David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 9.II

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9.I Allgemeine Definitionen und vorbereitende Sätze. David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert
9.II Die Theorie der relativquadratisehen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.
10. Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper.
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II. Die Theorie der relativquadratisehen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.

Um die weiteren Sätze der Theorie der relativquadratischen Zahlkörper in möglichst leicht faßlicher Weise auszudrücken und ihre Beweise in naturgemäßer Stufenfolge entwickeln zu können, beschränke ich mich fortan in der gegenwärtigen Arbeit auf die Untersuchung eines besonderen Falles, indem ich durchweg folgende zwei Annahmen über den zugrunde gelegten Körper mache:

1. Der Körper vom -ten Grade sei nebst allen konjugierten Körpern imaginär.

2. Die Anzahl der Idealklassen im Körper sei ungerade.


§ 14. Die relativen Grundeinheiten des Körpers

Infolge der ersteren der beiden soeben gemachten Annahmen ist die Anzahl der Einheiten, welche ein volles System von Grundeinheiten in bilden, gleich es sei ein volles System von Grundeinheiten in

Wir beweisen zunächst folgende Tatsache:

Satz 19. (Hilfssatz.) Im relativquadratischen Körper lassen sich stets Einheiten finden, so daß für irgendeine Einheit in jedes Mal eine Gleichung von der Gestalt

besteht, wo der Exponent eine ungerade Zahl und die Exponenten , …, irgendwelche ganze rationale Werte oder den Wert haben können; endlich bedeutet eine Einheit des Körpers oder eine solche Einheit in , deren Quadrat eine Einheit in wird, so daß im allgemeinen eine Einheit in sein muß und nur dann die Wurzel aus einer Einheit in darstellen kann, wenn eine Einheit in oder das Produkt einer solchen in das Quadrat einer Zahl des Körpers ist.

Die Einheiten , …, sind in dem Sinne voneinander unabhängig, daß zwischen ihnen keine Relation von der Gestalt

mit ganzen rationalen Exponenten , …, besteht, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich verschwinden und ist.

Beweis. Im Körper gibt es ein volles System von Grundeinheiten , …, . Wir betrachten die Gesamtheit der Einheiten

, …, ,   , …, .

Sobald ist, besteht zwischen diesen Einheiten jedenfalls eine Relation von der Gestalt

, (1)

wo , …, , , …, ganze rationale Exponenten und , …, nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

;

dabei bedeute die höchste in den sämtlichen Zahlen , …, aufgehende Potenz von und es sei etwa eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

,

so erhalten wir aus der Relation (1) die folgende Gleichung

. (2)

Da hier die rechte Seite eine gewisse -te Wurzel aus einer Einheit in bedeutet und wegen dieser Relation (2) zugleich eine Einheit in sein soll, so steht rechter Hand entweder eine Einheit in oder die Quadratwurzel aus einer Einheit in ; wir schreiben demgemäß die Relation (2) in der Gestalt

und hieraus folgt

(3)

wo die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat.

Nunmehr schalten wir die Einheit aus dem ursprünglichen System von Grundeinheiten aus und betrachten nur die Gesamtheit der Einheiten

.

Falls noch ausfällt, besteht zwischen diesen Einheiten eine Relation von der Gestalt

, (4)

wo , …, , , …, ganze rationale Exponenten und , …, nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

;

dabei bedeute die höchste in den sämtlichen Zahlen , …, aufgehende Potenz von und es sei etwa eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

,

so erhalten wir aus der Relation (4) die folgende Gleichung

und hieraus schließen wir, wie vorhin, die Gleichung

, (5)

wo wiederum die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wir betrachten nun das Einheitensystem , …, , , …, . Es läßt sich dann das beschriebene Verfahren offenbar so lange fortsetzen, bis von den ursprünglichen Grundeinheiten , …, nur Einheiten, etwa die Einheiten , …, , übrig bleiben; wir erkennen leicht, daß diese Einheiten dann die im Satze 19 verlangte Eigenschaft besitzen. Denn da , …, ein System von Grundeinheiten des Körpers darstellen, so ist überhaupt jede Einheit in in der Gestalt

