David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.33

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.33 Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste im regulären Kreiskörper.

7.34 Die Anzahl der vorhandenen Geschlechter im regulären Kummerschen Körper. →

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33. Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste im regulären Kreiskörper.

§ 154. Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste und die Ergänzungssätze.

Die bisher dargelegte Theorie des Kummerschen Körpers liefert uns die Hilfsmittel zum Beweise gewisser fundamentaler Gesetze über $l$-te Potenzreste im regulären Kreiskörper, welche den Reziprozitätsgesetzen für quadratische Reste im Gebiete der rationalen Zahlen entsprechen, und welche das in § 115 entwickelte Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz (Satz 140) zwischen einer beliebigen Zahl in $k(\zeta )$ und einer rationalen Zahl als besonderen Fall enthalten. Um diese Gesetze für $l$-te Potenzreste in ihrer einfachsten Gestalt aussprechen zu können, verallgemeinern wir das in § 113 und § 127 definierte Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ in folgender Weise:

Es sei $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta );$ dann bestimmen wir eine ganze rationale positive Zahl $h^{\ast }$ so, daß $hh^{\ast }\equiv 1$ nach $l$ wird. Bedeutet dann ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges, von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal in $k(\zeta ),$ so ist stets \mathfrak $p^{hh^{\ast }}$ ein Hauptideal in $k(\zeta );$ wir setzen ${\mathfrak {p}}^{hh^{\ast }}=(\pi ),$ so daß $\pi$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ ist, und nehmen hierin, was dem Satze 157 zufolge geschehen kann, die Zahl $\pi$ primär an. Eine solche ganze Zahl $\pi$ heiße eine Primärzahl von ${\boldsymbol {{\mathfrak {p}}.}}$ Es hat dann, da jede primäre Einheit in $k(\zeta )$ zufolge einer Bemerkung auf S. 288 die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist, $\pi$ in bezug auf jedes von ${\mathfrak {p}}$ verschiedene Primideal einen völlig bestimmten Potenzcharakter. Bedeutet nun ${\mathfrak {q}}$ ein beliebiges, von ${\mathfrak {l}}$ und von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes Primideal in $k(\zeta ),$ so wird das Symbol $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$ durch die Formel

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}$

definiert. Das Symbol $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$ ist somit eine durch die zwei Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ eindeutig bestimmte $l$-te Einheitswurzel. Mit Benutzung dieses Symbols sprechen wir folgende Tatsache aus:

Satz 161. Sind ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ voneinander und von dem Primideal ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale des regulären Kreiskörpers $k(\zeta ),$ so gilt die Regel

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\},$

das sogenannte Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste. Außerdem gelten, wenn $\xi$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ und $\pi$ eine Primärzahl von dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, die Regeln

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$,

die beiden sogenannten Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste [Kummer (10^[1], 12^[2], 18^[3], 19^[4], 20^[5], 21^[6])].

Wir führen den Nachweis dieses Fundamentalsatzes in den folgenden Paragraphen § 155 bis § 161 des gegenwärtigen Kapitels durch schrittweises Vorgehen, indem wir für besondere reguläre Kummersche Körper die im vorigen Kapitel gefundenen Sätze und Hilfssätze zur Anwendung bringen.

§ 155. Die Primideale erster und zweiter Art im regulären Kreiskörper.

Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, zwei Arten von Primidealen in $k(\zeta )$ zu unterscheiden: ein solches von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$, nach welchem nicht jede vorhandene Einheit in $k(\zeta )$ $l$-ter Potenzrest ist, möge ein Primideal erster Art heißen; dagegen möge jedes von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideal ${\mathfrak {q}}$ in $k(\zeta )$, nach welchem alle Einheiten in $k(\zeta )$ $l$-te Potenzreste sind, ein Primideal zweiter Art heißen [Kummer (20)]. Wir beweisen zunächst folgende Hilfssätze:

Hilfssatz 36. Wenn $\xi$ und $\varepsilon$ beliebige Einheiten des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ sind und $\lambda =1-\zeta$, ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt wird, so gelten stets die Gleichungen

$\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,\quad \left\{{\frac {\lambda ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Beweis. Wenn $\varepsilon$ die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist, so leuchtet die Richtigkeit der aufgestellten Gleichungen von selbst ein. Andernfalls definiert ${\sqrt[{l}]{\varepsilon }}$ einen Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon }},\zeta )$, und zwar einen solchen, für welchen die Betrachtungen am Schluß des § 147 zutreffen. Es sind daher alle Einheiten in $k(\zeta )$ und zudem auch die Zahl $\lambda$ Relativnormen von Zahlen in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon }},\zeta )$, und hieraus ergibt sich wegen Satz 151 die Richtigkeit der Gleichungen des Hilfssatzes 36.

Will man hier den Satz 151 für ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem auf S. 273 bis S. 274 ausführlich behandelten Fall anwenden, wo die betreffende Zahl $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, so mache man die letzten Schlüsse zunächst, indem man $\zeta ^{l-1}$ für die Einheit $\varepsilon$ nimmt; dann folgt $\left\{{\frac {\xi ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ und $\left\{{\frac {\lambda ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$. Weiter bestimme man, wenn $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet, eine solche $l$-te Einheitswurzel $\zeta ^{*}$, daß $\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ausfällt. Nimmt man dann im oben dargelegten Beweise $\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}$ an Stelle der Einheit $\varepsilon$, so folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266) $\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ und in gleicher Weise $\left\{{\frac {\lambda ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Hilfssatz 37. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ ist, so gibt es in $k(\zeta )$ stets wenigstens eine Einheit $\varepsilon$, für welche

$\left\{{\frac {\varepsilon ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$

ausfällt; ist dagegen ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ zweiter Art vorgelegt und bedeutet $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$, so gilt für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi ,\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Beweis. Um die erste Aussage dieses Hilfssatzes zu beweisen, nehmen wir an, es gelte im Gegenteil für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Wir setzen $\pi \equiv a+b\lambda ^{e}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$, wobei $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen sein sollen und $e$ den größten Exponent $\leqq l-1$ bedeutet, für den jener Ansatz möglich ist. Da $\pi$ eine primäre Zahl ist, so muß notwendig $e>1$ und $\pi \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\pi$ einer ganzen rationalen Zahl nach $l$ kongruent sein; hierbei bedeutet $s^{\frac {l-1}{2}}$ die Substitution $(\zeta :\zeta ^{-1})$ aus der Gruppe des Kreiskörpers $k(\zeta )$. Da $s^{\frac {l-1}{2}}\lambda \equiv -\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, so wird

$\pi \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\pi \equiv (a+b\lambda ^{e})(a+b(-\lambda )^{e}),$

$({\mathfrak {l}}^{e+1}),$

und hieraus folgt, daß im Falle $e<l-1$ der Exponent $e$ notwendig ungerade sein muß.

