Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie

Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie;
von A. Sommerfeld.

(Vorgetragen in der Sitzung der physikalischen Abteilung der 81. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte zu Salzburg am 21. Oktober 1909.)
(Vgl. oben S. 417.)

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Minkowski hat uns gelehrt, die Lorentz-Einsteinsche Transformation aufzufassen als „Raumzeitdrehung“, d. h. als eine Transformation vom Charakter der gewöhnlichen Drehung, aber nicht im Raum $xyz$, sondern in der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit der Größen $xyzl$, wo $l=ict$ ebenfalls eine Länge, nämlich den mit der imaginären Einheit multiplizierten „Lichtweg“ bedeutet. Führt das gestrichene Bezugssystem gegen das ungestrichene eine Translation von der gleichförmigen Geschwindigkeit $v$ nach der x-Achse aus und bedeutet $\beta$ das Geschwindigkeitsverhältnis $c/v$, so lauten die Transformationsgleichungen:

$\left.{\begin{array}{lrl}x'=&x\ \cos \varphi +l\ \sin \varphi ,&y'=y\\l'=&-x\ \sin \varphi +l\ \cos \varphi ,&z'=z\end{array}}\right\}$

1)

und es besteht zwischen dem imaginären Drehwinkel $\varphi$ und dem Geschwindigkeitsverhältnis $\beta$ die Beziehung:

$\operatorname {tg} \,\varphi =i\beta ,\ \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ \sin \varphi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

2)

Ich möchte an einigen Beispielen zeigen, wie nützlich diese Analogie (oder analytisch gesprochen, diese Identität) zwischen Raumzeitdrehungen und gewöhnlichen Raumdrehungen für die Kinematik der Relativtheorie ist.

Setzen wir zwei Drehungen von gleicher Achse, oder, wie wir lieber sagen wollen, von gleicher Drehebene zusammen, so addieren sich die Drehungswinkel, nicht ihre trigonometrischen Funktionen.

Dasselbe gilt von zwei Translationen gleicher Richtung $x$ (zwei Raumzeitdrehungen in der gleichen Ebene $xl$); sind $\varphi _{1}$, $\varphi _{2}$ die (imaginären) Drehwinkel, $\varphi$ der bei der Zusammensetzung resultierende Winkel, $\beta _{1},\beta _{2},\beta ;\ v_{1},v_{2},v$ die zugehörigen Geschwindigkeitsverhältnisse und Geschwindigkeiten, so wird

$\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}$

und daher

$\beta ={\frac {1}{i}}\operatorname {tg} \,\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)={\frac {1}{i}}{\frac {\operatorname {tg} \,\varphi _{1}+\operatorname {tg} \,\varphi _{2}}{1-\operatorname {tg} \,\varphi _{1}\operatorname {tg} \,\varphi _{2}}}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}$

oder auch

$v={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+v_{1}v_{2}c^{2}}}$

Dies ist das berühmte Additionstheorem der Geschwindigkeiten von Einstein; es verliert in der Minkowskischen Auffassung alles Befremdliche.

Zwei Drehungen gleicher Drehebene sind vertauschbar, d. h. ihr Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge der Einzeloperationen. Dasselbe gilt von zwei Translationen gleicher Richtung; denn es ist $\varphi _{1}+\varphi _{2}=\varphi _{2}+\varphi _{1}$. Zwei Drehungen in verschiedenen Ebenen dagegen sind es nicht, ebensowenig, wie zwei Translationen von verschiedener Richtung. Der Grund hierfür liegt offenbar darin, daß durch die erste Drehung die Ebene der zweiten Drehung im allgemeinen verlagert wird, nämlich immer dann, wenn die beiden Ebenen nicht zusammenfallen.

Führen wir z. B. eine erste Raumzeitdrehung in der $xl$-Ebene vom Drehwinkel $\varphi _{1}$, und relativ zu dem so bewegten System eine zweite Raumzeitdrehung in der $yl$-Ebene aus, deren Drehwinkel $\varphi _{2}$ vom bewegten System aus geschätzt wird, so ergibt sich nach dem Schema 1):

${\begin{array}{l}x_{1}=x\ \cos \varphi _{1}+l\ \sin \varphi _{1},\\y_{1}=y,\\l_{1}=-x\ \sin \varphi _{1}+l\ \cos \varphi _{1}\end{array}}$

und

${\begin{array}{l}x_{2}=x_{1}=x\ \cos \varphi _{1}+l\ \sin \varphi _{1},\\y_{2}=y_{1}\cos \varphi _{2}+l_{1}\sin \varphi _{2}=-x\ \sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}+y\ \cos \varphi _{2}+l\ \cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2},\\l_{2}=-y_{1}\sin \varphi _{2}+l_{1}\cos \varphi _{2}=-x\ \sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-y\ \sin \varphi _{2}+l\ \cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}.\end{array}}$

