David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.10

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert
7.10 Die Primideale des Galoisschen Körpers und seiner Unterkörper.

7.11 Die Differenten und Diskriminanten des Galoisschen Körpers und seiner Unterkörper. →

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Zweiter Teil.

Der Galoissche Zahlkörper.

10. Die Primideale des Galoisschen Körpers und seiner Unterkörper.

§ 36. Die eindeutige Zerlegung der Ideale des Galoisschen Körpers in Primideale.

Ein solcher Zahlkörper $K$ , welcher mit den sämtlichen zu ihm konjugierten Körpern übereinstimmt, heißt ein Galoischer Körper. Ist $k$ ein beliebiger Zahlkörper $m$ -ten Grades, und sind $k'$ , …, $k^{(m-1)}$ die zu $k$ konjugierten Körper, so kann aus sämtlichen Zahlen der Körper $k$ , $k'$ , …, $k^{(m-1)}$ ein neuer Körper $K$ zusammengesetzt werden; dieser Körper $K$ ist dann notwendig ein Galoisscher Körper, welcher die Körper $k$ , $k'$ , …, $k^{(m-1)}$ als Unterkörper enthält. Ein jeder beliebige Körper $k$ kann mithin stets als ein Körper aufgefaßt werden, welcher in einem Galoisschen Körper als Unterkörper enthalten ist. Infolge dieses Umstandes ist es keine wesentliche Einschränkung, wenn wir bei der Erforschung der Eigenschaften der algebraischen Zahlen von vornherein einen Galoisschen Körper zugrunde legen und dann entwickeln, in welcher Weise die Zerlegungsgesetze für die Ideale dieses Galoisschen Körpers sich auf einen beliebigen in ihm enthaltenen Unterkörper übertragen.

Was zunächst den Beweis für die eindeutige Zerlegung der Ideale in Primideale betrifft, so gestaltet sich derselbe für einen Galoisschen Körper außerordentlich einfach [Hilbert (2^[1], 3^[2].)]. Um dies einzusehen, setzen wir zunächst einige Bezeichnungen fest.

Der Galoissche Körper $K$ vom $M$ -ten Grade werde durch die gange Zahl $\Theta$ bestimmt; $\Theta$ genügt dann einer irreduziblen Gleichung $M$ -ten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten. Die $M$ Wurzeln dieser Gleichung seien

s_{1}\Theta =\Theta

,

s_{2}\Theta

, …,

s_{M}\Theta

,

wo $s_{1}$ , …‚ $s_{M}$ rationale Funktionen von $\Theta$ mit rationalen Koeffizienten bedeuten. Werden $s_{1}$ , …‚ $s_{M}$ als Substitutionen aufgefaßt, so bilden sie eine Gruppe $G$ vom $M$ -ten Grade, da ja die aufeinander folgende Anwendung irgend zweier von den Substitutionen $s_{1}$ , …‚ $s_{M}$ wiederum eine dieser Substitutionen ergeben muß. $G$ heiße die Gruppe des Galoisschen Körpers $K$ . Ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ , welches ungeändert bleibt, wenn man die Zahlen desselben durch ihre Konjugierten ersetzt, d. h. wenn man sie einer der $M-1$ Substitutionen $s_{2}$ , …, $s_{M}$ unterwirft, nenne ich ein invariantes Ideal. Ein invariantes Ideal ${\mathfrak {J}}$ besitzt die folgende Eigenschaft:

Hilfssatz 11. Die $M!$ -te Potenz eines jeden invarianten Ideals ${\mathfrak {J}}$ ist gleich einer ganzen rationalen Zahl.

Beweis. Es sei ${\mathsf {A}}$ eine Zahl des Ideals ${\mathfrak {J}}$ , und $A_{1}$ , $A_{2}$ , …, $A_{M}$ seien die $M$ elementaren symmetrischen Funktionen von ${\mathsf {A}}=s_{1}{\mathsf {A}}$ , $s_{2}{\mathsf {A}}$ , …, $s_{M}{\mathsf {A}}$ . Den größten gemeinsamen Teiler der $M$ ganzen rationalen Zahlen

A_{1}^{\frac {M!}{1}}

,

A_{2}^{\frac {M!}{2}}

, …,

A_{M}^{\frac {M!}{M}}

(18)

bezeichnen wir mit $A$ . In gleicher Weise denken wir uns zu jeder anderen Zahl ${\mathsf {B}}$ , ${\mathsf {\Gamma }}$ , …^[3] des Ideals ${\mathfrak {J}}$ und ihren konjugierten die betreffenden elementaren symmetrischen Funktionen berechnet und die Teiler $B$ , $C$ , … in entsprechender Weise abgeleitet. Der größte gemeinsame Teiler aller möglichen dabei auftretenden Zahlen $A$ , $B$ , $C$ , … werde mit $J$ bezeichnet. Dann ist ${\mathfrak {J}}^{M!}=J$ . In der Tat: da die zu ${\mathsf {A}}$ konjugierten Zahlen ebenfalls Zahlen des Ideals ${\mathfrak {J}}$ sind, so ist

A_{1}\equiv 0

,

({\mathfrak {J}})

,

A_{2}\equiv 0

,

({\mathfrak {J}}^{2})

, …,

A_{M}\equiv 0

,

({\mathfrak {J}}^{M})

;

und folglich sind die sämtlichen Zahlen (18) und mithin auch $A\equiv 0$ nach ${\mathfrak {J}}^{M!}$ . Da das Gleiche auch von den Zahlen $B$ , $C$ , … gilt, so ist auch $J\equiv 0$ nach ${\mathfrak {J}}^{M!}$ . Andererseits sind die Koeffizienten $A_{1}$ , $A_{2}$ , …, $A_{M}$ der Gleichung $M$ -ten Grades für ${\mathsf {A}}$ bezüglich durch $J^{\frac {1}{M!}}$ , $J^{\frac {2}{M!}}$ , …, $J^{\frac {M}{M!}}$ teilbar, und somit ist ${\mathsf {A}}$ selbst durch $J^{\frac {1}{M!}}$ teilbar. Da das nämliche von allen Zahlen ${\mathsf {B}}$ , ${\mathsf {\Gamma }}$ , … des Ideals ${\mathfrak {J}}$ gilt, so ist ${\mathfrak {J}}^{M!}$ durch $J$ teilbar.