Wir haben nun beim Beweise des Hilfssatzes 29 gefunden, daß die $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ dort mit $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{l^{*}}$ bezeichneten Einheiten des Kreiskörpers $k(\zeta )$ die Bedingungen

$\left.{\begin{aligned}1^{(u)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,\quad &(l),&(u\neq 2t)\\1^{(2t)}(\varepsilon _{t})\not \equiv 0,\quad &(l)\end{aligned}}\right\}$

${\begin{pmatrix}t=1,2,\dotsc ,l^{*};\quad \\u=1,2,\dotsc ,l-2\end{pmatrix}}$

erfüllen. Setzen wir in der ersten Gleichung dieses Beweises der Reihe nach für $\xi$ die Werte $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{l^{*}}$ ein, so entspringen zufolge der Definition (82) des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ auf S. 266 und ihrer auf S. 266 gegebenen Ausdehnung die Kongruenzen

$1^{(l-2)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,$ $1^{(l-4)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,$ $1^{(l-6)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,\cdots ,1^{(3)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,$

$(l);$

und diese lassen erkennen, daß in der Kongruenz $\pi \equiv a+b\lambda ^{e}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$ der Exponent $e$ keinen der Werte $l-2$, $l-4$, $l-6$, $\dotsc$, $3$ haben darf. Stellen wir damit die oben gefundenen Bedingungen für $e$ zusammen, so folgt, daß $e=l-1$ sein muß. Da nun $\lambda ^{l-1}\equiv -l$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ wird, so ergibt sich $\pi \equiv a-b\,l$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$, und folglich genügt die Norm von $\pi$ der Kongruenz

$n(\pi )\equiv (a-b\,l)^{l-1}\equiv \pi ^{l-1},\quad ({\mathfrak {l}}^{l}).$

Andererseits entnehmen wir aus der Definition des Symbols auf S. 266 unter Berücksichtigung des Hilfssatzes 24

$\left\{{\frac {\zeta ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{\frac {1-n(\pi )}{l}},$

und da das Symbol linker Hand den Wert $1$ haben soll, so folgt $n(\pi )\equiv 1$ nach $l^{2}$, d. h. $\pi ^{l-1}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ oder $\pi \equiv \pi ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$. Nach Satz 148 besitzt infolge der letzteren Kongruenz der durch ${\sqrt[{l}]{\pi }}$ bestimmte Kummersche Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime Relativdiskriminante, und es ist mithin ${\mathfrak {p}}$ das einzige in der Relativdiskriminante von $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$} aufgehende Primideal. Setzen wir ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{l}$, so ist ${\mathfrak {P}}$ das einzige ambige Primideal dieses Körpers. Aus ${\sqrt[{l}]{\pi }}={\mathfrak {P}}^{hh^{*}}={\mathfrak {Pp}}^{\frac {hh^{*}-1}{l}}$ folgt, daß ${\mathfrak {P}}$ einem Ideal des Körpers $k(\zeta )$ äquivalent ist. Die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar hat also für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ den Grad $0$. Da die Anzahl $t$ der ambigen Ideale für diesen Körper $1$ ist, so folgt nach Satz 158, wenn $m$ die dort festgesetzte Bedeutung für diesen Körper hat, $1+m-{\frac {l+1}{2}}=0$, d. h. $m={\frac {l-1}{2}}$. Es ist folglich jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Relativnorm einer Einheit in $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$, und mithin wird nach Satz 151 stets $\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ und also, da $\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi ^{hh^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}$ ist, auch $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, entgegen unserer Annahme, wonach das Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der ersten Art sein sollte.

Um die zweite Aussage des Hilfssatzes 37 zu beweisen, betrachten wir ähnlich wie im Beweise des Hilfssatzes 36 den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$, wo $\xi$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$, nur nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$, sein soll. Wie am Schlusse des § 147 bewiesen wurde, ist jede Einheit in $k(\zeta )$ die Relativnorm einer Einheit in $k{\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ und daher haben die beiden in Satz 158 und in Satz 159 bezeichneten Einheitenscharen für diesen Körper den gemeinsamen Grad

$m=n={\frac {l-1}{2}}$.

Da ferner für ihn $t=1$ ist, so folgt aus Hilfssatz 34 $g\leqq 1$; mithin ist $g=1$, d. h. alle Idealklassen des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ gehören zum Hauptgeschlecht. Da ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, und mithin zerfällt nach Satz 149 ${\mathfrak {q}}$ in $l$ voneinander verschiedene Primideale des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$; es sei ${\mathfrak {Q}}$ einer dieser Primfaktoren von ${\mathfrak {q}}$. Das Charakterensystem einer Zahl $\alpha (\neq 0)$ des Körpers $k(\zeta )$ in $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ besteht aus dem einen Charakter $\left\{{\frac {\alpha ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$; derselbe fällt nach Hilfssatz 36 stets gleich $1$ aus, wenn man für $\alpha$ eine Einheit in $k(\zeta )$ nimmt. Der Charakter des Primideals ${\mathfrak {Q}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\xi }},\zeta )$ hat daher den Wert $\left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$, und dieser muß wegen der vorhin bewiesenen Tatsache gleich $1$ sein. Damit ist der Hilfssatz 37 vollständig bewiesen.

Will man wiederum Satz 151 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem Falle eines Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, für den $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, als bewiesen annehmen, so gilt auch die Einteilung der Geschlechter und insbesondere der Hilfssatz 34 nur für diesen Fall. Wir müssen dann zum Beweise der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37 erst $\xi =\zeta ^{l-1}$ und dann $\xi =\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}$ wählen, wobei $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ und $\zeta ^{*}$ dazu eine solche $l$-te Einheitswurzel bedeute, daß $\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird. Durch Verbindung der beiden sich dabei ergebenden Resultate erkennen wir dann die vollständige Richtigkeit der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37.

