zwen runden riß durch schnytten werden / da setz .e.f. Aber wo die aufrecht .c.d. durch schnytten wirdet / da setz ein .g. Darnach zeuech ein gerade lini .e.g. gar hynauß byß an die zirckellini / da setz ein .h. darnach zeuech ein andre gerade lini .f.g. biß an die zirckellini da setz ein .i. zeuech darnach .i.a. vnd .h.b. gerad zuesamen / so werden drey seyten des fuenfecks / vnd von dann laß zwuo gleich seyten leng vom .i.h. oben zuosam reichen / so wirdet ein fuenfeck / wie jch das vnden hab aufgeryssen.

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16
Avß disem fuenfeck begibt sich zuomachen / durch hilf des vorgemachten dryangels / ein fuenfzeheneck / dem thuee also / Reiß auß dem Centro .a. ein zirckelrys / vnnd reiß darein die seyten des dryangels oben .b. vnden .c. Darnach nym die leng der seyten eins fuenfecks / vnd leg das eyn ort in den punckten .b. vnd das ander end leg an den zirckelryß / da hyn setz ein .d. so bleibt zwischen .d.c. ein teyl vber / das selb zirckeltrum teil mit einem punckten .e. in zwey gleiche teyl / so du dann .e.c. mit einer geraden lini zuosamen zeuechst / so wirdet darauß ein seyten eins .15. eckes / das im zirckel herumb dryt / wie jch das vnden hab aufgeryssen.
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17

Ein neuen eck ist durch ein dryangel zuo finden / also / Reiß auß einem Centrum .a. ein grosse zirckellini / darein reiß mit vnuerrucktem zirckel / drey fischs blosen / der obern ende an der zirckellini sey .b. der andern end auf den seyten sey .c.d. Darnach reiß in der oebern fischblosen / ein aufrechte gerade lini .b.a. dise lini teil mit zweyen punckten .1.2. in drey gleiche felt / also das .2. der negst punckt beym .a. sey / vnnd far durch den punckten .2. mit einer geraden zwerch lini zuo gleichen wincklen .b.a. vnd wo sie die blosen lini zuebeden seyten durchschneidet / da setz .e.f. Darnach nym ein zirckel / setz jn mit dem ein fuß / in das Centrum .a. vnd den andern in den punckten .e. vnd reiß durch das .f. zuo ring herumb / ein zirckellini so geet die leng .e.f. zuoneuen[7] mal in disem zirckelriß herum / solchs hab jch hernach aufgeryssen.

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18

So jch bald ein[8] eylf eck in ein zirckel reyssen will / nym jch ein vierteyl von des zirckels diameter vnd erleng jn ein acht teyl auß jm selbs / vnd far mit diser leng herumb im zirckel das tryt beileuoftig ein / also das es sich Mechanice / aber nit demonstratiue findet[B 1] / Weyter so jch behend ein .13. eck soll machen / so reiß jch auß einem Centrum .a. ein zirckellini Darnach reiß jch ein halbenn diameter .a.b. vnd schneid den mit einem punckten .d. in der mit von einander vnd brauch die leng .c.d. zue .13. malen im zirckel herum / ist aber auch mechanice vnd nit demonstratiue.

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19

Ein ytlich trum eins zirckels das mir fuer kumbt teyl jch in .3. teyl also / Das zirckeltrum sey .a.b. mit einer geraden lini zuesamen zogen / vnd wie jch vor gelert hab theyl jch die gerad lini .a.b. mit zweyen punckten .c.d. in drey gleyche felt. Darnach setz jch ein zirckel mit dem ein fuß in den punckten .a. vnd mit dem andern reiß jch auß dem punckten .c. ein ryß durch die zirckellini / wo die durchschnyttenn wirdet / da setz jch ein .e. Darnach setz jch den zirckel mit dem ein fuß in den punckten .b. vnd mit dem andern reiß jch auß dem punckten[9] .d. durch die zirckellini / wo sie durchschnitten wirded / da setz jch ein .f. Darnach zeuech jch zwue aufrecht lini auß .c.d. biß an die zirckellini da setz jch .g.h/ so werden die drey leng im zirckeltrum .a.e.g.h. vnd .f.b. gleich an einander / vnd bleiben zwey eng teil .e.g. vnd .h.f. vber / darnach nym jch ein zirckel / setz jn mit dem ein fuß in den punckten .a. vnd den andern in den punckten .g. vnnd von dann reiß jch biß auf die gerad lini .a.b. da setz jch ein .i. darnach setz jch den zirckel mit dem ein fuß in den punckten .b. vnnd reiß mit dem andern auß dem punckten .h. auf die lini a.b. da setz jch ein .k. Darnach teil jch .c.i. vnd .k.d. wie jch vor gelert hab / mit zweyen punckten in .3. teil / vnd setz den zirckel mit dem einen fuß in den punckten .a. vnd den andern in den negsten punckten / bey dem .i. vnd reiß biß an die zirckellini / da setz jch ein .l. Darnach setz jch den zirckel mit dem einen fuß in das .b/ vnd den andern in den negsten punckten bey dem .k. vnd reiß von dann an die zirckellini da setz jch ein .m. also wirdet die zirckellini .a.b. mit den zweyen punckten .l.m. in .3. teyl geteylt / wie jch das vnden hab aufgeryssen / wer es will geneuer haben / der such es demonstratiue.[10]

