David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 9.II

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 9.II Die Theorie der relativquadratisehen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.

10. Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper. →

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II. Die Theorie der relativquadratischen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.

Um die weiteren Sätze der Theorie der relativquadratischen Zahlkörper in möglichst leicht faßlicher Weise auszudrücken und ihre Beweise in naturgemäßer Stufenfolge entwickeln zu können, beschränke ich mich fortan in der gegenwärtigen Arbeit auf die Untersuchung eines besonderen Falles, indem ich durchweg folgende zwei Annahmen über den zugrunde gelegten Körper $k$ mache:

1. Der Körper $k$ vom $m$-ten Grade sei nebst allen konjugierten Körpern $k',\ \ldots ,\ k^{(m-1)}$ imaginär.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen im Körper $k$ sei ungerade.

§ 14. Die relativen Grundeinheiten des Körpers ${\boldsymbol {K}}.$

Infolge der ersteren der beiden soeben gemachten Annahmen ist die Anzahl der Einheiten, welche ein volles System von Grundeinheiten in $k$ bilden, gleich $\textstyle {\frac {m}{2}}-1;$ es sei $\textstyle \varepsilon _{1},\ \ldots ,\ \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ ein volles System von Grundeinheiten in $k.$

Wir beweisen zunächst folgende Tatsache:

Satz 19. (Hilfssatz.) Im relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\mu }})$ lassen sich stets $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1},\ \ldots ,\ {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ finden, so daß für irgendeine Einheit ${\mathsf {E}}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ jedes Mal eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}[\xi ]$

besteht, wo der Exponent $u$ eine ungerade Zahl und die Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ irgendwelche ganze rationale Werte oder den Wert $0$ haben können; endlich bedeutet $[\xi ]$ eine Einheit des Körpers $k$ oder eine solche Einheit in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, deren Quadrat eine Einheit in $k$ wird, so daß $[\xi ]$ im allgemeinen eine Einheit in $k$ sein muß und nur dann die Wurzel aus einer Einheit in $k$ darstellen kann, wenn $\mu$ eine Einheit in $k$ oder das Produkt einer solchen in das Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ ist.

Die Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ sind in dem Sinne voneinander unabhängig, daß zwischen ihnen keine Relation von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}[\xi ]=1$

mit ganzen rationalen Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ besteht, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich verschwinden und $[\xi ]=1$ ist.

Beweis. Im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ gibt es ein volles System von $m-1$ Grundeinheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$. Wir betrachten die Gesamtheit der $\textstyle {\frac {3m}{2}}-2$ Einheiten

${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$,   $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$.

Sobald $\textstyle {\frac {m}{2}}-1>0$ ist, besteht zwischen diesen Einheiten jedenfalls eine Relation von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{A_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}}\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{a_{{\frac {m}{2}}-1}}=1$,

(1)

wo $A_{1}$, …, $A_{m-1}$, $a_{1}$, …, $a_{{\frac {m}{2}}-1}$ ganze rationale Exponenten und $A_{1}$, …, $A_{m-1}$ nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

$A_{1}=2^{e}A_{1}^{'},\,\ldots ,\,A_{m-1}=2^{e}A_{m-1}^{'}$;

dabei bedeute $2^{e}$ die höchste in den sämtlichen Zahlen $A_{1}$, …, $A_{m-1}$ aufgehende Potenz von $2$ und es sei etwa $A_{m-1}^{'}$ eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{-a_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{-a_{{\frac {m}{2}}-1}}$,

so erhalten wir aus der Relation (1) die folgende Gleichung

${\mathsf {H}}_{1}^{A_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}^{'}}={\sqrt[{2^{e}}]{\varepsilon }}$.

(2)

Da hier die rechte Seite eine gewisse $2^{e}$-te Wurzel aus einer Einheit $\varepsilon$ in $k$ bedeutet und wegen dieser Relation (2) zugleich eine Einheit in $K$ sein soll, so steht rechter Hand entweder eine Einheit in $k$ oder die Quadratwurzel aus einer Einheit in $k$; wir schreiben demgemäß die Relation (2) in der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{A_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}^{'}}=[\xi ],$

und hieraus folgt

${\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}^{'}}={\mathsf {H}}_{1}^{-A_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-2}^{-A_{m-2}^{'}}[\xi ],$

(3)

wo $[\xi ]$ die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat.

Nunmehr schalten wir die Einheit ${\mathsf {H}}_{m-1}$ aus dem ursprünglichen System von Grundeinheiten aus und betrachten nur die Gesamtheit der $\textstyle {\frac {3m}{2}}-3$ Einheiten

${\mathsf {H}}_{1},\,\ldots ,\,{\mathsf {H}}_{m-2},\quad \varepsilon _{1},\,\ldots ,\,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$.

Falls noch $\textstyle {\frac {m}{2}}-2>0$ ausfällt, besteht zwischen diesen Einheiten eine Relation von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{B_{1}}\,\cdots \,{\mathsf {H}}_{m-2}^{B_{m-2}}\varepsilon _{1}^{b_{1}}\,\cdots \,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{b_{{\frac {m}{2}}-1}}=1$,

(4)

wo $B_{1}$, …, $B_{m-2}$, $b_{1}$, …, $b_{{\frac {m}{2}}-1}$ ganze rationale Exponenten und $B_{1}$, …, $B_{m-2}$ nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

$B_{1}=2^{f}B_{1}^{'},\,\ldots ,\,B_{m-2}=2^{f}B_{m-2}^{'}$;

dabei bedeute $2^{f}$ die höchste in den sämtlichen Zahlen $B_{1}$, …, $B_{m-2}$ aufgehende Potenz von $2$ und es sei etwa $B_{m-2}^{'}$ eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

${\overline {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}^{-b_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{-b_{{\frac {m}{2}}-1}}$,

so erhalten wir aus der Relation (4) die folgende Gleichung

${\mathsf {H}}_{1}^{B_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-2}^{B_{m-2}^{'}}={\sqrt[{2^{f}}]{\overline {\varepsilon }}}$

und hieraus schließen wir, wie vorhin, die Gleichung

${\mathsf {H}}_{m-2}^{B_{m-2}^{'}}={\mathsf {H}}_{1}^{-B_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-3}^{-B_{m-3}^{'}}[\xi ]$,

(5)

wo $[\xi ]$ wiederum die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wir betrachten nun das Einheitensystem ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-3}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$. Es läßt sich dann das beschriebene Verfahren offenbar so lange fortsetzen, bis von den ursprünglichen Grundeinheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$ nur $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Einheiten, etwa die Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$, übrig bleiben; wir erkennen leicht, daß diese Einheiten dann die im Satze 19 verlangte Eigenschaft besitzen. Denn da ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$ ein System von Grundeinheiten des Körpers $K$ darstellen, so ist überhaupt jede Einheit ${\mathsf {E}}$ in $K$ in der Gestalt

${\mathsf {E}}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{U_{m-1}}{\mathsf {Z}}$

(6)

darstellbar, wo $U_{1}$, …, $U_{m-1}$ ganze rationale Exponenten und ${\mathsf {Z}}$ eine Einheitswurzel bezeichnet. Nun ist ${\mathsf {Z}}$ offenbar entweder eine in $k$ liegende Einheitswurzel oder die Quadratwurzel aus einer in $k$ liegenden Einheitswurzel, multipliziert in eine Einheitswurzel ${\mathsf {Z}}^{*}$ mit ungeradem Wurzelexponenten $u^{*}$; wir dürfen daher ${\mathsf {Z}}=[\xi ]{\mathsf {Z}}^{*}$ setzen, wo $[\xi ]$ die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wenn wir dann die Gleichung (6) in die $u=u^{*}A_{m-1}^{'}B_{m-2}^{'}\ldots$-te Potenz erheben, so folgt, bei Benutzung der Gleichungen (3), (5) und der späteren analogen, eine Relation, welche, da $u$ ungerade ausfällt, die Richtigkeit des Satzes 19 erkennen läßt.

Definition 10. Die Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ welche die Eigenschaft des Satzes 19 besitzen, nenne ich ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in bezug auf $k$.

Satz 20. (Hilfssatz.) Wenn $H_{1}$, …, $H_{\frac {m}{2}}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ bilden und deren Relativnormen bez. mit

$\eta _{1}=N({\mathsf {H}}_{1}),\,\ldots ,\,\eta _{\frac {m}{2}}=N\left({\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}\right)$

bezeichnet werden, so läßt sich jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm irgendeiner Einheit ${\mathsf {E}}$ des Körpers $K$ ist, in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}N([\xi ])$

darstellen, wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $[\xi ]$ eine Einheit in $k$ oder eine in $K$ liegende Quadratwurzel aus einer Einheit in $k$ bezeichnet.

Beweis. Nach dem Satze 19 gilt für die Einheit ${\mathsf {E}}$ eine Gleichung

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}[\xi ]$,

wo die Bezeichnungen wie im Satz 19 zu verstehen sind. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, ergibt sich

$\varepsilon ^{u}=\eta _{1}^{U_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}N([\xi ])$

und hieraus folgt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}N([\xi ^{*}])$,

wenn allgemein $u_{i}=0$ oder $=1$ genommen wird, je nachdem $U_{i}$ gerade oder ungerade ausfällt und wo ferner

$[\xi ^{*}]=\eta _{1}^{\frac {U_{1}-u_{1}}{2}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{\frac {U_{\frac {m}{2}}-u_{\frac {m}{2}}}{2}}\varepsilon ^{\frac {1-u}{2}}[\xi ]$

gesetzt ist; damit ist Satz 20 bewiesen.

§ 15. Die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden ambigen Komplexe in $K$.

Satz 21. Ein ambiger Komplex $P$ des relativquadratischen Körpers $K$ enthält lauter ambige Klassen. Die Anzahl der ambigen Klassen in $K$ ist genau gleich der $h$-fachen Anzahl der ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn $C$ irgendeine Klasse des ambigen Komplexes $P$ ist, so folgt aus $P=SP$ offenbar $C=c\cdot SC$, wo $c$ eine der $h$ Klassen des Körpers $k$ bedeutet. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir leicht $1=c^{2}$ und da andererseits auch $c^{h}=1$ ist, wobei die Klassenanzahl $h$ eine ungerade Zahl sein soll, so folgt $c=1$, d. h. es wird $C=SC$; mithin ist $C$ eine ambige Klasse. Soll andererseits $C=cC$ sein, wo $c$ eine Klasse in $k$ ist, so folgt ebenso $c=1$ und damit ergibt sich die zweite Aussage des Satzes 21.

Satz 22. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ gleich $2^{t}$ ist und wenn diejenigen Einheiten in $k$, welche Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sind, zusammengenommen $2^{v^{*}}$ Einheitenverbände in $k$ ausmachen: dann ist die Anzahl derjenigen ambigen Komplexe des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, welche aus ambigen Idealen entspringen, genau gleich $2^{a^{*}}$, wo $a^{*}$ den Wert

$a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}-1$

hat.

Beweis. Wir nehmen im folgenden zunächst an, daß die Zahl $\mu$ nicht das Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ sei; es ist dann jeder Ausdruck $[\xi ]$ notwendig eine in $k$ gelegene Einheit $\xi$.

Nunmehr mögen, wie in Satz 20, ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ und

$\eta _{1}=N({\mathsf {H}}_{1})$, …, $\eta _{\frac {m}{2}}=N\left({\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}\right)$

deren Relativnormen bedeuten. Nach Satz 20 läßt sich bei unserer Annahme jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ ist, in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\xi ^{2}$

darstellen, wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Da nun die Anzahl der Verbände von Einheiten in $k$, die Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sind, nach Voraussetzung $2^{v^{*}}$ betragen soll, so muß es möglich sein, unter den $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {m}{2}}$ gewisse $v^{*}$ auszuwählen – es seien hierfür die Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{v^{*}}$ geeignet – derart, daß jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ ist, sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\nu ^{*}}^{u_{\nu ^{*}}}\xi ^{2}$

darstellen läßt, wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\nu ^{*}}$ wiederum gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet.

Wir stellen insbesondere die Einheiten $\eta _{\nu ^{*}+1}$, …, $\eta _{\frac {m}{2}}$ auf diese Weise dar und setzen demgemäß

$\eta _{i}=\eta _{1}^{u_{1}^{(i)}}\cdots \eta _{\nu ^{*}}^{u_{\nu ^{*}}^{(i)}}(\xi ^{(i)})^{2}$,   $\left(i=\nu ^{*}+1,\,\nu ^{*}+2,\,\ldots ,\,{\frac {m}{2}}\right)$,

wo $u_{1}^{(i)}$, …,$u_{\nu ^{*}}^{(i)}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi ^{(i)}$ Einheiten in $k$ sind. Die $\textstyle {\frac {m}{2}}-\nu ^{*}$ Ausdrücke

${\mathsf {H}}_{i}^{'}={\mathsf {H}}_{i}{\mathsf {H}}_{1}^{-u_{1}^{(i)}}\cdots {\mathsf {H}}_{\nu ^{*}}^{-u_{\nu ^{*}}^{(i)}}\left(\xi ^{(i)}\right)^{-1},$ $\left(i=\nu ^{*}+1,\,\nu ^{*}+2,\,\ldots ,\,{\frac {m}{2}}\right)$

(1)

sind dann offenbar Einheiten in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, deren Relativnormen gleich $1$ ausfallen, und folglich erfüllen die $\textstyle {\frac {m}{2}}-\nu ^{*}$ ganzen Zahlen

${\mathsf {M}}_{1}=1+{\mathsf {H}}_{\nu ^{*}+1}^{'},\,\ldots ,\,{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{*}}=1+{\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{'}$

bez. die Gleichungen

${\mathsf {M}}_{1}={\mathsf {H}}_{\nu ^{\ast }+1}^{'}\cdot S{\mathsf {M}}_{1},\,\ldots ,\,{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}={\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{'}\cdot S{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}$.

(2)

Wir setzen noch ${\mathsf {M}}={\sqrt {\mu }}$ und betrachten dann die durch

${\mathsf {M}}$, ${\mathsf {M}}_{1}$, …, ${\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}$

bestimmten Hauptideale

$({\mathsf {M}})={\mathfrak {M}}$, $({\mathsf {M}}_{1})={\mathfrak {M}}_{1}$, …, $\left({\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}\right)={\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}$.

Da wegen (2) diese Hauptideale je ihren relativkonjugierten Idealen gleich ausfallen und mithin Produkte ambiger Ideale mit Idealen in $k$ sein müssen, so können wir wegen Definition 3 setzen:

${\begin{aligned}{\mathfrak {M}}&={\mathfrak {D}}_{1}^{a_{1}}&\dots \;&{\mathfrak {D}}_{t}^{a_{t}}&&{\mathfrak {j}}\\{\mathfrak {M}}_{1}&={\mathfrak {D}}_{1}^{a_{1}^{(1)}}&\dots \;&{\mathfrak {D}}_{t}^{a_{t}^{(1)}}&&{\mathfrak {j}}^{(1)}\\\vdots \;&\quad \;\vdots &\ddots \;&\vdots &\vdots \\{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{*}}&={\mathfrak {D}}_{1}^{a_{1}\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}&\dots \;&{\mathfrak {D}}_{t}^{a_{t}\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}&&{\mathfrak {j}}^{\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}\end{aligned}}$

(3)

wo ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$, die $t$ ambigen Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$, ferner ${\mathfrak {j}}$, ${\mathfrak {j}}^{(1)}$, …, ${\mathfrak {j}}^{\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}$ Ideale in $k$ und $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{t}^{\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ bedeuten.

Wir wollen nun beweisen, daß zwischen den Idealen

${\mathfrak {M}},{\mathfrak {M}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{*}}$

keine Relation von der Gestalt

${\mathfrak {M}}^{e}{\mathfrak {M}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{s}}-v^{*}}^{e_{{\frac {m}{s}}-v^{*}}}={\mathfrak {j}}^{*}$

(4)

stattfinden kann, wo die Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ irgendwelche Werte $0$, $1$ haben und ${\mathfrak {j}}^{*}$ ein Ideal in $k$ bedeutet, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich gleich $0$ sind und ${\mathfrak {j}}^{*}=1$ wird.

Zu dem Zwecke erheben wir die Relation (4) in die $h$-te Potenz und setzen ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; wir erhalten dann eine Relation von der Gestalt

${\mathsf {M}}^{eh}{\mathsf {M}}_{1}^{e_{1}h}\cdots {\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}=\iota {\mathsf {E}}$,

wo ${\mathsf {E}}$ eine Einheit des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ist. Wenden wir auf diese Relation die Substitution $S$ an und dividieren sie dann durch die so entstehende neue Relation, so folgt

$\left({\frac {\mathsf {M}}{S{\mathsf {M}}}}\right)^{eh}\left({\frac {{\mathsf {M}}_{1}}{S{\mathsf {M}}_{1}}}\right)^{e_{1}h}\cdots \left({\frac {{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}{S{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}}\right)^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}={\frac {\mathsf {E}}{S{\mathsf {E}}}}$

oder vermöge (2)

$(-1)^{eh}{{\mathsf {H}}'}_{v^{*}+1}^{e_{1}h}\cdots {{\mathsf {H}}'}_{\frac {m}{2}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}={\frac {\mathsf {E}}{S{\mathsf {E}}}}$.

Wir schreiben diese Relation in der Gestalt

${{\mathsf {H}}'}_{v^{*}+1}^{e_{1}h}\cdots {{\mathsf {H}}'}_{\frac {m}{2}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}={\mathsf {E}}^{2}\xi$,

(5)

wo $\xi ={\frac {(-1)^{eh}}{N({\mathsf {E}})}}$ eine Einheit in $k$ bezeichnet.

Nach Satz 19 gibt es für jede Einheit ${\mathsf {E}}$ einen ungeraden Exponenten $u$, so daß

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots H_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}\xi '$

(6)

wird, wo die Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze rationale Werte haben und $\xi '$ eine Einheit in $k$ ist; aus (5) und (6) folgt mit Rücksicht auf (1) eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{E_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{*}}^{E_{v^{*}}}{\mathsf {H}}_{v^{*}+1}^{e_{1}hu-2U_{v^{*}+1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}hu-2U_{\frac {m}{2}}}\xi ''=1,$

(7)

wo $E_{1}$, …, $E_{v^{*}}$ gewisse ganze rationale Exponenten sind und $\xi ''$ wiederum eine Einheit in $k$ bedeutet. Da $h$ und $u$ ungerade Zahlen sind, so würde, wenn unter den Zahlen $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ auch nur eine gleich $1$ ausfiele, notwendig der betreffende Exponent in der Reihe

$e_{1}hu-2U_{v^{*}+1},\ldots ,e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}hu-2U_{\frac {m}{2}}$

ungerade und daher gewiß von $0$ verschieden sein; dann aber widerspräche die Relation (7) der zweiten Aussage des Satzes 19. Hiermit ist gezeigt, daß in der Relation (4) die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ notwendig sämtlich gleich $0$ sind.

Nunmehr erkennen wir leicht, daß in (4) auch der Exponent $e$ verschwinden muß. Würde $e$ nämlich den Wert $1$ haben können, so wäre ${\mathfrak {M}}={\sqrt {\mu }}$ ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$ und folglich $\mu ={\mathfrak {j}}^{2}$; das Erheben zur $h$-ten Potenz würde $\mu ^{h}={\mathfrak {j}}^{2h}$ liefern und, wenn ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$ gesetzt wird, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet, so würde $\mu ^{h}=\varepsilon \iota ^{2}$ oder $\mu =\varepsilon \alpha ^{2}$ folgen, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ und $\alpha ={\frac {\iota }{\mu ^{\frac {h-1}{2}}}}$ eine gewisse Zahl in $k$ bedeutet. Diese Annahme ist jedoch zu Anfang unseres Beweises vorläufig ausgeschlossen. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann; es sei denn, daß die Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ sämtlich gleich $0$ sind.

Nunmehr kehren wir zu den Gleichungen (3) zurück und wählen unter den $t$ ambigen Primidealen ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ solche $\textstyle {\frac {m}{2}}-v^{*}+1$ aus – es seien dazu etwa ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+1}$ geeignet –, welche sich vermöge dieser Gleichungen (3) durch die Ideale ${\mathfrak {M}}$, ${\mathfrak {M}}_{1}$, …, ${\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$, durch die übrigen ambigen Primideale ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ und gewisse Ideale ${\mathfrak {m}}^{(i)}$ des Körpers $k$, wie folgt, ausdrücken lassen:

${\mathfrak {D}}_{i}={\mathfrak {M}}^{b^{(i)}}{\mathfrak {M}}_{1}^{b_{1}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{b_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{(i)}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{d_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{d_{t}^{(i)}}{\mathfrak {m}}^{(i)}$

(8)

$\left(i=1,2,\ldots ,{\frac {m}{2}}-v^{*}+1\right)$

wo die Exponenten $b^{(i)}$, $b_{1}^{(i)}$ ,…, $b_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{(i)}$, $d_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{(i)}$, …, $d_{t}^{(i)}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben. Daß dies möglich sein muß, erkennen wir, wenn wir die vorhin bewiesene Tatsache benutzen, derzufolge eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann, es sei denn, daß sämtliche Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ verschwinden. Überdies haben wir dabei den Umstand zu berücksichtigen, daß die Quadrate der ambigen Primideale ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ und ebenso die Quadrate der Ideale

${\mathfrak {M}},{\mathfrak {M}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$

Ideale in $k$ werden.

Da die Ideale ${\mathfrak {M}},{\mathfrak {M}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ Hauptideale sind, so zeigen die Gleichungen (8) unmittelbar, daß die durch ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+1}$ bestimmten ambigen Komplexe gewisse Produkte derjenigen Komplexe sind, die durch die Ideale ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$, …,${\mathfrak {D}}_{t}$ bestimmt sind. Die Anzahl der voneinander unabhängigen, aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist also sicher nicht größer als $a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}-1$ und die Anzahl aller überhaupt aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist demnach nicht größer als $2^{a^{*}}$.

Wir beweisen jetzt, daß die aus den $a^{*}$ ambigen Primidealen ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden $a^{*}$ Komplexe wirklich voneinander unabhängig sind. In der Tat, würde einer dieser Komplexe, etwa der aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$ entspringende Komplex, sich durch die übrigen ausdrücken lassen, so müßte eine Äquivalenz von der Gestalt

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}\sim {\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{t}}{\mathfrak {j}}$

statthaben, worin $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}$, …, $e_{t}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ bedeuten und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ ist. Verstehen wir unter ${\mathfrak {j}}'$ ein Ideal in $k$, für welches in $k$ die Äquivalenz ${\mathfrak {j}}'{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{2}\sim {\mathfrak {j}}$ gilt, so folgt die weitere Äquivalenz

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{t}}{\mathfrak {j}}'\sim 1$;

wir können demnach

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{t}}{\mathfrak {j}}'=({\mathsf {A}})$

(9)

setzen, wobei ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ bedeuten soll.