(6)
darstellbar, wo , …, ganze rationale Exponenten und eine Einheitswurzel bezeichnet. Nun ist offenbar entweder eine in liegende Einheitswurzel oder die Quadratwurzel aus einer in liegenden Einheitswurzel, multipliziert in eine Einheitswurzel mit ungeradem Wurzelexponenten ; wir dürfen daher setzen, wo die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wenn wir dann die Gleichung (6) in die -te Potenz erheben, so folgt, bei Benutzung der Gleichungen (3), (5) und der späteren analogen, eine Relation, welche, da ungerade ausfällt, die Richtigkeit des Satzes 19 erkennen läßt.

Definition 10. Die Einheiten , …, welche die Eigenschaft des Satzes 19 besitzen, nenne ich ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers in bezug auf .

Satz 20. (Hilfssatz.) Wenn , …, ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers bilden und deren Relativnormen bez. mit

bezeichnet werden, so läßt sich jede Einheit in , welche die Relativnorm irgendeiner Einheit des Körpers ist, in der Gestalt

darstellen, wo die Exponenten , …, gewisse Werte , haben und eine Einheit in oder eine in liegende Quadratwurzel aus einer Einheit in bezeichnet.

Beweis. Nach dem Satze 19 gilt für die Einheit eine Gleichung

,

wo die Bezeichnungen wie im Satz 19 zu verstehen sind. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, ergibt sich

und hieraus folgt

,

wenn allgemein oder genommen wird, je nachdem gerade oder ungerade ausfällt und wo ferner

gesetzt ist; damit ist Satz 20 bewiesen.

§ 15. Die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden ambigen Komplexe in .

Satz 21. Ein ambiger Komplex des relativquadratischen Körpers enthält lauter ambige Klassen. Die Anzahl der ambigen Klassen in ist genau gleich der -fachen Anzahl der ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn irgendeine Klasse des ambigen Komplexes ist, so folgt aus offenbar , wo eine der Klassen des Körpers bedeutet. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir leicht und da andererseits auch ist, wobei die Klassenanzahl eine ungerade Zahl sein soll, so folgt , d. h. es wird ; mithin ist eine ambige Klasse. Soll andererseits sein, wo eine Klasse in ist, so folgt ebenso und damit ergibt sich die zweite Aussage des Satzes 21.

Satz 22. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers gleich ist und wenn diejenigen Einheiten in , welche Relativnormen von Einheiten in sind, zusammengenommen Einheitenverbände in ausmachen: dann ist die Anzahl derjenigen ambigen Komplexe des Körpers , welche aus ambigen Idealen entspringen, genau gleich , wo den Wert

hat.

Beweis. Wir nehmen im folgenden zunächst an, daß die Zahl nicht das Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers sei; es ist dann jeder Ausdruck notwendig eine in gelegene Einheit .

Nunmehr mögen, wie in Satz 20, , …, ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers und

, …,

deren Relativnormen bedeuten. Nach Satz 20 läßt sich bei unserer Annahme jede Einheit in , welche die Relativnorm einer Einheit in ist, in der Gestalt

darstellen, wo die Exponenten , …, gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet. Da nun die Anzahl der Verbände von Einheiten in , die Relativnormen von Einheiten in sind, nach Voraussetzung betragen soll, so muß es möglich sein, unter den Einheiten , …, gewisse auszuwählen – es seien hierfür die Einheiten , …, geeignet – derart, daß jede Einheit in , welche die Relativnorm einer Einheit in ist, sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

darstellen läßt, wo die Exponenten , …, wiederum gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet.

