David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 9.I

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Zur Navigation springen Zur Suche springen
9. Über die Theorie des relativquadratischen Zahlkörpers. David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert
9.I Allgemeine Definitionen und vorbereitende Sätze.
9.II Die Theorie der relativquadratisehen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.
  Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
I. Allgemeine Definitionen und vorbereitende Sätze.
§ 1. Quadratische Reste und Nichtreste im Grundkörper und das Symbol .

Definition 1. Es sei ein in der Zahl nicht aufgehendes Primideal des Körpers und eine beliebige zu prime ganze Zahl in : dann heiße in quadratischer Rest nach , wenn kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach wird, d. h. wenn die Kongruenz

durch eine ganze Zahl des Körpers befriedigt werden kann; im anderen Falle heiße quadratischer Nichtrest nach . Wir definieren jetzt das Symbol ‚ indem wir, wenn in quadratischer Rest nach ist,

und im anderen Fall

setzen. Satz 1 Wenn ein beliebiges nicht in aufgehendes Primideal des Körpers und eine zu prime ganze Zahl in ist, so gilt nach dem Modul die Kongruenz

,

worin die Norm des Primideals im Körper bedeutet.

Beweis. Ist nach , wo wieder eine ganze Zahl in bedeutet, so folgt nach dem Fermatschen Satze[1] sofort

.

Wir nehmen andererseits an, es sei quadratischer Nichtrest nach ; bezeichnen wir dann mit eine Primitivzahl nach im Körper und setzen nach , so muß hierin offenbar der Exponent eine ungerade Zahl sein. Nach dem Fermatschen Satze ist aber

,

und folglich

.

(1)

Da in der Reihe der Potenzen die Potenz die erste sein soll, welche nach wird, so gilt notwendig auf der rechten Seite der Kongruenz das negative Vorzeichen und demzufolge wird

.

Aus dem eben bewiesenen Satze 1 folgen leicht die weiteren Tatsachen:

Satz 2 Wenn irgend zwei zu dem Primideal prime ganze Zahlen in sind, so gilt stets die Gleichung

.

Ein vollständiges System von zu primen und einander nach inkongruenten Zahlen zerfällt in zwei Teilsysteme, von denen das eine aus den quadratischen Resten nach , das andere aus den quadratischen Nichtresten nach besteht.

§ 2. Die Begriffe Relativnorm, Relativdifferente und Relativdiskriminante.

Definition 2. Jede Zahl des Körpers kann in die Gestalt

gebracht werden, wo ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers sind; ist dies geschehen, so heiße die Zahl

,

die vermöge der Substitution

aus entspringende oder zu relativkonjugierte Zahl in . Die Zahl

heiße die Relativdifferente der Zahl im Körper . Der größte gemeinsame Teiler der Relativdifferenten aller ganzen Zahlen des Körpers , d. h. das Ideal

heiße die Relativdifferente des Körpers in bezug auf den Körper .

Das Produkt einer Zahl des Körpers mit der relativkonjugierten Zahl heißt die Relativnorm der Zahl und wird mit bezeichnet; es ist also

.

Die Relativnorm einer Zahl in ist stets eine Zahl in .

Ist ein beliebiges Ideal der Körpers und wendet man auf sämtliche ganze Zahlen dieses Ideals die Substitution an, so heißt das so entstehende Ideal das zu relativkonjugierte Ideal und wird mit bezeichnet; es ist also

.

Das Produkt eines Ideals des Körpers mit dem relativkonjugierten Ideal heißt die Relativnorm des Ideals und wird mit bezeichnet; es ist also

.

Die Relativnorm eines Ideals in ist stets ein Ideal in .

Das Quadrat der Relativdifferente einer Zahl des Körpers d. h. die Zahl heißt die Relativdiskriminante der Zahl . Die Relativdiskriminante einer Zahl in ist stets eine Zahl in .

Das Quadrat der Relativdifferente des Körpers

heißt die Relativdiskriminante des Körpers . Da die Relativdifferente des Körpers ein solches Ideal des Körpers ist, das seinem relativ konjugierten Ideale gleich wird, so ist die Relativdiskriminante auch gleich der Relativnorm der Relativdifferente des Körpers ; es ist daher die Relativdiskriminante stets ein Ideal in .