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[20]

So man zirkellini in den estrichen oder in ein want zufersetzen brauchen will / mag man sy zweyerley art an ein ander rucken. Zum ersten / durch recht winckliche quadraten. Zum andern / durch rauten[11] fierung. Zuom ersten / mach ein rechte firung / van gleychen seyten vnd wincklen / vnd teyll die mit vier bar linien / aufrecht vnd vberzwerch / in .9. kleyn firung / vnd setz in ytliche ein mittel puncten / vnnd nim ein cirkel setz jn mit dem ein fuß in die selben puncten nach ein ander / vnd thuo den andern fuß so weit auf / das er in einer ytlichen firung die vier seiten an ruer / vnd reyß rund ryß hinein / so ruert ein cirkellini vier ander an. Auch beleyben albeg vier ekette hole auß geschnidtne felder zwischen vier cirkellinien.

Zuom andern / setzt man die cirkellini rautens weyß an einander / so bleyben albeg zwischen dreyen cirkellinien hole auß geschnitne drieckette felder. Mach das also / reyß ein firung .1.2.3.4. vier rechter driangel hoch die mit seiten vnd spitzen aufeinander stend / vnd dreyer breyt / die mit jren ecken an einander an rueren. Also das die gantz firung halt .24. dryangel / der halben vnd gantzen / vnd bezeychen die dryangel bey den zwerch linien / die sie schneyden / an jren ecken / mit dem .a.b.c. biß auf .r. Darnach setz den cirkel mit dem ein fuß / in die puncten der bustaben / vnd thuo den andern fuß einer halben seiten lang des dryangels weyt auf / vnd reyß auß eim ytlichen puncten der bustaben / wie sich das begibt ein cirkellini / so finden sich .7. gantz cirkel / vnd .10. halb / das macht als zwelf gantz cirkel. Vnd wo man der cirkel solicher mas vill an einander setzt / so rueren alweg .6. den sybetten an.

Man mag auch zirkellini mancherley weyß durcheinander reyssen / vnd vill dings darauß machen. der wil jch nuon eine oder drey doch fast einer meinung anzeygen / darauß man ein weiters mit seim anhang nemen mag. Ich reyß auß eim Centrum .a. ein cirkellini / die gradir ich mit .12. puncten / in gleyche teyl / vnd reyß auß einem ytlichem / mit vnuerrucktem cirkel ein lini die das Centrum .a. ruer / so durchschneyden .12. cirkelriß des dreyzehetten Centrum .a. Darnach reyß ich auß dem Centrum .a. innerhalb der grossen cirkellini noch .4. ander cirkellini / die durch die puncten der schliessung der andern cirkellini gend / die jre zeychen haben .a.b.c.d.e.etc.

Welicher in einer cirkellini ein .6. ecketten stern will reysen / der mach jn mit vnferrucktem cirkel also. reiß auß einenn Centrum .a. ein cirkellini / vnnd setz den ein fuß des cirkels / obenn in ein cirkellini / in ein puncten[12] .b. vnnd reyß mit dem andern fuß ein runden ryß / durch das Centrum .a. von einem end der cirkellini zuom andern / da hin setz .g.c. Darnach setz des cirkels einen fuß / in den puncten .g. vnd mit dem andern reyß auß den puncten .b. durch das Centrum .a. biß an die cirkellini. da hin setz ein .f. Darnach setz den cirkel mit dem ein fuß in den puncten .c. vnd reyß mit dem[13] andern auß dem .b. durch das .a. biß an die cirkellini / da hin setz ein .d. Darnach setz den cirkel mit dem ein fuß in den puncten .d. vnd reyß mit dem anderenn auß dem .c. durch das .a. biß an di cirkellini do hin setz ein .e. Darnach setz den cirkel mit dem ein fuß in den puncten .e. vnd reyß mit dem andern auß dem puncten .f. durch das .a ins .d. Darnach setz den cirkel mit dem ein fuß in den puncten .f. vnd reyß mit dem andern fuß / auß dem .g. durch das .a. ins .e. so ist das gemacht. Darnach machstu den cirkel ferrucken / vnd klein cirkellini zwischen den bustaben reyssen.