Da der Gleichung (9) zufolge das Hauptideal $({\mathsf {A}})$ seinem relativ konjugierten Ideale gleich sein muß, so findet eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {A}}={\mathsf {E}}\cdot S{\mathsf {A}}$

(10)

statt, wo ${\mathsf {E}}$ eine Einheit in $K$ bedeutet. Nun wenden wir den Satz 19 auf die Einheit ${\mathsf {E}}$ an; es sei demgemäß $u$ ein ungerader Exponent, so daß

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}\xi$

wird, wo die Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze rationale Werte haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ ist. Wegen (1) können wir auch setzen

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{*}}^{U'_{v^{*}}}{\mathsf {H'}}_{v^{*}+1}^{U_{v^{*}+1}}\cdots {\mathsf {H'}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}\xi '$,

(11)

wo ${\mathsf {H}}'_{v^{*}+1}$, …, $H'_{\frac {m}{2}}$ die in (1) bestimmten Einheiten, $U'_{1}$, …, $U'_{v^{*}}$ gewisse ganze rationale Exponenten sind und $\xi '$ wiederum eine Einheit in $k$ bedeutet. Wenn wir hierin auf beiden Seiten die Relativnorm bilden und berücksichtigen, daß wegen (10) $N({\mathsf {E}})=1$ wird und daß auch die Relativnormen der Einheiten (1) den Wert $1$ haben, so ergibt sich leicht

$1=\eta _{1}^{U'_{1}}\cdots \eta _{v^{*}}^{U'_{v^{*}}}\xi '^{2}$;

da die durch $\eta _{1}$, …, $\eta _{v^{*}}$ bestimmten Einheitenverbände in $k$ voneinander unabhängig sein sollen, so folgt hieraus, daß die Exponenten $U'_{1}$, ..., $U'_{v^{\ast }}$ sämtlich gerade sind. Wir setzen nun in Formel (11) die Werte

${\begin{aligned}{\mathsf {E}}&={\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}},\\{\mathsf {H}}_{1}^{U'_{1}}&=\left({\frac {{\mathsf {H}}_{1}}{S{\mathsf {H}}_{1}}}\eta _{1}\right)^{{\frac {1}{2}}U'_{1}},\ldots ,{\mathsf {H}}_{v^{*}}^{U'_{v^{*}}}=\left({\frac {{\mathsf {H}}_{v^{*}}}{S{\mathsf {H}}_{v^{*}}}}\eta _{v^{*}}\right)^{{\frac {1}{2}}U'_{v^{*}}},\\{\mathsf {H}}'_{v^{*}+1}&={\frac {{\mathsf {M}}_{1}}{S{\mathsf {M}}_{1}}},\ldots ,{\mathsf {H}}'_{\frac {m}{2}}={\frac {{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}{S{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}}\end{aligned}}$

ein und erhalten dann, wenn zur Abkürzung

${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}^{-u}{\mathsf {H}}_{1}^{{\frac {1}{2}}U'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{*}}^{{\frac {1}{2}}U'_{v^{*}}}\cdot {\mathsf {M}}_{1}^{U_{v^{*}+1}}\cdots {\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{U_{\frac {m}{2}}}$

(12)

gesetzt wird, aus (11) die Gleichung

${\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=\xi ''$,

(13)

wo $\xi ''$ wiederum eine Einheit in $k$ bezeichnet. Wir bilden die Relativnorm von (13) und erhalten so $\xi ''^{2}=1$; wir setzen $\xi ''=(-1)^{a}$, wo $a$ einen der Werte $0$, $1$ bedeute. Demgemäß können wir (13) in die Gestalt

${\frac {{\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}}{S\left\{{\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}\right\}}}=1$ oder $B({\sqrt {\mu }})^{a}=S\left\{{\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}\right\}$

bringen, d. h. ${\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}$ ist eine Zahl in $k$. Indem wir die Werte (9) und (12) für die Zahlen ${\mathsf {A}}$ und ${\mathsf {B}}$ benutzen und bedenken, daß $u$ eine ungerade Zahl ist, leiten wir aus der zuletzt gefundenen Tatsache leicht eine Relation von der Gestalt

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}={\mathfrak {M}}^{b}{\mathfrak {M}}_{1}^{b_{1}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{b_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{d_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{d_{t}}{\mathfrak {m}}$

(14)

ab, worin $b$, $b_{1}$, ..., $b_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}$, $d_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}$, ..., $d_{t}$ gewisse Werte $0$, $1$ bedeuten und ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal in $k$ ist. Setzen wir diesen Wert für ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$ in die rechten Seiten der Formeln (8) ein und fügen wir den so entstehenden ${\frac {m}{2}}-v^{\ast }+1$ Gleichungen noch die Gleichung (14) hinzu, so erhalten wir ein System von ${\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2$ Gleichungen von der Gestalt

${\mathfrak {D}}_{i}={\mathfrak {M}}^{B^{(i)}}{\mathfrak {M}}_{1}^{B_{1}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{B_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{(i)}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{D_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{D_{t}^{(i)}}{\mathfrak {n}}^{(i)}$,

(15)

$\left(i=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)$,

worin

$B^{(i)},B_{1}^{(i)},B_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{(i)},D_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{(i)},\dotsc ,D_{t}^{(i)}$

gewisse Exponenten $0$, $1$ und ${\mathfrak {n}}^{(i)}$ wiederum gewisse Ideale in $k$ sind. Das Bestehen dieser Gleichungen (15) ist aber unmöglich. In der That, bestimmen wir $\textstyle {\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2$ ganze rationale Zahlen

$a^{(1)},\dotsc ,a^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)}$,

die nicht sämtlich gerade sind, derart daß nach dem Modul $2$ die $\textstyle {\frac {m}{2}}-v^{\ast }+1$ Kongruenzen

$\sum _{(i)}a^{(i)}B^{(i)}\equiv 0,\sum _{(i)}a^{(i)}B_{1}^{(i)}\equiv 0,\dotsc ,\sum _{(i)}a^{(i)}B_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{(i)}\equiv 0,(2)$,

$\left(i=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)$

gelten, so ergibt sich, indem wir (15) in die $a^{(i)}$-te Potenz erheben und die so für $i=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2$ entstehenden Gleichungen miteinander multiplizieren, eine Gleichung von der Gestalt:

${\mathfrak {D}}_{1}^{a^{(1)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}^{a^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)}}={\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{E^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3\right)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{E^{(t)}}{\mathfrak {n}}$,

(16)

wo die Exponenten $E^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3\right)}$, ..., $E^{(t)}$ gewisse Werte $0$, $1$ bedeuten und ${\mathfrak {n}}$ ein Ideal in $k$ ist. Diese Gleichung (16) ist unmöglich, weil ihre linke Seite wenigstens einen der Primfaktoren ${\mathfrak {D}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$ zu einer ungeraden Potenz erhoben enthält, rechts dagegen diese Primfaktoren nur in ${\mathfrak {n}}$ und also sämtlich zu einer geraden Potenz vorkommen. Wir müssen daher unsere ursprüngliche Annahme verwerfen, wonach der aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$ entspringende Komplex sich durch die aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden Komplexe sollte ausdrücken lassen; mithin haben wir gezeigt, daß es in $K({\sqrt {\mu }})$ genau $2^{a^{\ast }}$ Komplexe von der Art gibt, wie es Satz 22 behauptet.

In dem soeben geführten Beweise für Satz 22 wurde zu Anfang der Fall ausgeschlossen, daß $\mu$ gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ ausfällt; es lassen sich jedoch ohne Schwierigkeit die Abänderungen auffinden, welche in diesem speziellen Falle an dem eben mitgeteilten Beweise anzubringen sind.

Da die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe mindestens gleich $1$ ist, so folgt insbesondere aus dem Satze 22 die Ungleichung

$t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}>0$.

§ 16. Die Anzahl aller ambigen Komplexe in $\mathbf {K}$.

Satz 23. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ gleich $2^{t}$ ist und wenn diejenigen Einheiten in $k$, welche Relativnormen von Einheiten oder von gebrochenen Zahlen des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ sind, zusammen genau $2^{v}$ Einheitenverbände in $k$ ausmachen: dann ist die Anzahl aller ambigen Komplexe des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ genau $2^{a}$, wo $a$ die Zahl

$a=t+v-{\frac {m}{2}}-1$

bedeutet.

Beweis. Wir machen über die Zahl $\mu$ zunächst wieder die nämliche Annahme wie zu Beginn des Beweises von Satz 22 und benutzen durchweg die dort angewandte Bezeichnungsweise. Da die Anzahl der Verbände von Einheiten in $k$, welche Relativnormen irgendwelcher Zahlen in $K$ sind, $2^{v}$ betragen soll, so muß es möglich sein, zu den im vorigen Beweise bestimmten Einheiten $\eta _{1}$, ..., $\eta _{v^{\ast }}$ gewisse $v-v^{\ast }$ Einheiten $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ von folgenden Eigenschaften hinzuzufügen: die Einheiten $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ sind Relativnormen von gewissen gebrochenen Zahlen $\Theta _{1}$, ..., $\Theta _{v-v^{\ast }}$ des Körpers $K$, so daß die Gleichungen

$\vartheta _{1}=N(\Theta _{1}),\cdots ,\vartheta _{v-v^{\ast }}=N(\Theta _{v-v^{\ast }})$

(1)

bestehen, und überdies soll jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in $K$ ist, auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{e_{v^{\ast }}}\vartheta _{1}^{f_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}\xi ^{2}$

darstellbar sein, wo die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{v^{\ast }}$, $f_{1}$, ..., $f_{v-v^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Es sind dann die aus $\eta _{1}$, ..., $\eta _{v^{\ast }}$, $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig.

Wir setzen nun

$\Theta _{i}={\frac {{\mathfrak {A}}_{i}}{{\mathfrak {B}}_{i}}},\qquad (i=1,2,\dotsc ,v-v^{\ast }),$

wo ${\mathfrak {A}}_{i}$ und ${\mathfrak {B}}_{i}$ je zwei zueinander prime Ideale des Körpers $K$ seien; dann folgt wegen (1) ${\mathfrak {B}}_{i}=S{\mathfrak {A}}_{i}$ und hieraus

$\Theta _{i}={\frac {{\mathfrak {A}}_{i}}{S{\mathfrak {A}}_{i}}},\qquad (i=1,2,\dotsc ,v-v^{\ast }),$

(2)

und aus dieser Gleichung (2) wiederum schließen wir ${\mathfrak {A}}_{i}\sim S{\mathfrak {A}}_{i}$, d. h. die durch die Ideale ${\mathfrak {A}}_{i}$ bestimmten Komplexe sind sämtlich ambig.

Wir wollen nun beweisen, daß diese $v-v^{\ast }$ durch die Ideale ${\mathfrak {A}}_{i}$ bestimmten Komplexe zusammen mit den im Beweise zu Satz 22 gefundenen aus den ambigen Idealen ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2},...,{\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden

$a^{\ast }=t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}-1$

ambigen Komplexen ein System voneinander unabhängiger Komplexe bilden und daß ferner überhaupt jeder ambige Komplex des Körpers $K$ ein Produkt von denjenigen

$a=v-v^{\ast }+a^{\ast }=t+v-{\frac {m}{2}}-1$

ambigen Komplexen ist, die aus den Idealen ${\mathfrak {A}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}$, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringen.

In der Tat, nehmen wir an, es seien diese Komplexe nicht voneinander unabhängig, so müßte für die betreffenden Ideale eine Relation von der Gestalt

${\mathfrak {A}}_{1}^{a_{1}}\cdots {\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{a_{v-v^{\ast }}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{a^{\ast }}}\cdot {\mathfrak {j}}=\Theta$

(3)

gelten, worin die Exponenten $a_{1}$, ..., $a_{v-v^{\ast }}$, $e_{1}$, ..., $e_{a^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$, jedoch nicht sämtlich den Wert $0$ haben, ferner ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ und $\Theta$ eine ganze Zahl in $K$ bedeutet. Aus (3) folgt leicht wegen (2) die Gleichung

${\frac {\Theta }{S\Theta }}=\Theta _{1}^{a_{1}}\cdots \Theta _{v-v^{\ast }}^{a_{v-v^{\ast }}}{\mathsf {H}}$,

(4)

wo ${\mathsf {H}}$ eine gewisse Einheit in $K({\sqrt {\mu }})$ ist. Indem wir von beiden Seiten der Formel (4) die Relativnorm bilden, erhalten wir mit Rücksicht auf (1)

$N({\mathsf {H}})=\vartheta _{1}^{-a_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{-a_{v-v^{\ast }}}$

und hieraus ersehen wir, daß die Einheit

$\vartheta =\vartheta _{1}^{-a_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{-a_{v-v^{\ast }}}$

(5)

die Relativnorm einer Einheit in $K$ ist. Wir dürfen folglich

$\vartheta =\eta _{1}^{b_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{b_{v^{\ast }}}\xi ^{2}$

(6)

setzen, wo $b_{1}$, ..., $b_{v^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Aus (5) und (6) erhalten wir die Gleichung

$\eta _{1}^{b_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{b_{v^{\ast }}}\vartheta _{1}^{a_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{a_{v-v^{\ast }}}\xi ^{2}=1$.

Wegen der Unabhängigkeit der durch $\eta _{1}$, ..., $\eta _{v^{\ast }}$, $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ bestimmten Einheitenverbände ist diese Gleichung nur möglich, wenn sämtliche Exponenten $b_{1}$, ..., $b_{v^{\ast }}$, $a_{1}$, ..., $a_{v-v^{\ast }}$ gerade und also gleich $0$ sind. Hierdurch erhält die Relation (3) die Gestalt

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{a^{\ast }}}{\mathfrak {j}}=\Theta$

und diese Relation erfordert wegen der Unabhängigkeit der aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden Komplexe, daß auch sämtliche Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{a^{\ast }}$ gleich $0$ sind – eine Folgerung, die unserer ursprünglichen Annahme über die Exponenten in der Relation (3) widerspricht.

Es bleibt noch übrig, den Nachweis dafür zu führen, daß jeder ambige Komplex $A$ als Produkt von solchen Komplexen dargestellt werden kann, die aus den Idealen ${\mathfrak {A}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}$, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringen. Ist ${\mathfrak {A}}$ ein beliebiges Ideal des Komplexes $A$, so gilt wegen Satz 21 eine Gleichung von der Gestalt

${\frac {S{\mathfrak {A}}}{\mathfrak {A}}}=\Theta$,

(7)

wo $\Theta$ eine Zahl in $K$ bedeutet. Indem wir auf beiden Seiten dieser Gleichung (7) die Relativnorm bilden, erkennen wir, daß die Relativnorm der Zahl $\Theta$ eine Einheit $\vartheta$ in $k$ wird; wir können demgemäß

$\vartheta =N(\Theta )=\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{e_{v^{\ast }}}\vartheta _{1}^{f_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}\xi ^{2}$

setzen, wo die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{v^{\ast }}$, $f_{1}$, ..., $f_{v-v^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Wir entnehmen hieraus für die Zahl

$\Theta '=\pm \Theta {\mathsf {H}}_{1}^{-e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{\ast }}^{-e_{v^{\ast }}}\Theta _{1}^{-f_{1}}\cdots \Theta _{v-v^{\ast }}^{-f_{v-v^{\ast }}}\xi ^{-1}$,

wo das Vorzeichen so angenommen werde, daß jedenfalls $\Theta '\neq -1$ ist, die Gleichung

$N(\Theta ')=1$.

Wegen dieser Gleichung haben wir

$\Theta '={\frac {\Theta '+1}{S(\Theta '+1)}}$.

(8)

Nunmehr entsteht aus der Gleichung

$\pm \Theta '\Theta ^{-1}{\mathsf {H}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{\ast }}^{e_{v^{\ast }}}\Theta _{1}^{f_{1}}\cdots \Theta _{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}\xi =1$

vermöge (2), (7), (8) die Gleichung für Ideale

${\frac {(\Theta '+1){\mathfrak {A}}{\mathfrak {A}}_{1}^{f_{1}}\cdots {\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}}{S(\Theta '+1)S{\mathfrak {A}}S{\mathfrak {A}}_{1}^{f_{1}}\cdots S{\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}}}=1$,

und wenn daher zur Abkürzung

${\mathfrak {D}}=(\Theta '+1){\mathfrak {A}}{\mathfrak {A}}_{1}^{f_{1}}\cdots {\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}$

(9)

gesetzt wird, so erhalten wir schließlich

${\mathfrak {D}}=S{\mathfrak {D}}$,

d.h. ${\mathfrak {D}}$ ist ein Produkt eines gewissen ambigen Ideals in ein Ideal des Körpers $k$ und folglich zeigt die Gleichung (9), daß ${\mathfrak {A}}$ einem Produkt von gewissen Idealen aus der Reihe ${\mathfrak {A}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}$, ${\mathfrak {D}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ in ein Ideal des Körpers $k$ äquivalent ist. Da die ambigen Ideale ${\mathfrak {D}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+1}$ als gewisse Produkte aus den Idealen ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ darstellbar sind, so ist hiermit der Beweis des Satzes 23 vollständig geführt. Wird angenommen, daß $\mu$ gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, so sind geringe Abänderungen dieses Beweises nötig.

§ 17. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im Körper $\mathbf {K}$.

Wir erörtern nunmehr die Einteilung der Idealklassen des relativquadratischen Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ in Geschlechter. Zu dem Zwecke bezeichnen wir die $t$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$ mit ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ und machen für die folgenden Definitionen und Beweise in § 17 bis § 19 die vorläufige Annahme, daß diese Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ sämtlich zu $2$ prim sind, oder, was nach Satz 5 im wesentlichen auf das nämliche hinauskommt, daß die Zahl $\mu$ zu $2$ prim ist und zugleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach $2^{2}$ kongruent ausfällt. Erst im Laufe der weiteren Untersuchung werden wir diese Einschränkung aufheben.

Definition 11. Zu einer beliebigen ganzen von $0$ verschiedenen Zahl $\nu$ des Körpers $k$ gehören bestimmte Werte der $t$ einzelnen Symbole

$\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right),$

welche gemäß der Definition 6 gewisse $t$ Einheiten $\pm 1$ bedeuten; diese Einheiten sollen das Charakterensystem der Zahl $\nu$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ heißen.

Um auch einem jeden Ideal ${\mathfrak {J}}$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm $N({\mathfrak {J}})={\mathfrak {j}}$ und dann ihre $h$-te Potenz ${\mathfrak {j}}^{h}=(\nu )$, wo $\nu$ eine ganze Zahl in $k$ sein soll. Nunmehr verstehen wir unter $\xi _{1}$ eine Einheit in $k$. Haben dann für jede beliebige Einheit $\xi _{1}$ alle $t$ Symbole

$\left({\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$

durchweg den Wert $+1$, so setzen wir $r=t$ und bezeichnen die $r$ Einheitswurzeln

$\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)$

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$; dasselbe ist dann durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt.

Es sei andererseits eine spezielle Einheit $\varepsilon _{1}$ in $k$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t$ Symbole

$\left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$

gleich $-1$ wird; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa $\textstyle \left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=-1$. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten $\xi _{2}$ in $k$, für welche $\textstyle \left({\frac {\xi _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$ wird. Es sei unter diesen wieder eine solche Einheit $\xi _{2}=\varepsilon _{2}$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t-1$ Symbole

$\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)$

gleich $-1$ wird; dann können wir annehmen, es sei etwa $\textstyle \left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=-1$. Wir betrachten ferner alle diejenigen Einheiten $\xi _{3}$, für welche sowohl $\textstyle \left({\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$ als auch $\textstyle \left({\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1$ wird, und sehen nach, ob unter diesen eine Einheit $\xi _{3}=\varepsilon _{3}$ vorhanden ist, für welche wenigstens eines der $t-2$ Symbole

$\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-2}}}\right)$

gleich $-1$ wird. Fahren wir in der begonnenen Weise fort, so erhalten wir schließlich eine gewisse Anzahl $r^{\ast }$ und dazu ein System von $r^{\ast }$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, ..., $\varepsilon _{r^{\ast }}$ des Körpers $k$, von der Art, daß bei geeigneter Anordnung der Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&-1,\\\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=&-1,\\\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-2}}}\right)=&-1,\\\vdots \\\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-2}}}\right)=&+1,&\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }+1}}}\right)=&-1\\\end{aligned}}\right\}(1)$

gelten und daß außerdem für eine jede solche Einheit $\xi$, die den $r^{\ast }$ Gleichungen

$\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1,\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }+1}}}\right)=+1$

genügt, notwendig auch die $t-r^{\ast }$ Symbole

$\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }}}}\right)$

sämtlich den Wert $+1$ besitzen.

Wir können nunmehr mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14 die vorhin aus dem Ideal ${\mathfrak {J}}$ gebildete Zahl $\nu$ des Körpers $k$ derart mit gewissen der Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r^{\ast }}$ multiplizieren, daß das entstehende Produkt ${\bar {\nu }}$ den Gleichungen

$\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1,\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }+1}}}\right)=+1$

genügt; ist ${\bar {\nu }}$ derart bestimmt, so bezeichne ich die $r=t-r^{\ast }$ Einheiten $\pm 1$

$\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)$

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Dasselbe ist durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt. In § 19 wird gezeigt werden, daß stets $r^{\ast }<t$ und mithin $r\geqq 1$ wird.

§ 18. Der Begriff des Geschlechtes.

Wir erkennen sofort die Tatsache, daß die Ideale ein und derselben Klasse des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ sämtlich dasselbe Charakterensystem besitzen. Hierdurch ist überhaupt einer jeden Idealklasse des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Definition 12. Alle diejenigen Idealklassen, denen ein und dasselbe Charakterensystem zugeordnet ist, deren Ideale also sämtlich ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, fassen wir zu einem Geschlecht zusammen und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter Einheiten $+1$ besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört insbesondere die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.

Aus der zweiten Formel des Satzes 14 entnehmen wir leicht die folgenden Tatsachen: Wenn $G$ und $G'$ zwei beliebige Geschlechter sind und die Klassen in $G$ mit den Klassen in $G'$ multipliziert werden, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum ein Geschlecht; dieses werde das Produkt der Geschlechter $G$ und $G'$ genannt. Das Charakterensystem desselben erhalten wir durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere der beiden Geschlechter $G$ und $G'$.

Jedes Geschlecht des Körpers $K$ enthält gleich viel Klassen, nämlich so viel Klassen als das Hauptgeschlecht. Die zu irgendeiner Klasse $C$ relativ konjugierte Klasse $SC$ gehört zu demselben Geschlechte wie $C$ selbst. Das Quadrat einer jeden Klasse $C$ gehört stets zum Hauptgeschlecht.

Die $h$ Klassen eines beliebigen Komplexes $P$ gehören offenbar sämtlich zu dem nämlichen Geschlecht; ich bezeichne dieses Geschlecht als das Geschlecht des Komplexes $P$.

§ 19. Obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in $\mathbf {K}$.

Es entsteht die wichtige Frage, ob ein System von $r$ beliebig vorgelegten Einheiten $\pm 1$ stets das Charakterensystem für ein Geschlecht in $K$ sein kann. Wir beweisen zunächst einige zur Beantwortung dieser Frage notwendige Hilfssätze.

