David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.5

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7.4 Die Diskriminante des Körpers und ihre Teiler. David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert
7.5 Der Relativkörper.
7.6 Die Einheiten des Körpers.
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5. Der Relativkörper.
§ 14. Die Relativnorm, die Relativdifferente und die Relativdiskriminante.

Die Begriffe Norm, Differente und Diskriminante sind einer wichtigen Verallgemeinerung fähig.

Ist ein Körper vom Grade , welcher sämtliche Zahlen des Körpers vom -ten Grade enthält, so heißt ein Unterkörper von . Der Körper wird der Oberkörper von oder der Relativkörper in bezug auf genannt. Es sei eine den Körper bestimmende Zahl. Unter den unendlich vielen Gleichungen mit algebraischen, in liegenden Koeffizienten, denen die Zahl genügt, habe die folgende Gleichung vom Grade

(3)

den niedrigsten Grad; , …, sind dann bestimmte Zahlen in . Der Grad heißt der Relativgrad des Körpers in bezug auf ; es ist . Die Gleichung (3) vom -ten Grade ist im Rationalitätsbereich irreduzibel. Sind , …, die anderen Wurzeln der Gleichung (3), so heißen diese algebraischen Zahlen die zu relativ konjugierten Zahlen, und die bez. durch , …, bestimmten Körper , …, heißen die zu relativ konjugierten Körper. Ist eine beliebige Zahl des Körpers , und ist

,

wo , , …, Zahlen in sind, so heißen die Zahlen

die bez. durch die Substitutionen , …, aus entspringenden oder zu relativ konjugierten Zahlen. Wendet man auf die sämtlichen Zahlen eines Ideals die Substitution an, so heißt das dann entstehende Ideal das durch aus entspringende oder zu relativ konjugierte Ideal.

Das Produkt einer Zahl mit den relativ konjugierten Zahlen

heißt die Relativnorm der Zahl bezüglich des Körpers oder Rationalitätsbereiches . Die Relativnorm ist eine Zahl in . Ist ein beliebiges Ideal in , so heißt das Produkt von mit den sämtlichen relativ konjugierten Idealen von

die Relativnorm des Ideals . Die Relativnorm ist ein Ideal des Körpers . Bedeuten nämlich , …, Unbestimmte, so sind die Koeffizienten des Ausdruckes

ganze Zahlen in , deren größter gemeinsamer Teile nach Satz 13 mit jenem Idealprodukte übereinstimmen muß.

Wenn , …, beliebige Zahlen in sind und das durch sie bestimmte Ideal in bezeichnet, so wird durch die nämlichen Zahlen auch zugleich ein Ideal im Körper bestimmt. Dieses Ideal ist als nicht verschieden von anzusehen. Ein Ideal des Körpers wird umgekehrt dann und nur dann auch als ein Ideal des Körpers bezeichnet, wenn sich zugleich als größter gemeinsamer Teiler von gewissen ganzen Zahlen , …, des Körpers darstellen läßt. Daß wir berechtigt sind, unter den angegebenen Umständen (, …, ) zugleich als ein Ideal in und in anzusehen, lehrt der folgende Satz: Wenn , …, und , …, ganze Zahlen in sind, so daß in die beiden Ideale und miteinander übereinstimmen, so stimmen auch in die beiden Ideale und miteinander überein. In der Tat, wegen der Voraussetzung gilt, wenn eine der Zahlen , …, bedeutet, eine Gleichung von der Gestalt , wo , …, gewisse ganze Zahlen in sind. Wenn wir nun von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, so erkennen wir, daß im Körper die Zahl durch teilbar sein muß; infolgedessen ist in auch durch und daher auch durch teilbar. Da in gleicher Weise das Umgekehrte gezeigt werden kann, so haben wir notwendig in die Gleichung .

Der Ausdruck

stellt eine Zahl des Körpers dar und heißt die Relativdifferente der Zahl in bezug auf den Körper . Der Ausdruck

heißt die Relativdiskriminante der Zahl . Dieselbe ist bis auf das Vorzeichen gleich der Relativnorm der Relativdifferente von ; es ist nämlich .

Sind , …, die Basiszahlen des Körpers , so heißt das durch Multiplikation der Elemente

entstehende Ideal

die Relativdifferente des Körpers in bezug auf . Bezeichnet

die Fundamentalform von , so ist die Relativdifferente von

.

Die Koeffizienten dieser Form sind Zahlen des Körpers , und da nach dem Satze 13 der größte gemeinsame Teiler derselben die Relativdifferente ergeben muß, so ist ein Ideal des Körpers .

Das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers aller -reihigen Determinanten der Matrix

(4)
heißt die Relativdiskriminante des Körpers bezüglich ; dieselbe ist, wie

leicht ersichtlich, ein Ideal des Körpers .

§ 15. Eigenschaften der Relativdifferente und der Relativdiskriminante eines Körpers.

Hinsichtlich der soeben definierten Begriffe gelten folgende Sätze [Hilbert (4[1])]:

Satz 38. Die Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf den Unterkörper ist gleich der Relativnorm der Relativdifferente von , d. h.

.