Aus dem eben bewiesenen Hilfssatz 11 folgt unmittelbar die weitere Tatsache:

Satz 67. Zu einem jeden beliebigen Ideal ${\mathfrak {A}}$ des Galoisschen Körpers $K$ läßt sich stets ein Ideal ${\mathfrak {B}}$ so finden, daß das Produkt ${\mathfrak {AB}}$ ein Hauptideal wird.

Beweis. Das Ideal ${\mathfrak {J}}={\mathfrak {A}}\cdot s_{2}{\mathfrak {A}}\ldots s_{M}{\mathfrak {A}}$ ist offenbar ein invariantes Ideal; es ist daher nach dem Hilfssatz 11 das Ideal

{\mathfrak {B}}={\mathfrak {J}}^{M!-1}s_{2}{\mathfrak {A}}\ldots s_{M}{\mathfrak {A}}

ein Ideal von der Art, wie es Satz 67 verlangt.

Der Satz 67 gestattet, die weiteren Teilbarkeitsgesetze für die Ideale des Galoisschen Körpers in derselben Weise zu entwickeln, wie dies in § 5 auf Grund des Satzes 8 für einen beliebigen Zahlkörper $k$ geschehen ist.

Um dann aus den Teilbarkeitsgesetzen innerhalb des Galoisschen Körpers die Teilbarkeitsgesetze für einen beliebigen Körper $k$ abzuleiten, beweise man entweder zunächst im Galoisschen Körper die Kroneckerschen Sätze 13 und 14 über Formen und schließe hieraus die Richtigkeit dieser Sätze für den Unterkörper $k$ , oder man wende ein geeignetes direktes Übergangsverfahren an [Hilbert(3^[2])].

§ 37. Die Elemente, die Differente und die Diskriminante des Galoisschen Körpers.

Im Galoisschen Körper $K$ erhalten manche der früher eingeführten Begriffe eine einfachere Bedeutung. So sind die Elemente eines Galoisschen Körpers stets Ideale in diesem Körper selbst, und zwar gelten die Tatsachen:

Satz 68. Die Elemente eines Galoisschen Körpers $K$ vertauschen sich untereinander bei Anwendung einer der $M$ Substitutionen $s_{1}$ , …‚ $s_{M}$ . Die Differente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$ ist ein invariantes Ideal, und die Diskriminante $D=\pm N({\mathfrak {D}})$ ist daher, als Ideal, die $M$ -te Potenz der Differente ${\mathfrak {D}}$ .

Beweis. Bezeichnen wir mit $\Omega _{1}$ , …‚ $\Omega _{M}$ eine Basis des Körpers $K$ , so sind die Elemente von $K$ Ideale von der Gestalt:

{\begin{aligned}{\mathfrak {E}}_{2}&=(\Omega _{1}-s_{2}\Omega _{1},\ldots ,\Omega _{M}-s_{2}\Omega _{M}),\\&\qquad \qquad \qquad \quad \vdots \\{\mathfrak {E}}_{M}&=(\Omega _{1}-s_{M}\Omega _{1},\ldots ,\Omega _{M}-s_{M}\Omega _{M}).\end{aligned}}

Wenden wir irgendeine der Substitutionen $s$ auf eines dieser Elemente ${\mathfrak {E}}_{i}$ an und bedenken, daß die Zahlen $s\Omega _{1}$ , …, $s\Omega _{M}$ wiederum eine Basis des Körpers darstellen müssen, so folgt, wenn $ss_{i}=s_{i'}s$ gesetzt wird:

s{\mathfrak {E}}_{i}=(s\Omega _{1}-s_{i'}s\Omega _{1},\ldots ,s\Omega _{M}-s_{i'}s\Omega _{M})={\mathfrak {E}}_{i'}

.

Die Invarianz der Körperdifferente folgt nunmehr aus ihrer Darstellung ${\mathfrak {D}}={\mathfrak {E}}_{2}\ldots {\mathfrak {E}}_{M}$ .

§ 38. Die Unterkörper des Galoisschen Körpers.

Der Galoissche Körper gestattet ein sehr genaues Studium der Zerlegungsgesetze seiner Zahlen mit Rücksicht auf die in ihm enthaltenen Unterkörper, und die hierbei sich ergebenden Resultate sind vor allem für die Anwendung der allgemeinen Körpertheorie auf besondere Zahlkörper von Wichtigkeit [Hilbert(4^[4])].