Satz 24. (Hilfssatz.) Wenn $t$ und $\nu$ die Bedeutung wie in Satz 23 haben und $r$ wie in § 17 die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Idealklasse in $K$ bestimmen, so ist stets

$t+\nu -{\frac {m}{2}}\leqq r.$

Beweis. Im Beweise zu Satz 22 und Satz 23 sind $\nu ^{*}$ Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\nu ^{*}}$ und $\nu -\nu ^{*}$ Einheiten $\vartheta _{1}$, …, $\vartheta _{\nu -\nu ^{*}}$ mit gewissen dort entwickelten Eigenschaften aufgestellt worden. Es seien ferner $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$ diejenigen besonderen $r^{*}$ Einheiten des Körpers $k$, die in § 17 eingeführt worden sind; dann ist $r=t-r^{*}$. Wir beweisen zunächst, daß die $r^{*}+\nu$ aus

$\varepsilon _{1},\,\ldots ,\varepsilon _{r^{*}},\quad \eta _{1},\,\ldots ,\eta _{\nu ^{*}},\quad \vartheta _{1},\,\ldots ,\vartheta _{\nu -\nu ^{*}}$

entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. In der Tat, nehmen wir an, es gäbe zwischen den genannten $r^{*}+\nu$ Einheiten eine Relation von der Gestalt

$\varepsilon _{1}^{a_{1}}\ldots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}}\eta _{1}^{b_{1}}\ldots \eta _{\nu ^{*}}^{b_{\nu ^{*}}}\vartheta _{1}^{c_{1}}\ldots \vartheta _{\nu -\nu ^{*}}^{c_{\nu -\nu ^{*}}}=\xi ^{2},$

(1)

so daß die Exponenten $a_{1}$, ..., $a_{r^{\ast }}$, $b_{1}$, ..., $b_{\nu ^{\ast }}$, $c_{1}$, ..., $c_{\nu -\nu ^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$, jedoch nicht sämtlich den Wert $0$ haben und $\xi$ eine geeignete Einheit in $k$ vorstellt: dann müßte für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$

$\left({\frac {\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{\ast }}^{a_{r^{\ast }}}\eta _{1}^{b_{1}}\cdots \eta _{\nu ^{\ast }}^{b_{\nu ^{\ast }}}\vartheta _{1}^{c_{1}}\cdots \vartheta _{\nu -\nu ^{\ast }}^{c_{\nu -\nu ^{\ast }}},\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten

$\eta _{1}$, ..., $\eta _{\nu ^{\ast }}$,   $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{\nu -\nu ^{\ast }}$

sämtlich Relativnormen von Zahlen in $K$ sind und daher auch stets

$\left({\frac {\eta _{x},\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,   $\left({\frac {\vartheta _{y},\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

$(x=1,2,\dotsc ,\nu ^{\ast };y=1,2,\dotsc ,\nu -\nu ^{\ast })$

sein muß, so ergibt sich

$\left({\frac {\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{\ast }}^{a_{r^{\ast }}},\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

Hierin setzen wir der Reihe nach für ${\mathfrak {w}}$ jedes der $r^{\ast }$ in der Relativdiskriminante von $K$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }+1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ ein und erhalten so die Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{\ast }}^{a_{r^{\ast }}},\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=+1$,   $(i=t-r^{\ast }+1,\dotsc ,t)$.

(2)

Wegen des in § 17 aufgestellten Systems von Formeln (1) für die Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r^{\ast }}$ können diese Gleichungen (2) nur bestehen, wenn die Exponenten $a_{1}$, ..., $a_{r^{\ast }}$ sämtlich gerade und also gleich $0$ sind. Die Relation (1) erhält dann die Gestalt

$\eta _{1}^{b_{1}}\cdots \eta _{\nu ^{\ast }}^{b_{\nu ^{\ast }}}\vartheta _{1}^{c_{1}}\cdots \vartheta _{\nu -\nu ^{\ast }}^{c_{\nu -\nu ^{\ast }}}=\xi ^{2}$.

Das Bestehen dieser Relation ist aber, da nach § 16 die durch $\eta _{1}$, ..., $\eta _{\nu ^{\ast }}$, $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{\nu -\nu ^{\ast }}$ bestimmten Einheitenverbände voneinander unabhängig sind, nur möglich, falls die Exponenten $b_{1}$, ..., $b_{\nu ^{\ast }}$, $c_{1}$, ..., $c_{\nu -\nu ^{\ast }}$ sämtlich gerade und also gleich $0$ sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (1), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die aus den Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r^{\ast }}$, $\eta _{1}$, ..., $\eta _{\nu ^{\ast }}$, $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{\nu -\nu ^{\ast }}$ entspringenden Verbände sind voneinander unabhängig; durch Multiplikation erhalten wir also aus diesen Verbänden genau $2^{r^{\ast }+\nu }$ voneinander verschiedene Einheitenverbände in $k$, und da es im ganzen in $k$ nach § 11 nur $2^{\frac {m}{2}}$ Einheitenverbände gibt, so haben wir $r^{\ast }+\nu \leqq \textstyle {\frac {m}{2}}$. Hiermit deckt sich die Aussage des Satzes 24.

Da nach der Bemerkung am Schluß von § 15 stets $t+\nu ^{\ast }-{\frac {m}{2}}>0$ und also um so mehr $t+\nu -{\frac {m}{2}}>0$ ausfällt, so folgt aus Satz 24 insbesondere $r\geqq 1$ und also $r^{\ast }<t$. Satz 25. (Hilfssatz.) Die Anzahl $g$ der verschiedenen Geschlechter im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ ist kleiner oder höchstens gleich der Anzahl $A$ der ambigen Komplexe des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.

Beweis. Wenn $g$ die Anzahl der Geschlechter ist, in welche sich die Ideale oder die Idealklassen des Körpers $K$ einteilen, so zerfallen zufolge der letzten Bemerkung in § 18 auch die Komplexe des Körpers $K$ genau in $g$ Geschlechter. Bezeichnen wir daher mit $f$ die Anzahl der Komplexe vom Hauptgeschlecht, so ist die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe, welche $M$ heiße, genau

$M=gf$.

Wie bereits in § 18 bemerkt worden ist, gehört das Quadrat einer beliebigen Klasse $C$ stets zum Hauptgeschlecht, und daher ist auch das Quadrat eines beliebigen Komplexes stets ein Komplex des Hauptgeschlechtes. Wir fassen nun diejenigen Komplexe des Hauptgeschlechtes ins Auge, welche Quadrate von Komplexen sind; ihre Anzahl sei $f'$, und wir bezeichnen sie mit $P_{1}$, …, $P_{f'}$, so daß $P_{1}=Q_{1}^{2}$, ..., $P_{f'}=Q_{f'}^{2}$ wird, wo $Q_{1}$, ..., $Q_{f'}$ gewisse Komplexe bedeuten. Es fällt offenbar $f'\leqq f$ aus. Ist jetzt $P$ ein beliebiger Komplex, so wird $P^{2}$ notwendig ein bestimmter der $f'$ Komplexe $P_{1}$, ..., $P_{f'}$; es sei etwa $P^{2}=P_{i}$. Dann folgt $P^{2}=Q_{i}^{2}$, d. h. $(PQ_{i}^{-1})^{2}=1$ und nach § 12 ist aus diesem Grunde $PQ_{i}^{-1}$ ein ambiger Komplex $A$; es wird $P=AQ_{i}$, und folglich stellt der Ausdruck $AQ_{i}$ überhaupt alle Komplexe dar, sobald $A$ alle ambigen Komplexe und $Q_{i}$ die $f'$ Komplexe $Q_{1}$, ..., $Q_{f'}$ durchläuft. Auch ist klar, daß diese Darstellung für jeden Komplex nur auf eine Weise möglich ist; es ist daher die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe

$M=Af'$.

Die Zusammenstellung dieser Gleichung mit der vorhin gefundenen $M=gf$ liefert $gf=Af'$, und wegen $f'\leqq f$ folgt hieraus $g\leqq A$, womit der Satz 25 bewiesen ist.

Nunmehr sind wir imstande, die folgende Tatsache zu beweisen, welche für unsere späteren Entwicklungen von besonderer Bedeutung ist:

Satz 26. (Hilfssatz.) Wenn im Körper $K$ die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen, gleich $r$ ist, so genügt die Anzahl $g$ der Geschlechter jenes Körpers stets der Bedingung

$g\leqq 2^{r-1}$.

Beweis. Nach Satz 23 ist die Anzahl $A$ aller ambigen Komplexe in $K$

$A=2^{a}=2^{t+\nu -{\frac {m}{2}}-1}$.

Nach Satz 24 gilt die Ungleichung

$t+\nu -{\frac {m}{2}}\leqq r$;

mithin ist auch

$A\leqq 2^{r-1}$

und daraus folgt, vermöge Satz 25, die Richtigkeit des Satzes 26.

§ 20. Das primäre Primideal ${\mathfrak {p}}$ und das Symbol $\mathbf {\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)}$.

Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, eine gewisse Art von Primidealen in $k$ besonders zu benennen.

Definition 13. Ein solches zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$, nach welchem jede Einheit in $k$ quadratischer Rest ist, möge ein primäres Primideal heißen; dagegen möge jedes solche Primideal nichtprimär genannt werden, nach welchem wenigstens eine Einheit in $k$ quadratischer Nichtrest ist.

Wir führen für primäre Primideale noch ein neues Symbol ein.

Definition 14. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal und ${\mathfrak {j}}$ ein beliebiges Ideal in $k$, es werde ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$ gesetzt, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; dieselbe ist bis auf eine Einheit als Faktor eindeutig durch das Ideal ${\mathfrak {j}}$ bestimmt. Das Symbol $\textstyle \left({\frac {\iota }{\mathfrak {p}}}\right)$ ist folglich ein durch ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {j}}$ völlig bestimmter Wert $+1$ oder $-1$ oder $0$; dieser Wert werde mit $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)$ bezeichnet, so daß das neue Symbol $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)$ durch die Gleichung

$\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\iota }{\mathfrak {p}}}\right)$

definiert ist.

Sind ${\mathfrak {j}}_{1}$, ${\mathfrak {j}}_{2}$ irgend zwei zu ${\mathfrak {p}}$ prime Ideale in $k$, so gilt offenbar stets die Gleichung

$\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}{\mathfrak {j}}_{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{2}}{\mathfrak {p}}}\right).$

Ist $\eta$ eine ganze Zahl in $k$ und ${\mathfrak {h}}=(\eta )$ das durch $\eta$ dargestellte Hauptideal, so ist offenbar

$\left({\frac {\eta }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right);$

denn da $h$ ungerade ist, so haben beide Seiten dieser Gleichung den Wert $\textstyle \left({\frac {\eta ^{h}}{\mathfrak {p}}}\right)$.

In § 21 werden wir gewisse Systeme von $\textstyle {\frac {m}{2}}$ nichtprimären Primidealen des Körpers $k$ untersuchen und in § 23 die wichtigste Eigenschaft der primären Primideale beweisen.

§ 21. Ein System von $\mathbf {\textstyle {\frac {m}{2}}}$ nichtprimären Primidealen des Körpers $\mathbf {k}$.

Es sei, wie zu Beginn von § 14, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ ein volles System von Grundeinheiten in $k$; ferner sei $\varepsilon _{\frac {m}{2}}=\zeta$ eine wie in § 11 bestimmte Einheitswurzel in $k$, so daß nach § 11 jede beliebige Einheit $\varepsilon$ des Körpers $k$ sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{e_{1}}\varepsilon _{2}^{e_{2}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{e_{\frac {m}{2}}}\xi ^{2}$

darstellen läßt, wo $e_{1}$, ..., $e_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Es sind dann die aus $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ entspringenden Verbände des Körpers $k$ voneinander unabhängig und diese $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Verbände liefern durch Multiplikation die sämtlichen $2^{\frac {m}{2}}$ Einheitenverbände des Körpers $k$.

Satz 27^[1]. Die Relativdiskriminante eines relativquadratischen Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ in bezug auf $k$ ist stets von $1$ verschieden.

Beweis. Zufolge der Bemerkung am Ende des § 15 gilt bei Benutzung der in Satz 22 erklärten Bezeichnungen die Ungleichung

$t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}>0$.

Da die Anzahl sämtlicher Einheitenverbände im Körper $k$ genau $2^{\frac {m}{2}}$ beträgt, so ist notwendig ${\frac {m}{2}}\geqq v^{\ast }$ und mithin erhalten wir $t>0$. Diese Folgerung stimmt mit der Aussage des Satzes 27 überein.

Satz 28. Wenn eine Einheit $\varepsilon$ des Körpers $k$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl nach $2^{2}$ ausfällt, so ist sie das Quadrat einer Einheit in $k$.

Beweis. Nehmen wir im Gegenteil an, es wäre $\varepsilon$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$, so würde ${\sqrt {\varepsilon }}$ einen relativquadratischen Körper bestimmen; wegen der Sätze 4 und 5 besäße dieser Körper die Relativdiskriminante $1$ und, da dies nach Satz 27 nicht sein kann, so ist die Annahme, von der wir ausgingen, unzutreffend.

Die Gültigkeit der Sätze 27 und 28 ist wesentlich durch die beiden besonderen Annahmen bedingt, welche wir im Anfange dieses Abschnittes II (S. 393) für den Körper $k$ gemacht haben. Wenn also etwa $k^{\ast }$ ein Zahlkörper ist, der entweder selbst reell ist, bez. einen reellen konjugierten Körper besitzt oder dessen Klassenanzahl gerade ausfällt, so kann es sehr wohl einen relativquadratischen Körper $K^{\ast }$ geben, der in bezug auf $k^{\ast }$ die Relativdiskriminante $1$ besitzt, und es ist die Aufstellung und Untersuchung aller solcher relativquadratischen Körper $K^{\ast }$ sogar die wichtigste und schwierigste Aufgabe, die sich bei der Ausdehnung unserer Theorie auf beliebige Grundkörper $k^{\ast }$ bietet.

Satz 29. Es sei $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ das zu Beginn dieses § 21 aufgestellte System von Einheiten in $k$; es seien ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ solche zu $2$ prime Primideale des Körpers $k$, für welche allemal

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\varepsilon _{k}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k),$

$\left(i,k=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}\right)$

ausfällt; endlich setzen wir

${\mathfrak {q}}_{1}^{h}=\left(\varkappa _{1}\right),\dotsc ,q_{\frac {m}{2}}^{h}=\left(\varkappa _{\frac {m}{2}}\right)$,

so daß $\varkappa _{1}$, ..., $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze Zahlen des Körpers $k$ bedeuten: dann gilt für jede beliebige zu $2$ prime ganze Zahl $\omega$ in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ eine Kongruenz von der Gestalt

$\omega \equiv \varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha ^{2},\quad (2^{2})$,

worin die Exponenten $u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ ist.

Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe $m$ Exponenten $u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$, die gewisse Werte $0$, $1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl

$\mu =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}$

(1)

dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent werde. Die Zahl ${\sqrt {\mu }}$ bestimmt, wie leicht ersichtlich, einen relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\mu }})$ in bezug auf $k$. Zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ prim zu $2$ und nach Satz 4 besitzt sie diejenigen von den Primidealen ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ zu Faktoren, für welche in (1) die betreffenden Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ gleich $1$ werden. Wegen Satz 27 ist die Anzahl $t$ dieser Primideale mindestens gleich $1$; es seien etwa die $t$ Primideale ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{t}$ diejenigen, die in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ als Faktoren enthalten sind.

Ist nun $\varepsilon$ irgendeine Einheit in $k$, die gleich der Relativnorm einer Einheit in $K({\sqrt {\mu }})$ gesetzt werden kann, und bringen wir $\varepsilon$ in die Gestalt

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{e_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{e_{\frac {m}{2}}}\xi ^{2}$,

wo die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet, so folgt aus Definition 6 unmittelbar

$\left({\frac {\varepsilon ,\mu }{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1$

für $i=1,2,\dotsc ,t$ und, da nach Satz 9 mit Rücksicht auf unsere über ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ gemachten Voraussetzungen

$\left({\frac {\varepsilon ,\mu }{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=(-1)^{e_{i}},\quad (i=1,2,\dotsc ,t)$

ausfällt, so folgt notwendig

$e_{1}=0$, $e_{2}=0$, ..., $e_{t}=0$,

d. h. die Einheit $\varepsilon$ muß ein Produkt aus gewissen von den $\textstyle {\frac {m}{2}}-t$ Einheiten $\varepsilon _{t+1}$, $\varepsilon _{t+2}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ in das Quadrat einer Einheit des Körpers $k$ sein. Die sämtlichen Einheiten in $k$, welche Relativnormen von Einheiten in $K({\sqrt {\mu }})$ sind, machen also höchstens $2^{{\frac {m}{2}}-t}$ Verbände in $k$ aus; somit würde unter Anwendung der in Satz 22 erklärten Bezeichnungsweise

$v^{\ast }\leqq {\frac {m}{2}}-t$   oder   $t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}\leqq 0$

sein müssen, was der Bemerkung am Schluß von § 15 widerspricht. Unsere vorhin versuchte Annahme ist also unzutreffend, d. h. es ist keine Zahl $\mu$ von der Gestalt (1) nach $2^{2}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ kongruent, es sei denn, daß die Exponenten

$u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$,   $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$

sämtlich gleich $0$ sind.

Wir verstehen nun unter $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, ..., $\alpha _{\varphi (2)}$ ein volles System von $\varphi (2)$ ganzen nach dem Modul $2$ einander inkongruenten und zu $2$ primen Zahlen in $k$. Dann stellt der Ausdruck

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha _{i}^{2}$

(2)

$\left(u_{1},\dotsc ,u_{\frac {m}{2}},v_{1},\dotsc ,v_{\frac {m}{2}}=0,1;\quad i=1,2,3,\dotsc ,\varphi (2)\right)$

ein System von $2^{m}\varphi (2)$ Zahlen dar, welche untereinander nach $2^{2}$ inkongruent sind. In der Tat, wären zwei von diesen $2^{m}\varphi (2)$ Zahlen (2) nach $2^{2}$ kongruent, wäre etwa

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha _{i}^{2}\equiv \varepsilon _{1}^{u'_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u'_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v'_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v'_{\frac {m}{2}}}\alpha _{i'}^{2}$,   $(2^{2})$,

so würde, da $\alpha _{i}$, $\alpha _{i'}$ zu $2$ prim sind, aus dem vorhin Bewiesenen sofort folgen, daß die Exponenten $u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich bez. mit den Exponenten $u'_{1}$, ..., $u'_{\frac {m}{2}}$, $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ übereinstimmen, und es wäre mithin

$\alpha _{i}^{2}\equiv \alpha _{i'}^{2}$,   $(2^{2})$.

(3)

Betrachten wir jetzt ein in der Zahl $2$ als Faktor enthaltenes Primideal ${\mathfrak {l}}$ und nehmen an, es gehe dasselbe in $2$ genau zur $l$-ten Potenz auf, so folgt aus (3)

$(\alpha _{i}-\alpha _{i'})(\alpha _{i}+\alpha _{i'})\equiv 0$,   $({\mathfrak {l}}^{2l})$;

es ist mithin entweder $\alpha _{i}-\alpha _{i'}$ oder $\alpha _{i}+\alpha _{i'}$ durch ${\mathfrak {l}}^{l}$ teilbar, und da offenbar

$\alpha _{i}-\alpha _{i'}\equiv \alpha _{i}+\alpha _{i'}$,[WS 1]   $(2)$

ist, so folgt in jedem Falle

$\alpha _{i}\equiv \alpha _{i'}$,   $({\mathfrak {l}}^{l})$.

Die nämliche Betrachtung gilt für jedes in $2$ aufgehende Primideal und daher erhalten wir

$\alpha _{i}\equiv \alpha _{i'}$,   $(2)$

und schließen hieraus

$\alpha _{i}=\alpha _{i'}$,

d. h. die beiden ganzen Zahlen des Systems (2) waren nicht voneinander verschieden. Bezeichnen wir die verschiedenen in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$ mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {l}}_{z}$, so haben wir^[2]

${\begin{aligned}\varphi (2)&=&2^{m}&\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{1})}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{z})}}\right),\\\varphi (2^{2})&=&2^{2m}&\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{1})}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{z})}}\right);\end{aligned}}$

es ist somit $2^{m}\varphi (2)=\varphi (2^{2})$ und die Zahlen von der Gestalt (2), deren Anzahl $\varphi (2^{2})$ ist, bilden folglich ein volles System von Resten nach dem Modul $2^{2}$, die zu $2$ prim sind; dies ist die Aussage des Satzes 29.

§ 22. Die unendliche Reihe $\mathbf {\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}}$.

Ehe wir näher die Natur der primären Primideale ergründen, entwickeln wir einige Sätze, die sich an die Überlegungen in § 13 anschließen.

Satz 30. (Hilfssatz.) Die reellen Veränderlichen $x_{1}$, ..., $x_{m}$ mögen als rechtwinklige Koordinaten eines $m$-dimensionalen Raumes betrachtet werden und es sei in diesem Raume eine endliche Anzahl von $(m-1)$-dimensionalen Flächenscharen durch Gleichungen von der Gestalt

$f_{1}(x_{1},\dotsc ,x_{m},\tau )=0,\quad f_{2}(x_{1},\dotsc ,x_{m},\tau )=0,\dotsc$

gegeben, wo $f_{1}$, $f_{2}$, ... analytische Funktionen der Argumente $x_{1}$, ..., $x_{m}$, $\tau$ bedeuten, die in der Umgebung des Parameterwertes $\tau =0$ sich regulär verhalten; diese Flächen mögen, wenn wir dem Parameter $\tau$ einen festen positiven Wert oder den Wert $0$ erteilen, einen bestimmten ganz im Endlichen gelegenen Teil $R_{\tau }$ des $m$-dimensionalen Raumes abgrenzen. Nunmehr wählen wir für den Parameter $\tau$ einen positiven Wert und fixieren in dem $m$-dimensionalen Raume alle Punkte, deren Koordinaten von der Form

$x_{1}=u_{1}\tau ,x_{2}=u_{2}\tau ,\dotsc ,x_{m}=u_{m}\tau$

sind, wo $u_{1}$, $u_{2}$, ..., $u_{m}$ sämtliche ganze rationale Zahlen durchlaufen: dann wird die Anzahl $T$ aller derjenigen solchen Punkte, die in jenem Raume $R_{\tau }$ liegen, durch die Formel

$T={\frac {J}{\tau ^{m}}}+{\frac {M}{\tau ^{m-1}}}$

dargestellt, wo $J$ den Inhalt des für $\tau =0$ sich ergebenden Raumes $R_{0}$ und $M$ eine von $\tau$ abhängige Größe bezeichnet, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleibt, sobald $\tau$ gegen $0$ konvergiert.

Dieser Hilfssatz ist eine Erweiterung desjenigen Satzes, welchen bereits H. Minkowski^[3] und H. Weber^[4] aufgestellt und bewiesen haben, und man erkennt ohne Schwierigkeit die Abänderungen, welche diese Beweise verlangen, wenn man die Richtigkeit der soeben von mir aufgestellten Erweiterung einsehen will.

Satz 31. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein bestimmtes primäres Primideal, so stellt die über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ zu erstreckende unendliche Summe

$\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}},\quad (s>1)$

eine solche Funktion der reellen Veränderlichen $s$ dar, welche stets unterhalb einer positiven endlichen Grenze bleibt, wenn die reelle Veränderliche $s$ sich der Grenze $1$ nähert.