§ 156. Hilfssätze über Primideale erster Art im regulären Kreiskörper.

Wir beweisen der Reihe nach folgende Hilfssätze über Primideale erster Art im Körper $k(\zeta )$:

Hilfssatz 38. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art im regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Wenn es dann eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ gibt, so daß

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1,\quad \left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}$

statthat, so gilt für jede beliebige Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung:

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}.$

Beweis. Der durch ${\sqrt[{l}]{\pi }}$ bestimmte Kummersche Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ besitzt, weil ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art ist, nach dem Beweise des Hilfssatzes 37 zwei ambige Primideale ${\mathfrak {L}}$ und ${\mathfrak {P}}$, nämlich diejenigen, deren $l$-te Potenzen ${\mathfrak {l}}$ bez. ${\mathfrak {p}}$ sind. Da das ambige Primideal ${\mathfrak {P}}$ offenbar Hauptideal in $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ ist, so beträgt für diesen Körper der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar $0$ oder $1$, je nachdem ${\mathfrak {L}}$ Hauptideal ist oder nicht. Wegen des Satzes 158 besitzt daher, wenn $m$ die dort erklärte Bedeutung für den Körper $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ hat, die Zahl $2+m-{\frac {l+1}{2}}$ den Wert $0$ der $1$, d. h. es ist $m={\frac {l-3}{2}}$ oder $m={\frac {l-1}{2}}$. Da die Einheit $\varepsilon$ infolge der Voraussetzung $\left\{{\frac {\varepsilon ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ mit Rücksicht auf Satz 151 sicher nicht die Relativnorm einer Einheit des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ ist, so haben wir notwendigerweise $m={\frac {l-3}{2}}$, und es ist sodann jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ in der Gestalt $\xi =\varepsilon ^{a}\vartheta$ darstellbar, wo $a$ ein ganzer rationaler Exponent und $\vartheta$ eine solche Einheit bedeutet, die sich als Relativnorm einer Einheit in $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ erweist. Aus dem letzteren Grunde ist wegen Satz 151

$\left\{{\frac {\vartheta ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,\quad \left\{{\frac {\vartheta ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\vartheta }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$

und also auch $\left\{{\frac {\pi ,\vartheta }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\vartheta }{\mathfrak {p}}}\right\}$; hieraus folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266) auch $\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}$, und damit ist der Beweis für den Hilfssatz 38 erbracht.

Soll Satz 151 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem Falle eines Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, für den $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, angewandt werden, so bestimme man eine $l$-te Einheitswurzel $\zeta ^{*}$ derart, daß $\zeta ^{*}\pi ^{l-1}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird, und dann betrachte man, indem man im übrigen wie in dem oben dargelegten Beweise verfährt, an Stelle des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ den Körper $k({\sqrt[{l}]{\zeta ^{*}\pi ^{l-1}}},\zeta )$. Wenn man schließlich noch den Hilfssatz 36 zuzieht, folgt dann der Hilfssatz 38 vollständig.

Hilfssatz 39. Wenn ${\mathfrak {p}}$, $p^{*}$ zwei Primideale erster Art in $k(\zeta )$ und $\pi$, $\pi ^{*}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}$, $p^{*}$ sind, wenn ferner für jede beliebige Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\},\quad \left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ^{*},\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$

wird, so ist

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {{\mathfrak {p}}^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}$.

Beweis. Da ${\mathfrak {p}}^{*}$ ein Primideal erster Art ist, so können wir eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ derart bestimmen, daß $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ wird. Wir betrachten nun den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \pi }},\zeta )$. Da die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primfaktoren ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {p}}$ enthält, so besteht das Charakterensystem einer Zahl $\alpha (\neq 0)$ in $k(\zeta )$ für diesen Körper aus den zwei Charakteren $\left\{{\frac {\alpha ,\varepsilon \pi }{\mathfrak {l}}}\right\}$ und $\left\{{\frac {\alpha ,\varepsilon \pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}$. Wegen $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {p}}^{*}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \pi }},\zeta )$ weiter zerlegbar; es sei ${\mathfrak {P}}^{*}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {p}}^{*}$ in diesem Körper. Um das Charakterensystem von ${\mathfrak {P}}^{*}$ zu bilden, bedenken wir, daß ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art ist; es läßt sich dann eine Einheit $\varepsilon ^{*}$ in $k(\zeta )$ bestimmen, für welche $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}\pi ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird und es besteht das Charakterensystem von ${\mathfrak {P}}^{*}$ aus dem einen Charakter $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}\pi ^{*},\varepsilon \pi }{\mathfrak {l}}}\right\}$. Wir entnehmen mithin aus dem Hilfssatz 35 $g\leqq 1$ für den Körper $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \pi }},\zeta )$, d. h. in diesem Körper gehört jede Idealklasse dem Hauptgeschlecht an, und der zuletzt genannte Charakter besitzt daher den Wert $1$. Wir haben nun $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$, d. h. wegen der Formel auf S. 228

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}^{-1}$;

(142)

ferner $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}\pi ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, d. h.

$\left\{{\frac {{\mathfrak {p}}^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}$,

(143)

und endlich $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}\pi ^{*},\varepsilon \pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ oder mit Benutzung von (83), (S. 266)

$\left\{{\frac {\varepsilon ^{*},\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\varepsilon ^{*},\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\pi ^{*},\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\pi ^{*},\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Da nach Hilfssatz 36 $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*},\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ und nach Hilfssatz 30 $\left\{{\frac {\pi ^{*},\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist, so geht letztere Formel in

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ^{*},\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}$

(144)

über. Da wegen der von uns gemachten Voraussetzung

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}$ und $\left\{{\frac {\pi ^{*},\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}$

ist, so folgt aus (144) $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}$, und diese Gleichung liefert mit Benutzung der Formeln (142), (143) die im Hilfssatz 39 behauptete Gleichung.