§ 3. Das ambige Ideal.

Definition 3. Ein Ideal des Körpers heißt ein ambiges Ideal, wenn dasselbe bei der Operation ungeändert bleibt, d. h. wenn

ist und wenn außerdem kein von verschiedenes Ideal des Körpers als Faktor enthält. Insbesondere heißt ein Primideal des Körpers ein ambiges Primideal, wenn dasselbe bei Anwendung der Substitution ungeändert bleibt und nicht zugleich im Körper liegt. Jedes ambige Ideal ist ein Produkt von ambigen Primidealen. Das Quadrat eines ambigen Primideals ist gleich der Relativnorm desselben und stellt im Körper selbst ein Primideal dar.

Satz 3[2]. Die Relativdifferente des relativquadratischen Körpers enthält alle und nur diejenigen Primideale, welche ambig sind.

§ 4. Die Primfaktoren der Relativdiskriminante.

Unsere nächste Aufgabe ist es, die Primfaktoren der Relativdiskriminante des Körpers wirklich zu ermitteln. Diese Aufgabe wird durch den folgenden Satz gelöst:

Satz 4. Es sei ein zu primes Primideal des Körpers ; geht dann in der Zahl genau zur -ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent ungerade ist, die Relativdiskriminante des Körpers stets den Faktor . Ist dagegen der Exponent gerade, so fällt die Relativdiskriminante prim zu aus.

Es sei ein Primideal des Körpers , welches in aufgeht, und zwar genau zur -ten Potenz; ferner gehe in genau zur -ten Potenz auf: so ist die Relativdiskriminante des Körpers stets dann und nur dann zu prim, wenn im Körper eine ganze Zahl vorhanden ist, die der Kongruenz

(1)

genügt.

Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 4 ein. Es sei eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl in , und weiter sei eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in .

Ist der Exponent ungerade, so stellt eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl in dar von der Art, daß die Zahl im Körper liegt und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von und mit bezeichnen, so ist

.

Das Ideal ist also ein ambiges Primideal und nach Satz 3 tritt dasselbe daher in der Relativdifferente des Körpers als Faktor auf; es ist also die Relativdiskriminante durch teilbar.

Ist dagegen der Exponent gerade, so stellt eine zu prime ganze Zahl in dar, von der Art, daß in liegt; da die Relativdiskriminante der Zahl den Wert hat, so ist sie zu prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante des Körpers .

Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors . Ist die Kongruenz erfüllt, so muß in der Zahl genau zur -ten Potenz aufgehen und mithin ist der Exponent eine gerade Zahl. Es sei nun eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl in und weiter sei eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in : der Ausdruck

stellt dann eine ganze Zahl in dar, da die beiden Ausdrücke

,

,

offenbar ganze Zahlen in sind. Andererseits hat die Relativdiskriminante der Zahl den Wert

und ist mithin prim zu ; das gleiche gilt also für die Relativdiskriminante des Körpers .


Setzen wir umgekehrt voraus, die Relativdiskriminante des Körpers sei prim zu , so folgt wegen

,

daß dann notwendig im Körper eine ganze Zahl existieren muß, deren Relativdiskriminante zu prim ausfällt; wir setzen

,

wo ganze Zahlen in bezeichnen, die bez. genau durch die -te, -te, -te Potenz von aufgehen mögen. Da nun eine zu prime ganze Zahl sein soll, so folgt

,

(2)
und da andererseits die Relativnorm eine ganze Zahl ist, so müssen entweder beide der Zahlen und genau durch die gleiche Potenz von aufgehen oder es müßte jede dieser beiden Zahlen mindestens durch teilbar sein. Das letztere ist nicht der Fall, weil wegen der eben abgeleiteten Gleichung jedenfalls ausfällt und daher sicher nicht durch teilbar sein kann. Es ist daher notwendigerweise und mithin wegen auch oder .