Beweis. Aus den $m$ konjugierten Körpern $k$, $k'$, ..., $k^{(m-1)}$ wählen wir irgend solche $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ Körper aus, von denen keine zwei zu einander konjugiert imaginär sind, und bezeichnen diese mit $k_{1}$, $k_{2}$, ..., $k_{{\frac {m}{2}}-1}$. Ist ferner $\alpha$ irgendeine von $0$ verschiedene Zahl in $k$, so bezeichnen wir die zu $\alpha$ konjugierten in $k_{1}$, ..., $k_{{\frac {m}{2}}-1}$ liegenden Zahlen bez. mit $\alpha _{1}$, ..., $\alpha _{{\frac {m}{2}}-1}$ und nennen die $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ reellen Logarithmen

${\begin{aligned}&l_{1}(\alpha )&=&2\log |\alpha _{1}|,\\&l_{2}(\alpha )&=&2\log |\alpha _{2}|,\\&&\vdots &\\&l_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )&=&2\log \left|\alpha _{{\frac {m}{2}}-1}\right|\end{aligned}}$

kurz die Logarithmen zur Zahl $\alpha$. Endlich bezeichnen wir mit $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ ein System von $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ Grundeinheiten in $k$ und berechnen dann aus den Gleichungen

${\begin{aligned}&l_{1}(\alpha )&&-{\frac {2}{m}}\log n(\alpha )=e_{1}(\alpha )l_{1}(\varepsilon _{1})&+&\dotsc +e_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )l_{1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right),\\\\&&&\vdots &\\&l_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )&&-{\frac {2}{m}}\log n(\alpha )=e_{1}(\alpha )l_{{\frac {m}{2}}-1}(\varepsilon _{1})&+&\dotsc +e_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )l_{{\frac {m}{2}}-1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)\end{aligned}}$

$\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ reelle Größen $e_{1}(\alpha )$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )$; diese $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ Größen mögen kurz die Exponenten zur Zahl $\alpha$ heißen. Es ist klar, daß jede Zahl $\alpha$ durch Multiplikation mit ganzen Potenzen von $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ auf eine und nur auf eine Weise in eine solche Zahl $\alpha ^{\ast }$ verwandelt werden kann, zu der die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}$ den Bedingungen

$0\leqq e_{1}<1,0\leqq e_{2}<1,...,0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}<1$

genügen. Umgekehrt sehen wir leicht, daß zwei Einheiten, deren Exponenten bez. einander gleich sind, sich nur um einen Faktor unterscheiden können, welcher eine Einheitswurzel ist. Die Anzahl aller in $k$ liegenden Einheitswurzeln werde mit $w$ bezeichnet.

Es sei nun $C$ eine beliebige Idealklasse in $k$ und ${\mathfrak {a}}$ ein zu ${\mathfrak {p}}$ primes Ideal der zu $C$ reziproken Klasse $C^{-1}$; ferner bestimmen wir ein volles System von quadratischen Resten nach ${\mathfrak {p}}$, etwa $\varrho$, $\varrho '$, $\varrho ''$, ..., und zwar derart, daß diese $\textstyle {\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ Zahlen $\varrho$, $\varrho '$, $\varrho ''$, ... sämtlich durch ${\mathfrak {a}}$ teilbar sind: dann läßt sich offenbar jede durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl in $k$, welche quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$ ist, in einer der $\textstyle {\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ Formen

$\left.{\begin{aligned}u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}&+\varrho &,\\u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}&+\varrho '&,\\u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}&+\varrho ''&,\\\vdots \end{aligned}}\right\}$

(1)

darstellen, wo $u_{1}$, ..., $u_{m}$ gewisse ganze rationale Zahlen und $\varkappa ^{(1)}$, ..., $\varkappa ^{(m)}$ die Basiszahlen des Ideals ${\mathfrak {p}}{\mathfrak {a}}$ bedeuten. Es sei ferner $\alpha$ irgendein durch ${\mathfrak {a}}$ teilbarer quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$; da ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal sein soll, so besitzt jede Zahl $\alpha ^{\ast }$, die durch Multiplikation der Zahl $\alpha$ mit einer beliebigen Einheit entspringt, die gleiche Eigenschaft und ist mithin ebenfalls in einer jener Formen (1) darstellbar.

Indem wir diese Tatsachen zusammen nehmen, erkennen wir folgendes: das $w$-fache der Anzahl $F(t)$ aller durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}$, deren Normen die reelle positive Zahl $t$ nicht überschreiten und für welche $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ ausfällt, ist gleich der Anzahl $T$ der verschiedenen Systeme von rationalen ganzzahligen Werten $u_{1}$, ..., $u_{m}$, für welche die Ungleichungen

$\left.{\begin{aligned}n(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho )\leqq &t\\0\leqq e_{1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho )<&1,\\\vdots &\\0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho )<&1\end{aligned}}\right\}$

(2)

erfüllt sind, vermehrt um die entsprechenden Anzahlen $T'$, $T''$, ..., wo allgemein $T^{(s)}$ die Anzahl der verschiedenen rationalen ganzzahligen Wertsysteme $u_{1}$, ..., $u_{m}$ bedeutet, für welche die Ungleichungen

${\begin{aligned}n(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho ^{(s)})\leqq &t,\\0\leqq e_{1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho ^{(s)})<&1,\\\vdots &\\0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho ^{(s)})<&1\end{aligned}}$

erfüllt sind; es ist also

$wF(t)=T+T'+T''+\cdots$.

Um zunächst die Anzahl $T$ abzuschätzen, setzen wir in den Ungleichungen (2)

$u_{1}={\frac {x_{1}}{\tau }},\dotsc ,u_{m}={\frac {x_{m}}{\tau }},\tau =t^{-{\frac {1}{m}}}$

ein; dieselben gehen dadurch in die folgenden Ungleichungen über:

$\left.{\begin{aligned}n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho \tau )\leqq 1,\\0\leqq e_{1}<1,\\\vdots \\0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}<1,\end{aligned}}\right\}$

(3)

wo die Größen $e_{1}$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}$ durch die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}&&e_{1}l_{1}(\varepsilon _{1})+&\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)\\&=&2\log |x_{1}\varkappa _{1}^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa _{1}^{(m)}+\varrho _{1}\tau |\\&&-{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho \tau ),\\&&\vdots \\&&e_{1}l_{{\frac {m}{2}}-1}(\varepsilon _{1})+&\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{{\frac {m}{2}}-1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)\\&=&2\log |x_{1}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(m)}+\varrho _{{\frac {m}{2}}-1}\tau |\\&&-{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho \tau )\end{aligned}}\right\}$

(4)

als Funktionen von $x_{1}$, ..., $x_{m}$, $\tau$ zu bestimmen sind; hierin bedeuten $\varkappa _{1}^{(i)}$, ..., $\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(i)}$, $\varrho _{1}$, ..., $\varrho _{{\frac {m}{2}}-1}$ die zu $\varkappa ^{(i)}$, $\varrho$ konjugierten und bez. in den Körpern $k_{1}$, ..., $k_{{\frac {m}{2}}-1}$ gelegenen Zahlen. Die Anzahl $T$ ist mithin gleich der Anzahl aller Punkte mit den Koordinaten

$x_{1}=u_{1}\tau ,\dotsc ,x_{m}=u_{m}\tau$,

die in den durch die Ungleichungen (3) charakterisierten Teil des $x_{1}\dotsc x_{m}$-Raumes fallen. Dieser Raumteil liegt ganz im Endlichen und wird durch eine endliche Anzahl analytischer Flächen begrenzt. Die Gleichungen dieser Flächen enthalten noch einen Parameter $\tau$, und da ihre linken Seiten für $\tau =0$ im fraglichen Gebiete sich regulär verhalten, so sind alle Voraussetzungen des Satzes 30 erfüllt. Wir bezeichnen mit $J$ den Inhalt dieses Raumteiles für $\tau =0$, d. h. den Inhalt desjenigen Raumteiles, der durch die Ungleichungen

$n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)})\leqq 1$,

$0\leqq e_{1}<1$,

$\vdots$

$0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}<1$

charakterisiert ist, wo jetzt die Größen $e_{1}$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}$ aus den Gleichungen

${\begin{aligned}e_{1}l_{1}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)=&2\log |x_{1}\varkappa _{1}^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa _{1}^{(m)}|\\-&{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}),\\&\vdots \\e_{1}l_{{\frac {m}{2}}-1}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{{\frac {m}{2}}-1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)=&2\log |x_{1}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(m)}|\\-&{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)})\end{aligned}}$

als Funktionen von $x_{1}$, ..., $x_{m}$ zu bestimmen sind.

Nach Satz 30 ist die Anzahl $T$ derjenigen Punkte mit den Koordinaten

$x_{1}=u_{1}\tau ,\dotsc ,x_{m}=u_{m}\tau$,

die in den durch (3) definierten Teil des $x_{1}\dotsc x_{m}$-Raumes fallen, durch die Formel

$T={\frac {J}{\tau ^{m}}}+{\frac {M}{\tau ^{m-1}}}=Jt+Mt^{1-{\frac {1}{m}}}$

dargestellt, wo $M$ eine von $t$ abhängige Größe bedeutet, die für unendlich wachsende $t$ stets zwischen endlichen Grenzen bleibt. Ebenso folgt

${\begin{aligned}T'=&Jt+M't^{1-{\frac {1}{m}}},\\T''=&Jt+M''t^{1-{\frac {1}{m}}},\\\vdots \end{aligned}}$

wo $M'$, $M''$, ... ebenfalls von $t$ abhängige und für unendlich wachsende $t$ zwischen endlichen Grenzen bleibende Größen bedeuten. Durch Addition aller solchen $\textstyle {\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ Formeln erhalten wir

$T+T'+T''+\cdots ={\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}Jt+(M+M'+M''+\cdots )t^{1-{\frac {1}{m}}}$;

und folglich ist

$F(t)={\frac {1}{w}}{\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}Jt+{\frac {1}{w}}(M+M'+M''+\cdots )t^{1-{\frac {1}{m}}}$.

(5)

Nach der nämlichen Methode erhalten wir für die Anzahl $G(t)$ aller durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}$ des Körpers $k$, deren Normen die reelle positive Zahl $t$ nicht überschreiten und für welche $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ wird,

$G(t)={\frac {1}{w}}{\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}Jt+{\frac {1}{w}}(N+N'+N''+\dotsc )t^{1-{\frac {1}{m}}}$,

(6)

wo $N$, $N'$, $N''$, ... wiederum von $t$ abhängige Größen bedeuten, die für unendlich wachsende $t$ stets zwischen endlichen Grenzen bleiben. Durch Subtraktion der beiden Formeln (5), (6) ergibt sich

$\Phi (t)=F(t)-G(t)=Dt^{1-{\frac {1}{m}}}$,

(7)

wo $D$ ebenfalls eine von $t$ abhängige Größe bezeichnet, die für unendlich wachsende $t$ zwischen endlichen Grenzen bleibt.

Wir haben offenbar

$\sum _{({\mathfrak {h}})}\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {h}})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {h}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {h}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(-)})^{s}}},\qquad (s>1)$,

wenn die Summe linker Hand über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen und durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}$ des Körpers $k$ erstreckt wird, während auf der rechten Seite die erste Summe über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen und durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}^{(+)}$ mit der Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {{\mathfrak {h}}^{(+)}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ und die zweite Summe über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen und durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}^{(-)}$ mit der Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {{\mathfrak {h}}^{(-)}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ genommen wird. Andererseits ist mit Rücksicht auf die Bedeutung der Anzahlen $F(t),G(t)$

${\begin{aligned}\sum _{({\mathfrak {h}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(+)})^{s}}}=&\sum _{(t)}{\frac {F(t)-F(t-1)}{t^{s}}},&&(s>1),\\\sum _{({\mathfrak {h}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(-)})^{s}}}=&\sum _{(t)}{\frac {G(t)-G(t-1)}{t^{s}}},&&(s>1)\end{aligned}}$,

und folglich wird

$\sum _{({\mathfrak {h}})}\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {h}})^{s}}}=\sum _{(t)}{\frac {\Phi (t)-\Phi (t-1)}{t^{s}}},\qquad (s>1)$,

(8)

wo die Summen rechter Hand stets über $t=1$, $2$, $3$, ... zu erstrecken sind und $F(0)$, $G(0)$, $\Phi (0)$ gleich Null zu setzen sind. Nun haben wir

$\sum _{(t)}{\frac {\Phi (t)-\Phi (t-1)}{t^{s}}}=\sum _{(t)}\Phi (t)\left({\frac {1}{t^{s}}}-{\frac {1}{(t+1)^{s}}}\right)$,

und da für $t>0$, $s>1$

${\frac {1}{t^{s}}}-{\frac {1}{(t+1)^{s}}}={\frac {1}{t^{s}}}\left\{1-\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{-s}\right\}$,

$\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{-s}=1-{\frac {s\vartheta }{t}},\qquad (0<\vartheta <1)$

ist, so erhalten wir weiter

$\sum _{(t)}{\frac {\Phi (t)-\Phi (t-1)}{t^{s}}}=\sum _{(t)}\Phi (t){\frac {s\vartheta }{t^{s+1}}},\qquad (0<\vartheta <1)$,

und wegen (7) und (8) folgt hieraus

$\sum _{({\mathfrak {h}})}\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {h}})^{s}}}=\sum _{(t)}{\frac {s\vartheta D}{t^{s+{\frac {1}{m}}}}},\qquad (s>1)$.

(9)

Da nach dem vorhin Bewiesenen $D$ für unendlich wachsende $t$ zwischen endlichen Grenzen bleibt und der Wert der unendlichen Reihe

$\sum _{(t)}{\frac {1}{t^{s+{\frac {1}{m}}}}}$

für $s=1$ gegen eine endliche Grenze konvergiert, so folgt aus (9), daß auch die unendliche Summe

$\sum _{({\mathfrak {h}})}\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {h}})^{s}}},\qquad (s>1)$

(10)

eine Funktion von $s$ darstellt, welche für $s=1$ gegen eine endliche Grenze konvergiert.

Setzen wir in (10) ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {j}}$, so gehört das zu ${\mathfrak {p}}$ prime Ideal ${\mathfrak {j}}$ der Klasse $C$ an und wir erhalten mit Rücksicht auf die Gleichung

$\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mathfrak {a}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)$

aus der zuletzt bewiesenen Tatsache das Resultat, daß die über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen Ideale ${\mathfrak {j}}$ der Klasse $C$ zu erstreckende unendliche Summe

$\sum _{({\mathfrak {j}})}\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}},\qquad (s>1)$

(11)

ebenfalls eine Funktion von $s$ darstellt, welche für $s=1$ gegen eine endliche Grenze konvergiert. Bilden wir die dem Ausdrucke (11) entsprechenden unendlichen Summen unter Benutzung der $h$ verschiedenen Klassen des Körpers $k$ und addieren alle so entstehenden $h$ unendlichen Summen, so erkennen wir, daß auch die über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen Ideale ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k$ erstreckte unendliche Summe

$\sum _{({\mathfrak {j}})}\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}},\qquad (s>1)$

(12)

für $s=1$ gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert.

Nun ist

$\sum _{({\mathfrak {j}})}\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}=\prod _{({\mathfrak {w}})}{\frac {1}{1-\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right)n({\mathfrak {w}})^{-s}}}$,

wenn das Produkt $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}$ über alle Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt wird und folglich erhalten wir

$\log \sum _{({\mathfrak {j}})}\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}+f(s),\qquad (s>1)$,

(13)

wobei die Summe $\textstyle \sum \limits _{({\mathfrak {w}})}$ ebenfalls über alle Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist und wo $f(s)$ eine Größe darstellt, die für $s=1$ gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Da (12) für $s=1$ gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert, so muß notwendig (13) für $s=1$ entweder ebenfalls gegen einen endlichen Grenzwert konvergieren oder negativ über alle Grenzen wachsen; in beiden Fällen ersehen wir mithin die Richtigkeit des zu beweisenden Satzes 31.

§ 23. Eine Eigenschaft primärer Primideale.

Durch die beiden Sätze 29 und 31 gelangen wir zu folgendem wichtigen Satze über primäre Primideale:

Satz 32. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal ist, so ist es stets möglich, in $k$ eine ganze Zahl $\pi$ zu finden, so daß das Ideal $(\pi )$ gleich ${\mathfrak {p}}^{h}$ wird und überdies die Zahl $\pi$ nach dem Modul $2^{2}$ eine Kongruenz von der Gestalt

$\pi \equiv \alpha ^{2},\quad (2^{2})$

erfüllt, wo $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl des Körpers $k$ ist.

Beweis. Es sei $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in $k$; es seien ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, wie in Satz 29, solche zu $2$ prime Primideale des Körpers $k$, für welche allemal

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\varepsilon _{k}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k),\qquad \left(i,k=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}\right)$

ausfällt. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 18. Wir setzen dann

${\mathfrak {p}}^{h}=(\pi ^{\ast }),{\mathfrak {q}}_{1}^{h}=(\varkappa _{1}),\dotsc ,{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}^{h}=(\varkappa _{\frac {m}{2}})$,

so daß $\pi ^{\ast }$, $\varkappa _{1}$, ..., $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze Zahlen des Körpers $k$ bedeuten. Wenden wir nun den Satz 29 insbesondere auf die ganze Zahl $\pi ^{\ast }$ an, so ergibt sich, daß $\pi ^{\ast }$ einer Kongruenz von der Gestalt

$\pi ^{\ast }\equiv \varepsilon \varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha ^{2},\quad (2^{2})$

(1)

genügt, wo $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$, ferner $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Hätten in diesem Ausdrucke (1) rechter Hand die Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich den Wert $0$, so wäre bereits $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon$ eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt. Wir nehmen also an, die Anzahl $e$ derjenigen unter den Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$, welche gleich $1$ ausfallen, sei größer als $0$.

Setzen wir

$\mu =\pi ^{\ast }\varepsilon \varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}$,

so besitzt nach Satz 5 der relativquadratische Körper $K({\sqrt {\mu }})$ eine zu $2$ prime Relativdiskriminante. Für diesen Fall ist der Satz 26 von uns bereits bewiesen worden. Indem wir die in Definition 11 gebrauchten Bezeichnungen beibehalten, haben wir offenbar

$t=e+1,\quad r^{\ast }=e,\quad r=t-r^{\ast }=1$,

und nach dem Satze 26 ist folglich die Anzahl $g$ der Geschlechter des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ höchstens gleich $1$ und also gleich $1$, d. h. alle Idealklassen des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ sind vom Hauptgeschlecht.

Aus der eben bewiesenen Tatsache ziehen wir folgende Schlüsse: es sei ${\mathfrak {r}}$ irgendein zu $2$ primes Primideal in $k$ mit der Eigenschaft

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$,

so daß ${\mathfrak {r}}$ nach Satz 7 in $K({\sqrt {\mu }})$ in das Produkt zweier Primideale ${\mathfrak {R}}$, $S{\mathfrak {R}}$ zerfällt. Soll nun ${\mathfrak {R}}$ zum Hauptgeschlechte gehören, so muß das Charakterensystem dieses Primideals im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ aus lauter Einheiten $+1$ bestehen; es muß also das Charakterensystem einer Zahl $\xi \varrho$, wobei $\xi$ eine geeignete Einheit in $k$ und $\varrho$ eine ganze Zahl in $k$ mit der Eigenschaft ${\mathfrak {r}}^{h}=(\varrho )$ bedeutet, aus lauter Einheiten $+1$ bestehen. Wir bilden insbesondere den Charakter der Zahl $\xi \varrho$ in bezug auf das in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {p}}$ und erhalten dadurch

$\left({\frac {\xi \varrho ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\xi \varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

und wenn wir berücksichtigen, daß ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal ist, so wird

$\left({\frac {\xi \varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. jedes Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ausfällt, besitzt auch die Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.

Wir bestimmen nun an Stelle der Primideale ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ irgend ${\frac {m}{2}}$ andere Primideale ${\mathfrak {q}}'_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}$ mit den entsprechenden Eigenschaften

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}'_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\varepsilon _{k}}{{\mathfrak {q}}'_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k),$

$\left(i,k=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}\right)$

und setzen wiederum ${{\mathfrak {q}}'_{1}}^{h}=(\varkappa '_{1})$, ..., ${{\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}}^{h}=(\varkappa '_{\frac {m}{2}})$, wo $\varkappa '_{1}$, ..., $\varkappa '_{\frac {m}{2}}$ ganze Zahlen in $k$ sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen dieses Beweises für das neue System von Primidealen ${\mathfrak {q}}'_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}$ wiederholt.

Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck

$\mu '=\pi ^{\ast }\varepsilon '{\varkappa '_{1}}^{v'_{1}}\cdots {\varkappa '_{\frac {m}{2}}}^{v'_{\frac {m}{2}}}\equiv {\alpha '}^{2},\quad (2^{2})$,

in dem $\varepsilon '$ eine gewisse Einheit und $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ bedeuten. Hätten hier die Exponenten $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ sämtlich den Wert $0$, so wäre wiederum $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon '$ eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt; wir nehmen also an, daß diese Exponenten $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ nicht sämtlich gleich $0$ ausfallen und folgern dann wie vorhin, daß jedes Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches $\textstyle \left({\frac {\mu '}{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ist, auch die Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ besitzt.

Wir bezeichnen nun kurz mit ${\mathfrak {r}}_{\mu }$ alle diejenigen Primideale in $k$, für welche

$\left({\frac {\mu }{{\mathfrak {r}}_{\mu }}}\right)=+1$

ist und mit ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ alle diejenigen Primideale in $k$, für welche zugleich

$\left({\frac {\mu }{{\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}}}\right)=-1$   und   $\left({\frac {\mu '}{{\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}}}\right)=+1$

ausfällt, ferner mit ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}$, ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)}$ diejenigen Primideale, für welche

$\left({\frac {{\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$   bez.   $\left({\frac {{\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$

wird. Da die Zahlen $\mu$, $\mu '$ sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in $k$ sind und bei unseren Annahmen das nämliche auch für das Produkt $\mu \mu '$ gilt, so folgen aus Satz 17 die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu })}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu })^{s}}}=&{\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\mu }(s),&&(s>1),\\\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})^{s}}}=&{\frac {1}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\mu \mu '}(s),&&(s>1);\end{aligned}}\right\}$

(2)

hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mu }$ bez. ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ zu erstrecken und $f_{\mu }(s)$, $f_{\mu \mu '}(s)$ bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen $s$, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn $s$ sich dem Werte $1$ nähert.

Die Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mu }$ sind offenbar sämtlich von den Primidealen ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mu }$, ${\mathfrak {r}}_{\mu \mu '}$ sämtlich unter den Primidealen ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}$ vorkommen, so haben wir

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}\geqq \sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu })}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu })^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mu \mu '})^{s}}}$

und folglich wegen (2)

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}\geqq {\frac {3}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\mu }(s)+f_{\mu \mu '}(s)$;

(3)

hier sind die unendlichen Summen wiederum über alle Primideale mit den betreffenden Eigenschaften zu erstrecken.

Die Primideale ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)}$, ${\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)}$ erschöpfen offenbar, wenn man von dem einen Primideale ${\mathfrak {p}}$ absieht, die sämtlichen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ und es ist daher

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})^{s}}}=-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {w}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}=\log {\frac {1}{s-1}}+f(s)$,

(4)

wo die Summe $\sum \limits _{({\mathfrak {w}})}$ über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll und $f(s)$ wiederum eine für $s=1$ zwischen endlichen Grenzen bleibende Größe bezeichnet. Aus (3) und (4) zusammen folgt die Ungleichung

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})^{s}}}\geqq {\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+2f_{\mu }(s)+2f_{\mu \mu '}(s)-f(s)$.

