David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.30

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7.29 Die Normenreste und Normennichtreste des Kummerschen Körpers. David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert
7.30 Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren im Kummersehen Körper.
7.31 Der reguläre Kreiskörper.
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30. Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren im Kummersehen Körper.
§ 134. Der Grenzwert eines gewissen unendlichen Produktes.

Nachdem wir in § 128 die Primideale des Kummerschen Körpers sämtlich aufgestellt haben, sind wir imstande, diejenigen Untersuchungen für den Kummerschen Körper durchzuführen, welche den in § 79 und in § 80 für den quadratischen Körper behandelten Fragen entsprechen. Wir leiten vor allem die folgende wichtige Tatsache ab:

Hilfssatz 27. Bedeutet eine ungerade rationale Primzahl und in dem durch bestimmten Kreiskörper eine beliebige ganze Zahl, nur nicht die -te Potenz einer in liegenden Zahl, so ist der Grenzwert

stets eine endliche und von verschiedene Größe; dabei soll das Produkt über alle Primideale des Körpers und das Produkt über alle Exponenten aus der Reihe erstreckt werden [Kummer (20[1])].

Beweis. Fassen wir den durch und bestimmten Kummerschen Körper ins Auge und bezeichnen wir die dem Satze 56 gemäß gebildete Funktion für denselben mit , so ist nach § 27

,

wo das Produkt über alle Primideale in zu erstrecken ist und die in genommene Norm von bedeutet. Ordnen wir dieses Produkt nach den Primidealen des Körpers ‚ aus welchen die Primideale herstammen, so gehört, wie man aus Satz 149 schließt, zu einem beliebigen Primideal in dem Produkte das Glied

 oder  oder ,

je nachdem oder oder und ausfällt. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form

, 

und erhalten so

; (99)

darin zeigt das Produkt an, daß der Exponent jeden der Werte , , …, durchlaufen soll, und es sind die beiden Produkte über alle Primideale in zu erstrecken. Nun stellt jeder der beiden Ausdrücke

, 

eine endliche und von verschiedene Größe dar, wie wir erkennen, wenn wir den Satz 56 einmal auf den Kreiskörper und dann auf den Kummerschen Körper anwenden. Durch Multiplikation der Gleichung (99) mit und Übergang zur Grenze für ergibt sich dann, daß auch der im Hilfssatz 27 angegebene Ausdruck eine endliche und von verschiedene Größe besitzt.

§ 135. Primideale des Kreiskörpers mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren.

Satz 152. Es seien , …, irgend ganze Zahlen des Kreiskörpers , welche die Bedingung erfüllen, daß das Produkt

,

wenn man jeden der Exponenten , , …, die Werte , , , …, durchlaufen läßt, jedoch das eine Wertsystem , , …, ausschließt, dabei niemals die -te Potenz einer Zahl in wird; es seien ferner , , …, nach Belieben vorgeschriebene -te Einheitswurzeln: dann gibt es im Kreiskörper stets unendlich viele Primideale , für die jedesmal bei einem gewissen zu primen Exponenten

, , …,

wird [Kummer (20[1])].

Beweis. Wir haben, so lange ist,

(100)

wo über alle Ideale und jedesmal über alle Primideale des Körpers zu erstrecken ist. Da der Ausdruck , wie in § 50 gezeigt worden ist, für endlich bleibt, so folgt aus (100), indem die linke Seite für unendlich wird, daß die über alle Primideale des Körpers erstreckte Summe

bei Annäherung von an über alle Grenzen wächst. Ist ferner eine beliebige ganze Zahl in , so gilt ähnlich für stets

(101)

und hier bleibt wiederum für endlich. Es sei jetzt eine der Zahlen , , …, . Wir setzen in (101)

und multiplizieren die entstehende Gleichung noch mit dem Faktor wir erteilen dann jedem der Exponenten , , …, nacheinander alle die Werte , , …, , jedoch so, daß das eine Wertsystem , , …, ausgeschlossen bleibt. Werden die auf diese Weise hervorgehenden Gleichungen sämtlich zu (100) addiert, so entsteht die Beziehung

(102)

wo für den Augenblick

gesetzt ist; außerdem ist in für der oben angegebene Ausdruck einzusetzen. Wenn wir nun in der ersten Summe rechter Hand in (102) von denjenigen Gliedern absehen – ihr Aggregat möge heißen –‚ die den in aufgehenden Primidealen entsprechen und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so hat der übrige unendliche Teil dieser Summe offenbar den Wert , wo nur alle diejenigen unter den Primidealen des Körpers durchläuft, für welche die Bedingungen
(103)

sämtlich erfüllt sind. Bilden wir nun die Gleichungen (102) nacheinander für und summieren die entstehenden Formeln, so erhalten wir

(104)

hierbei hat in dem ersten Summenausdruck rechter Hand alle Primideale in zu durchlaufen, welche irgendeinem von den Bedingungssystemen genügen, die aus (103) entstehen, wenn man darin einführt; für ‚ …‚ sind diese Bedingungssysteme identisch und die betreffenden Primideale mal zu nehmen. Gehen wir nun zur Grenze für über, so wird die erste Summe linker Hand in (104) nach den Ausführungen zu Beginn des Beweises über alle Grenzen wachsen, und die zweite Summe linker Hand bleibt auf Grund von Hilfssatz 27 für endlich. Da. auch die Summen und sämtlich endlich bleiben, so folgt dann, daß der Ausdruck für über alle Grenzen wächst, und also sind die betreffenden Primideale in unendlicher Anzahl vorhanden; diese Primideale erfüllen hinsichtlich ihrer Potenzcharaktere genau die Forderungen des Satzes 152.

  1. a b [360] Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
  2. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
7.29 Die Normenreste und Normennichtreste des Kummerschen Körpers. Nach oben 7.31 Der reguläre Kreiskörper.
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