Wir stellen insbesondere die Einheiten , …, auf diese Weise dar und setzen demgemäß

,   ,

wo , …, gewisse Werte , haben und Einheiten in sind. Die Ausdrücke

  (1)

sind dann offenbar Einheiten in , deren Relativnormen gleich ausfallen, und folglich erfüllen die ganzen Zahlen

bez. die Gleichungen

. (2)

Wir setzen noch und betrachten dann die durch

, , …,

bestimmten Hauptideale

, , …, .

Da wegen (2) diese Hauptideale je ihren relativkonjugierten Idealen gleich ausfallen und mithin Produkte ambiger Ideale mit Idealen in sein müssen, so können wir wegen Definition 3 setzen:

(3)

wo , …, , die ambigen Primideale des Körpers , ferner , , …, Ideale in und , , …, gewisse Exponenten , bedeuten.

Wir wollen nun beweisen, daß zwischen den Idealen

keine Relation von der Gestalt
(4)

stattfinden kann, wo die Exponenten , , …, irgendwelche Werte , haben und ein Ideal in bedeutet, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich gleich sind und wird.

Zu dem Zwecke erheben wir die Relation (4) in die -te Potenz und setzen , wo eine ganze Zahl in bedeutet; wir erhalten dann eine Relation von der Gestalt

,

wo eine Einheit des Körpers ist. Wenden wir auf diese Relation die Substitution an und dividieren sie dann durch die so entstehende neue Relation, so folgt

oder vermöge (2)

.

Wir schreiben diese Relation in der Gestalt

, (5)

wo eine Einheit in bezeichnet.

Nach Satz 19 gibt es für jede Einheit einen ungeraden Exponenten , so daß

(6)

wird, wo die Exponenten , …, gewisse ganze rationale Werte haben und eine Einheit in ist; aus (5) und (6) folgt mit Rücksicht auf (1) eine Gleichung von der Gestalt

(7)

wo , …, gewisse ganze rationale Exponenten sind und wiederum eine Einheit in bedeutet. Da und ungerade Zahlen sind, so würde, wenn unter den Zahlen , …, auch nur eine gleich ausfiele, notwendig der betreffende Exponent in der Reihe

ungerade und daher gewiß von verschieden sein; dann aber widerspräche die Relation (7) der zweiten Aussage des Satzes 19. Hiermit ist gezeigt, daß in der Relation (4) die Exponenten , …, notwendig sämtlich gleich sind.

Nunmehr erkennen wir leicht, daß in (4) auch der Exponent verschwinden muß. Würde nämlich den Wert haben können, so wäre ein Ideal in und folglich ; das Erheben zur -ten Potenz würde liefern und, wenn gesetzt wird, wo eine ganze Zahl in bedeutet, so würde oder folgen, wo eine Einheit in und eine gewisse Zahl in bedeutet. Diese Annahme ist jedoch zu Anfang unseres Beweises vorläufig ausgeschlossen. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann; es sei denn, daß die Exponenten , , …, sämtlich gleich sind.

Nunmehr kehren wir zu den Gleichungen (3) zurück und wählen unter den ambigen Primidealen , …, solche aus – es seien dazu etwa , …, geeignet –, welche sich vermöge dieser Gleichungen (3) durch die Ideale , , …, , durch die übrigen ambigen Primideale , …, und gewisse Ideale des Körpers , wie folgt, ausdrücken lassen:

(8)

wo die Exponenten , ,…, , , …, gewisse Werte , haben. Daß dies möglich sein muß, erkennen wir, wenn wir die vorhin bewiesene Tatsache benutzen, derzufolge eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann, es sei denn, daß sämtliche Exponenten , , …, verschwinden. Überdies haben wir dabei den Umstand zu berücksichtigen, daß die Quadrate der ambigen Primideale , …, und ebenso die Quadrate der Ideale

Ideale in werden.

Da die Ideale Hauptideale sind, so zeigen die Gleichungen (8) unmittelbar, daß die durch , …, bestimmten ambigen Komplexe gewisse Produkte derjenigen Komplexe sind, die durch die Ideale , …, bestimmt sind. Die Anzahl der voneinander unabhängigen, aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist also sicher nicht größer als und die Anzahl aller überhaupt aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist demnach nicht größer als .