(5)

Wegen

$\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}}_{\mathfrak {p}}^{(-)})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}$

enthält die Ungleichung (5) unmittelbar einen Widerspruch gegen den Satz 31 und mithin sind unsere Annahmen zu verwerfen, d. h. es müssen die Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ in der Kongruenz (1) oder das zweitemal die Exponenten $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ in der entsprechenden Kongruenz sämtlich $0$ sein; dann ist aber, wie bereits hervorgehoben wurde, $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon$ bez. $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon '$ eine Zahl von der Art, wie sie der Satz 32 verlangt und damit haben wir die Richtigkeit dieses Satzes erkannt.

Auch die Umkehrung des Satzes 32 ist gültig, wie der folgende Satz zeigt:

Satz 33. Wenn $\pi$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet, welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach $2^{2}$ kongruent ausfällt, und wenn überdies $(\pi )$ gleich ${\mathfrak {p}}^{h}$ ist, wo ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $k$ bedeutet, so ist dieses Primideal ${\mathfrak {p}}$ stets primär.

Beweis. Wir betrachten den Körper $K({\sqrt {\pi }})$: Wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante dieses Körpers nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$. Mit Hilfe von Satz 22, nach der Bemerkung am Schluß von § 15, und bei Anwendung der Bezeichnungsweise dieses Satzes 22 für den Körper $K({\sqrt {\pi }})$ erhalten wir wegen $t=1$ die Ungleichung

$1+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}>0$   d. h.   $v^{\ast }\geqq {\frac {m}{2}}$.

Da andererseits $v^{\ast }$ nach § 11 nicht größer als $\textstyle {\frac {m}{2}}$ sein kann, so haben wir $v^{\ast }=\textstyle {\frac {m}{2}}$; es ist mithin jede Einheit $\xi$ in $k$ die Relativnorm einer Einheit des Körpers $K({\sqrt {\pi }})$ und hieraus folgt nach Satz 9

$\left({\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. ${\mathfrak {p}}$ ist ein primäres Primideal.

§ 24. Zwei besondere Fälle des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper ${\boldsymbol {k}}$.

Auf Grund des Satzes 32 können wir folgende neue Definition aufstellen:

Definition 15. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal in $k$ ist und ${\mathfrak {p}}^{h}=(\pi )$ wird, wo $\pi$ eine solche ganze Zahl in $k$ bedeutet, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent ausfällt, so nenne ich $\pi$ eine Primärzahl des primären Primideals ${\mathfrak {p}}$. Wegen Satz 28 ist die Primärzahl $\pi$ durch das primäre Primideal ${\mathfrak {p}}$ bis auf das Quadrat einer Einheit in $k$ bestimmt.

Satz 34. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal in $k$ und ${\mathfrak {r}}$ ein beliebiges Primideal in $k$; ferner sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ und $\varrho$ irgendeine ganze Zahl in $k$, so daß $(\varrho )={\mathfrak {r}}^{h}$ wird: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ist, so fällt auch $\textstyle \left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ aus.

Beweis. Mit Rücksicht auf Definition 15 und wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\pi }})$ nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$, und daher ist wegen Satz 26 in diesem Relativkörper die Anzahl der Geschlechter gleich $1$, d. h. es gehören alle Ideale des Körpers $K({\sqrt {\pi }})$ dem Hauptgeschlechte an. Wegen der Annahme $\textstyle \left({\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ist nach Satz 7 ${\mathfrak {r}}$ in $K({\sqrt {\pi }})$ in das Produkt zweier Primideale zerlegbar; für den Charakter eines jeden dieser beiden Primideale erhalten wir den Wert

$\left({\frac {\varrho ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

womit der Satz 34 bewiesen ist.

Satz 35. Wenn ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}^{\ast }$ zwei primäre Primideale in $k$ und $\pi$, $\pi ^{\ast }$ bez. Primärzahlen von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}^{\ast }$ sind, so gilt die Gleichung

$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=\left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$.

Beweis. Im Falle $\textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=+1$ folgt die Richtigkeit dieses Satzes unmittelbar aus dem Satze 34. Nehmen wir andererseits $\textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=-1$ an, so muß notwendig auch $\textstyle \left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ sein; denn wäre $\textstyle \left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so würde aus dem nämlichen Satze 34 die Gleichung $\textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=+1$ folgen, was der Annahme widerspricht.

§ 25. Das Produkt $\prod _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ für ein zu $2$ primes $\nu$ und bei gewissen Annahmen über $\mu$.

Wir sind jetzt imstande, einen weiteren wichtigen Bestandteil des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper $k$ abzuleiten.

Satz 36. Wenn $\nu$, $\mu$ zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind und überdies die Zahl $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent wird, so ist stets

$\prod _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo das Produkt über sämtliche zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll.

Beweis. Wir nehmen erstens $\nu$ gleich einer Zahl $\varkappa$ des Körpers $k$ an, die von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal $(\varkappa )$ die $h$-te Potenz eines nichtprimären Primideals ${\mathfrak {q}}$ in $k$ wird; die Zahl $\mu$ dagegen sei ein Produkt von lauter Potenzen primärer Primideale. Bedeuten ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ diejenigen unter diesen Primfaktoren von $\mu$, die in $\mu$ zu einer ungeraden Potenz aufgehen, so finden wir, wenn bez. $\delta _{1}$, ..., $\delta _{t}$ Primärzahlen von ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ bezeichnen, bei Anwendung des Satzes 28 leicht die Gleichung

$\mu ^{h}=\delta _{1}\cdots \delta _{t}\alpha ^{2}$,

(1)

wo $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Wir betrachten den Körper $K({\sqrt {\mu }})$; nach Satz 4 sind ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ die in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale. Da diese $t$ Primideale sämtlich primär sein sollen und mithin für jede Einheit $\xi$ stets

$\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\xi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=+1,\qquad (i=1,2,\dotsc ,t)$

ausfällt, so ist $r=t$ die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper $K({\sqrt {\mu }})$ bestimmen; es gibt daher nach Satz 26 in $K({\sqrt {\mu }})$ höchstens $2^{t-1}$ Geschlechter.

Wir weisen nun nach, daß im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ wirklich $2^{t-1}$ Geschlechter vorhanden sind. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit $c_{1}$, ..., $c_{t}$ irgend $t$ solche Einheiten $\pm 1$, deren Produkt gleich $+1$ ist, und bestimmen dann ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$, welches den Bedingungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

(2)

$\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1},\dotsc ,\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{t}$

(3)

genügt, wobei $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in $k$ bedeuten soll; nach Satz 18 gibt es sicher Primideale ${\mathfrak {p}}$ von der verlangten Beschaffenheit. Wegen (2) ist ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Nach Satz 35 folgen aus den Gleichungen (3) die Gleichungen

(4)	$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=c_{1}$, …, $\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=c_{t}$.

Wenn wir die Gleichungen (3) miteinander multiplizieren, erhalten wir wegen (1) und wegen $c_{1}\ldots c_{t}=+1$ die Gleichung

$\left({\frac {\delta _{1}\cdots \delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (4) mit $c_{1}$, …, $c_{t}$ überein. Die Anzahl der möglichen Systeme von Einheiten $c_{1}$, …, $c_{t}$ mit der Bedingung $c_{1}\ldots c_{t}=+1$ ist offenbar $2^{t-1}$; es existieren daher wirklich so viele Geschlechter, und da es nach dem vorhin Bewiesenen eine größere Anzahl von Geschlechtern nicht geben kann, so erkennen wir hieraus die Tatsache, daß das Charakterensystem $c_{1}$, …, $c_{t}$ eines jeden Geschlechts im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ notwendig die Bedingung $c_{1}\ldots c_{t}=+1$ erfüllen muß.

Um aus dieser Tatsache unter den an erster Stelle gemachten Annahmen den Satz 36 abzuleiten, nehmen wir zunächst an, es sei $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$. Dann zerfällt ${\mathfrak {q}}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfactoren; das Charakterensystem eines jeden dieser Primfaktoren ist

$\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$.

Da das Produkt dieser Charaktere nach dem vorhin Bewiesenen gleich $+1$ sein soll, so folgt wegen

$\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

notwendig die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,$

wenn das Produkt über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt wird; diese Gleichung zeigt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung.

Ist dagegen $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$, so bestimme man ein von den Primidealen ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$ verschiedenes primäres Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der Art, daß $\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ ausfällt; nach Satz 18 ist dies stets möglich. Bezeichnet $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so muß notwendig auch $\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$ ausfallen, weil im entgegengesetzten Falle aus Satz 34 $\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ folgen würde. Nunmehr ist $\left({\frac {\mu \pi }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$, und wenn wir daher in der voranstehenden Betrachtung an Stelle von $\mu$ jetzt $\mu \pi$ nehmen, so geht aus derselben die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\mu \,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

hervor. Es ist aber

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

und folglich

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$;

(5)

damit ist die Behauptung des Satzes 36 unter den an erster Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt.

Wenden wir die Formel (5) insbesondere auf den Fall an, daß $\mu$ eine Primärzahl $\pi$ eines primären Primideals ${\mathfrak {p}}$ ist, so erhalten wir die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$;

(6)

es ist folglich stets

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)$.

(7)

Wir behandeln zweitens den Fall, daß $\nu$ eine Primärzahl $\pi$ eines primären Primideals ${\mathfrak {p}}$ sei, während die Zahl $\mu$ beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Setzen wir $(\mu )={\mathfrak {r}}_{1}{\mathfrak {r}}_{2}$ ..., wo ${\mathfrak {r}}_{1}$, ${\mathfrak {r}}_{2}$, ... Primideale sind, und bezeichnen $\varrho _{1}$, $\varrho _{2}$, ... ganze Zahlen in $k$, so daß

$(\varrho _{1})={\mathfrak {r}}_{1}^{h},\qquad (\varrho _{2})={\mathfrak {r}}_{1}^{h},\dotsc$

ausfällt, so wird

$\mu ^{h}=\eta \varrho _{1}\varrho _{2}\dotsc$,

wobei $\eta$ eine Einheit in $k$ sein muß. Bei Anwendung der dritten Formel des Satzes 14 erhalten wir

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\mu ^{h}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\eta }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\varrho _{1}}{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\varrho _{2}}{\mathfrak {w}}}\right)\cdots$.

(8)

Andererseits ist mit Rücksicht auf Satz 13

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\eta }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\eta }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.

(9)

Ferner gelten die Gleichungen

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\varrho _{i}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varrho _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {r}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i=1,2,\dotsc )$,

(10)

wie wir für ein primäres ${\mathfrak {r}}_{i}$ aus Satz 35 und für ein nichtprimäres ${\mathfrak {r}}_{i}$ aus Formel (6) schließen. Nunmehr führt die Gleichung (8) in Verbindung mit (9) und (10) zu der Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

(11)

und diese lehrt die Richtigkeit des Satzes 36 für den an zweiter Stelle behandelten Fall.

Wir nehmen drittens an, es sei $\nu$ gleich einer Einheit $\varepsilon$ in $k$, während $\mu$ beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Wir betrachten den Relativkörper $K({\sqrt {\mu }})$. Bedeuten, wie in unserem ersten Falle, ${\mathfrak {d}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{t}$ diejenigen unter den Primfaktoren von $\mu$, die in $\mu$ zu einer ungeraden Potenz aufgehen, und sind $\delta _{1},\dotsc ,\delta _{t}$ solche ganze Zahlen in $k$, daß

$(\delta _{1})={\mathfrak {d}}_{1}^{h},\dotsc ,(\delta _{t})={\mathfrak {d}}_{t}^{h}$

wird, so finden wir eine Gleichung von der Gestalt

$\mu ^{h}=\eta \delta _{1}\cdots \delta _{t}\alpha ^{2}$,

(12)

wo $\eta$ eine Einheit in $k$ und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bezeichnet. Nach Satz 4 sind ${\mathfrak {d}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{t}$ die in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale. Wir bezeichnen mit $r$ die Anzahl der Charaktere, die das Geschlecht einer Klasse in $K({\sqrt {\mu }})$ bestimmen, und es seien unter den Primidealen ${\mathfrak {d}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{t}$ die Primideale ${\mathfrak {d}}_{t}$, ${\mathfrak {d}}_{t-1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{r+1}$ nach der in Definition 11 gemachten Vorschrift ausgewählt. Dann beweisen wir folgende Tatsache: wenn $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ irgend $r$ Einheiten $\pm 1$ sind, deren Produkt $c_{1}\cdots c_{r}=+1$ ausfällt, so gibt es im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ stets Ideale, deren Charaktere mit $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ übereinstimmen. In der Tat nach Satz 18 gibt es in $k$ sicher ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, welches den Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

(13)

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=c_{1},&\dotsc ,&&\left({\frac {\delta _{r}}{\mathfrak {p}}}\right)&=c_{r},\\\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=+1,&\dotsc ,&&\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)&=+1\end{aligned}}\right\}$

(14)

genügt. Wegen (13) ist ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Vermöge des Satzes 35 bez. der Relation (7) folgen aus (14) die Gleichungen

$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=c_{1},\dotsc ,\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)=c_{r},\qquad \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=1,\dotsc ,\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$.

(15)

Da $c_{1}\cdots c_{r}=+1$ sein soll, so erhalten wir aus (14)

$\left({\frac {\delta _{1}\cdots \delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

und folglich ist wegen (12)

$\left({\frac {\mu ^{h}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K({\sqrt {\mu }})$ in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (15) mit $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ überein. Da die Anzahl der Systeme von je $r$ Einheiten $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ mit der Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ gleich $2^{r-1}$ ist und andererseits nach Satz 26 im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nicht mehr als $2^{r-1}$ Geschlechter existieren können, so schließen wir, wie in unserem ersten Falle, daß das Charakterensystem $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ eines jeden in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vorhandenen Geschlechtes notwendig die Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ erfüllen muß.

Um aus dieser Tatsache im gegenwärtigen dritten Falle den Satz 36 zu beweisen, sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal, welches den Bedingungen

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1,$

(16)

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\left({\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,$

(17)

$\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right),\left({\frac {\delta _{r+2}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{r+2}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$

(18)

genügt. Wegen der Gleichung (16) zerfällt ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren und wegen der Gleichungen (17) ist ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Wegen (18) erhalten wir unter Benutzung des Satzes 35 bez. der Relation (7) die Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=+1\qquad (i=r+1,r+2,\dotsc ,t)$,

(19)

und daher haben die $r$ Charaktere eines Primfaktors von ${\mathfrak {p}}$ folgende Werte

$\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{2}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)$.

Nun muß nach dem vorhin Bewiesenen das Produkt dieser Charaktere gleich $+1$ sein; dies liefert mit Rücksicht auf (16) und (19) die Beziehung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

und da wegen der an zweiter Stelle bewiesenen Tatsache

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

sein muß, so folgt auch die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varepsilon ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

(20)

womit der Satz 36 unter den an dritter Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt ist. Das Produkt $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }$ ist hier wie auch im folgenden stets über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken.

Wir machen viertens die Annahme, daß $\nu$ die $h$-te Potenz eines nichtprimären Primideals ${\mathfrak {q}}$ sei, und setzen $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$, wo $\varkappa$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; die Zahl $\mu$ enthalte jedoch beliebig viele primäre oder nicht primäre Primideale als Faktoren. Wir betrachten den Körper $K({\sqrt {\mu }})$, wenden für ihn die Bezeichnungen wie im vorigen Falle an und entnehmen aus der Behandlung dieses dritten Falles die Tatsache, daß das Produkt der $r$ Charaktere eines Geschlechtes in $K({\sqrt {\mu }})$ gleich $+1$ sein muß. Es sei zunächst $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$; dann zerfällt ${\mathfrak {q}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ in zwei Primfaktoren. Die $r$ Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren von ${\mathfrak {q}}$ sind, wenn $\xi$ eine geeignete Einheit in $k$ bedeutet, und im übrigen die Bezeichnungsweise, die im dritten Falle benutzt wurde, beibehalten wird:

$\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{2}}}\right),\ldots ,\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right),$

(21)

während überdies die Gleichungen

$\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=+1,\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+2}}}\right)=+1,\ldots ,\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$

(22)

gelten. Durch Multiplikation dieser Gleichungen (21), (22) folgt leicht

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

und vermöge der im dritten Falle bewiesenen Relation (20) schließen wir hieraus

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1.$

(23)

Fällt andererseits $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$ aus, so bestimmen wir ein primäres Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der Art, daß $\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ ausfällt. Bezeichnet $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so erhalten wir wegen (7) $\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$, und folglich wird $\left({\frac {\pi \mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$. Nach der eben bewiesenen Formel (23) folgt mithin, wenn wir jetzt $\pi \mu$ an Stelle von $\mu$ nehmen,

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa ,\,\pi \mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

und hieraus wiederum mit Hinzuziehung von (11)

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1;$

(24)

damit ist der Satz 36 auch unter der vierten Annahme bewiesen.

Wir beweisen endlich den Satz 36 allgemein. Zu dem Zwecke setzen wir

$\nu ^{h}=\varepsilon \varrho _{1}\varrho _{2}\ldots ,$

wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ und $\varrho _{1}$, $\varrho _{1}$, …, sei es Primärzahlen von primären Primidealen, sei es solche ganze Zahlen in $k$ bedeuten, die $h$-te Potenzen von nichtprimären Primidealen darstellen. Dann entnehmen wir aus (20), (11), (24) die zu beweisende Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{h},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

Der Satz 36 enthält bereits wesentliche Bestandteile des quadratischen Reziprozitätsgesetzes zwischen den zu $2$ primen Zahlen im Körper $k$. Wir fassen einige wichtige Folgerungen des Satzes 36 in nachstehendem Satze zusammen:

Satz 37. Bedeuten $\nu$, $\mu$, $\nu ^{*}$, $\mu ^{*}$ irgendwelche ganze Zahlen in $k$, die zu $2$ prim sind und nach dem Modul $2^{2}$ den Kongruenzen

$\nu \equiv \nu ^{*},\quad \mu \equiv \mu ^{*},\qquad (2^{2})$

genügen, und fällt überdies $\nu$ zu $\mu$ und $\nu ^{*}$ zu $\mu ^{*}$ prim aus, so gilt stets die Formel

$\left({\frac {\nu }{\mu }}\right)\left({\frac {\mu }{\nu }}\right)=\left({\frac {\nu ^{*}}{\mu ^{*}}}\right)\left({\frac {\mu ^{*}}{\nu ^{*}}}\right)$.

Bedeuten $\nu$, $\mu$ irgendwelche zueinander und zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$, von denen wenigstens eine dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach $2^{2}$ kongruent ausfällt, so gilt stets die Formel

$\left({\frac {\nu }{\mu }}\right)=\left({\frac {\mu }{\nu }}\right)$.

Beweis. Unter den zuerst gemachten Annahmen haben wir nach Satz 36

${\begin{aligned}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu \nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\\\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu \mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1\end{aligned}}$

und mithin

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$;

hieraus entnehmen wir leicht die erste Aussage des Satzes 37. Die zweite Aussage folgt unmittelbar durch Anwendung des Satzes 36.

Die Formeln des Satzes 37 können auf die mannigfaltigste Weise durch numerische Beispiele bestätigt werden.

§ 26. Das primäre Ideal und seine Eigenschaften.

Wir erweitern die Definition 13 in folgender Weise:

Definition 16. Ein solches zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ des Körpers $k$, in bezug auf das für jede Einheit $\xi$ in $k$

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt, heiße ein primäres Ideal; dagegen mögen diejenigen Ideale nichtprimär genannt werden, in bezug auf die jene Gleichung nicht für jede Einheit $\xi$ erfüllt ist.

Auf Grund des Satzes 36 gelingt es nun, den Satz 32 in folgender Weise zu verallgemeinern:

Satz 38. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges primäres Ideal in $k$: dann ist es stets möglich, in $k$ eine ganze Zahl $\alpha$ zu finden, so daß das Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {a}}^{h}$ wird, und überdies die Zahl $\alpha$ nach dem Modul $2^{2}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k$ kongruent ausfällt.

Beweis. Es sei $\alpha ^{*}$ irgendeine ganze Zahl in $k$, so daß $(\alpha ^{*})={\mathfrak {a}}^{h}$ wird. Bezeichnen ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ die $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Ideale bez. ganze Zahlen, wie in Satz 29, so ist nach dem dort Bewiesenen jede ganze zu $2$ prime Zahl nach dem Modul $2^{2}$ in einer gewissen Gestalt (vgl. S. 414) darstellbar; wir dürfen danach insbesondere

$\alpha ^{*}\equiv \varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}\beta ^{2},\qquad (2^{2})$

(1)

setzen, wo $\varepsilon ^{*}$ eine geeignete Einheit in $k$, ferner $\nu _{1}$, …, $\nu _{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\beta$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Da wegen (1) die Zahl

$\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}$

kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, so ist nach dem Satze 36 für jede Einheit $\xi$ in $k$

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\xi ,\,\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

und folglich

$\left({\frac {\xi }{\alpha ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}}}\right)=\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{\nu _{1}}\cdots \left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{\nu _{\frac {m}{2}}}=+1$;

da nach Voraussetzung $\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$ sein soll, so entnehmen wir hieraus, daß für jede Einheit $\xi$ in $k$ die Gleichung

$\left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{\nu _{1}}\cdots \left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{\nu _{\frac {m}{2}}}=+1$

bestehen muß. Indem wir hierin der Reihe nach für $\xi$ die in § 21 aufgestellten Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ einsetzen, schließen wir aus den Formeln S. 413, daß die Exponenten $\nu _{1}$, …, $\nu _{\frac {m}{2}}$ sämtlich gleich $0$ sind, und daher ist wegen (1) $\alpha =\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}$ eine ganze Zahl in $k$ von der im Satze 38 verlangten Beschaffenheit.

Die Umkehrung des Satzes 38 stellt eine Verallgemeinerung des Satzes 33 dar und lautet wie folgt:

Satz 39. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein zu $2$ primes Ideal in $k$ und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {a}}^{h}$ wird und überdies die Zahl $\alpha$ nach dem Modul $2^{2}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k$ kongruent ausfällt, so ist ${\mathfrak {a}}$ ein primäres Ideal in $k$.

Den Beweis dieses Satzes gewinnen wir aus Satz 36, wenn wir in der Gleichung dieses Satzes 36 für $\nu$ eine beliebige Einheit $\xi$ in $k$ und für $\mu$ die Zahl $\alpha$ nehmen.

§ 27. Beispiele für die Sätze 32, 33, 38, 39.

Die Sätze 32, 33 entsprechen dem bekannten Satze aus der Theorie der rationalen Zahlen, demzufolge $-1$ quadratischer Rest oder Nichtrest nach einer rationalen positiven Primzahl ist, je nachdem diese von der Form $4n+1$ oder $4n+3$ ausfällt. Zur Erläuterung und Bestätigung der genannten Sätze 32, 33 wie der allgemeineren Sätze 38, 39 mögen folgende Beispiele dienen:

Beispiel 1. Der quadratische Körper $k({\sqrt {-7}})$ hat die Klassenanzahl $h=1$; er besitzt zwei Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $+1$ und $-1$ bestimmt sind. Die Zahlen

$3,\quad {\sqrt {-7}},\quad 2+{\sqrt {-7}},\quad 4+{\sqrt {-7}},\quad 1+2{\sqrt {-7}}$

sind Primzahlen mit den Normen bez.