Item ein andre meinung / reyß auß einen Centrum .a. ein cirkellini / die teyl mit vier puncten .a.b.c.d. in vier gleyche teyl / also das / das .b. oben / das .c. vnden / vnd .d.e. auf beden seyten ste / Darnach teyl .b.d. mit einem puncten .o. vnd .b.e. mit einem puncten .q. vnd .e.c. mit eim puncten .p. vnd .c.d. mit einem puncten .r. / ytlichs in zwey gleyche teyl. Darnach nym ein cirkel / setz jn mit dem ein fuß / in den puncten /b. vnnd mit dem andern fuß / reyß auß dem .f. durch das .a. ins .g. Darnach setz den cirkel mit dem ein fuß in das .c. vnd reyß mit dem anderen fuß .f.a.i. zuosamen. Darnach setz den cirkel in das .e. vnd reyß mit dem andern fuß .m.a.n. zuesamen. Darnach setz den cirkel mit dem ein fuß in den puncten .d. vnd mit dem andern reyß .k.a.l. zuosamen. Darnach setz den cirkel in den puncten .o. vnd reyß mit dem andern fuß durch das .a. auf bede seyten / an die cirkelini / vnd setz in die selben puncten zwischen .b.m ein .s. vnd zwischen .d.h. ein .t. Darnach setz den cirkel in den puncten .p. vnd reyß mit dem andern fuß durch das .a. auf bede seyten der cirkellini[14] / in die selben puncten / setz zwischen .l.c. ein .v. vnd zwischen .g.e. ein .x. Darnach setz den cirkel in den puncten .r. vnnd reyß mit dem anderen fuß durch das .a. an beden seyten in die cirkellini / in die selben puncten setz zwischen .f.d. ein .y. vnnd zwischen .c.n. ein .z. Darnach nym den cirkel / setz jn in den puncten .q. vnd reyß mit dem anderen fuß durch das .a. zuo beden seyten an die cirkellini / in die selben puncten setz zwischen .k.b. ein .a1. vnd zwischen .e.i. ein .a2. Darnach reyß die zwen ryß / in allen spitzigen bletteren / die van den cirkellinien worden sind also setz den cirkel mit dem ein fuß in den puncten .g. vnnd reyß mit dem anderenn / den ersten ryß in dem spitzigen blat gegen .k.a1. Darnach setz den cirkel in den puncten .x.[15] vnd reyß mit dem andern fuß auß dem Centrum .a. im forgemelten blat / den anderen ryß / also thuo jm durch alle sechs spitzige bletter / vnnd such diser ryß centra / in den puncten der bustaben der spitzigen bletteren. Es sind auch zweyerley steren zuoreysen / auß eim fuenf eck / vnd sibeneck / thuo jm also / reyß ein cirkellinien vmb ein fuenf / vnd auch umb ein sibenn eck. Darnach setz ein cirkel mit dem einen fuß in der puncten einen / der im cirkelryß stett / vnnd thuo den anderen fuß / so weyt auf / das er die zwen negsten puncten in den seyten ruer / vnd reyß rund von eim zuom anderen / also far zue rings herumb / das thuo im fuenf vnd siben teylen. so sichstu was disse ryß fuer zwen steren machen. Wie[16] jch soelichs alles hernach aufgerissen hab / auß solichen wuerst du geursacht vil anders mer zuo ziehen. Es ist auch vill seltzams maswerchs / durch die druemer des cirkels zuo reyssen.

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Nvn will jch etlich ecket figuren zuosamen versetzenn / wie man sie in eim estrich ein bringen mag. Erstlich die dryangel sind forn bey den cirkellinien angezeygt / aber doch wil jch sie hernach ausserhalb der cirkellini aufreyssen / vnd durch ein andre weyß leren an einander setzen. Erstlich[17] also / jch setz .6. dryangel mit jren ecken / in einem Centrum .a. zuosamen. Darnach setz ich aussen auf ein ytliche seyten der sechs dryangel wider in solichen dryangel / Darnach zeuech jch die eck der dryangel aussen mit linien zuosamenn / so sind es auch dryangel / darnach mach ich wider auf die seyten dryangel / also fuer vnd fuer.