Aus folgt ferner und aus folgt ; mithin ist auch . Da eine ganze Zahl sein soll, so haben wir die Kongruenz

,

Wegen läßt sich der Bruch in der Gestalt eines Bruches schreiben, dessen Nenner zu prim ausfällt, und es ist somit notwendig einer gewissen ganzen Zahl des Körpers nach kongruent, so daß auch die Kongruenz

gilt. Hierdurch ist mit Rücksicht auf die aus folgende Gleichung die Richtigkeit des Satzes vollständig gezeigt.

Aus diesem Satze entnehmen wir leicht die folgende besondere Tatsache:

Satz 5 Wenn eine beliebige zu prime ganze Zahl in bedeutet, die nicht das Quadrat einer Zahl in wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers stets dann und nur dann zu prim, wenn dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent wird.


§ 5. Die Zerlegung der Primideale des Grundkörpers im relativquadratischen Körper .

Die Frage, wie die Primideale des relativquadratischen Körpers durch Zerlegung aus den Primidealen des Körpers entstehen, erledigt sich in den folgenden Sätzen:

Satz 6 Ein Primideal des Körpers ist stets dann und nur dann im Körper gleich dem Quadrat eines Primideals , wenn in der Relativdiskriminante des Körpers aufgeht.


Beweis. Aus folgt und mithin , d. h. ist ein ambiges Primideal des Körpers und als solches nach Satz in der Relativdifferente des Körpers enthalten, d. h. geht geht dann in der Relativdiskriminante auf.

Wenn wir umgekehrt annehmen, daß in der Relativdiskriminante des Körpers aufgehe und mit einen in aufgehenden Primfaktor des Körpers bezeichnen, so geht offenbar in der Relativdifferente des Körpers auf und ist mithin nach Satz 3 ein ambiges Ideal, d. h. es ist nach Definition 3 und . Wegen dieser Beziehungen ist auch , und hieraus folgt . Damit ist der Beweis für den Satz 6 erbracht.

Satz 7. Wenn ein Primideal des Körpers bedeutet, welches weder in noch in aufgeht, so ist im Körper in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem im Körper quadratischer Rest oder Nichtrest nach ist.

Beweis. Es sei in quadratischer Rest nach und demgemäß etwa eine ganze Zahl in so, daß die Kongruenz

, 

gilt; alsdann bilden wir die zu einander relativkonjugierten Ideale des Körpers

und erhalten leicht

.

Wegen

sind und von einander verschieden.

Es sei umgekehrt das Primideal des Körpers in zwei Primideale und zerlegbar: dann gelten, wenn allgemein die Norm im Körper und die Norm im Körper bezeichnet, die Gleichungen

und mithin ist

.

Die Gleichheit dieser Normen und läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers einer ganzen Zahl des Körpers nach kongruent gesetzt werden kann, da ja irgend nach einander inkongruente Zahlen zugleich auch in nach ein volles Restsystem bilden müssen; setzen wir insbesondere nach , wo in liegen soll, so folgt nach , und da eine Zahl in ist, so muß auch nach gelten, d. h. es ist quadratischer Rest nach . Damit ist der Satz 7 vollständig bewiesen.

Satz 8. Es sei ein in enthaltenes Primideal des Körpers , und zwar gehe genau zur -ten Potenz in auf; ferner sei eine zu prime ganze Zahl in , welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent ausfällt, so daß nach Satz das Primideal nicht in der Relativdiskriminante des Körpers vorkommt: dann ist im Körper in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent ausfällt oder nicht.

Beweis. Ist in weiter zerlegbar und bedeutet einen Primfaktor von , so schließen wir aus der Gleichheit der Norm in mit der Norm in , wie im Beweise des Satzes 7, daß jede ganze Zahl in einer ganzen Zahl in nach kongruent sein muß. Nach Voraussetzung gibt es eine ganze Zahl in , so daß nach ausfällt; ist dann irgendeine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl und weiter eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in , so stellt, wie wir dem Beweise des Satzes 4 entnehmen, der Ausdruck eine ganze Zahl in dar. Es gibt also nach dem vorhin Bewiesenen eine ganze Zahl in , für welche

wird. Aus dieser Kongruenz schließen wir

.