Um einen beliebigen Unterkörper des Galoissehen Körpers in einfacher Art zu charakterisieren, bedienen wir uns folgender Ausdrucksweise. Wenn $r$ Substitutionen $s_{1}=1$ , $s_{2}$ , …, $s_{r}$ der Gruppe $G$ eine Untergruppe $g$ vom $r$ -ten Grade liefern, so bildet offenbar die Gesamtheit aller derjenigen Zahlen des Körpers $K$ ‚ welche bei Anwendung einer jeden Substitution von $g$ ungehindert bleiben, einen in $K$ enthaltenen Körper $k$ vom Grade $m={\frac {M}{r}}$ . Dieser Körper $k$ heiße der zur Untergruppe $g$ gehörige Unterkörper. Der Galoissche Körper selbst gehört zu der Gruppe, welche allein aus $s_{1}=1$ besteht; zur Gruppe $G$ aller $M$ Substitutionen $s$ gehört der Körper der rationalen Zahlen. Umgekehrt gehört ein jeder Unterkörper $k$ des Galoisschen Körpers zu einer gewissen Untergruppe $g$ der Gruppe $G$ . Diese Gruppe $g$ heiße die den Unterkörper $k$ bestimmende Untergruppe.

§ 39. Der Zerlegungskörper und der Trägheitskörper eines Primideals

{\mathfrak {P}}

.

Wählen wir nun ein bestimmtes Primideal ${\mathfrak {P}}$ vom Grade $f$ im Galoisschen Körper $K$ aus, so gibt es eine ganz bestimmte Reihe ineinander geschachtelter Unterkörper von $K$ , welche für das Primideal ${\mathfrak {P}}$ charakteristisch sind, und deren merkwürdige Eigenschaften jetzt kurz entwickelt werden sollen.

Es sei $p$ die durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare rationale Primzahl; ferner seien $z$ , $z'$ , $z''$ , … diejenigen sämtlichen $r_{z}$ Substitutionen der Gruppe $G$ , welche das Primideal ${\mathfrak {P}}$ ungeändert lassen; dieselben bilden eine Gruppe vom $r_{z}$ -ten Grade, welche die Zerlegungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{z}$ bezeichnet werden soll. Der zur Zerlegungsgruppe $g_{z}$ , gehörige Körper $k_{z}$ , werde Zerlegungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt; derselbe ist vom Grade $m_{z}={\frac {M}{r_{z}}}$ .

Weiter seien $t$ , $t'$ , $t''$ , … sämtliche unter den Substitutionen $s$ der Gruppe $G$ von der Beschaffenheit, daß für jede beliebige ganze Zahl $\Omega$ des Körpers $K$ die Kongruenz $s\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$ erfüllt ist und $r_{t}$ deren Anzahl; es folgt leicht, daß diese $r_{t}$ Substitutionen eine Gruppe $r_{t}$ -ten Grades bilden. Diese Gruppe werde die Trägheitsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{t}$ bezeichnet. Der zur Trägheitsgruppe $g_{t}$ gehörige Körper $k_{t}$ werde Trägheitskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt; derselbe ist vom Grade $m_{t}={\frac {M}{r_{t}}}$ .

Das Verhältnis der Trägheitsgruppe zur Zerlegungsgruppe wird durch folgende Tatsachen klargestellt:

Satz 69. Die Trägheitsgruppe $g_{t}$ , des Primideals ${\mathfrak {P}}$ ist eine invariante Untergruppe der Zerlegungsgruppe $g_{z}$ . Man erhält alle Substitutionen der Zerlegungsgruppe und jede nur einmal, wenn man die Substitutionen der Trägheitsgruppe mit $1$ , $z$ , $z^{2}$ , …‚ $z^{f-1}$ multipliziert, wo $z$ eine geeignet gewählte Substitution der Zerlegungsgruppe ist.

Beweis. Es sei $t$ eine beliebige Substitution in $g_{t}$ und $\Omega$ eine durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare ganze Zahl des Körpers $K$ . Setzen wir $\Omega '=t^{-1}\Omega$ , so ist infolge der Eigenschaft der Trägheitsgruppe $\Omega '\equiv t\Omega '\equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$ , d. h. $\Omega '\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ . Die Anwendung der Substitution $t$ ergibt $\Omega \equiv 0$ nach dem Primideal $t{\mathfrak {P}}$ . Da diese Kongruenz für jede Zahl $\Omega$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ gilt, so muß ${\mathfrak {P}}$ durch $t{\mathfrak {P}}$ teilbar sein, und folglich ist ${\mathfrak {P}}=t{\mathfrak {P}}$ , d. h. die Trägheitsgruppe $g_{t}$ ist eine Untergruppe der Zerlegungsgruppe $g_{z}$ .

Um die übrigen Behauptungen des Satzes 69 zu beweisen, bestimmen wir eine Primitivzahl ${\mathsf {P}}$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ , welche kongruent $0$ nach allen zu ${\mathfrak {P}}$ konjugierten und von ${\mathfrak {P}}$ verschiedenen Primidealen ist. Die Möglichkeit der Bestimmung einer solchen Primitivzahl folgt aus Satz 25; dann bilden wir die ganzzahlige Funktion $M$ -ten Grades von $x$

F(x)=(x-s_{1}{\mathsf {P}})(x-s_{2}{\mathsf {P}})\ldots (x-s_{M}{\mathsf {P}})

.

Da ${\mathsf {P}}$ eine Wurzel der ganzzahligen Kongruenz $F(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist, so genügt nach Satz 27 auch ${\mathsf {P}}^{p}$ der nämlichen Kongruenz, und hieraus folgt, daß es unter den $M$ Substitutionen $s_{1}$ , …, $s_{M}$ notwendig eine Substitution $s$ von der Art gibt, daß $s{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ wird. Wäre nun $s^{-1}{\mathfrak {P}}\neq {\mathfrak {P}}$ so bestände infolge der Wahl von ${\mathsf {P}}$ die Kongruenz ${\mathsf {P}}\equiv 0$ nach $s^{-1}{\mathfrak {P}}$ ‚ und folglich müßte $s{\mathsf {P}}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ sein, was der vorhin gefundenen Kongruenz widerspräche.