Will man wiederum den Satz 151 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem Falle eines Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ anwenden, für den $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ausfällt, so wähle man im obigen Beweise die Einheit $\varepsilon$ derart, daß man außer $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ noch bei einem geeigneten, zu $l$ primen Exponenten $a(\varepsilon \pi )^{a}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ hat. Eine Bestimmung der Einheit $\varepsilon$ in dieser Weise ist, wie man leicht sieht, sicher stets dann möglich, wenn $\left\{{\frac {\zeta }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ ist. Ist aber $\left\{{\frac {\zeta }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}\neq 1$ und zugleich $\left\{{\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}\neq 1$, so kann jene Bedingung ebenfalls erfüllt werden, indem man für $\varepsilon$ eine geeignete Potenz von $\zeta$ nimmt. Ob die fragliche Bedingung sich erfüllen läßt, bleibt also nur dann zweifelhaft, wenn gleichzeitig $\left\{{\frac {\zeta }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}\neq 1$ und $\left\{{\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ ausfällt. In diesem Falle vertauschen wir bei dem obigen Beweise die Rollen von ${\mathfrak {p}},\pi$ einerseits und ${\mathfrak {p}}^{*},\pi ^{*}$ andererseits; dann bleibt offenbar nur noch der Fall unerledigt, daß zugleich $\left\{{\frac {\zeta }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}\neq 1$, $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ und $\left\{{\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\pi ^{*}}{\mathfrak {\mathfrak {p}}}}\right\}=1$ ausfällt. In diesem Falle erkennt man aber aus den letzten zwei Beziehungen die Behauptung des Hilfssatzes 39 ohne weiteres als richtig.

Hilfssatz 40. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art in $k(\zeta )$ ist und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, und wenn für jede beliebige Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$

besteht, wenn ferner ${\mathfrak {p}}^{*}$ ein solches von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes Primideal erster Art ist, daß

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {{\mathfrak {p}}^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$

ausfällt, so gibt es stets eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ von der Art, daß

$\left\{{\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ^{*},\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$

wird, wobei $\pi ^{*}$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}^{*}$ bezeichnet.

Beweis. Wir verfahren zuvörderst genau wie beim Beweise des vorigen Hilfssatzes und gelangen so unter Einführung gewisser Einheiten $\varepsilon$ und $\varepsilon ^{*}$ wieder zu den drei Formeln (142), (143), (144). Nun ist wegen der Voraussetzung des Hilfssatzes 40 $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right\}$; hieraus und wegen $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {{\mathfrak {p}}^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ folgt in Verbindung mit den drei genannten Formeln die Richtigkeit des Hilfssatzes 40.

Soll Satz 151 nur für den Fall $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ zur Anwendung gelangen, so hat man im vorstehenden Beweise nur nötig, die Einheit $\varepsilon$ so zu bestimmen, daß außer der Gleichung $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ noch die Kongruenz $(\varepsilon \pi )^{a}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ bei einem zu $l$ primen Exponenten $a$ erfüllt wird; es ist eine solche Bestimmung von $e$ hier stets möglich.

§ 157. Ein besonderer Fall des Reziprozitätsgesetzes für zwei Primideale.

Satz 162. Wenn ${\mathfrak {p}}$ und $q$ irgend zwei beliebige Primideale eines regulären Kreiskörpers sind, für welche $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ gilt, so ist stets auch $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$.

Beweis. Es seien $\pi ,\varkappa$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$. Wir betrachten den Kummerschen Körper $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ und unterscheiden zwei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster oder zweiter Art ist.

Im ersten Falle enthält die Relativdiskriminante von $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ die zwei Primideale ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {p}}$, und es gibt nach Hilfssatz 37 eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$, für welche der Charakter $\left\{{\frac {\varepsilon ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ ausfällt. Das Charakterensystem eines Ideals in $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ besteht daher nur aus einem Charakter, d. h. es ist $r=1$ und nach Hilfssatz 35 auch $g=1$. Wegen $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {q}}$ in $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ weiter zerlegbar; es sei ${\mathfrak {Q}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {q}}$ in diesem Körper. Da $\pi ,\varkappa$ primär sind, so fällt nach Hilfssatz 30 (S. 289) $\left\{{\frac {\varkappa ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ aus, und da ${\mathfrak {Q}}$ zum Hauptgeschlecht gehört, so ist auch $\left\{{\frac {\varkappa ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, wie es der Satz 162 behauptet.

Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal zweiter Art ist, so gilt nach Hilfssatz 37 für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung $\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, und folglich enthält, wie im Beweise des Hilfssatzes 37 gezeigt worden ist, die Relativdiskriminante von $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ nur das eine Primideal ${\mathfrak {p}}$. Es ist daher wiederum $r=1$ und $g=1$. Wegen $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {q}}$ in $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ weiter zerlegbar. Es sei ${\mathfrak {Q}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {q}}$ in diesem Körper. Da ${\mathfrak {Q}}$ zum Hauptgeschlecht gehört, und mit Rücksicht auf $\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist $\left\{{\frac {\varkappa ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, und damit ist der Satz 162 vollständig bewiesen.

Soll wiederum Satz 151 und dementsprechend auch Hilfssatz 35 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem Fall eines Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta \right)$, für den $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, angewandt werden, so ist zum Beweise des Satzes 162 im ersten der beiden vorhin unterschiedenen Fälle der folgende Zusatz erforderlich.

Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges Primideal und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ ist, so erkennen wir aus der Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ auf S. 266 und mit Rücksicht auf Hilfssatz 24 (S. 267) die Richtigkeit der Gleichung

$\left\{{\frac {\pi ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{l}}=\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}$.

(145)

Ist nun das Primideal ${\mathfrak {q}}$ von der Beschaffenheit, daß $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ausfällt, so bestimmen wir eine $l$-te Einheitswurzel $\zeta ^{*}$ derart, daß $\zeta ^{*}\pi ^{l-1}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ausfällt, und fassen statt des Kummerschen Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ den Körper $k({\sqrt[{l}]{\zeta ^{*}\pi ^{l-1}}},\zeta )$ ins Auge. Wir wenden dann die oben dargelegte Schlußweise an. Da

$\left\{{\frac {\varkappa ,\zeta ^{*}\pi ^{l-1}}{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa ,\zeta ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\varkappa ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}^{l-1}$

wird und, wie oben, $\left\{{\frac {\varkappa ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist, andererseits mit Rücksicht auf die in (145) angegebene Tatsache $\left\{{\frac {\varkappa ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ausfällt, so folgt $\left\{{\frac {\varkappa ,\zeta ^{*}\pi ^{l-1}}{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, und deshalb schließen wir $\left\{{\frac {\varkappa ,\zeta ^{*}\pi ^{l-1}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, d. h. $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$.