Noch mag man die dryangel also zuesamen stelen / das auch kein felt darzwischen bleybt / so die dryangel ferruckt werden / also das alweg ein eck eines dryangels mitten vnder des anderen seiten kum / Wenn man .6. dryangel mit jren spitzen zuosamen setzt / so wuert ein .6. eck daraus / darnach mag man vberall dryangel daran hencken.
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Item so man recht firung an einander setzt / so bleyben sie einmal wie das ander / aleyn das man sie vber ort / oder zwerchs mag stellen / oder man mag sie verrucken / wie die steinmetzen jre quader schliessen / wie das vnden ist auf gerissen.

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Aber die rauten firung / die zwen weyt winckel / vnnd zwen eng gegen einander vber habenn / die setz zwyerley weyß also an einander. Erstlich das sie all durchs Endres creuetz geschidenn werden. Zuom andern setz zwo mit den seyten an einander / vnnd die dryt stoß zwerchs dorein / so sicht solichs wie ein gefirter wuerffel / also der massenn setz sie fuer vnnd fuer an einander / es gibt auch ein steren / so man .8. rauten mit jren spitz ecken zuosamen stest / das mag man auch than mit sechs vnd fuenffen / wie das hernach ist aufgerissen.
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Fvrbas wil jch ein fuenf / sechs / siben / vnnd ein acht eck / ytlichs suenderlich zuosamen setzen / doch eins anders dann das ander.

Zuo einem muster setz zuem ersten / drey fuenf eck mit jren seytenn / auf ein zwerch lini / also das sie mit jren ecken an einander an rueren / Darnach setz vnden hergegen / aber drey fuenfeck mit jren seyten an die oberen / die auch mit jren ecken an einander an rueren / so werden zwischen den fuenfecken / ablang rauten firung / also mach das noch einmal / vnd stoß alweg solicher zwen teyl / den ein mit seinen ecken in des anderen winckel / das ist die erst meinung / vnd die gneuest zuosamen setzung der fuenfeck.

Darnach mach die zwey zuosamen gesetzten teyl der fuenfeck / wie for / vnd setz sie darnach mit jren ecken zuosamen / also das ein ytlich fuenfeck mit einer seiten vnd dreien ecken / vier ander fuenfeck an ruer / so werden zwischen den fuenfecken zweyerley rauten firung / neben do die seyten an einander stossen enge vnd zwischen den ecken weyter / das ist so weyt zuobrauchen als man will.

Zuom fuenftenn setz die funf eck also an einander. Erstlich mach ein fuenfeck / vnnd setz ein gleich messig fuenfeck an ytliche seiten / darnach setz an die selben fuenf / fuenfeck / an ein ytliche suenderlich an jr zwo seyten / zwey andre fuenfeck / so werden zwischen den fuenfecken fuennf schmal rauten firung. Darnach stoß fuenfeck in die winckel zuo rings herumb / die do worden sind / also das sie mit jren ecken die schmal rauten firungen an rueren / also thuo im fuer vnd fuer / so weyt du wild

Du magst auch fuenf rosen van den fuenf ecken zuosamen setzen / die all an einander anrueren / vnd darnach vmb kert / an einander hencken so oft du wilt / vnd das felt darneben auß fuellen war mit du wild / solichs alles ist hernach aufgerissen.

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Item die sechs eck will ich dreyerley weiß zuesamen setzen. Erstlich steck jch sie in ein ander / das all seyten eck vnd winckel an einander rueren / vnd nichtz lers von feldt darzwischen bleybt.

Zuom andern stell jch sie an einander das sie allein mit jren ecken an einander anrueren / so bleyben dryangel zwischen den sechs ecken.

Zum drytten stell jch sie an einander / also das ein ytliche die anderen mit zweyen seyten vnnd zweyen ecken an ruer wie jch das nachfolget hab aufgerissen.

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Die sibeneck will jch zweyerley weyß zuesamen setzen. Erstlich / das sie mit jren ecken an ein ander anrueren / so bleyben dryangel / vnd vierecket stern darzwischen / in dise steren / macht man firung die die eck rueren / oder zeuecht ein Endres creuetz van einem eck zuom anderen.

Zuom anderen / setz jch seyten / vnd zwey eck aufeinander aufrecht / vnd so jch soelich zeylen / neben einander setz / so laß jch die eck / neben an der seyten an einander an rueren / so beleyben fierung / vnd der forigen steren zwischen den siben ecken / wie jch das hernach hab gerissen.