Mit Rücksicht auf den Umstand, daß zu prim ist, können wir in dieser Kongruenz den rechts stehenden Ausdruck durch eine ganze Zahl des Körpers ersetzen und erhalten dann

oder . (1)

Da ferner nach dem Modul 2 und folglich auch nach ausfällt, so gilt auch die Kongruenz

(2)

und durch Multiplikation erhalten wir schließlich aus den beiden Kongruenzen (1) und (2):

.

Da die linke Seite dieser Kongruenz eine ganze Zahl in ist, so folgt auch

oder .

womit eine Aussage des Satzes 8 bewiesen ist.

Nehmen wir nun umgekehrt an, es sei nach , wobei eine ganze Zahl in ist, so erkennen wir leicht die Richtigkeit der Gleichung

und hier sind die beiden Primideale rechter Hand wegen

in der Tat voneinander verschieden; damit ist der Satz 8 vollständig bewiesen.

§ 6. Das Symbol .

Definition 4. Wir erweitern nunmehr die Bedeutung des in Definition 1 erklärten Symbols in folgender Weise:

Ist irgendein Primideal in , so setzen wir

oder oder ,

je nachdem im Körper in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder nicht zerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideals wird. Ist das Quadrat einer Zahl in , so setzen wir stets

.

Es ist nach den Sätzen 6, 7, 8 leicht möglich, in allen Fällen den Wert des Symbols zu berechnen und wir erkennen aus Satz 7 im Falle, daß zu und prim ausfällt, die volle Übereinstimmung mit der Definition 1. Was insbesondere den Fall anbetrifft, daß gleich einem in aufgehenden Primideal des Körpers ist, so bestimmen wir zunächst die höchste Potenz von , welche in aufgeht. Ist der Exponent dieser Potenz ungerade, so haben wir gewiß ; ist dagegen gerade, so bestimmen wir, wenn eine durch , aber nicht durch teilbare Zahl bedeutet, eine ganze zu prime Zahl in der Art, daß

.

Ist hier nicht dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent, so haben wir mit Rücksicht auf die Sätze 4 und 6 ebenfalls ; im anderen Fall unterscheiden wir, ob dem Quadrat einer ganzen Zahl in auch nach kongruent ausfällt oder nicht, und haben wegen Satz 8 dementsprechend oder .

Definition 5. Ist ein beliebiges Ideal des Körpers und hat man , wo , , …, Primideale in sind, so möge, wenn eine beliebige ganze Zahl in ist, das Symbol durch die folgende Gleichung definiert werden:

.

Sind , beliebige Ideale in , so gilt dann offenbar die Gleichung

.

Das Symbol ist durch diese Festsetzungen stets definiert, sobald irgendeine ganze Zahl in und irgendein Ideal in bedeutet. Das Symbol ist nur der Werte , , fähig.

§ 7. Normenreste und Normennichtreste des Körpers und das Symbol .

Definition 6. Es sei irgendein Primideal in , und es seien , beliebige ganze Zahlen in , nur daß nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in ausfällt: wenn dann nach der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von stets eine solche ganze Zahl im Körper gefunden werden kann, daß nach jener Potenz von ausfällt, so nenne ich einen Normenrest des Körpers nach . In jedem anderen Falle nenne ich einen Normennichtrest des Körpers nach .

Ich definiere das Symbol , indem ich

 oder 

setze, je nachdem Normenrest oder Normennichtrest nach ist. Fällt gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in aus, so werde stets

gesetzt.

Das neue Symbol ist durch diese Festsetzungen in jedem Falle definiert, sobald , irgend zwei ganze Zahlen des Körpers und irgendein Primideal des Körpers bedeuten. Das Symbol ist nur der beiden Werte oder fähig.

§ 8. Eigenschaften des Symbols .

In den folgenden Sätzen entwickeln wir einige Eigenschaften des Symbols für den Fall, daß ein nicht in aufgehendes Primideal bedeutet.

Satz 9. Wenn , irgend beliebige ganze Zahlen in bedeuten und ein Primideal des Körpers ist, das zu und zu prim ausfällt, aber in genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Ist , so gibt es nach Definition 1 eine ganze Zahl in , für welche nach wird. Um zu zeigen, daß dann die Kongruenz auch nach jeder beliebigen Potenz von durch geeignete Wahl von lösbar ist, setzen wir

, ,
so daß dabei eine ganze durch teilbare Zahl in bedeutet. Die ganze Zahl , erfüllt dann die Bedingung
, .