Wegen $s{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}$ gehört die Substitution $s$ zur Zerlegungsgruppe. Wir setzen $s=z$ . Die wiederholte Anwendung der Substitution $z$ auf die Kongruenz $z{\mathsf {P}}\equiv P^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ liefert die weiteren Kongruenzen $z^{2}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{2}}$ , $z^{3}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{3}}$ , …, $z^{f}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{f}}\equiv {\mathsf {P}}$ nach ${\mathfrak {P}}$ . Infolge der letzten Kongruenz ist $z^{f}$ eine Substitution der Trägheitsgruppe. Denn jede beliebige ganze Zahl $\Omega$ des Körpers $K$ kann in der Gestalt $\Omega ={\mathsf {P}}^{a}+\Pi$ oder $=\Pi$ dargestellt werden, wo $a$ eine ganze rationale Zahl und $\Pi$ eine durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare Zahl des Körpers bedeutet. Wegen $z^{f}{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}$ folgt daraus in der Tat $z^{f}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$ .

Die Kongruenz $z{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ lehrt, daß $z^{-1}tz{\mathsf {P}}\equiv P$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist, wo $t$ eine beliebige Substitution der Trägheitsgruppe $g_{t}$ bedeutet. Setzen wir $z'=z^{-1}tz$ und verstehen unter $\Omega$ eine beliebige ganze Zahl des Körpers $K$ , so folgt, wenn $\Omega$ der Kongruenz $\Omega \equiv {\mathsf {P}}^{a}$ nach ${\mathfrak {P}}$ genügt, $z'\Omega \equiv (z'{\mathsf {P}})^{a}\equiv {\mathsf {P}}^{a}\equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$ , und desgleichen, wenn $\Omega \equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist, d. h. $z'=z^{-1}tz$ gehört der Trägheitsgruppe an.

Es sei nun $P({\mathsf {P}})$ diejenige ganzzahlige Funktion $f$ -ten Grades von ${\mathsf {P}}$ , welche $\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist; nach Satz 27 hat die Kongruenz $P(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ die Wurzeln ${\mathsf {P}}$ , ${\mathsf {P}}^{p}$ , …, ${\mathsf {P}}^{p^{f-1}}$ , und nach Satz 26 besitzt sie keine anderen Kongruenzwurzeln.

Ist nun $z^{*}$ eine beliebige Substitution der Zerlegungsgruppe, so folgt aus der Kongruenz $P({\mathsf {P}})\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ notwendig $P(z^{*}{\mathsf {P}})\equiv 0$ , und daher muß $z^{*}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{i}}$ nach ${\mathfrak {P}}$ sein, wo $i$ einen der $f$ Werte $0$ , $1$ , …, $f-1$ hat. Da andererseits ${\mathsf {P}}^{p^{i}}\equiv z^{i}{\mathsf {P}}$ ist, so wird $z^{-i}z^{*}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}$ nach ${\mathfrak {P}}$ , und mithin ist $z^{-i}z^{*}$ eine Substitution $t$ der Trägheitsgruppe, d. h. $z^{*}=z^{i}t$ . In dieser letzteren Gestalt sind also sämtliche Substitutionen $z$ , $z'$ , $z''$ , … der Zerlegungsgruppe darstellbar, und da auch umgekehrt $z^{i}t$ für $i=0,1,\ldots ,f-1$ lauter von einander verschiedene Substitutionen darstellt, so ist der letzte Teil des Satzes 69 bewiesen. Endlich erhellt jetzt auch die Invarianz der Trägheitsgruppe aus der oben bewiesenen Tatsache, daß $z^{-1}tz$ stets zu dieser Gruppe gehört.

Zugleich ergibt sich $r_{z}=fr_{t}$ .

§ 40. Ein Satz über den Zerlegungskörper.

Die wichtigste Eigenschaft des Zerlegungskörpers findet in folgendem Satze ihren Ausdruck:

Satz 70. Das Ideal ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{r_{t}}$ liegt im Zerlegungskörper $k_{z}$ und ist in diesem ein Primideal ersten Grades. Im Zerlegungskörper $k_{z}$ wird $p={\mathfrak {pa}}$ , wo ${\mathfrak {a}}$ ein zu ${\mathfrak {p}}$ primes Ideal ist.