Es sei andererseits $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$. Da ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art ist, so gibt es sicher eine Einheit $\varepsilon _{1}$, für welche $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ ist, und ferner nach Hilfssatz 37 (S. 314) sicher eine Einheit $\varepsilon _{2}$, für welche $\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ ausfällt. Auch können wir diese Einheiten $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$ überdies beide so wählen, daß sie $\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ sind. Wir entnehmen hieraus weiter die Existenz einer Einheit $\varepsilon$, für welche $\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ sowie $\left\{{\frac {\varepsilon ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ ausfällt und überdies die Kongruenzeigenschaft $\varepsilon \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ erfüllt ist. In der Tat, wenn diese Bedingungen weder für $\varepsilon =\varepsilon _{1}$ noch für $\varepsilon =\varepsilon _{2}$ zutreffen, so ist gleichzeitig $\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ und $\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, und dann würde $\varepsilon =(\varepsilon _{1}\varepsilon _{2})^{\frac {l+1}{2}}$ eine Einheit von der verlangten Beschaffenheit sein. Wir bestimmen nun eine solche Potenz $\eta =\varepsilon ^{a}$ der Einheit $\varepsilon$, daß $\left\{{\frac {\eta \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird. Wäre nun $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$, so fiele der Exponent $a$ gewiß zu $l$ prim aus, und folglich wäre $\left\{{\frac {\eta ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$. Es ist außerdem, da $\varkappa$ eine primäre Zahl darstellt, ersichtlich, daß eine gewisse Potenz von $\eta \varkappa$ mit einem zu $l$ primen Exponenten der Zahl $1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ kongruent wird. Aus (145) und Hilfssatz 36 (S. 313) folgt noch $\left\{{\frac {\zeta ,\eta \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$. Der Kummersche Körper $k({\sqrt[{l}]{\eta \varkappa }},\zeta )$ besitzt deshalb nur ein Geschlecht. Wegen $\left\{{\frac {\eta \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {p}}$ in diesem Körper weiter zerlegbar; ist ${\mathfrak {P}}$ ein in ${\mathfrak {p}}$ aufgehender Primfaktor dieses Körpers, so findet man den Charakter von ${\mathfrak {P}}$ gleich dem Symbol

$\left\{{\frac {\zeta ^{*}\pi ,\eta \varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\zeta ^{*}\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}$,

wenn $\zeta ^{*}$ eine solche $l$-te Einheitswurzel bedeutet, daß $\left\{{\frac {\zeta ^{*}\pi ,\eta \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ausfällt. Wegen der letzten Gleichung, und da $\left\{{\frac {\zeta ,\eta }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist, folgt $\left\{{\frac {\zeta ^{*},\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\pi ,\eta }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, und wegen $\left\{{\frac {\pi ,\eta }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ ist also auch $\left\{{\frac {\zeta ^{*},\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$, d. i. mit Rücksicht auf (145) $\left\{{\frac {\zeta ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$; somit ist $\zeta ^{*}\neq 1$. Da aber jener eine Charakter des Primideals ${\mathfrak {P}}$ gleich $1$ sein muß, so folgt wegen $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ notwendig auch $\left\{{\frac {\zeta ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, und dies stünde im Widerspruch mit der eben gezogenen Folgerung.

§ 158. Das Vorhandensein gewisser Hilfsprimideale, für welche das Reziprozitätsgesetz gilt.

Auf Grund der Sätze 152, 140 und 162 erkennen wir leicht die Existenz gewisser Primideale, die in § 159 und § 160 zur Verwendung kommen werden. Es gelten folgende Tatsachen:

Hilfssatz 41. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeutet, so gibt es stets ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k(\zeta )$, welches den Bedingungen

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$, $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$

genügt.

Beweis. Es sei $h$ die Klassenanzahl von $k(\zeta )$ und, wie in § 149 und § 154, $h^{*}$ eine positive ganze rationale Zahl, so daß $hh^{*}\equiv 1$ nach $l$ wird. Es sei $p$ die rationale, durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare Primzahl und $\pi ={\mathfrak {p}}^{hh^{*}}$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$; ferner seien ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {p}}''$, … die untereinander und von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenen, zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten Primideale in $k(\zeta )$ und $\pi '={\mathfrak {p}}'^{hh^{*}}$, $\pi ''={\mathfrak {p}}''^{hh^{*}}$ die betreffenden zu $\pi$ konjugierten Zahlen in $k(\zeta )$; sie sind Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {p}}''$, …. Wir haben dann $p={\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}'{\mathfrak {p}}''\ldots$; da ferner ${\frac {p^{hh^{*}}}{\pi \pi '\pi ''\ldots }}$ eine Einheit in $k(\zeta )$ sein muß und überdies primär ausfällt, so stellt nach Satz 156 (s. auch S. 287) dieser Quotient die $l$-te Potenz einer Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ dar, es ist also

$p^{hh^{*}}=\varepsilon ^{l}\pi \pi '\pi ''\ldots$.

Nunmehr wenden wir den Satz 152 (S. 276) an, indem wir dort

${\begin{aligned}\alpha _{1}&=\zeta ,&\alpha _{2}&=\pi ,&\alpha _{3}&=\pi ',&\alpha _{4}&=\pi '',&\alpha _{5}&=\pi ''',\ldots ,\\\gamma _{1}&=\zeta ,&\gamma _{2}&=\zeta ,&\gamma _{3}&=1,&\gamma _{4}&=1,&\gamma _{5}&=1,\ldots \end{aligned}}$

nehmen. Da $\zeta$ nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist und $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, … Potenzen von Primidealen sind, deren Exponenten zu $l$ prim ausfallen, so sind die Voraussetzungen des Satzes 152 erfüllt, und es gibt daher nach diesem Satze in $k(\zeta )$ ein Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches bei irgendeinem geeigneten, zu $l$ primen Exponenten $m$

${\begin{aligned}\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}&=\zeta ,&\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}&=\zeta ,&\left\{{\frac {\pi '}{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}&=1,&\left\{{\frac {\pi ''}{\mathfrak {r}}}\right\}^{m}=1,\ldots ,&\end{aligned}}$

d. h.