Ein an der zusammengesetzten Bewegung $\varphi _{1},\varphi _{2}$ teilnehmender Punkt $x_{2}=$ const, $y_{2}=$ const beschreibt also im System $xy$ eine Gerade, deren Richtung sich bestimmt aus:

${\begin{array}{l}0=dx\ \cos \varphi _{1}+dl\ \sin \varphi _{1},\\0=-dx\ \sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}+dy\ \cos \varphi _{2}+dl\ \cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\end{array}}$

zu

$\left.{\begin{array}{l}{\frac {dx}{dl}}=-\operatorname {tg} \,\varphi _{1},\\\\{\frac {dy}{dl}}=\operatorname {tg} \,\varphi _{2}\left({\frac {dx}{dl}}\sin \varphi _{1}-\cos \varphi _{1}\right)=-{\frac {\operatorname {tg} \,\varphi _{2}}{\cos \varphi _{1}}}\end{array}}\right\}$

3)

oder wegen 2):

${\frac {1}{c}}{\frac {dx}{dt}}=\beta _{1},\ {\frac {1}{c}}{\frac {dy}{dt}}=\beta _{2}{\sqrt {1-\beta _{1}^{2}}}$

4a)

Dagegen ergibt sich bei umgekehrter Reihenfolge

${\frac {1}{c}}{\frac {dy}{dt}}=\beta _{2},\ {\frac {1}{c}}{\frac {dx}{dt}}=\beta _{1}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}$

4b)

Haben wir also in der Zeichenebene der Fig. 1 ein rechtwinkliges Lineal, dessen beide Schenkel in der Anfangslage mit OA, OB zusammenfallen, und führen wir an dem Schenkel OB desselben einen Zeichenstift mit der Geschwindigkeit $v_{2}=\beta _{2}c$ entlang, während wir gleichvzeitig das Lineal in der Richtung seines anderen Schenkels OA mit der Geschwindigkeit $v_{1}=\beta _{1}c$ verschieben, so beschreibt der Zeichenstift eine andere Bahn, als wenn wir ihn mit $v_{1}$ längs OA führen und das Lineal mit $v_{2}$ in der Richtung OB verschieben. Die Abweichung beider Bahnen in der Zeiteinheit (OC im ersten, OD im zweiten Falle) ist klein von der zweiten Ordnung, wenn $\beta _{1},\beta _{2}$ klein von der ersten Ordnung sind. Sie hat ihren Grund darin, daß im ersten Falle die Geschwindigkeit $v_{2}$ von dem bewegten System (Lineal) aus wegen des von der Bewegung abhängenden Zeitbegriffs anders geschätzt wird, wie von dem ruhenden System (Zeichenebene) aus; und entsprechend im zweiten Falle die Geschwindigkeit $v_{1}$. Genau denselben Tatbestand haben wir oben dahin ausgedrückt, daß im Raume der $xyl$ durch Ausführung der einen Raumzeitdrehung die Ebene der anderen Raumzeitdrehung verlagert wird. In der Figur sind die Geschwindigkeiten AC, BD so gezeichnet, wie sie von der ruhenden Zeichenebene aus erscheinen; von den ihnen beigefügten Größen bedeutet die obere die vom bewegten Lineal, die untere die von der ruhenden Zeichenebene aus geschätzte Geschwindigkeit.

Für die resultierende Geschwindigkeit $v=\beta c$, wie sie vom ruhenden System aus beurteilt wird, ergibt sich aus 4a) und 4b) der in beiden Fällen gleiche Wert:

$\beta ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right]=\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}-\beta _{1}^{2}\beta _{2}^{2}$

oder

$1-\beta ^{2}=\left(1-\beta _{1}^{2}\right)\left(1-\beta _{2}^{2}\right)$

oder, wenn wir neben $\varphi _{1},\varphi _{2}$ den resultierenden Drehwinkel $\varphi$ einführen, nach 2):

$\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}$

5)

Sind $\alpha _{1}$ und $\alpha _{2}$ die in der Figur bezeichneten Bahnneigungen, so folgt aus 3):

$\left.{\begin{array}{ll}&\operatorname {tg} \,\alpha _{1}={\frac {\operatorname {tg} \,\varphi _{2}}{\sin \varphi _{1}}}\\{\text{und entsprechend}}\\&\operatorname {tg} \,\alpha _{2}={\frac {\operatorname {tg} \,\varphi _{1}}{\sin \varphi _{2}}}\end{array}}\right\}$

6)

wobei stets gilt:

$\alpha _{1}+\alpha _{2}<{\frac {\pi }{2}}$

7)