Beweis. Die Relativnorm des Primideals ${\mathfrak {P}}$ in bezug auf den Körper $k_{z}$ ist $N_{k_{z}}({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{r_{z}}$ . Um nun die niedrigste in $k_{z}$ liegende Potenz des Primideals ${\mathfrak {P}}$ zu ermitteln, denken wir uns den größten gemeinsamen Teiler aller derjenigen ganzen Zahlen des Körpers $k_{z}$ bestimmt, welche durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar sind. Dieser Teiler ist notwendig im Körper $k_{z}$ ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ , und, da ${\mathfrak {P}}^{r_{z}}$ in $k_{z}$ liegt, so ist ${\mathfrak {p}}$ jedenfalls eine Potenz von ${\mathfrak {P}}$ ; wir setzen ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{u}$ . Zur Bestimmung des Exponenten $u$ dient die folgende Betrachtung. Soll eine durch ${\mathfrak {P}}$ nicht teilbare Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$ der Kongruenz ${\mathsf {A}}\equiv z{\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}$ genügen, und ist etwa ${\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {P}}^{i}$ nach ${\mathfrak {P}}$ , so muß notwendig $i\equiv pi$ nach $p^{f}-1$ und folglich $i$ eine durch $1+p+p^{2}+\cdots +p^{f-1}$ teilbare Zahl sein, d. h. es gibt nur $p-1$ einander nach ${\mathfrak {P}}$ inkongruente Zahlen von der gewünschten Beschaffenheit, und es wird daher ${\mathsf {A}}\equiv a$ nach ${\mathfrak {P}}$ , wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Aus dieser Betrachtung folgt insbesondere, daß jede Zahl $\alpha$ des Körpers $k_{z}$ einer rationalen Zahl $a$ nach ${\mathfrak {P}}$ und mithin auch nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent ist, d. h. ${\mathfrak {p}}$ ist im Körper $k_{z}$ ein Primideal ersten Grades, und die Norm $n({\mathfrak {p}})$ im Körper $k_{z}$ ist folglich gleich $p$ . Andererseits ist die Norm von ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K$ durch die Formel $N({\mathfrak {p}})=[n({\mathfrak {p}})]^{r_{z}}$ gegeben, und wegen ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{u}$ und $N({\mathfrak {P}})=p^{f}$ folgt somit $p^{uf}=p^{r_{z}}$ , d. h. $u=r_{t}$ .

Aus der Definition der Zerlegungsgruppe ergibt sich $N({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{r_{z}}{\mathfrak {A}}$ , wo ${\mathfrak {A}}$ ein zu ${\mathfrak {P}}$ primes Ideal bedeutet. Setzen wir $p={\mathfrak {pa}}$ , so wird $N({\mathfrak {P}})=p^{f}={\mathfrak {p}}^{f}{\mathfrak {a}}^{f}$ und folglich ${\mathfrak {a}}^{f}={\mathfrak {A}}$ , womit auch der letzte Teil des Satzes 70 bewiesen ist.

§ 41. Der Verzweigungskörper eines Primideals

{\mathfrak {P}}

.

Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, bezeichnen wir jetzt mit ${\mathsf {A}}$ eine feste durch ${\mathfrak {P}}$ , aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbare Zahl des Körpers $K$ und ermitteln für alle Substitutionen $t$ , $t'$ , $t''$ , … der Trägheitsgruppe die Kongruenzen

\left.{\begin{aligned}t{\mathsf {A}}&\equiv {\mathsf {P}}^{a}{\mathsf {A}},\\t'{\mathsf {A}}&\equiv {\mathsf {P}}^{a'}{\mathsf {A}},\\t''{\mathsf {A}}&\equiv {\mathsf {P}}^{a''}{\mathsf {A}},\\&~~\!\vdots \end{aligned}}\right\}\;({\mathfrak {P}}^{2}),

wo $a$ , $a'$ , $a''$ , … Zahlen aus der Reihe $0$ , $1$ , $2$ , …‚ $p^{f}-2$ bedeuten. Diejenigen unter den Substitutionen $t$ , $t'$ , $t''$ , …‚ für welche die betreffenden Exponenten $a$ , $a'$ , $a''$ , … den Wert $0$ haben, mögen mit $v$ , $v'$ , $v''$ , … bezeichnet werden; ihre Anzahl sei $r_{v}$ ; sie bilden, wie leicht ersichtlich, eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe. Diese Untergruppe $r_{v}$ -ten Grades werde die Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{v}$ bezeichnet. Der zu $g_{v}$ gehörige Körper $k_{v}$ heiße der Verzweigungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ . Das Verhältnis der Verzweigungsgruppe zur Trägheitsgruppe wird genauer durch folgenden Satz charakterisiert:

Satz 71. Die Verzweigungsgruppe $g_{v}$ ist eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe; der Grad $r_{v}$ derselben ist eine Potenz von $p$ , etwa $r_{v}=p^{l}$ . Man erhält alle Substitutionen der Trägheitsgruppe und jede nur einmal, indem man die Substitutionen der Verzweigungsgruppe mit $1$ , $t$ , $t_{2}$ , …, $t^{h-1}$ multipliziert, wo $h={\frac {r_{t}}{r_{v}}}$ und $t$ eine geeignet gewählte Substitution der Trägheitsgruppe ist. Die Zahl $h$ ist ein Teiler von $p^{f}-1$ .

Beweis. Es sei ${\mathfrak {P}}^{u}$ eine so hohe Potenz von ${\mathfrak {P}}$ , daß für jede von $1$ verschiedene Substitution $v$ der Verzweigungsgruppe die Inkongruenz $v{\mathsf {A}}\not \equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{u}$ gilt. Setzen wir nun $v{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {BA}}^{2}$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$ , wo ${\mathsf {B}}$ eine ganze Zahl in $K$ bedeutet, so folgt leicht $v^{p}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$ und hieraus in entsprechender Weise $v^{p^{2}}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{4}$ usw., endlich $v^{p^{u-2}}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{u}$ . Demnach ist $v^{p^{u-2}}=1$ , d. h. der Grad $r_{v}$ der Verzweigungsgruppe ist gleich einer Potenz von $p$ ; wir setzen $r_{v}=p^{l}$ .