Item so man die siben eck mit den seyten nach einander an einander setzt / alß das aussen zwey / vnnd innen ein eck fuer schiessen / so gend sie in eim cirkel herumm / schliessen aber nit / des gleychen thuend auch die fuenfeck.

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Fvrter will jch ein acht eck dreyerley weyß an einander setzen. Erstlich / das sie mit jren ecken vnd zweyen seyten an einander an rueren / so bleyben dryangel dazwischen.

Zuom anderen / setz jchs an einander / das sie mit vier seyten aneinander anrueren / vnnd gleych an einer creuetz lini neben vnd auf einander stend / so kumen fierung darzwischen / die stend vber ort.

Zuom drytten / setz jchs also an einander / das sie mit vier seyten an einander vber ort anrueren / so bleiben gerad aufrecht creuetzweyß fierung darzwischen. Soliche mein meynung hab jch hernach aufgerissen. Soliche ding mag man braucht zuo stuben tillen vnd estrichen / man mag auch van den egemelten figuren allerley sort zuosamen oder geschicklich durch einander setzen / vnd was felder darzwischen vber bleyben das man etwas geschicktes dareyn teyl vnd mach.

Man mag auch ander vngeregulirte figuren zuesamen setzen / die da vngleych seyten haben / doch mit guoter ordnung darauß begibt sich vil schoens dings.

Es schickt sich zuo zeyten / das man die forgemachtenn figuren / als den dryangel / den quadraten etc. in einander verruckt / vnd durch einander lest stechen / wie jch das in den folgeten sechs fiiguren an zuo zeygen aufgeryssen hab.

Man mag auch ein figur vmb oder in die ander setzen / das geschicht am geschicktesten / so ein gerades zuo einem geraden / vnd ein vngerads zue einem vngeraden kumpt

Item der figuren die am wenigisten eck haben / der kan man am meisten in eim cirkelryß durch einander stechen lassen / dann die vilecketen yrren an einander.

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Item man mag gar manicherley figur / vnd an zal zihen von vngleychen seyten / die mit jren ecken in keiner zirkellini an rueren / darauß man vil hebsch dings machen kan.

Man mag auch auf einem Plano manicherley figuren zuosamen setzen / als dryangel / quadrat .5.6.7. oder acht eck / darauß man vill wunderlichs dings mag machenn von tillen vnd estrichen / wie vor gemelt. Auch mag man vngeregulirt figuren / vnnd geregulirt zuosamen setzen / darauß auch huebsch ding vnd selzans zuomachen ist / da kummen die selzamen zueg vnd geng her. Solt jch das nuon alles hy anzeygen / so wurd das buechlein vil zuolang / darumb denck jm ein ytlicher selbs nach.

Nuon ist von noeten ein wenig zuewissen / wie man die figuren gegen einander gleych an der inhaltung mueg machenn / also das man ein dryangel mach / vnnd darauß ein quadrat / das so vill inhalt als der dryangel des gleychen mit anderen geregulirten corporen[19].

Mach solichs also / stell ein dryangel .a.b.c vnd teyl .a.c. mit einem puncten .d. in der mit von einander vnd reyß ein lini .b.d. so wirt der dryangel gleych in der mit von einander gespalten / so dann das halbteyl .a.b.c.d. verkert herueber auf das ander halbteyl .b.c. mit den seyten .a.b. gelegt wirdet / so wirdt darauß ein vberlengte firung / mit gleychenn winckelen .a.b.c.d. die helt so vill innen als der dryangel .a.b.c. Darnach mach die vberlengt firung zuo einer rechten firung / die so vill innen halt / als der dryangel / wie du aber das gerecht solt machenn / das merck hernach / nym zwo seyten / ein lange vnnd ein kurtze / von der vberlengten firung .a.b.c.d vnd stoß sie nach der zwerch an einander / vnd bezeychnen jr drey puncten .e.f.g. darnach setz mitten auf die lini ein puncten .h. nym ein zirkel setz jn mit dem ein fueß in das .h. vnd mit dem anderen reyß auß dem .c. rund herumb in das .g. Darnach zeuech auß dem puncten .f. ein gerade aufrechte lini / biß an die zirkellini / wo sie die an ruert / da setz ein .i. so du dann vier lini ein ytliche so lang .i.f ist zuo gleychenn wincklen zuosamen setzt / so wirt ein rechte firung darauß / die so vil innen helt als die lang firung .a.c.d.b. vnnd helt auch eben so vill innen als der dryangel .a.b.c. Man mag auch ein dryangel / vnd ein quadrat von der behendickeit wegen also gegen einander vergleychen / mach ein quadrat / vnd teyl der seyten eine in zwen teyl / vnd mach darnach ein seyten des dryangles eins dryteyls lenger denn deß quadratz / vnd schleueß dann ein dryangel / wie diß alles hernach ist aufgerissen.