Durch gehörige Fortsetzung dieses Verfahrens erkennen wir, daß für jeden Exponenten eine ganze Zahl existiert, so daß

, 

ausfällt. Setzen wir , so folgt

, ,

d. h. es hat unter der obigen Annahme das Symbol den Wert .

Machen wir umgekehrt die Annahme , so gibt es nach Definition 6 eine ganze Zahl in , für welche nach wird. Da nach Satz 4 das Primideal in der Relativdiskriminante des Körpers aufgeht, so ist nach Satz 6 das Primideal gleich dem Quadrat eines Primideals im Körper . Aus der Gleichung folgt die Gleichheit der Normen in und in und wie im Beweise des Satzes 7 schließen wir dann auch hier, daß jede ganze Zahl des Körpers einer ganzen Zahl des Körpers nach kongruent sein muß. Setzen wir insbesondere nach , wo eine ganze Zahl in ist, so folgt

, 

und daher ist auch nach , d. h. unter der gegenwärtigen Annahme erhalten wir ; hiermit und durch das vorhin Bewiesene wird der Satz 9 vollständig als richtig erkannt.

Satz 10 Wenn , zwei beliebige ganze Zahlen in bedeuten und ein weder in noch in noch in aufgehendes Primideal in ist, so gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Nach Satz 4 geht nicht in der Relativdiskriminante des Körpers auf; wir haben demgemäß nur zwei Annahmen zu behandeln, je nachdem in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers zerlegbar ist oder in unzerlegbar bleibt.

Wir nehmen zunächst als zerlegbar an, und zwar sei , wo ein Primideal des Körpers bedeutet. Es gibt dann gewiß in ein System von zwei ganzen Zahlen, , , für welche die beiden in , linearen Kongruenzen

  (1)
erfüllt sind. Nun können wir wegen der Gleichheit der Normen und , wie im Beweise zu Satz 7 und zu Satz 9, jede ganze Zahl in einer ganzen Zahl des Körpers nach kongruent setzen; es sei demgemäß
, , , (2)

wo , ganze Zahlen in sind. Wenn wir dann zur Abkürzung

setzen, so folgt wegen (2) durch Multiplikation der Kongruenzen (1) die Kongruenz

, 

und da beide Seiten dieser Kongruenz ganze Zahlen in sind, so gilt sie auch nach dem Modul . Um zu beweisen, daß die Kongruenz durch geeignete Wahl der ganzen Zahl in auch nach jeder Potenz des Primideals lösbar ist, zeigen wir, wie im Beweise zu Satz 9, die Existenz einer Zahl , welche der Kongruenz

, 

genügt; dann ist offenbar nach .

Es sei andererseits im Körper nicht weiter zerlegbar und somit nach Satz 7 die Zahl quadratischer Nichtrest nach . Nach Satz 2 gibt es in genau quadratische Reste nach ; es seien diese durch die Quadratzahlen , , …, vertreten. Wir unterscheiden nun zwei Fälle, je nachdem die Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest nach ist.

Im ersteren Falle sind wegen unserer Annahme über die Zahlen

,  (3)

sämtlich nach untereinander inkongruent. Es ist daher jede zu prime ganze Zahl in einer der Zahlen (3) nach kongruent. Die Zahlen (3) sind bez. die Relativnormen der Zahlen

, 

und es ist mithin jede zu prime Zahl in der Relativnorm einer geeigneten ganzen Zahl in nach kongruent.