Wir beweisen jetzt, daß die aus den ambigen Primidealen , …, entspringenden Komplexe wirklich voneinander unabhängig sind. In der Tat, würde einer dieser Komplexe, etwa der aus entspringende Komplex, sich durch die übrigen ausdrücken lassen, so müßte eine Äquivalenz von der Gestalt

statthaben, worin , …, gewisse Exponenten , bedeuten und ein Ideal in ist. Verstehen wir unter ein Ideal in , für welches in die Äquivalenz gilt, so folgt die weitere Äquivalenz

;

wir können demnach

(9)

setzen, wobei eine ganze Zahl des Körpers bedeuten soll.

Da der Gleichung (9) zufolge das Hauptideal seinem relativ konjugierten Ideale gleich sein muß, so findet eine Gleichung von der Gestalt

(10)

statt, wo eine Einheit in bedeutet. Nun wenden wir den Satz 19 auf die Einheit an; es sei demgemäß ein ungerader Exponent, so daß

wird, wo die Exponenten , …, gewisse ganze rationale Werte haben und eine Einheit in ist. Wegen (1) können wir auch setzen

, (11)

wo , …, die in (1) bestimmten Einheiten, , …, gewisse ganze rationale Exponenten sind und wiederum eine Einheit in bedeutet. Wenn wir hierin auf beiden Seiten die Relativnorm bilden und berücksichtigen, daß wegen (10) wird und daß auch die Relativnormen der Einheiten (1) den Wert haben, so ergibt sich leicht

;
da die durch , …, bestimmten Einheitenverbände in voneinander unabhängig sein sollen, so folgt hieraus, daß die Exponenten , ..., sämtlich gerade sind. Wir setzen nun in Formel (11) die Werte

ein und erhalten dann, wenn zur Abkürzung

(12)

gesetzt wird, aus (11) die Gleichung

, (13)

wo wiederum eine Einheit in bezeichnet. Wir bilden die Relativnorm von (13) und erhalten so ; wir setzen , wo einen der Werte , bedeute. Demgemäß können wir (13) in die Gestalt

oder

bringen, d. h. ist eine Zahl in . Indem wir die Werte (9) und (12) für die Zahlen und benutzen und bedenken, daß eine ungerade Zahl ist, leiten wir aus der zuletzt gefundenen Tatsache leicht eine Relation von der Gestalt

(14)

ab, worin , , ..., , , ..., gewisse Werte , bedeuten und ein Ideal in ist. Setzen wir diesen Wert für in die rechten Seiten der Formeln (8) ein und fügen wir den so entstehenden Gleichungen noch die Gleichung (14) hinzu, so erhalten wir ein System von Gleichungen von der Gestalt

, (15)
,

worin

gewisse Exponenten , und wiederum gewisse Ideale in sind. Das Bestehen dieser Gleichungen (15) ist aber unmöglich. In der That, bestimmen wir ganze rationale Zahlen
,

die nicht sämtlich gerade sind, derart daß nach dem Modul die Kongruenzen

,

gelten, so ergibt sich, indem wir (15) in die -te Potenz erheben und die so für entstehenden Gleichungen miteinander multiplizieren, eine Gleichung von der Gestalt:

, (16)

wo die Exponenten , ..., gewisse Werte , bedeuten und ein Ideal in ist. Diese Gleichung (16) ist unmöglich, weil ihre linke Seite wenigstens einen der Primfaktoren , ..., zu einer ungeraden Potenz erhoben enthält, rechts dagegen diese Primfaktoren nur in und also sämtlich zu einer geraden Potenz vorkommen. Wir müssen daher unsere ursprüngliche Annahme verwerfen, wonach der aus entspringende Komplex sich durch die aus , ..., entspringenden Komplexe sollte ausdrücken lassen; mithin haben wir gezeigt, daß es in genau Komplexe von der Art gibt, wie es Satz 22 behauptet.