Es sei nun $a$ der kleinste von $0$ verschiedene unter den Exponenten $a$ , $a'$ , $a''$ , …, und es gebe im ganzen $h$ verschiedene Zahlen unter diesen Exponenten. Dann sind diese Zahlen notwendig Vielfache von $a$ und stimmen mit den Zahlen $0$ , $a$ , $2a$ , …‚ $(h-1)a$ überein; es ist ferner $ha=p^{f}-1$ . Zugleich erkennen wir, daß alle Substitutionen der Trägheitsgruppe in die Gestalt $t^{i}v$ gebracht werden können, wo $i$ die Werte $0$ , $1$ , …‚ $h-1$ annimmt und $v$ alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ durchläuft. Es ist folglich $r_{t}=hr_{v}$ .

§ 42. Ein Satz über den Trägheitskörper.

Über das Verhalten der Ideale ${\mathfrak {P}}$ und ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k_{t}$ gibt der folgende Satz Aufschluß:

Satz 72. Jede Zahl des Körpers K ist nach ${\mathfrak {P}}$ einer Zahl des Trägheitskörpers kongruent. Der Trägheitskörper bewirkt keine Zerlegung des Ideals ${\mathfrak {p}}$ , sondern nur eine Graderhöhung desselben, insofern ${\mathfrak {p}}$ beim Übergang vom Körper $k_{z}$ in den oberen Körper $k_{t}$ aus einem Primideal ersten Grades sich in ein Primideal $f$ -ten Grades verwandelt.

Beweis. Wir setzen

{\begin{aligned}\pi &=\{v{\mathsf {P}}\cdot v'{\mathsf {P}}\cdot v''{\mathsf {P}}\ldots \}^{p^{l(f-1)}},\\\varkappa &={\frac {1}{h}}(\pi +t\pi +t^{2}\pi +\cdots +t^{h-1}\pi );\end{aligned}}

unter ${\mathsf {P}}$ wieder eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {P}}$ und unter $t$ die Substitution aus Satz 71 verstanden; die Zahl $\pi$ liegt im Körper $k_{v}$ und die Zahl $\varkappa$ im Körper $k_{t}$ . Um letzteres zu beweisen, bedenke man, daß die Zahl $\varkappa$ bei Anwendung der Substitution $t$ ungeändert bleibt, weil $t^{h}$ zu $g_{v}$ , gehört, und daß die Zahlen $\pi$ , $t\pi$ , $t^{2}\pi$ , …, $t^{h-1}\pi$ bei Anwendung einer Substitution aus $g_{v}$ ungeändert bleiben. Diese Zahlen $\pi$ und $\varkappa$ sind, wie man leicht einsieht, beide nach dem Primideal ${\mathfrak {P}}$ der Primitivzahl ${\mathsf {P}}$ kongruent. Da es folglich im Körper $k_{t}$ genau $p^{f}$ nach ${\mathfrak {P}}$ inkongruente Zahlen gibt, so ist notwendigerweise ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{r_{t}}$ im Körper $k_{t}$ unzerlegbar und wird in demselben ein Primideal $f$ -ten Grades.

§ 43. Sätze über die Verzweigungsgruppe und den Verzweigungskörper.

Es ist nun leicht, die charakteristische Eigenschaft der Verzweigungsgruppe zu erkennen; dieselbe ist folgende:

Satz 73. Zur Verzweigungsgruppe $g_{v}$ gehören alle und nur solche Substitutionen $s$ , bei deren Anwendung für sämtliche ganze Zahlen $\Omega$ des Körpers $K$ die Kongruenz $s\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ besteht.

Beweis. Es sei die beliebige Zahl $\Omega$ in $K$ der Zahl $\omega$ des Trägheitskörpers nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent, und dementsprechend werde $\Omega -\omega \equiv {\mathsf {BA}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ gesetzt, wo ${\mathsf {A}}$ die Bedeutung wie in § 41 hat und ${\mathsf {B}}$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ ist. Durch die Anwendung einer Substitution $v$ des Verzweigungskörpers ergibt sich $v\Omega -\omega \equiv v({\mathsf {BA}})\equiv {\mathsf {BA}}\equiv \Omega -\omega$ ‚ d. h. $v\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ .

Zugleich erkennen wir leicht den folgenden weiteren Satz über den Verzweigungskörper:

Satz 74. Das Ideal ${\mathfrak {p}}_{v}={\mathfrak {P}}^{r_{v}}$ liegt im Verzweigungskörper und ist in demselben ein Primideal $f$ -ten Grades: es findet somit im Verzweigungskörper die Spaltung des Ideals ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{v}^{h}$ in $h$ gleiche Primfaktoren statt.

§ 44. Die überstrichenen Verzweigungskörper eines Primideals

{\mathfrak {P}}

.

Unsere nächste Aufgabe besteht darin, weiter die Spaltung des Ideals ${\mathfrak {p}}_{v}$ in gleiche Faktoren zu verfolgen. Zu dem Zweck nehmen wir an, es sei $L$ der höchste Exponent von der Art, daß für eine jede Substitution $v$ der Verzweigungsgruppe die sämtlichen ganzen Zahlen des Körpers $K$ der Kongruenz $v\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L}$ genügen, und bestimmen dann alle Substitutionen $s$ der Verzweigungsgruppe, für welche $s\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$ wird; dieselben bilden eine Untergruppe $g_{\bar {v}}$ der Verzweigungsgruppe, die wir die einmal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ nennen. Der zu $g_{\bar {v}}$ gehörige Körper $k_{\bar {v}}$ heiße der einmal überstrichene Verzweigungskörper des Primideals. Die wichtigsten Eigenschaften dieses Körpers sind folgende:

Satz 75. Die einmal überstrichene Verzweigungsgmppe $g_{\bar {v}}$ ist eine invariante Untergruppe der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ . Der Grad von $g_{\bar {v}}$ sei $r_{\bar {r}}=p^{\bar {l}}$ . Man erhält alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ und jede nur einmal, indem man die Substitutionen der einmal überstrichenen Verzweigungsgruppe $g_{\bar {v}}$ mit gewissen $p^{\bar {e}}$ Substitutionen $v_{1}$ , …, $v_{p^{\bar {e}}}$ der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ multipliziert; dabei haben diese $p^{\bar {e}}$ Substitutionen die Besonderheit, daß für irgend zwei derselben $v_{i}$ und $v_{i'}$ stets eine Relation von der Gestalt $v_{i}v_{i'}=v_{i'}v_{i}{\bar {v}}$ besteht, wo ${\bar {v}}$ eine Substitution in $g_{\bar {v}}$ ist. Das Ideal ${\mathfrak {p}}_{\bar {v}}={\mathfrak {P}}^{r_{\bar {v}}}$ ist Primideal in $k_{\bar {v}}$ : es ﬁndet somit in $k_{\bar {v}}$ die Spaltung des Ideals ${\mathfrak {p}}_{v}={\mathfrak {p}}_{\bar {v}}^{p^{\bar {e}}}$ in $p^{\bar {e}}$ gleiche Primfaktoren statt; dabei ist der Exponent ${\bar {e}}$ eine Zahl, die den Grad $f$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ nicht überschreitet.

Beweis. Es sei ${\mathsf {A}}$ eine durch ${\mathfrak {P}}$ , aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbare ganze Zahl des Körpers $K$ ; wir bestimmen dann ein System von Substitutionen $v_{1}$ , …, $v_{r}$ der Verzweigungsgruppe von der Art, daß, wenn

v_{1}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {B}}_{1}{\mathsf {A}}^{L},\ldots ,v_{r}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {B}}_{r}{\mathsf {A}}^{L},\quad ({\mathfrak {P}}^{L+1})

gesetzt wird, die ganzen Zahlen ${\mathsf {B}}_{1}$ , …, ${\mathsf {B}}_{r}$ sämtlich einander nach ${\mathfrak {P}}$ inkongruent sind und auch keine Substitution von $g_{v}$ zu diesem Systeme $v_{1}$ , …, $v_{r}$ hinzugefügt werden kann, ohne der letzteren Forderung zu widersprechen. Wählen wir dann eine beliebige Substitution $v^{*}$ der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ und setzen $v^{*}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}+{\mathsf {BA}}^{L}$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$ , so muß ${\mathsf {B}}$ einer der Zahlen ${\mathsf {B}}_{1}$ ‚ …, $B_{r}$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent sein; ist etwa ${\mathsf {B}}\equiv {\mathsf {B}}_{i}$ nach ${\mathfrak {P}}$ , so folgt $v_{i}^{-1}v^{*}{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$ . Aus Satz 72 folgt, daß jede ganze Zahl $\Omega$ in $K$ einem Ausdrucke $\alpha _{t}+\beta _{t}{\mathsf {A}}+\cdots +\lambda _{t}{\mathsf {A}}^{L}$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$ kongruent ist, wo $\alpha _{t}$ , $\beta _{t}$ , …‚ $\lambda _{t}$ ganze Zahlen des Trägheitskörpers sind, und hieraus ergibt sich für $\Omega$ die Kongruenz $v_{i}^{-1}v^{*}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{L+1}$ , d. h. es ist $v_{i}^{-1}v^{*}={\bar {v}}$ oder $v^{*}=v_{i}{\bar {v}}$ . Diese Gleichung beweist die im Satze 75 behauptete Struktur der Gruppe $g_{\bar {v}}$ .

Wir setzen $r_{\bar {v}}=p^{\bar {l}}$ und ${\bar {e}}=l-{\bar {l}}$ .

Es ist nunmehr ersichtlich, in welcher Weise das eingeschlagene Verfahren fortzusetzen ist. Bedeutet ${\bar {L}}$ den höchsten Exponenten von der Art, daß für jede Substitution ${\bar {v}}$ die sämtlichen Zahlen des Körpers $K$ der Kongruenz ${\bar {v}}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{\bar {L}}$ genügen, so bestimmen wir alle die Substitutionen ${\bar {\bar {v}}}$ , für welche beständig ${\bar {\bar {v}}}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}^{{\bar {L}}+1}$ wird. Dieselben bilden eine invariante Untergruppe $g_{\bar {\bar {v}}}$ der Gruppe $g_{\bar {v}}$ : die zweimal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ ; ihr Grad sei $r_{\bar {\bar {v}}}=p^{\bar {\bar {l}}}$ ; wir setzen ${\bar {\bar {e}}}={\bar {l}}-{\bar {\bar {l}}}$ . Es wird ${\mathfrak {p}}_{\bar {v}}={\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}^{p^{\bar {\bar {e}}}}$ , wo ${\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}$ ein Primideal des zu $g_{\bar {\bar {v}}}$ gehörigen Körpers $k_{\bar {\bar {v}}}$ ist.

So fortfahrend, gelangen wir zur dreimal überstrichenen Verzweigungsgruppe $g_{\bar {\bar {\bar {v}}}}$ usw. Ist etwa die $i$ -mal überstrichene Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ diejenige, welche lediglich aus der Substitution $1$ besteht, so ist der $i$ -mal überstrichene Verzweigungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ der Körper $K$ selbst und die Struktur der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ ist dann genau bekannt. Es leuchtet ein, daß für das Primideal ${\mathfrak {P}}$ überstrichene Verzweigungskörper nur dann vorhanden sein können, wenn der Grad $M$ des Körpers $K$ durch $p$ teilbar ist.