$3^{2},\quad 7,\qquad 11,\qquad 23,\qquad 29.$

Nun gelten die Kongruenzen:

$-1\equiv ({\sqrt {-7}})^{2},\quad (3)$ und $-1\equiv 12^{2},\quad (1+2{\sqrt {-7}});$

also haben wir im Körper $k({\sqrt {-7}})$

$\left({\frac {-1}{3}}\right)=+1$ und $\left({\frac {-1}{1+2{\sqrt {-7}}}}\right)=+1$,

d. h. die Primideale $(3)$ und $(1+2{\sqrt {-7}})$ sind primär. Dagegen finden wir mittels Satz 1

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{\sqrt {-7}}}\right)=(-1)^{\frac {7-1}{2}}=-1,&\quad \left({\frac {-1}{2+{\sqrt {-7}}}}\right)=(-1)^{\frac {11-1}{2}}=-1,\\\left({\frac {-1}{4+{\sqrt {-7}}}}\right)&=(-1)^{\frac {23-1}{2}}=-1;\end{aligned}}$

d. h. die Primideale $({\sqrt {-7}})$, $(2+{\sqrt {-7}})$, $(4+{\sqrt {-7}})$ sind nichtprimär. In Übereinstimmung mit dem Satze 32 haben wir in der Tat

$-3\equiv 1^{2},\quad (2^{2})$ und $-1-2{\sqrt {-7}}\equiv 1^{2},\quad (2^{2}),$

d. h. $-3$ und $-1-2{\sqrt {-7}}$ sind Primärzahlen der Primideale $(3)$ bez. $\left(1+2{\sqrt {-7}}\right)$. Dagegen ist von den sechs Zahlen

$\pm {\sqrt {-7}},\,\pm \left(2+{\sqrt {-7}}\right),\,\pm \left(4+{\sqrt {-7}}\right)$

keine dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k({\sqrt {-7}})$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent, womit Satz 33 bestätigt wird.

Nach Definition 16 sind die Ideale

${\begin{aligned}({\sqrt {-7}})(2+{\sqrt {-7}})&=(-7+2{\sqrt {-7}}),\\({\sqrt {-7}})(4+{\sqrt {-7}})&=(-7+4{\sqrt {-7}})\end{aligned}}$

primär; in der Tat gelten in Bestätigung des Satzes 38 nach dem Modul $2^{2}$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}-(-7+2{\sqrt {-7}})\equiv 1^{2},\quad (2^{2}),\\-7+4{\sqrt {-7}}\equiv 1^{2},\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Beispiel 2. Der biquadratische Körper $k({\sqrt {-1}},\,{\sqrt {5}})$ hat die Klassenanzahl $h=1$; wir setzen $i={\sqrt {-1}}$ und $\vartheta ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, so daß $i^{2}+1=0$ und $\vartheta ^{2}-\vartheta -1=0$ wird. Der Körper $k(i,\,\vartheta )$ besitzt $4$ Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $1$, $i$, $\vartheta$, $i\vartheta$ bestimmt sind.

Die Zahlen

$i+\vartheta$, $3+2i$, $2i+\vartheta$, $1-2\vartheta +i\vartheta$, $1+2i+2\vartheta$, $3i+\vartheta$

(1)

sind Primzahlen mit den Normen bez.

$5,\quad 13^{2},\quad 29,\quad 41,\quad 89,\quad 109.$

Wir finden nun leicht mittels Satz 1 im Körper $k(i,\,\vartheta )$ die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {i}{i+\vartheta }}\right)&=i^{\frac {5-1}{2}}=-1,&\left({\frac {\vartheta }{i+\vartheta }}\right)&=\left({\frac {-i}{i+\vartheta }}\right)=-1,\\\left({\frac {i}{3+2i}}\right)&=+1,&\left({\frac {\vartheta }{3+2i}}\right)&=+1,\\\left({\frac {i}{2i+\vartheta }}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{2i+\vartheta }}\right)&=+1,\\\left({\frac {i}{1-2\vartheta +i\vartheta }}\right)&=+1,&\left({\frac {\vartheta }{1-2\vartheta +i\vartheta }}\right)&=-1,\\\left({\frac {i}{1-2i+2\vartheta }}\right)&=+1,&\left({\frac {\vartheta }{1+2i+2\vartheta }}\right)&=+1,\\\left({\frac {i}{3i+\vartheta }}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{3i+\vartheta }}\right)&=-1.\end{aligned}}$

Dem Satze 33 zufolge darf daher keine der vier Primzahlen $i+\vartheta$, $2i+\vartheta$, $1-2\vartheta +i\vartheta$, $3i+\vartheta$ nach dem Modul $2^{2}$ einem Ausdrucke von der Gestalt $i^{u}\vartheta ^{v}\alpha ^{2}$ kongruent sein, wo $u$, $v$ gewisse Werte $0$, $1$ haben dürfen und $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k(i,\vartheta )$ bedeutet; dagegen muß nach Satz 32 jede der beiden übrigen Zahlen aus der Reihe (1) einer solchen Kongruenz genügen. In der Tat ist

$3+2i\equiv \vartheta (1-i-\vartheta )^{2},\,(2^{2})$ und $1+2i+2\vartheta \equiv (1+\vartheta +i\vartheta )^{2},\,(2^{2})$.

Aus der obigen Tabelle erkennen wir ferner, daß die Ideale

${\begin{aligned}(i+\vartheta )(3i+\vartheta )\qquad \qquad \qquad &=(-2+\vartheta +4i\vartheta ),\\(i+\vartheta )(2i+\vartheta )(1-2\vartheta +i\vartheta )&=(-6-5i-2\vartheta -3i\vartheta )\end{aligned}}$

primär sind; in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 38 und 39 die Kongruenzen:

${\begin{aligned}-2+\vartheta +4i\vartheta &\equiv -(1-\vartheta )^{2},\qquad \qquad (2^{2}),\\-6-5i-2\vartheta -3i\vartheta &\equiv -i(1+i-\vartheta )^{2},\qquad (2^{2}).\end{aligned}}$

Beispiel 3. Der biquadratische Körper $\textstyle k\left({\sqrt {1+4{\sqrt {-1}}}}\right)$ hat die Klassenanzahl $h=1$; wir setzen $i={\sqrt {-1}}$ und $\textstyle \vartheta ={\frac {1+{\sqrt {1+4i}}}{2}}$, so daß $\vartheta ^{2}-\vartheta -i=0$ wird. Der Körper $k({\sqrt {\vartheta }})$ besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $1$, $i$, $\vartheta$, $i\vartheta$ bestimmt sind.

Durch Zerlegung der Zahl 5 erhalten wir in $k({\sqrt {\vartheta }})$ die drei Primzahlen

$2+i$, $1+\vartheta$, $2-\vartheta$;

(2)

das Produkt der beiden letzteren ist gleich $2-i$, und das Produkt aller drei Primzahlen ist gleich 5. Wir finden leicht in diesem Körper $k(\vartheta )$:

$\left({\frac {i}{2+i}}\right)=i^{\frac {5^{2}-1}{2}}=+1$, $\left({\frac {i}{1+\vartheta }}\right)=i^{\frac {5-1}{2}}=-1$, $\left({\frac {i}{2-\vartheta }}\right)=-1$,

(3)

und

$\left({\frac {\vartheta }{2+i}}\right)=-1$, $\left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta }}\right)=+1$, $\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta }}\right)=-1$,

(4)

und in der Tat ist keine der drei Primzahlen (2) nach dem Modul $2^{2}$ einem Ausdruck von der Gestalt $i^{u}\vartheta ^{v}\alpha ^{2}$ kongruent, wo $u$, $v$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k(\vartheta )$ bedeutet. Dagegen ist $5\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$, und wegen (3), (4) haben wir

${\begin{aligned}\left({\frac {i}{5}}\right)=\left({\frac {i}{2+i}}\right)\left({\frac {i}{1+\vartheta }}\right)\left({\frac {i}{2-\vartheta }}\right)=+1,\\\left({\frac {\vartheta }{5}}\right)=\left({\frac {\vartheta }{2+i}}\right)\left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta }}\right)\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta }}\right)=+1,\end{aligned}}$

d. h. das Ideal (5) ist in Übereinstimmung mit Satz 39 primär.

Die Zahl $37$ ist in $k(\vartheta )$ gleich dem Produkt der drei Primzahlen

$6+i,\qquad \qquad -3+\vartheta ,\qquad \qquad 2+\vartheta .$

Wir finden leicht

$\left({\frac {i}{6+i}}\right)=+1$, $\left({\frac {i}{3-\vartheta }}\right)=-1$, $\left({\frac {i}{2+\vartheta }}\right)=-1$

(5)

und

$\left({\frac {\vartheta }{6+i}}\right)=-1$, $\left({\frac {\vartheta }{3-\vartheta }}\right)=+1$, $\left({\frac {\vartheta }{2+\vartheta }}\right)=-1$.

(6)

Die Primfaktoren von 37 sind ebenso wie diejenigen von 5 sämtlich nichtprimär; dagegen ist das Ideal (37) primär. Ferner sind wegen (3), (4), (5), (6) die Ideale

$((2+i)(6+i)),\,((1+\vartheta )(3-\vartheta )),\,((2-\vartheta )(2+\vartheta ))$

primär; in der Tat gelten in Übereinstimmung mit Satz 38 die Kongruenzen

${\begin{aligned}(2+i)(6+i)&\equiv (2+i)^{2},\quad \,\,(2^{2}),\\-(1+\vartheta )(3-\vartheta )&\equiv (1-\vartheta )^{2},\quad (2^{2}),\\-(2-\vartheta )(2+\vartheta )&\equiv \vartheta ^{2},\qquad \quad \,\,\,(2^{2}).\end{aligned}}$

Die Zahlen 3 und 7 sind in $k(\vartheta )$ unzerlegbar, und da $-3\equiv 1^{2}$ und $-7\equiv 1^{2}$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, so müssen nach Satz 33 (3) und (7) primäre Primideale mit den Primärzahlen $-3$ und $-7$ sein. In der Tat sind die Einheiten $i,\vartheta$ beide in $k(\vartheta )$ quadratische Reste nach den Moduln (3) und (7); denn wir haben

$\left({\frac {i}{3}}\right)=i^{\frac {3^{4}-1}{2}}=+1$ und $\left({\frac {i}{7}}\right)=i^{\frac {7^{4}-1}{2}}=+1$

sowie ferner

$\vartheta \equiv (1-\vartheta +i\vartheta )^{2},(3)$ und $\vartheta \equiv (1+3i-3\vartheta -i\vartheta )^{2},$

(7).

Beispiel 4. Der biquadratische Körper $k({\sqrt[{4}]{-2}})$ hat die Klassenanzahl $h=1$; wir setzen $\vartheta ={\sqrt[{4}]{-2}}$, so daß $\vartheta ^{4}+2=0$ wird. Der Körper $k(\vartheta )$ besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $1$, $-1$, $\varepsilon$, $-\varepsilon$ bestimmt sind, wobei zur Abkürzung

$\varepsilon =1-\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}$

gesetzt ist.

Die Zahlen

$\left.{\begin{aligned}1-\vartheta ,\qquad \qquad 1+\vartheta ,\qquad \qquad 1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3},\\1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3},\qquad \qquad 1+2\vartheta -\vartheta ^{2}\end{aligned}}\right\}$

(7)

sind Primzahlen ersten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen bez.

${\begin{aligned}3,\qquad 3,\qquad 19,\\\qquad \qquad \qquad 59,\qquad 73;\\\end{aligned}}$

wir schließen hieraus mittels Satz 1

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1-\vartheta }}\right)=-1,\qquad \left({\frac {-1}{1+\vartheta }}\right)=-&1,\qquad \left({\frac {-1}{1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}}}\right)=-1,\\\left({\frac {-1}{1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)&=-1,\qquad \left({\frac {-1}{1+2\vartheta -\vartheta ^{2}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(8)

Die Zahl $\vartheta$ genügt nach den Primzahlen in (7) bez. den Kongruenzen

${\begin{aligned}\vartheta \equiv 1,\qquad \qquad \vartheta \equiv -1,\qquad \qquad \qquad \vartheta \equiv -5,\\\qquad \qquad \vartheta \equiv \,\,\,6,\qquad \qquad \qquad \vartheta \equiv -31\\\end{aligned}}$

und daher gelten für $\varepsilon$ bez. nach jenen Primzahlen die Kongruenzen

${\begin{aligned}\varepsilon \equiv 1,\qquad \varepsilon &\equiv -1,\qquad \varepsilon \equiv 3,\\\varepsilon &\equiv \,\,\,\,\,4,\qquad \varepsilon \equiv -18.\end{aligned}}$

Da nun im Bereiche der rationalen Zahlen $1$ quadratischer Best nach $3$, $-1$ Nichtrest nach $3$, $3$ Nichtrest nach $19$, $4$ Rest nach $59$ und $-18$ Rest nach $73$ ist, so haben wir im Körper $k(\vartheta )$ die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon }{1-\vartheta }}\right)=+1,\qquad \left({\frac {\varepsilon }{1+\vartheta }}\right)=-&1,\qquad \left({\frac {\varepsilon }{1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}}}\right)=-1,\\\left({\frac {\varepsilon }{1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)&=+1,\qquad \left({\frac {\varepsilon }{1+2\vartheta -\vartheta ^{2}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(9)

Wegen (8), (9) ist von den fünf Primzahlen in (7) nur die letzte primär, und in der Tat gilt in Bestätigung des Satzes 32 nach dem Modul $2^{2}$ die Kongruenz

$-(1+2\vartheta -\vartheta ^{2})\equiv (1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\qquad (2^{2}),$

so daß $-1-2\vartheta +\vartheta ^{2}$ eine Primärzahl des Primideals $(1+2\vartheta -\vartheta ^{2})$ wird.

Die Zahlen

$1-2\vartheta +2\vartheta ^{2},\qquad 1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}$

sind Primzahlen zweiten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen bez.

$7^{2}$, $31^{2}$.

Zunächst ergibt sich

$\left({\frac {-1}{1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}}}\right)=(-1)^{\frac {7^{2}-1}{2}}=+1.$

Ferner finden wir mit Benutzung der Kongruenz

$\vartheta ^{2}\equiv \vartheta +3,\qquad (1-2\vartheta +2\vartheta ^{2})$

leicht, daß $\varepsilon$ quadratischer Nichtrest nach $1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}$ ist, d. h. wir haben

$\left({\frac {\varepsilon }{1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}}}\right)=-1,$

und die Primzahl $1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}$ ist mithin nichtprimär. Dagegen gilt die Kongruenz

$-1+4\vartheta ^{2}-2\vartheta ^{3}\equiv (1+\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\qquad (2^{2}).$

Nach Satz 33 muß mithin $(1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3})$ ein primäres Primideal sein. In der Tat haben wir

$\left({\frac {-1}{1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}}}\right)=(-1)^{\frac {31^{2}-1}{2}}=+1$

und überdies gilt die Kongruenz

$\varepsilon \equiv (3-2\vartheta )^{2},\quad (1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}).$

Endlich sind wegen (8), (9) die Ideale

$\left((1+\vartheta )(1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3})\right),\quad \left((1-\vartheta )(1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})\right)$

primär und in Bestätigung des Satzes 38 finden wir in der Tat

${\begin{aligned}-(1+\vartheta )(1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3})&\equiv (1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\quad (2^{2}),\\-\varepsilon (1-\vartheta )(1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})&\equiv \varepsilon ^{2}\qquad \qquad \qquad \quad \,,\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Die Zahl $5$ ist in $k(\vartheta )$ unzerlegbar und wegen $5\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ ist mithin dem Satze 33 zufolge $(5)$ ein primäres Primideal; in der Tat ist $\varepsilon$ quadratischer Rest nach $5$ wegen der Kongruenz

$\varepsilon \equiv (1+2\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\quad (5).$

Beispiel 5. Der durch die $5$-ten Einheitswurzeln bestimmte Körper ist ein biquadratischer zyklischer Körper mit der Klassenanzahl $h=1$; es sei $\vartheta$ eine von $1$ verschiedene $5$-te Einheitswurzel, so daß

$\vartheta ^{4}+\vartheta ^{3}+\vartheta ^{2}+\vartheta +1=0$

wird. Der Körper $k(\vartheta )$ besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, welche durch die Einheiten $+1$, $-1$, $1+\vartheta$, $-1-\vartheta$ bestimmt sind.

Die Zahlen

$\left.{\begin{aligned}1+2\vartheta ^{2},\quad 2-\vartheta ^{2}\,\,\,,\quad 3+2\vartheta +\vartheta ^{2},\\3+\vartheta \,\,\,,\quad 3+4\vartheta ^{2},\quad 1+5\vartheta ^{2}\qquad \end{aligned}}\right\}$

(10)

sind Primzahlen ersten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen bez.

${\begin{aligned}11,\qquad \,\,\,31,\qquad \,\,\,41,\\61,\qquad 181,\qquad 521;\end{aligned}}$

wir schließen hieraus mittels Satz 1 leicht

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1+2\vartheta ^{2}}}\right)&=-1,\quad \left({\frac {-1}{2-\vartheta ^{2}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {-1}{3+2\vartheta +\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\\\left({\frac {-1}{3+\vartheta }}\right)&=+1,\quad \left({\frac {-1}{3+4\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {-1}{1+5\vartheta ^{2}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(11)

Die Einheit $1+\vartheta$ genügt nach den Primzahlen (10) bez. den Kongruenzen

${\begin{aligned}1+\vartheta &\equiv \,\,\,\,5,\qquad \equiv \,\,\,\,9,\qquad \equiv 11,\\&\equiv -2,\qquad \equiv 43,\qquad \equiv 26.\end{aligned}}$

Da nun im Bereich der rationalen Zahlen $5$ quadratischer Rest nach $11$, $9$ quadratischer Rest nach $31$, $11$ Nichtrest nach $41$, $-2$ Nichtrest nach $61$, $43$ Rest nach $181$, und $26$ Rest nach $521$ ist, so haben wir im Körper $k(\vartheta )$ die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {1+\vartheta }{1+2\vartheta ^{2}}}\right)&=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{2-\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{3+2\vartheta +\vartheta ^{2}}}\right)=-1,\\\left({\frac {1+\vartheta }{3+\vartheta }}\right)&=-1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{3+4\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{1+5\vartheta ^{2}}}\right)\quad =+1,\end{aligned}}\right\}$

(12)

Wegen (11), (12) sind von den sechs Primzahlen in (10) nur die zwei letzten primär, und in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 32 und 33 nach dem Modul $2^{2}$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}3+4\vartheta ^{2}&\equiv -1,\qquad \qquad (2^{2}),\\1+5\vartheta ^{2}&\equiv -{\frac {\vartheta ^{4}}{1+\vartheta }},\qquad (2^{2}),\end{aligned}}$

so daß

$-3-4\vartheta ^{2}$ und $-(1+\vartheta )(1+5\vartheta ^{2})=-1-\vartheta -5\vartheta ^{2}-5\vartheta ^{3}$

Primärzahlen der betreffenden beiden Primideale werden.

Aus den Gleichungen (11), (12) entnehmen wir leicht die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})}}\right)&=+1,\qquad \left({\frac {-1}{(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )}}\right)=+1,\\\left({\frac {1+\vartheta }{(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})}}\right)&=+1,\qquad \left({\frac {1+\vartheta }{(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )}}\right)=+1.\end{aligned}}$

Die Zahlen $(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})$ und $(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )$ müssen daher dem Satze 38 zufolge dem Produkte einer Einheit in das Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k(\vartheta )$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent ausfallen; in der Tat gelten die Kongruenzen:

${\begin{aligned}(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})&\equiv 2\vartheta +\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}\equiv (1+\vartheta )(1+\vartheta ^{4})^{2}&,\quad (2^{2}),\\(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )&\equiv -\vartheta ^{4}&,\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Beispiel 6. Der durch eine Wurzel $\vartheta$ der Gleichung

$\vartheta ^{4}+\vartheta +1=0$

bestimmte Körper ist ein biquadratischer Körper ohne quadratischen Unterkörper; er hat die Klassenanzahl $h=1$ und besitzt $4$ Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $+1$, $-1$, $\vartheta$, $-\vartheta$ bestimmt sind.

Für die Zahlen $3$, $5$ gelten in $k(\vartheta )$ die Zerlegungen

${\begin{aligned}3&=(1-\vartheta )(2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}),\\5&=(1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})(2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}),\end{aligned}}$

worin beidemal der erste Faktor auf der rechten Seite eine Primzahl ersten Grades und der zweite Faktor eine Primzahl dritten Grades ist. Mit Hilfe des Satzes 1 erhalten wir darnach leicht

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1-\vartheta }}\right)=&-1,\qquad \left({\frac {-1}{2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=(-1)^{\frac {3^{3}-1}{2}}=-1,\\\left({\frac {-1}{1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=&+1,\quad \left({\frac {-1}{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=(-1)^{\frac {5^{3}-1}{2}}=+1.\end{aligned}}\right\}$

(13)

Andererseits findet man aus den Kongruenzen

$\vartheta \equiv 1,\quad (1-\vartheta )$ und $\vartheta \equiv -2,\quad (1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})$

die Gleichungen

$\left({\frac {\vartheta }{1-\vartheta }}\right)=+1,\quad \left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=-1.$

(14)

Wegen $-3\equiv 1^{2}$ und $5\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ sind (3), (5) nach Satz 39 primäre Ideale und mithin folgt

${\begin{aligned}\left({\frac {\vartheta }{3}}\right)&=&\left({\frac {\vartheta }{1-\vartheta }}\right)\left({\frac {\vartheta }{2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=&+1,\\\left({\frac {\vartheta }{5}}\right)&=&\left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)\left({\frac {\vartheta }{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=&+1;\end{aligned}}$

hieraus entnehmen wir mit Rücksicht auf (14), daß notwendig

$\left({\frac {\vartheta }{2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=+1$ und $\left({\frac {\vartheta }{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=-1$

(15)

sein muß. In der Tat wird die erstere Gleichung durch die Kongruenz

$\vartheta \equiv (\vartheta -\vartheta ^{2})^{2},\quad (2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})$

bestätigt. Um die letztere Gleichung zu bestätigen, berücksichtigen wir, daß wegen

${\begin{aligned}\vartheta ^{3}\equiv 2(1-\vartheta )^{2},\qquad (2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3})\\\left({\frac {\vartheta }{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=\left({\frac {2}{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)\end{aligned}}$

und wegen

$2^{\frac {5^{3}-1}{2}}\equiv -1,\qquad (5)$

nach Satz 1

$\left({\frac {2}{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=-1$

ausfällt

Die Zahl $7$ ist in $k(\vartheta )$ unzerlegbar und wegen $-7\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ muß demnach $\vartheta$ nach $7$ quadratischer Rest in $k(\vartheta )$ sein; in der Tat finden wir

$\vartheta \equiv (\vartheta +\vartheta ^{2}+3\vartheta ^{3})^{2},\quad (7)$.