In dem soeben geführten Beweise für Satz 22 wurde zu Anfang der Fall ausgeschlossen, daß gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers ausfällt; es lassen sich jedoch ohne Schwierigkeit die Abänderungen auffinden, welche in diesem speziellen Falle an dem eben mitgeteilten Beweise anzubringen sind.

Da die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe mindestens gleich ist, so folgt insbesondere aus dem Satze 22 die Ungleichung

.
§ 16. Die Anzahl aller ambigen Komplexe in .

Satz 23. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers gleich ist und wenn diejenigen Einheiten in , welche Relativnormen von Einheiten oder von gebrochenen Zahlen des Körpers sind, zusammen genau Einheitenverbände in ausmachen: dann ist die Anzahl aller ambigen Komplexe des Körpers genau , wo die Zahl

bedeutet.

Beweis. Wir machen über die Zahl zunächst wieder die nämliche Annahme wie zu Beginn des Beweises von Satz 22 und benutzen durchweg die dort angewandte Bezeichnungsweise. Da die Anzahl der Verbände von Einheiten in , welche Relativnormen irgendwelcher Zahlen in sind, betragen soll, so muß es möglich sein, zu den im vorigen Beweise bestimmten Einheiten , ..., gewisse Einheiten , ..., von folgenden Eigenschaften hinzuzufügen: die Einheiten , ..., sind Relativnormen von gewissen gebrochenen Zahlen , ..., des Körpers , so daß die Gleichungen

(1)

bestehen, und überdies soll jede Einheit in , welche Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in ist, auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

darstellbar sein, wo die Exponenten , ..., , , ..., gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet. Es sind dann die aus , ..., , , ..., entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig.

Wir setzen nun

wo und je zwei zueinander prime Ideale des Körpers seien; dann folgt wegen (1) und hieraus

(2)

und aus dieser Gleichung (2) wiederum schließen wir , d. h. die durch die Ideale bestimmten Komplexe sind sämtlich ambig.

Wir wollen nun beweisen, daß diese durch die Ideale bestimmten Komplexe zusammen mit den im Beweise zu Satz 22 gefundenen aus den ambigen Idealen entspringenden

ambigen Komplexen ein System voneinander unabhängiger Komplexe bilden und daß ferner überhaupt jeder ambige Komplex des Körpers ein Produkt von denjenigen

ambigen Komplexen ist, die aus den Idealen , ..., , , ..., entspringen.

In der Tat, nehmen wir an, es seien diese Komplexe nicht voneinander unabhängig, so müßte für die betreffenden Ideale eine Relation von der Gestalt

(3)

gelten, worin die Exponenten , ..., , , ..., gewisse Werte , , jedoch nicht sämtlich den Wert haben, ferner ein Ideal in und eine ganze Zahl in bedeutet. Aus (3) folgt leicht wegen (2) die Gleichung

, (4)

wo eine gewisse Einheit in ist. Indem wir von beiden Seiten der Formel (4) die Relativnorm bilden, erhalten wir mit Rücksicht auf (1)

und hieraus ersehen wir, daß die Einheit

(5)

die Relativnorm einer Einheit in ist. Wir dürfen folglich

(6)

setzen, wo , ..., gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet. Aus (5) und (6) erhalten wir die Gleichung

.

Wegen der Unabhängigkeit der durch , ..., , , ..., bestimmten Einheitenverbände ist diese Gleichung nur möglich, wenn sämtliche Exponenten , ..., , , ..., gerade und also gleich sind. Hierdurch erhält die Relation (3) die Gestalt

und diese Relation erfordert wegen der Unabhängigkeit der aus , ..., entspringenden Komplexe, daß auch sämtliche Exponenten , ..., gleich sind – eine Folgerung, die unserer ursprünglichen Annahme über die Exponenten in der Relation (3) widerspricht.