Ist quadratischer Nichtrest nach , so wird quadratischer Rest nach ; es sei nach , wo eine ganze Zahl in bedeutet. In der Reihe der ganzen rationalen positiven Zahlen

ist die letzte Zahl Nichtrest nach ; es sei die erste Zahl dieser Reihe, auf welche ein Nichtrest des Primideals folgt. Wir setzen nach , wo eine ganze Zahl in bedeutet: dann ist die ganze Zahl wegen

, 
sicher quadratischer Nichtrest nach , und es fallen folglich die Zahlen
(4)

sämtlich untereinander inkongruent nach aus. In diesem Falle ist also jede zu prime Zahl in einer der Zahlen (4) nach kongruent. Die Zahlen (4) sind aber bez. die Relativnormen der Zahlen

und es ist mithin jede zu prime ganze Zahl in der Relativnorm einer ganzen Zahl in kongruent. Hieraus schließt man weiter, wie im ersten Teil dieses Beweises, daß zu jeder nicht durch teilbaren Zahl des Körpers auch für eine beliebig hohe Potenz des Primideals stets eine ganze Zahl in gefunden werden kann, deren Relativnorm der Zahl nach kongruent ist. Damit ist Satz 10 in allen Fällen bewiesen.

Satz 11. Wenn , zwei beliebige ganze Zahlen in bedeuten und ein Primideal des Körpers ist, das zu und zu prim ausfällt, aber in genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Ist , so wird nach Satz 7 das Primideal des Körpers in zwei voneinander verschiedene Primideale und des Körpers weiter zerlegbar. Wir bestimmen eine ganze Zahl in , welche durch , aber weder durch noch durch teilbar ist; dann geht die Relativnorm der Zahl genau durch die erste Potenz von auf. Es sei eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in , dann ist eine ganze zu prime Zahl und daher zufolge des Satzes 10 Normenrest des Körpers nach . Bedeutet eine beliebige Potenz von und setzen wir

, ,

wo eine ganze Zahl in bedeutet, und bestimmen dann als ganze Zahl in , so daß nach ausfällt, so wird offenbar

, 

d. h. es ist Normenrest des Körpers nach .

Umgekehrt, wenn Normenrest des Körpers ist und etwa nach ausfällt, wo eine ganze Zahl in ist, so geht wegen der über gemachten Annahme nur durch die erste Potenz von auf; wir haben daher offenbar

,

d. h. zerfällt in in ein Produkt von zwei Idealen und mithin ist nach Satz 7 . Damit ist der Satz 11 vollständig bewiesen. Satz 12. Es sei ein zu primes Primideal des Körpers , ferner seien , , , vier ganze Zahlen in von der Beschaffenheit, daß das Quadrat einer ganzen oder gebrochenen Zahl in und die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers wird: dann gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Zunächst bemerken wir, daß wegen der Definition 6 des Symbols offenbar stets die Gleichung

(5)

gilt, da offenbar der durch bestimmte relativquadratische Körper mit dem Körper übereinstimmt.

Ferner wollen wir beweisen, daß, wenn die Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers ist, stets

(6)

ausfällt.

In der Tat, wenn Normenrest des Körpers nach ist, so wird offenbar auch Normenrest dieses Körpers nach . Die umgekehrte Annahme, daß Normenrest des Körpers nach ist, behandeln wir in folgender Weise: Es gehe genau durch die -te Potenz von und genau durch die -te Potenz von auf; es sei ferner eine ganze Zahl in , so daß die Kongruenz

  (7)

gilt, wobei einen beliebigen Exponenten der größer als ist, bedeutet. Wir unterscheiden nun drei Fälle, je nachdem im Körper Primideal bleibt oder in zwei gleiche oder in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers weiter zerlegbar ist.

Im ersten Falle muß wegen der Exponent gerade sein und in genau zur -ten Potenz aufgehen; ferner erkennen wir aus (7), daß genau durch die -te Potenz von teilbar sein muß. Nun sei eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in . Dann ist gewiß eine ganze Zahl in und wir erhalten nach . Bestimmen wir noch eine ganze Zahl in , so daß nach ausfällt, so folgt nach , d. h. ist Normenrest des Körpers nach .

Im zweiten Falle setzen wir , so daß ein Primideal in bedeutet. Wegen geht in genau die -te Potenz von auf und wegen der Kongruenz (7) geht in genau die -te Potenz von auf. Wir bestimmen nun eine Zahl in wie im ersten Falle, und gelangen dann durch die entsprechenden Schlüsse wiederum zu dem Resultat, daß Normenrest des Körpers nach sein muß.