${\begin{aligned}\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*},&\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*},&\left\{{\frac {\pi '}{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\pi ''}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots &\end{aligned}}$

(146)

wird, wo $\zeta ^{*}$ eine von $1$ verschiedene $l$-te Einheitswurzel darstellt. Aus (146) erhalten wir $\left\{{\frac {p^{hh^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon ^{-l}p^{hh^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi \pi '\pi ''\ldots }{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*}$, und folglich wird wegen Satz 140 (S. 231) auch $\left\{{\frac {\varrho }{p^{hh^{*}}}}\right\}=\zeta ^{*}$, wo $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeuten soll. Da nun wegen (146) nach Satz 162 (S. 319) $\left\{{\frac {\varrho }{\pi '}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\varrho }{\pi ''}}\right\}=1$, … sein muß und

$\left\{{\frac {\varrho }{p^{hh^{*}}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\pi }}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{\pi '}}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{\pi ''}}\right\}\cdots$

ist, so erhalten wir $\left\{{\frac {\varrho }{\pi }}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\zeta ^{*}$; damit ist gezeigt, daß das Primideal ${\mathfrak {r}}$ alle Bedingungen des Hilfssatzes 41 erfüllt.

Hilfssatz 42. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, wenn ferner $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$, nur nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist, so gibt es ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k(\zeta )$, das den Bedingungen

$\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$

genügt.

Beweis. Es mögen $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, … für ${\mathfrak {p}}$ die Bedeutung wie im vorigen Hilfssatz 41 haben; wir nehmen in Satz 152 (S. 276)

${\begin{aligned}\alpha _{1}&=\varepsilon \pi ,&\alpha _{2}&=\pi ,&\alpha _{3}&=\pi ',&\alpha _{4}&=\pi '',&\alpha _{5}&=\pi ''',\ldots ,\\\gamma _{1}&=1,&\gamma _{2}&=\zeta ,&\gamma _{3}&=1,&\gamma _{4}&=1,&\gamma _{5}&=1,\ldots ;\end{aligned}}$

die Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\alpha _{4}$, $\alpha _{5}$, . . . genügen wiederum, wie man leicht einsieht, der Voraussetzung des Satzes 152; es führt die entsprechende Schlußweise wie in Hilfssatz 41 zu einem Primideal ${\mathfrak {r}}$ von der hier verlangten Beschaffenheit.

§ 159. Beweis des ersten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.

Um den ersten Ergänzungssatz für ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ der ersten Art zu beweisen, wenden wir den Hilfssatz 41 an; diesem zufolge läßt sich ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ bestimmen, für welches

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ und $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$

wird, und das also gewiß ein Primideal erster Art ist. Nach Gleichung (145) haben wir für das Primideal ${\mathfrak {r}}$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{\frac {n({\mathfrak {r}})-1}{l}}=\left\{{\frac {\varrho ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}$,

wo $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeuten soll. Da $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ ausfällt, so besteht nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$

und demnach treffen die sämtlichen Bedingungen des Hilfssatzes 40 (S. 319) zu, wenn wir an Stelle der dort mit ${\mathfrak {p}}$ bez. ${\mathfrak {p}}^{*}$ bezeichneten Primideale die beiden Primideale ${\mathfrak {r}}$ bez. ${\mathfrak {p}}$ nehmen. Nach jenem Hilfssatze gibt es somit eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ derart, daß $\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ wird, wobei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeuten soll. Infolge dieser Tatsache ist nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$ erfüllt, wie es der erste Ergänzungssatz behauptet.

Des weiteren bedeute ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art in $k(\zeta )$. Dann ist nach der Definition eines solchen Primideals für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ stets $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, und wenn $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$ bezeichnet, so ist nach Hilfssatz 37 (S. 314) stets auch $\left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$. Es gilt daher in der Tat wiederum der erste Ergänzungssatz $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$.

§ 160. Beweis des Reziprozitätsgesetzes zwischen zwei beliebigen Primidealen.

Nachdem der erste Ergänzungssatz in § 159 bewiesen worden ist, folgt aus Hilfssatz 39 (S. 317) sofort die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale erster Art.

Es sei zweitens ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ erster Art und ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ zweiter Art vorgelegt; $\pi$ und $\varkappa$ seien Primärzahlen von ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$. Im Falle, daß $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ausfällt, folgt aus Satz 162 (S. 319) $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ und mithin die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$. Wir nehmen jetzt an, es sei $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$. Da ${\mathfrak {p}}$ von der ersten Art ist, so gibt es eine Einheit $\varepsilon$, so daß $\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ausfällt, und es kann hierbei stets, wie aus einer Betrachtung am Schlusse des Beweises von Hilfssatz 39 (S. 317) hervorgeht, die Einheit $\varepsilon$ zugleich so bestimmt werden, daß eine gewisse Potenz von $\varepsilon \varkappa$ mit einem zu $l$ primen Exponenten $\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird. Wir betrachten den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$. Nach Satz 148 (S. 251) enthält die Relativdiskriminante dieses Körpers in bezug auf $k(\zeta )$ die zwei Primfaktoren ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {q}}$. Da ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art ist, so gelten wegen der Hilfssätze 36 und 37 für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichungen

$\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\xi ,\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$,

und demgemäß ist die Anzahl $r$ der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ bestimmen, gleich $2$. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ die Anzahl der Geschlechter $g\leqq l$. Wir bestimmen nun nach Hilfssatz 42 (S. 322) ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k(\zeta )$ von der Beschaffenheit, daß

$\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$

wird. Wegen der ersteren Gleichung ist ${\mathfrak {r}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ weiter zerlegbar. Es sei ${\mathfrak {R}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {r}}$ in diesem Körper und $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$. Dann besteht das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {R}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ aus den beiden Charakteren

$\left\{{\frac {\varrho ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\varrho ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}$.