§ 45. Kurze Zusammenfassung der Sätze über die Zerlegung einer rationalen Primzahl

p

im Galoisschen Körper.

Durch die in § 39-44 entwickelten Sätze erlangen wir einen vollständigen Einblick in die bei der Zerlegung einer rationalen Primzahl $p$ in einem Galoisschen Körper sich abspielenden Vorgänge:

Es handle sich um einen bestimmten Primfaktor ${\mathfrak {P}}$ von $p$ , so wird $p$ zunächst im Zerlegungskörper von ${\mathfrak {P}}$ in der Form $p={\mathfrak {pa}}$ zerlegt, wo ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ersten Grades und ${\mathfrak {a}}$ ein durch ${\mathfrak {p}}$ nicht teilbares Ideal des Zerlegungskörpers ist. Der Zerlegungskörper von ${\mathfrak {P}}$ ist als Unterkörper in dem Trägheitskörper von ${\mathfrak {P}}$ enthalten, welcher seinerseits keine weitere Zerlegung von ${\mathfrak {p}}$ bewirkt, sondern lediglich dieses Ideal ${\mathfrak {p}}$ zu einem Primideal $f$ -ten Grades erweitert. Ist der Körper $K$ selbst der Zerlegungskörper oder der Trägheitskörper, so ist nach diesem ersten Schritte die Zerlegung bereits abgeschlossen. Im anderen Falle läßt sich ${\mathfrak {p}}$ für $K$ noch in gleiche Faktoren spalten, und zwar wird ${\mathfrak {p}}$ zunächst im Verzweigungskörper die Potenz eines Primideals ${\mathfrak {p}}_{v}$ , wobei der Exponent in $p^{f}-1$ aufgeht und folglich nicht durch $p$ teilbar ist. Die Spaltung von ${\mathfrak {p}}$ ist mit diesem zweiten Schritte notwendig dann und nur dann abgeschlossen, wenn $p$ im Grade der Trägheitsgruppe nicht aufgeht und mithin der Körper $K$ selbst der Verzweigungskörper ist. In den nun folgenden überstrichenen Verzweigungskörpern schreitet die Spaltung ohne Aussetzen fort, und zwar sind die bezüglichen Potenzexponenten Zahlen von der Gestalt $p^{\bar {e}}$ , $p^{\bar {\bar {e}}}$ , …, wo keiner der Exponenten ${\bar {e}}$ , ${\bar {\bar {e}}}$ , … den Grad $f$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ überschreitet.

Die Übersicht über die entwickelten Resultate wird durch die folgende Tabelle erleichtert, in deren Zeilen der Reihe nach die betreffenden Körper, die

$k_{z}$	$k_{t}$	$k_{v}$	$k_{\bar {v}}$	$k_{\bar {\bar {v}}}$	$K$
$r_{z}$	$r_{t}$	$r_{v}$	$r_{\bar {v}}$	$r_{\bar {\bar {v}}}$	$1$
$m_{z}={\frac {M}{r_{z}}}$	$m_{t}={\frac {M}{r_{t}}}$	$m_{v}={\frac {M}{r_{v}}}$	$m_{\bar {v}}={\frac {M}{r_{\bar {v}}}}$	$m_{\bar {\bar {v}}}={\frac {M}{r_{\bar {\bar {v}}}}}$	$M$
	$f={\frac {r_{z}}{r_{t}}}$	$h={\frac {r_{t}}{r_{v}}}$	$p^{\bar {e}}={\frac {r_{v}}{r_{\bar {v}}}}$	$p^{\bar {\bar {e}}}={\frac {r_{\bar {v}}}{r_{\bar {\bar {v}}}}}$	$p^{\bar {\bar {\bar {e}}}}=r_{\bar {\bar {v}}}$
$\overbrace {{\begin{aligned}{\mathfrak {p}}&={\mathfrak {p}}_{v}^{h}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{t}}\end{aligned}}^{}}$		${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{v}&={\mathfrak {p}}_{\bar {v}}^{p^{\bar {e}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{v}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{\bar {v}}&={\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}^{p^{\bar {\bar {e}}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{\bar {v}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\mathfrak {p}}_{\bar {\bar {v}}}&={\mathfrak {P}}^{p^{\bar {\bar {\bar {e}}}}}\\&={\mathfrak {P}}^{r_{\bar {\bar {v}}}}\end{aligned}}$	${\mathfrak {P}}$

Grade der zugehörigen Gruppen, die Grade der Körper, ihre Relativgrade in bezug auf den nächst niederen Körper, dann die Primideale der Körper und ihre Darstellung als Potenzen von ${\mathfrak {P}}$ sich angegeben finden. Der Körper $K$ ist dabei als ein dreimal überstrichener Verzweigungskörper angenommen. Die sämtlichen in der Tabelle vorkommenden Gradzahlen und Exponenten haben für jedes in $p$ aufgehende Primideal des Körpers $K$ die gleichen Werte wie für ${\mathfrak {P}}$ und sind daher durch die Primzahl $p$ allein völlig bestimmt.

↑ [358] Zwei neue Beweise für die Zerlegbarkeit der Zahlen eines Körpers in Primideale. Jber. Dtsch. Mathem.-Verein. 3 (1893).
↑ ^a ^b [358] Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale. Math. Ann. 44 (1894).
↑ vorlage: . …
↑ [358] Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.^{[WS 1]}