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Item so du nach einer ablangen fierung ein kleine oder grosse wild machen / das sie gleyche gestalt gegen einander haben / das fynd also. Reyß ein ablange fierung oben .a.b. vnden .c.d. vnd reyß ein ortstrich vom .c. in das .b. vnd fuer den so weyt hinauß als du sein bedarfst / vnd die lini .c.d. fuer bey dem .d. auch weyder hinauß / so du dann die fierung kleiner wilt habenn / so setz auf der zwerch lini .c.d. ein puncten .e. den ruck hindersich vom .d. so weyt du wilt / vnd zeuech auß dem .e. ein aufrecht lini biß an den Diameter / do setz ein .f. von dann far vber zwerch mit einer bar lini an die seyten der fierung .a.c. da setz ein .g. so hat die fierung .g.f.c.e. oben ein mas wie die fierung .a.b.c.d. wil du nuon die fierung groesser machen / dann die fierung .a.b.c.d. ist / so thuo das zue gleycher weyß ausserhalb der erst gesetzten fierung / wie du for jnnen gethan hast / wie jch das vnden hab aufgerissen.

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So du die ob an gezeygte fierungen / die alweg bey jren gestalten bleyben soelen / machen wild / das sie gegen einander noch als vill zweymal oder dreymal so vill inhaltenn als for / dem thuo also / wie dann zuom teyl for auch gemelt ist / mach ein vberlengte fierung .a.b.c.d. die stell nach der leng vber zwerch / darnach mach noch zwo solich der ersten gemeß / daran setz auf ytliche seyten eine vnd bezeychen die vier eck diser langenn firung / oben .e.f. vnd vnden .e.f. darnach teyll die ober lini .e.f. mit einem puncten .g. in der mit von einander / vnnd setz ein cirkel mit dem ein fueß in den puncten .g. vnd mit dem anderen reyß auß den puncten .e. ein runden ryß vbersich herumb in den puncten .f. Darnach zeuech die lini .c.b. vbersich / vnd wo sie durchschneydt den cirkelryß / do setz ein puncten .h. dise lini .b.h. ist die leng zuo der firung / die zweymal so vill innen sol halten / als die fierung .a.b.c.d. Aber zuo diser leng die recht breyten zuofindenn / das sie in der gestalt der ersten fierung gleych sey / dem thuo wie for gemelt. Reyß ein ortstrich in der ersten fierung auß dem eck .d. in das eck .b. vnnd darnach fuerter hinauß so lang du des bedarfst. Darnach nym die leng .b.h. vnd leg sie mit dem ein ort in das eck .d. auf der vnderen zwerchlini .e.f. vnd so vill sie fuertrift die leng .d.c. do hin setz ein puncten .i. Darnach far mit einer aufrechten barlini auß dem puncten .i/ vbersich an den ortstrich der durch das eck .b. streycht / vnnd wo sie die durch schneydt / do setz ein .k. Darnach far mit einer barlini auß dem eck .k. oben vber zwerch gegen der aufrechten lini die vbersich gezogen wirdet / auß .d.a. vnd wo die zwo lini ein eck schliessenn / do setz ein .l. so helt die fierung /l.k.i.d. zwey mal so vill innen / als die fierung .a.b.c.d. vnnd haben ein vergleychte gestalt gegen einander / will du sie darnach dryfalten / so setz noch ein gemesse leng / an die forigen drey langen fierungen / also das die vier eck diser leng seyen .e.m.e.m. Darnach setz ein cirkel mit dem ein fueß auf die oeber lini .e.m. in den puncten .b. vnd mit dem anderen fueß reyß auß dem puncten .e. ein cirkelryß oben herumb in den puncten .m. Darnach reyß ein aufrechte lini von .f.f. vbersich biß an die cirkellini / da setz ein .n. dise lini .f.n. ist die leng der dryfalten fierung. Darnach nym die leng .f.n. vnd leg sie mit dem einen ort in das eck .d. auf der lini .e.f. vnnd so weyt sie fuer die lini .i. drit / do setz ein .o. Darnach far mit einer aufrechten lini auß dem .o. vbersich an die vorgemelten ortlini / vnd wo sie an einander durch schneydenn[20] / do setz ein .p. Darnach far mit einer bar lini auß dem puncten .p. vberzwerch an die aufrecht lini die von .d.l. vbersich gezogenn wirdt / vnd wo sie an einander durch schneyden / do setz .q. also helt die fierung .q.p.o.d. drey mal so vill innen / als die erst fierung .a.b.c.d. vnd hat ein gleiche proportzen gegenn der ersten / auß vrsach des ortstrichs / also sind disse ding / wie ob gemelt / so oft man wil groesser oder kleiner zuemachen / auß dissem sind vill huebscher vnd nuetzer ding zuofiinden. Diß obgemelt ist nach folget aufgerissen.
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[30]