(147)

Da der zweite Charakter $\neq 1$ ist, so bestimmen die Ideale ${\mathfrak {R}}$, ${\mathfrak {R}}^{2}$, …, ${\mathfrak {R}}^{l}$ lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie die oben gefundene obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter zeigt, außer diesen keine weiteren Geschlechter. Mit Benutzung des in § 159 bewiesenen ersten Ergänzungssatzes ergibt sich

$\left\{{\frac {\rho ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {r}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {r}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$,

d. h. das Produkt der beiden Charaktere (147) ist gleich $1$. Da jedes beliebige Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ notwendig einem jener $l$ Geschlechter angehören muß, so folgt hieraus, daß für jedes Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ das Produkt seiner beiden Charaktere stets gleich $1$ ist. Wegen $\left\{{\frac {\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {p}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \varkappa }},\zeta )$ weiter zerlegbar; bezeichnet ${\mathfrak {P}}$ einen Primfaktor von ${\mathfrak {p}}$ in diesem Körper, so sind die beiden Charaktere für ${\mathfrak {P}}$ durch die Symbole

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\},$ $\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$

gegeben, und es folgt somit unter Benutzung des in § 159 bewiesenen Ergänzungssatzes notwendig

$\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$

oder

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}$,

d. h. es gilt das Reziprozitätsgesetz für die beiden Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$.

Es seien drittens zwei Primideale ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}^{*}$ der zweiten Art vorgelegt; $\varkappa$, $\varkappa ^{*}$ seien Primärzahlen von ${\mathfrak {q}}$ bez. ${\mathfrak {q}}^{*}$. Wir betrachten den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$. Die Zahlen $\varkappa$ und $\varkappa ^{*}$ sind, wie sich im Beweise des Hilfssatzes 37 herausgestellt hat, $l$-ten Potenzen von gewissen ganzen Zahlen in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent; das gleiche gilt daher von $\varkappa \varkappa ^{*}$, und folglich ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar. Diese Relativdiskriminante enthält somit nur die beiden Primfaktoren ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}^{*}$. Nun ist für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$

$\left\{{\frac {\xi ,\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\xi ,\varkappa \varkappa ^{*}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=1$,

und dementsprechend ist die Anzahl $r$ der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ bestimmen, $=2$. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ die Anzahl der Geschlechter $g\leqq l$. Ferner läßt sich nach Satz 152 (S. 276) jedenfalls ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k(\zeta )$ bestimmen derart, daß

$\left\{{\frac {\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$, $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$

ausfällt. Wegen der ersten Gleichung ist ${\mathfrak {r}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ weiter zerlegbar; es sei ${\mathfrak {R}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {r}}$ in diesem Körper und $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$. Dann besteht das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {R}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ aus den beiden Charakteren

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\},\\\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varkappa ^{*}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}.\\\end{aligned}}\right\}$

(148)

Da der erste Charakter wegen $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ dem Satze 162 (S.319) gemäß notwendig ebenfalls verschieden von $1$ ist, so bestimmen die Ideale ${\mathfrak {R}}$, ${\mathfrak {R}}^{2}$, ⋯, ${\mathfrak {R}}^{l}$ lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie bereits gezeigt worden ist, auch hier nicht mehr als $l$ Geschlechter. Wegen $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ ist ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal erster Art; es gilt daher nach dem vorigen einerseits für die Primideale ${\mathfrak {r}}$, ${\mathfrak {q}}$, andererseits für die Primideale ${\mathfrak {r}}$, ${\mathfrak {q}}^{*}$ das Reziprozitätsgesetz, und das Produkt der beiden Charaktere (148) wird folglich

$\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}\left\{{\frac {{\mathfrak {q}}^{*}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$.

(149)

Da jedes beliebige Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$ einem jener $l$ Geschlechter angehören muß, so folgt aus (149), daß für jedes Ideal das Produkt seiner beiden Charaktere gleich $1$ sein muß. Nun ist das Ideal ${\mathfrak {q}}$ gleich der $l$-ten Potenz eines Primideals ${\mathfrak {Q}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varkappa ^{*}}},\zeta )$. Die beiden Charaktere von ${\mathfrak {Q}}$ in diesem Körper sind alsdann

${\begin{aligned}\left\{{\frac {\varkappa ,\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}&=\left\{{\frac {\varkappa ^{*},\varkappa \varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {\varkappa ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {{\mathfrak {q}}^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}^{-1},\\\left\{{\frac {\varkappa ,\varkappa \varkappa ^{*}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}&=\left\{{\frac {\varkappa }{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\},\end{aligned}}$

und da ihr Produkt gleich $1$ sein soll, so erhalten wir

$\left\{{\frac {{\mathfrak {q}}^{*}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{{\mathfrak {q}}^{*}}}\right\}$.

Hiermit ist das Reziprozitätsgesetz für zwei Primideale der zweiten Art bewiesen, und nunmehr ist der Beweis des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale vollständig erbracht.

§ 161. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.

Es sei zunächst ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Wir bestimmen eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ derart, daß $\left\{{\frac {\varepsilon \lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird, und betrachten dann den durch ${\sqrt[{l}]{\varepsilon \lambda }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper. Wegen $\left\{{\frac {\varepsilon \lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {p}}$ in diesem Körper weiter zerlegbar; es sei ${\mathfrak {P}}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {p}}$ in diesem Körper. Wir erkennen, daß das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {P}}$ aus dem einen Charakter $\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon \lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$ besteht, und da somit nach Hilfssatz 35 (S. 312) auch nur ein Geschlecht, nämlich das Hauptgeschlecht, vorhanden ist, so muß dieser Charakter den Wert 1 besitzen. Hieraus, und da nach § 159 $\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}$ ist, folgt sofort die Gleichung $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$.