Die Zahlen $2-\vartheta$, $2-\vartheta ^{2}$ sind Primzahlen ersten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen 19 bez. 23. Wir erhalten leicht

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{2-\vartheta }}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta }}\right)&=-1\\\left({\frac {-1}{2-\vartheta ^{2}}}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta ^{2}}}\right)&=+1.\end{aligned}}$

Hieraus und aus (13), (14), (15) entnehmen wir die Gleichungen

$\left({\frac {-1}{(1-\vartheta )(2-\vartheta )(2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3})}}\right)=+1,\quad \left({\frac {-1}{(1-\vartheta )(2-\vartheta ^{2})}}\right)=+1.$

Dem Satze 38 zufolge muß daher jedes der beiden betreffenden Primzahlprodukte nach Multiplikation mit einer geeigneten Einheit dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k(\vartheta )$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent werden; in der Tat ist

${\begin{aligned}&-(1-\vartheta )(2-\vartheta )(2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3})&\equiv &(1-\vartheta )^{2}&,&\quad (2^{2})\\&-\vartheta (1-\vartheta )(2-\vartheta ^{2})&\equiv &(\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2}&,&\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Beispiel 7. Der durch die $7$-ten Einheitswurzeln bestimmte Körper ist ein Abelscher Körper $6$-ten Grades mit der Klassenanzahl $h=1$; derselbe läßt sich aus einem quadratischen und einem kubischen Körper zusammensetzen. Verstehen wir unter $\vartheta$ eine von $1$ verschiedene $7$-teEinheitswurzel und setzen

$\zeta =\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{4}$ und $\eta =\vartheta +\vartheta ^{6}$,

so wird

$\zeta ^{2}+\zeta +2=0$ und $\eta ^{3}+\eta ^{2}-2\eta -1=0$.

Der Körper $k(\vartheta )$ besitzt 8 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, welche durch die Einheiten $+1$, $-1$, $+\eta$, $-\eta$, $2-\eta ^{2}$, $-2+\eta ^{2}$, $\eta (2-\eta ^{2})$, $-\eta (2-\eta ^{2})$ bestimmt sind.

Die Zahlen

$1-\vartheta +2\vartheta ^{3}$, $1+3\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}$

(16)

sind Primzahlen ersten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen bez.

$113$, $197$.

Da überdies nach jenen Primzahlen bez. die Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\eta &\equiv \,\,9,\\2-\eta ^{2}&\equiv 34,\end{aligned}}\right\}$ $\left.{\begin{aligned}\eta &\equiv -39\\2-\eta ^{2}&\equiv \,\,\,\,\,57\end{aligned}}\right\}$

gelten, so finden wir leicht

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1-\vartheta +2\vartheta ^{3}}}\right)&=+1,\\\left({\frac {-1}{1+3\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)&=+1,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\left({\frac {\eta }{1-\vartheta +2\vartheta ^{3}}}\right)&=+1,\\\left({\frac {\eta }{1+3\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)&=+1,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\left({\frac {2-\eta ^{2}}{1-\vartheta +2\vartheta ^{3}}}\right)&=-1,\\\left({\frac {2-\eta ^{2}}{1+3\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)&=-1.\end{aligned}}$

Nach Definition 16 ist also das Produkt der beiden Primzahlen in (16) ein primäres Ideal des Körpers $k(\vartheta )$, und in der Tat gilt in Bestätigung der Sätze 38 und 39 nach dem Modul ($2^{2}$) die Kongruenz

$(1-\vartheta +2\vartheta ^{3})(1+3\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})\equiv (2-\eta ^{2})\vartheta ^{2}$.

Die Zahl 37 gestattet die Zerlegung

$37=(1-4\zeta )(5+4\zeta )$,

wobei die beiden Faktoren rechter Hand Primzahlen dritten Grades in $k(\vartheta )$ sind. Da dieselben nach dem Modul $2^{2}$ kongruent $1^{2}$ ausfallen, so stellen sie nach Satz 33 primäre Primideale dar. In Übereinstimmung damit finden wir

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1-4\zeta }}\right)&=+1,\\\eta &\equiv (14+17\eta +19\eta ^{2})^{2},\quad \,(37),\\-2+\eta ^{2}&\equiv (19\eta +2\eta ^{2})^{2},\qquad \qquad (37).\end{aligned}}$

Die Zahl $3$ ist Primzahl in $k(\vartheta )$ und wegen $-3\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ ist das Ideal $(3)$ nach Satz 33 ein primäres Primideal. In der Tat haben wir

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{3}}\right)&=(-1)^{\frac {3^{6}-1}{2}}=+1,\\\eta &\equiv (\eta -\eta ^{2})^{2},\qquad \,\,\,\,(3),\\-2+\eta ^{2}&\equiv (1+\eta -\eta ^{2})^{2},\quad (3).\end{aligned}}$

---

Die angeführten Beispiele lassen erkennen, welche reiche Mannigfaltigkeit an arithmetischen Wahrheiten insbesondere in den Sätzen 32, 33, 38, 39 enthalten ist – und doch bilden diese Sätze nur Bestandteile des ersten Ergänzungssatzes zu dem später von mir zu entwickelnden allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste. Der vollständige erste Ergänzungssatz wird erst im Satz 53 (§ 36) zum Ausdruck kommen. Endlich erinnern wir daran, daß wir des leichteren Verständnisses wegen in dem zweiten Abschnitte der vorliegenden Abhandlung durchweg über den Grundkörper $k$ die auf Seite 27 angegebenen besonderen Annahmen gemacht haben; wir müssen es uns daher auch an dieser Stelle versagen, mitzuteilen, wie der erste Ergänzungssatz lautet und wie tief derselbe das Wesen des Begriffes der Idealklasse berührt, falls der zugrunde gelegte Körper $k$ eine gerade Klassenanzahl aufweist.

§ 28. Das Produkt $\textstyle \mathbf {\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)}$ für ein beliebiges $\mathbf {\nu }$ und bei gewissen Annahmen über $\mathbf {\mu }$.

Für die späteren Entwicklungen ist es erforderlich, den Satz 36 in folgender Weise zu erweitern:

Satz 40. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die sämtlichen von einander verschiedenen Primfaktoren der Zahl $2$ und es gehe ${\mathfrak {l}}_{1}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{1}$-ten, ${\mathfrak {l}}_{2}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{2}$-ten, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{z}$-ten Potenz in $2$ auf, so daß

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

wird; wenn dann $\nu$ eine beliebige ganze Zahl und $\mu$ eine solche ganze Zahl in $k$ bedeutet, die zu $2$ prim ist und dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ist, so fällt stets

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

aus, wo das Produkt über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll.

Beweis. Wir setzen

$\nu ={\mathfrak {n}}{\mathfrak {l}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{e_{z}}$,

so daß $e_{1}$, …, $e_{z}$ gewisse ganze rationale Exponenten und ${\mathfrak {n}}$ ein zu $2$ primes Ideal bedeutet. Nach Satz 8 sind die Ideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ sämtlich im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ weiter zerlegbar; es seien ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{z}$ bez. je ein Primfaktor von ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$; endlich sei ${\mathsf {A}}$ eine durch das Ideal ${\mathfrak {L}}_{1}^{e_{1}}\ldots {\mathfrak {L}}_{z}^{e_{z}}$ teilbare ganze Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ von der Art, daß der Quotient $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{{\mathfrak {L}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{z}^{e_{z}}}}$ zu $2$ prim ausfällt. Die Relativnorm $\alpha$ der Zahl ${\mathsf {A}}$ erhält dann die Gestalt

$\alpha =N({\mathsf {A}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {l}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{e_{z}}$,

wo ${\mathfrak {a}}$ ein zu $2$ primes Ideal des Körpers $k$ bedeutet, und es läßt sich infolgedessen der Quotient $\textstyle {\frac {\nu }{\alpha }}$ als ein Bruch $\textstyle {\frac {\varrho }{\sigma }}$ darstellen, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ ganze zu $2$ prime Zahlen sind. Wegen der Definition 6 ist für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$

$\left({\frac {N({\mathsf {A}}),\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

und mithin auch

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\alpha ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll. Berücksichtigen wir ferner, daß nach Satz 36 die Gleichungen

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\sigma ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\qquad \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

gelten, so erhalten wir mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu \sigma ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\alpha \varrho ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\alpha ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wie der zu beweisende Satz 40 behauptet.

§ 29. Der Fundamentalsatz über die Anzahl der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper.

In § 19 haben wir für den Fall, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ zu $2$ prim ist, den Satz 26 bewiesen und dadurch eine obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ aufgestellt. Wir sind nunmehr imstande, unter der nämlichen Einschränkung das folgende wichtige Theorem zu beweisen:

Satz 41. Es sei $r$ die Anzahl der Charaktere, welche ein Geschlecht des relativquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ bestimmen; ist dann ein System von $r$ beliebigen Einheiten $\pm 1$ vorgelegt, so wird dieses System dann und nur dann das Charakterensystem eines Geschlechtes in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, wenn das Produkt der sämtlichen $r$ Einheiten gleich $+1$ ist. Die Anzahl $g$ der in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vorhandenen Geschlechter ist daher gleich $2^{r-1}$. Beweis. Es seien ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$ die $t$ in der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ aufgehenden Primideale des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ und man setze

${\mathfrak {d}}_{1}^{h}=(\delta _{1})$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}^{h}=(\delta _{t})$,

wo $\delta _{1}$, …, $\delta _{t}$ gewisse ganze Zahlen in $k$ bedeuten. Es ist offenbar

$\delta _{1}\cdots \delta _{t}=\varepsilon \alpha ^{2}\mu$,

(1)

wo $\varepsilon$ eine Einheit und $\alpha$ eine gewisse ganze Zahl in $k$ bedeutet. Ferner wähle man nach der Vorschrift des § 17 von diesen $t$ Primidealen gewisse $r=t-r^{*}$ aus; es seien dies etwa die Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r}$. Endlich mögen $c_{1}$, …, $c_{r}$ beliebige $r$ Einheiten $\pm 1$ bedeuten, die der Bedingung

$c_{1}\cdots c_{r}=+1$

(2)

genügen. Wegen Satz 18 gibt es in $k$ gewiß ein primäres Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches

$\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1}$, …,$\left({\frac {\delta _{r}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{r}$ , $\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, …, $\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

(3)

ausfällt. Es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$; dann ist nach Satz 37

$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\delta _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)$,  $(i=1,\,2,\,\ldots ,\,t)$.

Wegen (1), (2), (3) haben wir

$\left({\frac {\delta _{1}\cdots \delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon \alpha ^{2}\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d.h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Ein jeder derselben hat wegen

$\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=+1$, …, $\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$

im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ die Charaktere

$\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=c_{1}$, …, $\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)=c_{r}$.

Es lassen sich nun die Einheiten $c_{1}$, …, $c_{r}$ offenbar auf $2^{r-1}$ Weisen so bestimmen, daß die Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ erfüllt ist. Nach dem eben Bewiesenen gehört zu jedem solchen Systeme von $r$ Einheiten wirklich ein Geschlecht in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, und da die Anzahl $g$ der Geschlechter von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach Satz 26 auch nicht größer sein kann als $2^{r-1}$, so ist der Satz 41 hiermit für den Fall bewiesen, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ zu $2$ prim ausfällt. Den allgemeinen Nachweis des Satzes 41 werden wir erst in § 41 führen.

§ 30. Ein gewisses System von $\mathbf {\textstyle } {\frac {m}{2}}+z$ zu $\mathbf {2}$ primen Primidealen des Körpers $\mathbf {k}$.

Wir leiten jetzt einen Satz ab, der im folgenden Paragraphen gebraucht werden wird und der eine Erweiterung des Satzes 29 ist. Dieser Satz lautet: Satz 42. Es mögen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ die Bedeutung wie in Satz 29 haben; ferner werde

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

gesetzt, wo ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl $2$ in $k$ und ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl $2$ aufgehen. Es werde

${\mathfrak {l}}_{1}^{h}=(\lambda _{1})$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}^{h}=(\lambda _{z})$

gesetzt, wo $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ gewisse ganze Zahlen in $k$ sind; endlich seien ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$ solche primäre Primideale, daß allemal

$\left({\frac {\lambda _{i}}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k)\qquad (i,\,k=1,\,2,\,\ldots ,\,z)$

ausfällt, und es seien $\pi _{1}$, …, $\pi _{z}$ bez. Primärzahlen der primären Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$: dann gilt für jede beliebige zu $2$ prime ganze Zahl $\omega$ in $k$ eine Kongruenz von der Gestalt

$\omega \equiv \varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\alpha ^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}),$

wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet.

Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe $m+z$ Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl

$\mu =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}$

(1)

dem Quadrat einer gewissen ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent werde. Die Zahl ${\sqrt {\mu }}$ bestimmt dann offenbar einen relativquadratischen Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, und zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ prim zu $2$. Aus dem Beweise zu Satz 29 schließen wir, daß die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ im Ausdruck (1) sämtlich gleich $0$ sind. Die Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ besitzt demnach mit Rücksicht auf Satz 4 keines der Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$, ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ als Faktor, sondern enthält lediglich diejenigen unter den Primidealen ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$, für welche in (1) bez. die Exponenten $w_{1}$, …, $w_{z}$ gleich $1$ ausfallen; es seien dies etwa die $t$ Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{t}$. Infolge unserer Annahme ist dann notwendig $t>0$.

Wir dürfen nunmehr Satz 41 anwenden, da derselbe in § 29 für den hier zutreffenden Fall bewiesen worden ist. Nach diesem Satze gibt es, da hier $r=t$ ausfällt, im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ genau $2^{t-1}$ Geschlechter und das Produkt der sämtlichen Charaktere ist für jedes Geschlecht gleich $+1$. Da $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent sein soll, so zerfällt inbesondere das Primideal ${\mathfrak {l}}_{1}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren sind offenbar

$\left({\frac {\lambda _{1},\,\mu }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{1},\,\mu }{{\mathfrak {p}}_{t}}}\right)$

und da das Produkt derselben gleich $+1$ sein soll, so würden wir

$\left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}_{t}}}\right)=+1$

erhalten. Diese Folgerung widerspricht den Voraussetzungen, die wir im Satze 42 über die Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$ getroffen haben, und demnach ist unsere zu Anfang dieses Beweises gemachte Annahme zu verwerfen, d. h. irgendein Ausdruck von der Gestalt (1) kann nur dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ sein, wenn sämtliche Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gleich $0$ sind.

Wir setzen nun zur Abkürzung

$L_{1}=n({\mathfrak {l}}_{1})^{l_{1}}(n({\mathfrak {l}}_{1})-1)$

und verstehen unter

$\alpha _{1}^{(1)},\,\ldots ,\,\alpha _{1}^{(L_{1})}$

ein volles System von ganzen zu ${\mathfrak {l}}_{1}$ primen und nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}$ einander inkongruenten Zahlen in $k$, die überdies sämtlich kongruent $1$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{l_{3}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}+1}$ sein sollen. Da allgemein

$\alpha _{1}^{(i)}\not \equiv -\alpha _{1}^{(i)},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}),\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,L_{1})$

ist, so können wir annehmen, es sei etwa stets

$-\alpha _{1}^{(i)}\equiv \alpha _{1}^{\left({\frac {L_{1}}{2}}+i\right)},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}),\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {L_{1}}{2}}).$

Die $\textstyle {\frac {L_{1}}{2}}$ Zahlen $\alpha _{1}^{(1)}$, …, $\alpha _{1}^{\left({\frac {L_{1}}{2}}\right)}$ haben dann offenbar die Eigenschaft, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}$ teilbar wird. Ferner setzen wir zur Abkürzung

${\begin{aligned}L_{2}&=n({\mathfrak {l}}_{2})^{l_{2}}(n({\mathfrak {l}}_{2})-1),\\&\quad \vdots \\L_{z}&=n({\mathfrak {l}}_{z})^{l_{z}}(n({\mathfrak {l}}_{z})-1)\end{aligned}}$

und bilden in der entsprechenden Weise wie oben zunächst das System von $\textstyle {\frac {L_{2}}{2}}$ ganzen, zu ${\mathfrak {l}}_{2}$ primen Zahlen

$\alpha _{2}^{(1)}$, …, $\alpha _{2}^{\left({\frac {L_{2}}{2}}\right)}$,

die sämtlich kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{l_{3}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}+1}$ sind und die Eigenschaft haben, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch ${\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}+1}$ teilbar wird usf.; endlich bilden wir ein System von $\textstyle {\frac {L_{z}}{2}}$ ganzen, zu ${\mathfrak {l}}_{z}$ primen Zahlen

$\alpha _{z}^{(1)},\,\ldots ,\,\alpha _{z}^{\left({\frac {L_{z}}{2}}\right)}$,

die sämtlich kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z-1}^{l_{z-1}+1}$ sind und die Eigenschaft haben, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch ${\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}+1}$ teilbar wird.

Der Ausdruck

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}$,

(2)

$\left({\begin{aligned}u_{1},\,\ldots ,\,u_{\frac {m}{2}},\,v_{1},\,\ldots ,\,v_{\frac {m}{2}};&\quad w_{1},\,\ldots ,\,w_{z}=0,\,1,\\i_{1}=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {L_{1}}{2}},\,\ldots ,&\quad i_{z}=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {L_{z}}{2}}\end{aligned}}\right)$

stellt ein System von $2^{m}L_{1}\ldots L_{z}$ ganzen Zahlen in $k$ dar; diese sind sämtlich zu $2$ prim und nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ einander inkongruent. In der Tat wären zwei Zahlen von der Gestalt (2) einander nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent, wäre etwa

$\left.{\begin{aligned}&\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}\\\equiv &\varepsilon _{1}^{u_{1}^{'}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}^{'}}\varkappa _{1}^{v_{1}^{'}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}^{'}}\pi _{1}^{w_{1}^{'}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}^{'}}\left(\alpha _{1}^{\left(i_{1}^{'}\right)}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{\left(i_{z}^{'}\right)}\right)^{2},\\&\qquad \qquad \qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right),\end{aligned}}\right\}$

(3)

so würde, da die Zahlen $\alpha _{1}^{(i)}$, …, $\alpha _{z}^{(i)}$ sämtlich zu $2$ prim sind, aus dem vorhin Bewiesenen sofort folgen, daß die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ bez. mit den Exponenten $u_{1}^{'}$, …, $u_{\frac {m}{2}}^{'}$, $v_{1}^{'}$, …, $v_{\frac {m}{2}}^{'}$, $w_{1}^{'}$, …, $w_{z}^{'}$ übereinstimmen und es wäre mithin

$\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}\equiv \left(\alpha _{1}^{\left(i_{1}^{'}\right)}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{\left(i_{z}^{'}\right)}\right)^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right).$

Aus dieser Kongruenz entnehmen wir der Reihe nach die $z$ Kongruenzen

${\begin{aligned}\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}&\equiv \left(\alpha _{1}^{\left(i_{1}^{'}\right)}\right)^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\right),\\&\vdots \\\left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}&\equiv \left(\alpha _{z}^{\left(i_{z}^{'}\right)}\right)^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right).\end{aligned}}$

Aus der ersten Kongruenz folgt leicht, daß entweder $\alpha _{1}^{(i_{1})}-\alpha _{1}^{(i_{1}^{'})}$ oder $\alpha _{1}^{(i_{1})}+\alpha _{1}^{(i_{1}^{'})}$ durch ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}$ teilbar sein muß, und deswegen ist notwendigerweise $i_{1}=i_{1}^{'}$. Ebenso schließen wir $i_{2}=i_{2}^{'}$, …, $i_{z}=i_{z}^{'}$, d. h. die beiden Ausdrücke auf der linken und rechten Seite der Kongruenz (3) waren nicht voneinander verschieden. Nun gibt es für den Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ genau

$n({\mathfrak {l}}_{1})^{2l_{1}}\cdots n({\mathfrak {l}}_{z})^{2l_{z}}(n({\mathfrak {l}}_{1})-1)\cdots (n({\mathfrak {l}}_{z})-1)=2^{m}L_{1}\cdots L_{z}$

zu $2$ prime und untereinander inkongruente Zahlen und mithin bilden die ganzen Zahlen in (2) ein volles Restsystem der genannten Art nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$; dies ist die Aussage des Satzes 42.

§ 31. Eine Eigenschaft gewisser besonderer Ideale des Körpers $\mathbf {k}$.

Wir setzen nunmehr die in § 23 und in § 26 angestellten Untersuchungen über primäre Ideale des Körpers $k$ fort und gelangen zu folgenden Sätzen:

Satz 43. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges zu $2$ primes Ideal in $k$ von solcher Beschaffenheit, daß die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {a}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {a}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1\end{aligned}}$

gelten: dann ist es stets möglich, in $k$ eine ganze Zahl $\alpha$ zu finden, so daß das Ideal $(\alpha )$ gleich ${\mathfrak {a}}^{h}$ wird, und überdies die Zahl $\alpha$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k$ kongruent wird; hierbei haben $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$, $l_{1}$, …, $l_{z}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42.

Beweis. Es sei $\alpha ^{*}$ irgendeine ganze Zahl in $k$, so daß $(\alpha ^{*})={\mathfrak {a}}^{h}$ wird. Bezeichnen ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$, $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$, $\pi _{1}$, …, $\pi _{z}$ dieselben Ideale bez. ganzen Zahlen des Körpers $k$ wie in Satz 42, so ist nach dem dort Bewiesenen jede ganze zu $2$ prime Zahl nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ in der Gestalt darstellbar, wie im Satze 42 angegeben worden ist; wir dürfen also insbesondere

$\alpha ^{*}\equiv \varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\beta ^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})$

(1)

setzen, wo $\varepsilon ^{*}$ eine geeignete Einheit in $k$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\beta$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Da hiernach die Zahl

$\mu =\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}$

dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\dotsc {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt, so erhalten wir nach Satz 40 die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varepsilon _{1},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\\\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{1},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{z},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\end{aligned}}\right\}$

(2)

wo das Produkt $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ stets über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll. Aus den Gleichungen (2) folgt leicht

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{\alpha ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{i}}{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{v_{1}}\cdots \left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{v_{\frac {m}{2}}}\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)^{w_{1}}\cdots \left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {p}}_{z}}}\right)^{w_{z}}=+1$,

(3)

$\left(i=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {m}{2}}\right)$,

$\left({\frac {\lambda _{k}}{\alpha ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{k}}{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{v_{1}}\cdots \left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{v_{\frac {m}{2}}}\left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)^{w_{1}}\cdots \left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {p}}_{z}}}\right)^{w_{z}}=+1$,

(4)

$(k=1,\,2,\,\ldots ,\,z)$.

Indem wir die Voraussetzungen des Satzes 43 benutzen, schließen wir aus (3), (4) der Reihe nach, daß die Exponenten $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ sämtlich gleich $0$ sind; folglich ist wegen (1) die Zahl $\alpha =\varepsilon ^{*}\alpha ^{*}$ von der im Satze 43 verlangten Art.

Die Umkehrung des Satzes 43 lautet wie folgt:

Satz 44. Wenn $\alpha$ eine zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ ist, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt, so gelten die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\alpha }}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\alpha }}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\alpha }}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\alpha }}\right)=+1;\end{aligned}}$

dabei haben $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$, $l_{1}$, …, $l_{z}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42.

Den Beweis dieses Satzes gewinnen wir unmittelbar aus Satz 40, indem wir in der Gleichung dieses Satzes 40 für $\nu$ der Reihe nach die Zahlen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ und für $\mu$ jedesmal die Zahl $\alpha$ nehmen.