Beweis: Die Relativnorm von der Relativdifferente der Fundamentalform ist

Andererseits ist das rechtsstehende Determinantenquadrat eine Form des Körpers , deren Inhalt gleich der Relativdiskriminante ist. Drücken wir nämlich die Terme der obigen Determinante linear durch , …, bezüglich durch die konjugierten Basiszahlen des Körpers aus, wobei die Koeffizienten in diesen Ausdrücken ganzzahlige Funktionen von , …, sind, so erkennen wir, daß jenes Determinantenquadrat lauter durch teilbare Koeffizienten besitzt. Umgekehrt zeigt eine Übertragung des Satzes 36, daß eine jede -reihige Determinante der Matrix (4) nach Multiplikation mit der -ten Potenz einer gewissen in den Parametern , …‚ geschriebenen rationalen Einheitsform durch das Differenzenprodukt

teilbar wird. Daraus folgt .

Satz 39. Bedeuten und die Diskriminanten des Oberkörpers und des Unterkörpers und bezeichnet die Norm der Relativdiskriminante , genommen im Körper , so ist

.

Beweis: Ist die Fundamentalform des Körpers , so genügt , für gesetzt, einer Gleichung -ten Grades in von der Gestalt

,
wo , …‚ ganzzahlige Funktionen von und den Unbestimmten

, …, , …, sind, und wo eine rationale Einheitsform der Unbestimmten , …, ist, Die übrigen Wurzeln der obigen Gleichung -ten Grades sind , …‚ . Sodann sei eine der zu konjugierten Fundamentalformen; die Wurzeln der Gleichung -ten Grades mögen mit , , …, bezeichnet werden. Da nun einer Gleichung -ten Grades genügt, so ist offenbar jede Potenz von nach Multiplikation mit einer Potenz von gleich einer ganzen Funktion von und , welche in höchstens bis zum Grade und in höchstens bis zum Grade ansteigt, und deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen der Parameter , …‚ , , …, sind. Infolgedessen ist notwendigerweise die Diskriminante der Fundamentalform nach Multiplikation mit einer Potenz von durch das Quadrat der -reihigen Determinante

teilbar; hierbei sind in dem Schema nur die ersten Horizontalreihen hingeschrieben; die übrigen Horizontalreihen entstehen, wenn man der Reihe nach allen Buchstaben die Zeichen , …‚ als obere Indizes und zugleich allen Buchstaben die nämlichen Zeichen als untere Indizes anfügt.

Drückt man nun die Elemente der Determinante linear durch die Basiszahlen , …, und deren Konjugierte aus, so erkennen wir die Richtigkeit der Formel

wo eine ganzzahlige Funktion der Parameter , …, , , …, bedeutet. Hieraus folgt, daß der Zahlenfaktor des Quadrates von durch teilbar ist. Da aber der Zahlenfaktor der Diskriminante von nach Satz 35 wird, so folgt aus obiger Entwicklung, daß auch umgekehrt durch den Zahlenfaktor des Quadrates von teilbar ist; d. h. der Zahlenfaktor von ist gleich .

Aus elementaren Sätzen der Determinantentheorie ergibt sich nun die Identität

wo

gesetzt ist, und hieraus folgt unmittelbar der Satz 39.

Der eben bewiesene Satz 39 zeigt nicht nur, daß die Diskriminante eines Körpers durch die Diskriminante eines jeden Unterkörpers teilbar ist, sondern gibt eine gewisse Potenz der letzteren an, welche in der Diskriminante des Oberkörpers aufgeht, und deckt auch zugleich die einfache Bedeutung des übrig bleibenden Faktors der Diskriminante des Oberkörpers auf.

§ 16. Die Zerlegung eines Elementes des Körpers im Oberkörper . Der Satz von der Differente des Oberkörpers .

Satz 40. Jedes Element des Unterkörpers ist dem Produkt von gewissen Elementen des Oberkörpers gleich, und zwar gelten die Formeln:

Beweis: Ist

die Fundamentalgleichung -ten Grades des Körpers , wobei , …‚ ganzzahlige Funktionen von , …‚ bedeuten, so gilt identisch in die Gleichung

.

Die Differente der Fundamentalform ist mithin wegen durch die Formel

dargestellt. Nun ist einerseits
, (5)

und andererseits ist

, (6)

wo eine ganze algebraische Form bedeutet; aus diesen Formeln folgt:

.

Da die Relativdifferente von darstellt, so folgt nach Satz 13 aus der letzten Formel

, (7)

wo die Differente von , die Relativdifferente von in bezug auf , die Differente von und wo dasjenige Ideal bedeutet, welches den Inhalt der Form ausmacht. Durch Normbildung ergibt sich ‚ und folglich ist nach Satz 39 , d. h. . Die Formen , …, sind daher sämtlich Einheitsformen, und die Formeln (5) und (6) beweisen unseren Satz 40.

Der Satz 40 liefert die Zerlegung der Elemente des Körpers im Oberkörper ; er ist das Fundament der Theorie der Diskriminanten. Die Formel (7) liefert überdies die wichtige Tatsache:

Satz 41. Die Differente des Körpers ist gleich dem Produkt der Relativdifferente von in bezug auf den Unterkörper und der Differente des Körpers , d. h. es ist

.

Nach diesem Satze ist das Verhalten der Differenten beim Übergange von dem Unterkörper in den Oberkörper von merkwürdiger Einfachheit: man bekommt die Differente des höheren Körpers, indem man die Differente des niederen Körpers mit der betreffenden Relativdifferente multipliziert.


  1. [358] Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)


7.4 Die Diskriminante des Körpers und ihre Teiler. Nach oben 7.6 Die Einheiten des Körpers.
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