Vnd das man ye die forgemelten ding wol merck van jres nutz wegen / so wil jch noch ein rechte fierung durch die forig weyß siben mal groessern. Ich thuo jm also / jch nym fuer mich ein rechtanglige fierung .a.b.c.d van gleychen seyten vnnd winckellen / vnd setz der selben seyten leng acht an einand / diser gantzen leng anfang sey .d. vnd endt .e. Darnach teylle jch .d.e. mit einem puncten .f. in der mitt von einander / vnnd nym ein cirkel setz jn mit dem ein fueß in den puncten .f. vnd reyß mit dem anderen fueß .d.e. oben herumb zuosamen. Darnach mach jch in der ersten leng die kleyn fierung .a.b.c.d. vnd dann far jch mit der lini .c.b. gerad vbersich an die cirkellini / da setz jch ein .g. So jch dann auß diser leng mit anderen solicher drey linien ein rechte firung schleuest / so helt sie sibenmal so vil innen als die erst fierung .a.b.c.d. wie jch das hab hernach gerissen.

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Will du ein rechtz quadrat auß einem vngleychseytigen dryangel machen / die gleych vill gegen einander inhalten / so thuo jm also / der fuer geben dryangel sey .a.b.c. vnnd .a.c. sey vberzwerch die lengst seyten / vnd der winckel .b. sey vbersich gericht. Nuon zeuech auß dem winckel .b. ein aufrecht lini herab auf die zwerch lini .a.c. do hin setz ein .d. Darnach teyl .b.d. mit einem .e. in der mitt von einander. Darnach a.b. mit einem .f. vnd .c.b. mit einem puncten .g. auch in der mitt von einander / vnd zeuech durch .f.e.g. ein gerade lini / so lang .a.c. ist. Darnach zeuech auß .a.c. zwo aufrecht linien vbersich / vnd wo sie die ober zwerch lini anrueren / do setz ob dem .a. ein .i. vnd ob dem .c. ein .h. so helt dise lange fierung .i.h.c.a. so vil innen als die dryangel .a.b.c. so du aber dise lange fierung zuo einer rechten wilt machen / so thuo das durch den cirkelryß / wie foren gemelt ist.

Ein wenig ein andre meinung / das ober zuomachen also / mach ein vngleychen dryangel .a.b.c. vnnd schleueß jn in ein ablange fierung .a.b.d.e. also das des dryangels lengeste seyten .a.b. auch ein lange seyten sey an der vmb zognen fierung / vnd das die seyten der fierung .e.d. oben den weiten winckel .c. des dryangels anruer / also wirdt der dryangel .a.b.c. in der fierung .a.b.d.e. gantz beschlossen / vnd helt eben den halbteyl der fierung innen. Nuon schneyd dise fierung .a.b.d.e. mit einer aufrechten lini .f.g. in zwey gleyche teyl / so helt die fierung .a.g.f.e eben so vill innen / als der dryangel .a.b.c. Darnach mach durch die forigen anzeygung auß diser fierung ein rechte / dise meynung hab jch hernach aufgerissen.

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Merck hie wie man ein fierung sol machenn die als vil innen halt als ein sechs eck / thuo jm also / mach ein recht sechs eck .a.b.c.d.e.f. in ein zirckellini. Darnach zeuech drey ortstrich .a.d.b.e. vnd .c.f. disse drey linien schliesen ein Centrum .g. vnnd machen sechs rechter dryangel. Darnach zeuech ein gestrackte zwerch lini / vnnd setz darauf auß den sechs eck drey dryangel / die mit jren ecken an einander an rueren / vnnd vberzeuech oben jre spitz mit einer geraden lini / so werden fuenf rechter dryangel in einander. Darnach setz auf ytliche seyten ein halben dryangel / auß disen sechs dryangelen wirdt ein ablange fierung von gleychen winckelen / die eben so vil inhelt / als das sechs eck. Darnach mach die ablang fierung zuo einer rechten[21] / wie du for bericht bist / dise wirdt eben so vil inhalten als das sechs eck / wie du das in der folgetenn figur sihest. Also magstu jm auch thuon mit allerley geregulirten figuren / sie haben so vil eck als sie woellen.