Es bleibt noch übrig, den Nachweis dafür zu führen, daß jeder ambige Komplex als Produkt von solchen Komplexen dargestellt werden kann, die aus den Idealen , ..., , , ..., entspringen. Ist ein beliebiges Ideal des Komplexes , so gilt wegen Satz 21 eine Gleichung von der Gestalt

, (7)
wo eine Zahl in bedeutet. Indem wir auf beiden Seiten dieser Gleichung (7) die Relativnorm bilden, erkennen wir, daß die Relativnorm der Zahl eine Einheit in wird; wir können demgemäß

setzen, wo die Exponenten , ..., , , ..., gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet. Wir entnehmen hieraus für die Zahl

,

wo das Vorzeichen so angenommen werde, daß jedenfalls ist, die Gleichung

.

Wegen dieser Gleichung haben wir

. (8)

Nunmehr entsteht aus der Gleichung

vermöge (2), (7), (8) die Gleichung für Ideale

,

und wenn daher zur Abkürzung

(9)

gesetzt wird, so erhalten wir schließlich


,

d.h. ist ein Produkt eines gewissen ambigen Ideals in ein Ideal des Körpers und folglich zeigt die Gleichung (9), daß einem Produkt von gewissen Idealen aus der Reihe , ..., , , ..., in ein Ideal des Körpers äquivalent ist. Da die ambigen Ideale , ..., als gewisse Produkte aus den Idealen , ..., darstellbar sind, so ist hiermit der Beweis des Satzes 23 vollständig geführt. Wird angenommen, daß gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl in ist, so sind geringe Abänderungen dieses Beweises nötig.

§ 17. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im Körper .

Wir erörtern nunmehr die Einteilung der Idealklassen des relativquadratischen Körpers in Geschlechter. Zu dem Zwecke bezeichnen wir die in der Relativdiskriminante des Körpers aufgehenden Primideale des Körpers mit , ..., und machen für die folgenden Definitionen und Beweise in § 17 bis § 19 die vorläufige Annahme, daß diese Primideale , ..., sämtlich zu prim sind, oder, was nach Satz 5 im wesentlichen auf das nämliche hinauskommt, daß die Zahl zu prim ist und zugleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent ausfällt. Erst im Laufe der weiteren Untersuchung werden wir diese Einschränkung aufheben.

Definition 11. Zu einer beliebigen ganzen von verschiedenen Zahl des Körpers gehören bestimmte Werte der einzelnen Symbole

welche gemäß der Definition 6 gewisse Einheiten bedeuten; diese Einheiten sollen das Charakterensystem der Zahl im Körper heißen.

Um auch einem jeden Ideal des Körpers in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm und dann ihre -te Potenz , wo eine ganze Zahl in sein soll. Nunmehr verstehen wir unter eine Einheit in . Haben dann für jede beliebige Einheit alle Symbole

durchweg den Wert , so setzen wir und bezeichnen die Einheitswurzeln

als das Charakterensystem des Ideals ; dasselbe ist dann durch das Ideal völlig eindeutig bestimmt.

Es sei andererseits eine spezielle Einheit in vorhanden, für welche wenigstens eines der Symbole

gleich wird; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa . Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten in , für welche wird. Es sei unter diesen wieder eine solche Einheit vorhanden, für welche wenigstens eines der Symbole

gleich wird; dann können wir annehmen, es sei etwa . Wir betrachten ferner alle diejenigen Einheiten , für welche sowohl als auch wird, und sehen nach, ob unter diesen eine Einheit vorhanden ist, für welche wenigstens eines der Symbole

gleich wird. Fahren wir in der begonnenen Weise fort, so erhalten wir schließlich eine gewisse Anzahl und dazu ein System von Einheiten , , ..., des Körpers , von der Art, daß bei geeigneter Anordnung der Primideale , ..., die Gleichungen

gelten und daß außerdem für eine jede solche Einheit , die den Gleichungen

genügt, notwendig auch die Symbole

sämtlich den Wert besitzen.