Des weiteren sei ein Primideal $q$ der zweiten Art vorgelegt, und es bezeichne $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$; dann sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ oder $\neq 1$ ausfällt. Im ersteren Falle lehrt die Betrachtung des Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\lambda }},\zeta )$, daß auch $\left\{{\frac {\varkappa ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist. Im zweiten Palle bestimme man nach Satz 152 (S. 276) ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}\neq 1$ ausfällt. Dann ist ${\mathfrak {p}}$ gewiß ein Primideal erster Art, und es folgt nach Satz 162 (S. 319), wenn $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$; mithin läßt sich gewiß eine ganze rationale Zahl $a$ so bestimmen, daß $\left\{{\frac {\lambda \pi ^{a}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ausfällt. Betrachten wir den Körper $k({\sqrt[{l}]{\lambda \pi ^{a}}},\zeta )$, so besteht für diesen, weil $\left\{{\frac {\zeta ,\lambda \pi ^{a}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}^{a}\neq 1$ ist, das Charakterensystem eines Ideals wiederum nur aus einem Charakter und dieser ist stets gleich $1$. Wenden wir die letztere Tatsache auf einen Primfaktor ${\mathfrak {Q}}$ von ${\mathfrak {q}}$ in diesem Körper an, so folgt $\left\{{\frac {\zeta \varkappa ,\lambda \pi ^{a}}{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}^{-a}\left\{{\frac {\varkappa ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, und berücksichtigen wir die Gleichung $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {q}}}\right\}$, so entsteht $\left\{{\frac {\lambda }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa ,\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}$.

Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste ist zuerst von Kummer bewiesen worden. Der hier dargelegte neue Beweis desselben unterscheidet sich von den Kummerschen Beweisen vor allem darin, daß Kummer zunächst den ersten Ergänzungssatz, und zwar unter einem erheblichen Aufwande von Rechnung, durch eine kunstvolle Erweiterung der Formeln der Kreisteilung gewinnt und dann erst auf Grund der errechneten Formeln das Reziprozitätsgesetz zwischen zwei Primidealen ableitet, während die obige Entwicklung die Beweisgründe für das Reziprozitätsgesetz und seine beiden Ergänzungssätze aus gemeinsamer Quelle schöpft.

Von besonderen Reziprozitätsgesetzen, zu deren Behandlung die Formeln der Kreisteilung ausreichen, sind das Reziprozitätsgesetz für biquadratische Reste [Gauss (3^[7]), Eisenstein (8^[8], 9^[9])], das Reziprozitätsgesetz für kubische Reste [Eisenstein (5^[10], 7^[11]), Jacobi (1^[12])], ferner für bikubische Reste [Gmeiner (1^[13], 2^[14], 3^[15])] und die auf $5$-te, $8$-te, $12$-te Potenzreste bezüglichen Untersuchungen von Jacobi zu nennen [Jacobi (4^[16])].

Auch sei endlich noch erwähnt, daß Eisenstein ohne Beweis ein Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste aufgestellt und dabei auch den Fall in Betracht gezogen hat, daß die Klassenanzahl des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln durch $l$ teilbar ist [Eisenstein (1^[17], 12^[18])].

1. Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 1]}
2. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).^{[WS 2]}
3. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze der Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1858.^{[WS 3]}
4. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 56 (1858).^{[WS 4]}
5. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 5]}
6. Zwei neue Beweise der allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1861.^{[WS 6]} Abgedruckt im J. Math. 100.^{[WS 7]}
7. Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio prima et secunda. Werke 2, 65 u. 93.
8. Loi de reciprocité. Nouvelle démonstration du théorème fondamental sur les résidus quadratiques dans la théorie des nombres complexes. Démonstration du théorème fondamental sur les résidus biquadratiques qui comprend comme cas particulier le théorème fondamental. J. Math. 28 (1844).^{[WS 8]}
9. Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste. J. Math. 28 (1844).^{[WS 9]}
10. Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die kubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten komplexen Zahlen. J. Math. 27 (1844).^{[WS 10]}
11. Nachtrag zum kubischen Reziprozitätssatze für die aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten komplexen Zahlen. Kriterien des kubischen Charakters der Zahl $3$ und ihrer Teiler. J. Math. 28 (1844).^{[WS 11]}
12. De residuis cubicis oommentatio numerosa. Werke 6, 233 (1827)
13. Die Ergänzungssätze zum bikubischen Reziprozitätsgesetze. Ber. K. Akad. Wiss. Wien 1891.^{[WS 12]}
14. Das allgemeine bikubische Reziprozitätsgesetz. Ber. Akad. Wiss. Wien 1892.^{[WS 13]}
15. Die bikubische Reziprozität zwischen einer reellen und einer zweigliedrigen regulären Zahl. Monatsh. Math. Phys. 3 (1892).
16. Über die komplexen Primzahlen, welche in der Theorie der Reste der 5ten, 8ten und 12ten Potenzen zu betrachten sind. Werke 6, 275 (1839)
17. Über eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 14]}
18. Über ein einfaches Mittel zur Auffindung der höheren Reziprozitätsgesetze und der mit ihnen zu verbindenden Ergänzungssätze. J. Math. 39 (1850).^{[WS 15]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Die allgemeinen Reziprocitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 154–165 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen
3. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze der Potenzreste, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858, S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
4. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 56 (1858), S. 270–279 GDZ Göttingen
5. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
6. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1861, S. 81–122 Internet Archive
7. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1861 (1862), S. 81–122 Internet Archive. Abgedruckt in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100, (1887) S. 10–50 GDZ Göttingen
8. Eisenstein, Gotthold: La loi de réciprocité tirée des formules de Mr. Gauss sans avoir déterminé préalablement le signe du radical, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 41–43 GDZ Göttingen
9. Eisenstein, Gotthold: Neuer Beweis und Verallgemeinerung des Binomischen Lehrsatzes, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 44–48 GDZ Göttingen
10. Eisenstein, Gotthold: Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 27 (1844), S. 289–310 GDZ Göttingen
11. Eisenstein, Gotthold: Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatze für die aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen Zahlen. Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 und ihre Theiler, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 28–35 GDZ Göttingen
12. Gmeiner, Josef Anton: Die Ergänzungssätze zum bikubischen Reziprozitätsgesetze, in: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien – mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, Bd. 100 (1891), S. 1330–1361 zobodat.at
13. Gmeiner, Josef Anton: Das allgemeine bikubische Reziprozitätsgesetz, in: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien – mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, Bd. 101 (1892), S. 562-584 zobodat.at
14. Eisenstein, Gotthold: Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definiert werden, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 189–198 Berlin-Brandenburgische Akademie
15. Eisenstein, Gotthold: Über ein einfaches Mittel zur Auffindung der höheren Reciprocitätsgesetze und der mit ihnen zu verbindenden Ergänzungssätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39 (1850), S. 351–364 GDZ Göttingen

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