Im dritten Falle endlich setzen wir , wo ein Primideal des Körpers bedeutet, welches von seinem relativkonjugierten Primideale verschieden ausfällt. Nun gehe in das Primideal genau zur -ten und das Primideal genau zur -ten Potenz auf; ferner gehe in das Primideal genau zur -ten und genau zur -ten Potenz auf; es ist dann und , und folglich

. (8)

Wir bilden jetzt in eine ganze Zahl , die genau durch die -te Potenz von und durch die -te Potenz von teilbar ist, und endlich eine ganze Zahl in , die durch teilbar ist, aber zu prim ausfällt. Wegen der Ungleichung (8) ist dann gewiß eine ganze Zahl in und wir erhalten nach . Bestimmen wir also noch eine ganze Zahl in , so daß nach ausfällt, so folgt nach , d. h. ist Normenrest des Körpers nach . Damit ist die Richtigkeit der in Formel (6) ausgesprochenen Behauptung in allen Fällen als richtig erkannt.

Wegen der über gemachten Voraussetzung dürfen wir oder setzen, wobei Relativnormen gewisser ganzer Zahlen in bedeuten. Mit Hilfe der eben bewiesenen Formel (6) erhalten wir

  und   ;

mithin ist auch

.

Die letztere Formel und die Formel (5) zusammen zeigen die Richtigkeit des Satzes 12.

§ 9. Die allgemeinen Grundformeln für das Symbol .

Aus den in § 8 entwickelten Eigenschaften des Symbols können wir ein System von Grundformeln für dieses Symbol herleiten unter der Voraussetzung, daß dabei ein in nicht aufgehendes Primideal bedeutet.

Satz 13. Es sei ein zu primes Primideal des Körpers und , seien zwei beliebige ganze Zahlen in ; geht das Primideal in diesen Zahlen , genau zur -ten, bez. -ten Potenz auf, so bilde man die Zahl und bringe dieselbe in die Gestalt eines Bruches , dessen Zähler und dessen Nenner nicht durch teilbar sind: dann gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Die Sätze 9, 10, 11 zeigen unmittelbar, daß der Satz 13 für , , für , und für , gilt. Im Falle , haben wir zu setzen; da nun

die Relativnorm der Zahl ist, so ergibt sich nach Satz 12

,

und da andererseits nach Satz 9

ist, so folgt auch für diesen Fall die Richtigkeit des Satzes 13.

Sind nun , beliebige ganze rationale nicht negative Exponenten, so möge den Wert oder bedeuten, je nachdem gerade oder ungerade ausfällt, und entsprechend möge den Wert oder bedeuten, je nachdem gerade oder ungerade ausfällt. Wir bestimmen jetzt im Körper eine ganze Zahl , in der genau die -te Potenz von aufgeht, und eine Zahl , in der genau die -te Potenz von aufgeht von der Beschaffenheit, daß und Quadrate von Zahlen in sind; dann setzen wir gleich einem Bruche , dessen Zähler und dessen Nenner ganze zu prime Zahlen in sind, und erkennen leicht, daß in der Zahlenreihe

,   ,   ,   ,   ,   ,  

jede Zahl durch die darauffolgende dividiert, gleich dem Quadrat einer Zahl des Körpers wird; wir schließen hieraus, daß auch der Quotient der ersten Zahl und der letzten in jener Reihe gleich dem Quadrat einer gewissen Zahl des Körpers sein muß. Da andererseits diese Zahlen beide zu prim sind, so läßt sich notwendig auch in die Gestalt eines Bruches setzen, dessen Zähler und dessen Nenner ganze zu prime Zahlen in sind. Wir erhalten mithin und folglich ist ; da ferner ausfällt, so ist auch

. (1)
Weiter ist nach Satz 12
, (2)

und da nach dem ersten Teil des gegenwärtigen Beweises der Satz 13 auf die Zahlen , angewandt werden darf, so gilt die Gleichung

, (3)

Aus den Formeln (1), (2), (3) folgt die Richtigkeit des Satzes 13 allgemein.

Aus Satz 13 ergeben sich für das Symbol eine Reihe von wichtigen Formeln, die wir in folgendem Satze zusammenstellen:

Satz 14. Wenn , , , , , beliebige ganze Zahlen des Körpers