Wir können nunmehr mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14 die vorhin aus dem Ideal gebildete Zahl des Körpers derart mit gewissen der Einheiten , ..., multiplizieren, daß das entstehende Produkt den Gleichungen

genügt; ist derart bestimmt, so bezeichne ich die Einheiten

als das Charakterensystem des Ideals . Dasselbe ist durch das Ideal völlig eindeutig bestimmt. In § 19 wird gezeigt werden, daß stets und mithin wird.

§ 18. Der Begriff des Geschlechtes.

Wir erkennen sofort die Tatsache, daß die Ideale ein und derselben Klasse des Körpers sämtlich dasselbe Charakterensystem besitzen. Hierdurch ist überhaupt einer jeden Idealklasse des Körpers ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Definition 12. Alle diejenigen Idealklassen, denen ein und dasselbe Charakterensystem zugeordnet ist, deren Ideale also sämtlich ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, fassen wir zu einem Geschlecht zusammen und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter Einheiten besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört insbesondere die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.

Aus der zweiten Formel des Satzes 14 entnehmen wir leicht die folgenden Tatsachen: Wenn und zwei beliebige Geschlechter sind und die Klassen in mit den Klassen in multipliziert werden, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum ein Geschlecht; dieses werde das Produkt der Geschlechter und genannt. Das Charakterensystem desselben erhalten wir durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere der beiden Geschlechter und .

Jedes Geschlecht des Körpers enthält gleich viel Klassen, nämlich so viel Klassen als das Hauptgeschlecht. Die zu irgendeiner Klasse relativ konjugierte Klasse gehört zu demselben Geschlechte wie selbst. Das Quadrat einer jeden Klasse gehört stets zum Hauptgeschlecht.

Die Klassen eines beliebigen Komplexes gehören offenbar sämtlich zu dem nämlichen Geschlecht; ich bezeichne dieses Geschlecht als das Geschlecht des Komplexes .

§ 19. Obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in .

Es entsteht die wichtige Frage, ob ein System von beliebig vorgelegten Einheiten stets das Charakterensystem für ein Geschlecht in sein kann. Wir beweisen zunächst einige zur Beantwortung dieser Frage notwendige Hilfssätze.

Satz 24. (Hilfssatz.) Wenn und die Bedeutung wie in Satz 23 haben und wie in § 17 die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Idealklasse in bestimmen, so ist stets

Beweis. Im Beweise zu Satz 22 und Satz 23 sind Einheiten , …, und Einheiten , …, mit gewissen dort entwickelten Eigenschaften aufgestellt worden. Es seien ferner , …, diejenigen besonderen Einheiten des Körpers , die in § 17 eingeführt worden sind; dann ist . Wir beweisen zunächst, daß die aus

entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. In der Tat, nehmen wir an, es gäbe zwischen den genannten Einheiten eine Relation von der Gestalt

(1)
so daß die Exponenten , ..., , , ..., , , ..., gewisse Werte , , jedoch nicht sämtlich den Wert haben und eine geeignete Einheit in vorstellt: dann müßte für jedes Primideal des Körpers

ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten

, ..., ,   , ...,

sämtlich Relativnormen von Zahlen in sind und daher auch stets

,  

sein muß, so ergibt sich

.

Hierin setzen wir der Reihe nach für jedes der in der Relativdiskriminante von aufgehenden Primideale , ..., ein und erhalten so die Gleichungen

,   . (2)

Wegen des in § 17 aufgestellten Systems von Formeln (1) für die Einheiten , ..., können diese Gleichungen (2) nur bestehen, wenn die Exponenten , ..., sämtlich gerade und also gleich sind. Die Relation (1) erhält dann die Gestalt

.

Das Bestehen dieser Relation ist aber, da nach § 16 die durch , ..., , , ..., bestimmten Einheitenverbände voneinander unabhängig sind, nur möglich, falls die Exponenten , ..., ,