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Von noeten wer zuowisen quadratura circuli / das ist / die vergleychnus eines cirkels / vnnd eines quadrates / also das eins als vil inhielt als das ander / aber soliches ist noch nit von den gelerten demonstrirt / Mechanice / aber das ist beyleyfig / also das es im werck nit / oder gar ein kleyns felt / mag dise vergleychnueß also gemacht werden. Reyß ein fierung vnd teyl den ortstrich in zehen teyl / vnd[22] reyß darnach ein cirkelriß des Diameter sol achtteyl haben / wie die quadratur zechne hat / wie jch das vnden hab aufgerissen.

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So man ein dryangel van vngleychen seyten macht / vnd der doch ein rechten winckel hat / was man dann fuer ein figur auß den selben seyten in sich selbs zeuecht / so helt alweg die lengst seyten oder die selb figur die man darauß macht so vil innen als die anderen zwo / des sind zweyerley figur hernach aufgerissen. Erstlich der dryangel .a.b.c. in sich selbs in dryangel zogen / die ander .d.e.f. in sich selbs zuo quadraten zogen.

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Wenn man zwo hole cirkellini gegen einander schleuest / also das das feldt schmal vnd lang wirdt vnd so man das mit zwerch linien ordenlich teylen vnnd abschneyden will / dem muoß man also thuon. Reyß ein aufrechte gerade lini oben .a. vnden .b. Darnach reyß ein zwerch lini zuo gleychen wincklen mitten dardurch / vnd setz in der zwerch lini auf der rechten seiten / so weit hindan als du wilt ein puncten .c. des gleychen setz auf die linck seyten in gleycher weyten ein puncten .d. vnd setz ein cirkel mit dem ein fueß in den puncten .c. vnnd den anderenn in den puncten .a. von dann reyß herab biß in den punctenn .b. Also[23] thuo jm auch van der anderen seyten auß dem punctenn .d. so das gethan ist / als dann reyß mit einem cirkel zwo cirkellini / die erst ob der zwerch lini / die ander darunder / also das sie bede ytliche an einem teyl die zwerch lini / auch yetliche auf beden seyten die zwo holen linien an rueren / Darnach zeuech zwo zwerch lini ob vnnd vnder den zweyen cirkellinien. Darnach reyß aber zwo ander kleiner cirkellini / die bede mit jrem teyl die zwo gezognen cirkellini / die oeber vnd vnder an rueren / des gleychen ytliche auf beden seyten die zwo holen linien / vnnd reyß aber zwo zwerch linien darob vnnd darunder. Darnach far also fort hinauß so weyt du magst / diß wirdt ordenlich ab geteylt / wie jch das hernach hab aufgerissen / auß disem wirdt vil dings gemacht.

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36
Endt des anderen Buchs.

Anmerkungen (Wikisource)[Bearbeiten]

  1. siehe Dürers Anmerkung Im .E. am anderen plat
  2. Vorlage: anch
  3. Vorlage: fignr
  4. Vorlage: Nnn
  5. siehe Dürers Anmerkung Im .E. am vierten plat
  6. Vorlage: anbern
  7. Vorlage: zueneuon
  8. Vorlage: eiu
  9. Vorlage: puckten
  10. Seit dem 19. Jahrhundert gilt es als erwiesen, daß dieses alte Problem der Dreiteilung eines beliebigen Winkels nicht lösbar ist. (Wikipedia).
  11. Vorlage: ranten
  12. Vorlage: pnncten
  13. Vorlage: dcm
  14. Vorlage: cirkelliui
  15. Vorlage: .10.
  16. Vorlage: Mie
  17. Vorlage: Crstlich
  18. siehe Dürers Anmerkung Im .F. am dritten plat
  19. siehe Dürers Anmerkung Im .F. am vierten plat
  20. Vorlage: schneydeun
  21. Vorlage: rcheten
  22. Vorlage: vnd vnd
  23. Vorlage: Aso

Wortbedeutungen

  1. Man erhält die Figur nur Mechanice (mechanisch, näherungsweise), und nicht demonstrative (durch eine bewiesene Konstruktion).


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