Auch diese zunächst befremdenden Resultate werden vom Minkowskischen Standpunkt völlig durchsichtig. Setzen wir nämlich (Fig.2) die Drehwinkel $\varphi _{1},\varphi _{2}$ als Bögen auf einer Einheitskugel aneinander, so daß in Dreieck OAC der Winkel bei A, in Dreieck OBD der Winkel bei B ein rechter ist, so ergibt sich der resultierende Drehwinkel $OC=OD=\varphi$ unmittelbar aus dem Kosinussatz als Hypothenuse der beiden unter sich kongruenten sphärischen Dreiecke in Übereinstimmung mit Gl. 5). Daß die resultierende Drehebene von der Reihenfolge der zusammensetzenden Drehungen abhängt, zeigt die Anschauung; denn der größte Kreis durch B senkrecht zu OB geht ersichtlich nicht durch C, sondern schneidet AC. Die sogenannte Nepersche Regel für rechtwinklige sphärische Dreiecke liefert die Formel 6) für die Kathetenwinkel $\alpha _{1},\alpha _{2}$. Die Summe der Winkel im sphärischen Dreieck ist größer als zwei rechte, die Summe der Kathetenwinkel im rechtwinkligen sphärischen Dreieck also größer als ein rechter, wie Fig. 2 zeigt. Und zwar wird der Überschuß (sphärischer Exzeß) gleich dem Inhalt des Dreiecks auf der Einheitskugel. Nun sind die Seiten unserer sphärischen Dreiecke im Fall der Raumzeitdrehungen imaginär, ihre Inhalte also negativ. Der sphärische Exzeß wird also hier zum sphärischen Defekt, er

bedingt die Ungleichung 7) und die Divergenz der Bahnen OC, OD in Fig. 1.^[1]

Zusammenfassend können wir sagen: Für die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie gelten nicht mehr die Formeln der ebenen, sondern die der sphärischen Trigonometrie (mit imaginären Seiten). Durch diese Bemerkung wird der umständliche Transformationskalkül, von dem wir oben eine Probe gaben, entbehrlich und ersetzbar durch übersichtliche Konstruktionen auf einer Kugel. Hierfür ein weiteres Beispiel:

Sind die beiden Geschwindigkeiten $v_{1},v_{2}$ unter dem beliebigen Winkel $\alpha$ gegeneinander geneigt, so wird in dem sphärischen Dreieck OAC der Fig. 2 der Außenwinkel bei A ebenfalls $\alpha$ und es berechnet sich der resultierende Drehwinkel $\varphi$ nach dem allgemeinen Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie zu:

$\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \alpha$

8)

Wollen wir dies auf die Geschwindigkeiten $v_{1},v_{2},v$ umrechnen, so ergibt sich nach 2):

${\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1+\beta _{1}\beta _{2}\cos \alpha }{{\sqrt {1-\beta _{1}^{2}}}{\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}}$ $v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }{\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}v_{2}\cos \alpha \right)^{2}}}$

9)

eine Formel, die bereits Einstein^[2] aus den Transformationsgleichungen abgeleitet hat. Wie man sieht, ist Formel 8) übersichtlicher als 9), ebenso wie Fig. 2 übersichtlicher war als Fig. 1. Dies erklärt sich daraus, daß es dem Sinn der Relativtheorie offenbar besser entspricht, mit den Drehwinkeln zu rechnen und (unter Berücksichtigung der Realitätsverhältnisse) zu konstruieren, statt ausschließlich mit ihren Tangenten, den Geschwindigkeiten.

Der einzige Zweck dieser kleinen Mitteilung war der, zu zeigen, daß die tiefsinnige Raumzeitauffassung Minkowskis nicht nur in systematischer Hinsicht den allgemeinen Aufbau der Relativtheorie erleichtert, sondern sich auch bei speziellen Fragen als bequemer Führer bewährt.

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1. Um das Verhältnis beider Figuren zu erläutern, diene folgendes: Fig. 1 entsteht, wenn wir Fig. 2 vom Mittelpunkte M der Kugel auf die Tangentialebene im Punkte O zentral projizieren. Dabei bleiben die Winkel bei O erhalten, desgleichen die rechten Winkel bei A und B; die von O auslaufenden Seiten $\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi$ werden durch ihre Tangenten bzw. die ihnen proportionalen Geschwindigkeiten $v_{1}v_{2}v$ ersetzt. Dagegen werden durch diese Projektion die Winkel bei C und D abgeändert (sie sind in Fig. 2 gleich $\alpha _{2}$ bzw. $\alpha _{1}$, dagegen in Fig. 1 größer als $\alpha _{2}$ bzw. $\alpha _{1}$) und die Seiten CA und BD nicht einfach durch ihre Tangenten ersetzt. Fig. 3 zeigt, wie sich diese Projektion für das Dreieck OAC im Reellen gestalten würde.
2. Jahrbuch der Radioaktivität 4, 423, 1908.