Die Sätze 43 und 44 bilden einen wesentlichen Bestandteil des zweiten Ergänzungssatzes zu dem später aufzustellenden allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste. Es ist eine lohnende Aufgabe, für die Sätze 43 und 44 numerische Beispiele in ähnlicher Weise zu berechnen wie dies in § 27 für die entsprechenden Aussagen des ersten Ergänzungssatzes geschah. Wegen der vielen möglichen Arten der Zerlegung der Zahl $2$ in verschiedenen Körpern $k$ weisen die Aussagen des zweiten Ergänzungssatzes sogar eine noch größere Mannigfaltigkeit an einzelnen arithmetischen Wahrheiten auf als bei Erörterung des ersten Ergänzungssatzes zutage traten.

§ 32. Das Symbol $\mathbf {\textstyle } \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ für irgendwelche zu $\mathbf {2}$ primen Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Wir sind nunmehr imstande, diejenigen Sätze aufzustellen und zu beweisen, welche den Sätzen 14, 15 entsprechen, wenn man für ${\mathfrak {w}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$ nimmt. Um dieses Ziel zu erreichen, führen wir ein neues Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ ein; dieses Symbol dient uns jedoch nur zum vorübergehenden Gebrauch, da dasselbe sich später als gleichbedeutend mit dem Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ herausstellen wird.

Definition 17. Es seien $\nu$, $\mu$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$; ferner sei ${\mathfrak {l}}$ ein in der Zahl $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$, und wir setzen $2={\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}}$, wo $l$ einen positiven Potenzexponenten und ${\mathfrak {L}}$ ein zu ${\mathfrak {l}}$ primes Ideal des Körpers $k$ bedeutet: dann werde das neue Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch die Gleichung

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$

definiert; hierin ist $\prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ zu erstrecken, und $\mu ^{*}$ soll eine solche zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ bedeuten, die den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,&({\mathfrak {l}}^{2l}),\\\mu ^{*}&\equiv \alpha ^{2},&({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügt, wo $\alpha$ irgendeine zu ${\mathfrak {L}}$ prime ganze Zahl in $k$ sein soll.

In der Tat ist das Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch diese Festsetzung eindeutig bestimmt.

Ist nämlich $\mu _{0}^{*}$ eine ganze Zahl in $k$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu _{0}^{*}&\equiv \mu ,&({\mathfrak {l}}^{2l}),\\\mu _{0}^{*}&\equiv \alpha _{0}^{2},&({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügt, wobei $\alpha _{0}$ irgendeine zu ${\mathfrak {L}}$ prime und von $\alpha$ verschiedene ganze Zahl in $k$ darstellt, so bestimme man zwei ganze Zahlen $\xi$, $\xi _{0}$ in $k$, die den Kongruenzen

${\begin{aligned}\xi \xi _{0}\mu \equiv 1,\,\,\,\,\,\,\quad &({\mathfrak {l}}^{2l}),\\\left.{\begin{aligned}\xi \alpha &\equiv 1,\\\xi _{0}\alpha _{0}&\equiv 1,\end{aligned}}\right\}\quad &({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügen: dann erfüllt die Zahl $\zeta =\xi ^{2}\xi _{0}^{2}\mu ^{*}\mu _{0}^{*}$ die Kongruenz $\zeta \equiv 1$ nach $2^{2}$, und folglich erhalten wir nach Satz 36

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\zeta }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}\mu _{0}^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1;$

mithin ist

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{0}^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

wo das Produkt $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ stets über sämtliche zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ zu erstrecken ist.

Wenn wir die beiden letzten Formeln des Satzes 14 heranziehen, so erhalten wir unmittelbar aus der Definition 17 des Symbols $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ zwei entsprechende Formeln für dieses neue Symbol; wir drücken diese Tatsache in dem folgenden Satze aus:

Satz 45. (Hilfssatz.) Wenn $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige zu $2$ prime ganze Zahlen des Körpers $k$ sind, so gelten in bezug auf ein jedes in $2$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {l}}$ die Formeln

${\begin{aligned}\left({\frac {\underline {\nu _{1}\nu _{2},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\underline {\nu _{1},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\underline {\nu _{2},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right),\\\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{1}\mu _{2}}}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{1}}}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{2}}}{\mathfrak {l}}}\right).\end{aligned}}$

§ 33. Die Übereinstimmung der beiden Symbole $\mathbf {\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)}$ und $\mathbf {\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)}$ für irgendwelche zu $\mathbf {2}$ prime Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Um die Übereinstimmung der beiden Symbole $\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ und $\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ miteinander zu erkennen, bedienen wir uns der folgenden Entwicklungen:

Satz 46. (Hilfssatz.) Es sei wie in Definition 17 ${\mathfrak {l}}$ ein Primfaktor von $2$ im Körper $k$ und es gehe ${\mathfrak {l}}$ in $2$ genau zur $l$-ten Potenz auf; ferner sei $\varrho$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k$, für die eine Kongruenz

$\varrho \equiv \alpha ^{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{2l+1})$

gilt, wobei $\alpha$ eine ganze zu $2$ prime Zahl in $k$ bedeutet: dann kann stets auch für jede Potenz ${\mathfrak {l}}^{L}$ mit höherem Exponenten $L$ eine ganze Zahl $\alpha _{L}$ in $k$ gefunden werden, welche der Kongruenz

$\varrho \equiv \alpha _{L}^{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{L})$

genügt.

Beweis. Nehmen wir an, es sei für die Potenz ${\mathfrak {l}}^{2l+a}(a\geqq 1)$ eine Zahl $\alpha _{2l+a}$ von der verlangten Beschaffenheit bereits gefunden, so gelangen wir zu einer Zahl $\alpha _{2l+a+1}$ für die Potenz ${\mathfrak {l}}^{2l+a+1}$ auf diese Weise. Wir wählen zunächst eine ganze Zahl $\lambda$ in $k$, welche durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbar ist, und setzen

$\alpha _{2l+a+1}=\alpha _{2l+a}+2\lambda ^{a}\xi$,

worin $\xi$ noch eine zu bestimmende ganze Zahl in $k$ sei. Aus der Kongruenz

$\varrho \equiv \alpha _{2l+a+1}^{2}=\alpha _{2l+a}^{2}+4\alpha _{2l+a}\lambda ^{a}\xi +4\lambda ^{2a}\xi ^{2},\quad \left({\mathfrak {l}}^{2l+a+1}\right)$

erhalten wir

$\varrho \equiv \alpha _{2l+a}^{2}+4\alpha _{2l+a}\lambda ^{a}\xi ,\quad \left({\mathfrak {l}}^{2l+a+1}\right)$

und bestimmen wir sodann $\xi$ aus der Kongruenz

$\xi \equiv {\frac {\varrho -\alpha _{2l+a}^{2}}{4\alpha _{2l+a}\lambda ^{a}}},\quad ({\mathfrak {l}})$,

so ist $\alpha _{2l+a+1}$ eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit; damit haben wir den Beweis für den Satz 46 erbracht.

Satz 47. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein Primfaktor von $2$ in $k$ und es gehe ${\mathfrak {l}}$ in $2$ genau zur $l$-ten Potenz auf: wenn dann $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, derart, daß die Brüche $\textstyle {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}$ und $\textstyle {\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}$ den Quadraten gewisser ganzen Zahlen in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfallen, so ist stets

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Beweis. Wir nehmen an, es sei $\mu _{1}$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ und $\nu _{1}$ im Körper $K({\sqrt {\mu _{1}}})$ Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$; wir verstehen dann unter $L$ irgendeinen Exponenten und unter ${\mathsf {A}}$ eine solche ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu _{1}}})$ , daß $\nu _{1}\equiv N({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ wird. Da $\textstyle {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}$ und mithin auch $\textstyle {\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ist, so muß nach Satz 46 auch für jeden beliebigen Exponenten $L$ eine ganze Zahl $\alpha _{L}$ in $k$ existieren, deren Quadrat dem Bruche $\textstyle {\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}$ kongruent nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ ausfällt; wir haben somit

$\nu _{2}\equiv \alpha _{L}^{2}\nu _{1}\equiv N(\alpha _{L}{\mathsf {A}}),\quad ({\mathfrak {l}}^{L}),$

(1)

d. h. $\nu _{2}$ ist im Körper $K({\sqrt {\mu _{1}}})$ Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$.

Wir setzen nun

$\alpha _{L}{\mathsf {A}}={\frac {\alpha +\beta {\sqrt {\mu _{1}}}}{\gamma }}$;

(2)

hierin seien $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gewisse ganze Zahlen in $k$ und es gehe ${\mathfrak {l}}$ in $\gamma$ genau zur $c$-ten Potenz auf. Wegen der über ${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}$ gemachten Voraussetzung können wir nach Satz 46 eine Zahl $\beta _{L}$ finden, so daß

${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\equiv \beta _{L}^{2}$,   d.h.   $\mu _{1}\equiv \mu _{2}\beta _{L}^{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{L+2c})$

(3)

ausfällt. Aus (1), (2), (3) erhalten wir dann

$\nu _{2}\gamma ^{2}\equiv \alpha ^{2}-\beta ^{2}\mu _{1}\equiv \alpha ^{2}-\beta ^{2}\beta _{L}^{2}\mu _{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{L+2c})$.

(4)

Stellt nun $\delta$ irgendeine zu ${\mathfrak {l}}$ prime und durch $\textstyle {\frac {\gamma }{{\mathfrak {l}}^{e}}}$ teilbare Zahl in $k$ dar, so ist

${\mathsf {A}}^{*}={\frac {\delta \left(\alpha +\beta \beta _{L}{\sqrt {\mu _{2}}}\right)}{\gamma }}$

gewiß eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu _{2}}})$, da offenbar Summe und Produkt dieser Zahl ${\mathsf {A}}^{*}$ und ihrer relativkonjugierten Zahl $S{\mathsf {A}}^{*}$ ganze Zahlen in $k$ sind. Bei Benutzung von (4) folgt

$N({\mathsf {A}}^{*})\equiv \delta ^{2}\nu _{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{L}),$

und da $\delta$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ist, so erweist sich mithin $\nu _{2}$ als Normenrest des Körpers $K\left({\sqrt {\mu _{2}}}\right)$ nach ${\mathfrak {l}}$.

Wir haben also bewiesen, daß allemal, wenn $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ist, auch $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ sein muß. Da nun aus denselben Gründen umgekehrt aus $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$, wenn $\mu _{2}$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, allemal auch $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ gefolgert werden kann, so ist damit die Richtigkeit des Satzes 47 für den Fall gezeigt, daß keine der beiden Zahlen $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ das Quadrat einer Zahl in $k$ ist.

Nehmen wir an, es sei eine jener beiden Zahlen, etwa die Zahl $\mu _{2}$, dagegen nicht $\mu _{1}$ das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$, so ist nach Definition 6 $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$, und die Voraussetzung des zu beweisenden Satzes 47 fordert dann, daß $\mu _{1}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ sein muß; wir wollen im folgenden den Nachweis dafür führen, daß in diesem Falle auch stets $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt.

Zu dem Zwecke bezeichnen wir wie in Satz 40 mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die sämtlichen voneinander verschiedenen in $2$ aufgehenden Primideale, und es möge ferner allgemein ${\mathfrak {l}}_{i}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{i}$-ten Potenz in $2$ aufgehen, so daß

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

wird; wir nehmen ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {l}}_{1}$ und setzen $l=l_{1}$. Sodann bestimmen wir eine ganze Zahl $\mu _{1}^{*}$ in $k$, welche den Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mu _{1}^{*}&\equiv \mu _{1},\quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}),\\\mu _{1}^{*}&\equiv 1,\quad \,\,\,({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}})\\\end{aligned}}\right\}$

(5)

genügt und, nachdem dies geschehen, ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$, für welches die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu _{1}^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu _{1}^{*}}}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu _{1}^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu _{1}^{*}}}\right)\end{aligned}}\right\}$

(6)

gelten; hierbei sollen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da wegen (6)

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)=+1\end{aligned}}$

wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\alpha$ derart bestimmen, daß das Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {p}}^{h}\mu _{1}^{*h}$ ist und überdies die Zahl $\alpha$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt. Wir setzen $\pi =\textstyle {\frac {\alpha }{\mu _{1}^{*h}}}$ und haben dann $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$.

Nunmehr bestimmen wir in $k$ ein Primideal ${\mathfrak {q}}$, für welches die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\nu _{1}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\nu _{1}}}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\nu _{1}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\nu _{1}}}\right),\\\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)&=+1\end{aligned}}$

(7)

gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\beta$ derart bestimmen, daß das Ideal $(\beta )={\mathfrak {q}}^{h}\nu _{1}^{h}$ wird und überdies die Zahl $\beta$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt; wir setzen $\varkappa =\textstyle {\frac {\beta }{\nu _{1}^{h}}}$ und haben dann $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$.

Indem wir die Beschaffenheit der Zahlen $\alpha$, $\beta$ berücksichtigen und den Satz 47 für den oben bereits behandelten Fall anwenden, erhalten wir

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)$.

(8)

Wir betrachten jetzt den Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und werden beweisen, daß $\varkappa$ gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, deren Nenner prim zu $2$ ausfällt. Wegen der Kongruenzen (5) ist $\mu _{1}^{*}$ und folglich auch $\pi$ gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent; infolgedessen enthält die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ nach Satz 4 und 5 nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$. Wenn wir die am Schlusse von § 15 gemachte Bemerkung auf diesen Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ anwenden und demgemäß $t=1$ nehmen, so wird aus der dort aufgestellten Ungleichung die folgende

$v^{*}>{\frac {m}{2}}-1$,

und da $v^{*}$ offenbar nicht größer als $\textstyle {\frac {m}{2}}$ sein kann, so ist hier notwendig $v^{*}=\textstyle {\frac {m}{2}}$, d. h. jede Einheit in $k$ ist die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$. Die im Satze 23 mit $v$ bezeichnete Anzahl hat ihrer Bedeutung nach mindestens den Wert $v^{*}$ und ist daher ebenfalls gleich $\textstyle {\frac {m}{2}}$; der Satz 23 lehrt dann, daß die Anzahl aller ambigen Komplexe im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ gleich $1$ ist, d. h. im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist der einzige ambige Komplex der Hauptkomplex.

Aus der soeben festgestellten Tatsache erkennen wir leicht, daß die Klassenanzahl $H$ des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ notwendig ungerade ausfallen muß. Im entgegengesetzten Falle gäbe es nämlich in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ein Ideal ${\mathfrak {J}}$, so daß

${\mathfrak {J}}\not \sim 1,\quad {\mathfrak {J}}^{2}\sim 1$

wäre. Dieses Ideal ${\mathfrak {J}}$ könnte nun nicht dem Hauptkomplex angehören; denn wäre ${\mathfrak {J}}$ einem Ideale ${\mathfrak {j}}$ in $k$ äquivalent, so müßte

${\mathfrak {J}}^{h}\sim {\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$

sein und aus dieser Äquivalenz würde, da $h$ eine ungerade Zakl ist, sofort ${\mathfrak {J}}\sim 1$ folgen, was nicht der Fall sein sollte. Andererseits ist, wenn $N({\mathfrak {J}})={\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}={\mathfrak {n}}$ gesetzt wird, ${\mathfrak {n}}\cdot {\mathfrak {J}}\sim S{\mathfrak {J}}$ und mithin würde das Ideal ${\mathfrak {J}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ einen ambigen Komplex bestimmen, welcher von dem Hauptkomplexe verschieden wäre; dies widerspräche der vorhin bewiesenen Tatsache.

Wegen der Gleichung (7) zerfällt das Ideal ${\mathfrak {q}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$; es sei ${\mathfrak {Q}}$ einer der beiden Primfaktoren von ${\mathfrak {q}}$. Setzen wir ${\mathfrak {Q}}^{hH}=({\mathsf {A}})$, so daß ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ bezeichnet, so folgt, daß das Hauptideal ${\mathfrak {q}}^{hH}$ gleich der Relativnorm des Hauptideals (${\mathsf {A}}$) wird, und mithin ist

$\varepsilon \varkappa ^{H}=N({\mathsf {A}}),$

wenn $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$ bezeichnet. Da aber nach dem vorhin Bewiesenen eine jede Einheit in $k$ die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, so ist auch $\varkappa ^{H}$ die Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}^{*}$ in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$; folglich ist $\varkappa$ die Relativnorm der Zahl $\textstyle {\frac {{\mathsf {A}}^{*}}{\varkappa ^{\frac {H-1}{2}}}}$, und der Nenner dieses Bruches fällt prim zu $2$ aus. Hieraus folgt leicht nach Definition 6 $\textstyle \left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ und mithin wegen (8) auch $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$; hiermit ist der Beweis für den Satz 47 im gegenwärtigen Falle erbracht.

Nehmen wir endlich an, es sei jede der beiden Zahlen $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$, so ergibt sich nach der Definition 6 für die beiden Symbole $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)$, $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)$stets der Wert $+1$ und damit ist der Satz 47 vollständig bewiesen.

Satz 48. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner seien $\nu$, $\mu$ beliebige zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir bezeichnen wie in Satz 40 mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die $z$ voneinander verschiedenen in $2$ aufgehenden Primideale und es möge allgemein ${\mathfrak {l}}_{i}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{i}$-ten Potenz in $2$ aufgehen, so daß

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

wird. Nehmen wir sodann ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {l}}_{1}$ und setzen $l=l_{1}$, ${\mathfrak {L}}={\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$, so haben wir

$2={\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}}$,

wo ${\mathfrak {L}}$ ein durch ${\mathfrak {l}}$ nicht teilbares Ideal bedeutet.

Es sei nun $\mu ^{*}$ eine ganze den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,\quad ({\mathfrak {l}}^{2l+1}),\\\mu ^{*}&\equiv 1,\quad ({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügende Zahl des Körpers $k$; wir bestimmen dann zunächst ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$ derart, daß die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{*}}}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu ^{*}}}\right)\end{aligned}}$

gelten; hierbei sollen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da folglich

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)=+1\end{aligned}}$

wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\alpha$ derart bestimmen, daß das Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {p}}^{h}\mu ^{*h}$ wird und überdies die Zahl $\alpha$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt; wir setzen $\pi ={\frac {\alpha }{\mu ^{*h}}}$ und haben dann $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$.

Andererseits bestimmen wir ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ derart, daß die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)&=+1\end{aligned}}$

(1)

gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\beta$ derart bestimmen, daß das Ideal ($\beta$) gleich ${\mathfrak {q}}^{h}\nu ^{h}$ wird und überdies die Zahl $\beta$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt; wir setzen $\varkappa ={\frac {\beta }{\nu ^{h}}}$ und haben dann $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$.

Zufolge Satz 40 haben wir

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\alpha }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\,\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\beta ,\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\beta }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,$

wo die Produkte $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über sämtliche zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden sollen; mit Rücksicht auf die Definition 17 ergibt sich hieraus

$\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\alpha }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1,\quad \textstyle \left({\frac {\underline {\beta ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1,$

und folglich bei Benutzung der Formeln des Satzes 45

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu ^{*}}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu ^{*h}}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)$

und

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ^{h},\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Somit erhalten wir schließlich

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)$

und infolge der Voraussetzung des Satzes 48 ist daher

$\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

(2)

Da $\mu ^{*}$ und folglich auch die Zahl $\pi$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {L}}^{2}$ kongruent ist, so nimmt mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gleichung (2) die Gestalt

$\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

an, und hieraus schließen wir wegen (1), daß notwendig

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$

(3)

ausfallen muß.

Wir betrachten jetzt den Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und werden beweisen, daß $\varkappa$ stets gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, deren Nenner prim zu $2$ ausfällt. Zu dem Zwecke unterscheiden wir folgende drei Fälle:

Erstens nehmen wir an, es sei das Primideal ${\mathfrak {p}}$ primär und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ enthält dann nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$, und wir können in diesem Falle genau wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 47 zeigen, daß $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, deren Nenner zu $2$ prim ausfällt.

Nehmen wir zweitens an, es sei ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; dagegen sei $\pi$ nicht eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, sondern es sei vielmehr $\pi =\varepsilon \pi ^{*}$, wobei $\pi ^{*}$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ und $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ bedeutet, welche nicht gleich dem Quadrat einer Einheit in $k$ ausfällt. Die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ enthält, da $\pi$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {L}}^{2}$ kongruent ist, wegen Satz 4 lediglich die beiden Primideale ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {p}}$. Setzen wir in Satz 23 $t=2$ ein, so folgt aus demselben wegen $v\leqq {\frac {m}{2}}$ die Ungleichung $a\leqq 1$, d. h. die Anzahl $A=2^{a}$ aller ambigen Komplexe des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist höchstens gleich $2$.

Es sei nun ${\mathfrak {J}}$ irgendein Ideal in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und ${\mathfrak {j}}=N({\mathfrak {J}})$ die Relativnorm von ${\mathfrak {J}}$; wir setzen ferner ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet: fällt dann $\left({\frac {\iota }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ aus, so bezeichnen wir denjenigen Komplex des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$, zu welchem ${\mathfrak {J}}$ gehört, als einen Komplex des Hauptgeschlechtes in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$. Wir können leicht beweisen, daß nicht sämtliche Komplexe in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ Komplexe des Hauptgeschlechtes sind. Es sei nämlich ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k$, für welches

$\left({\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ und $\left({\frac {\pi ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right)=-1$

ausfällt. Wegen der ersteren Gleichung ist ${\mathfrak {r}}$ in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ weiter zerlegbar; es bedeute ${\mathfrak {R}}$ einen Primfaktor von ${\mathfrak {r}}$ in $K({\sqrt {\pi }})$. Wird ${\mathfrak {r}}^{h}=(\varrho )$ gesetzt, wo $\varrho$ eine ganze Zahl in $k$ darstellt, so erhalten wir nach Satz 37

$\left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\pi ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right)=-1$,

und diese Gleichung zeigt, daß der durch ${\mathfrak {R}}$ bestimmte Komplex in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ nicht ein Komplex des Hauptgeschlechtes ist.

Wir bezeichnen nun mit $f'$ die Anzahl derjenigen Komplexe in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$, welche Quadrate von Komplexen in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sind, und mit $f$ die Anzahl aller Komplexe des Hauptgeschlechtes in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$; dann erkennen wir genau wie im Beweise zu Satz 25 die Richtigkeit der Gleichung

$Af^{'}=2f$.

(4)

Aus dieser Gleichung folgt wegen $A\leqq 2$ die Ungleichung $f\leqq f'$. Da ferner jedes Quadrat eines Komplexes notwendig ein Komplex des Hauptgeschlechtes sein muß, so ist auch $f'\leqq f$ und mithin haben wir $f=f'$, d. h. jeder Komplex des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat eines Komplexes. Aus $f=f'$ folgt ferner wegen (4) zugleich $A=2$ und $a=1$; mit Rücksicht auf Satz 23 entnehmen wir hieraus $v=\textstyle {\frac {m}{2}}$, d. h. jede Einheit des Körpers $k$ ist gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$.

Um nun zu zeigen, daß $\varkappa$ gleich der Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, bedenken wir, daß wegen (1) das Primideal ${\mathfrak {q}}$ in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ weiter zerlegbar ist; die Gleichung (3) zeigt sodann, daß jedes in ${\mathfrak {q}}$ enthaltene Primideal ${\mathfrak {Q}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ einem Komplex des Hauptgeschlechtes angehört, und da nach dem vorhin Bewiesenen jeder solche Komplex gleich dem Quadrat eines Komplexes ist, so genügt das Ideal ${\mathfrak {Q}}$ einer Gleichung von der Gestalt

${\mathfrak {Q}}={\mathfrak {J}}^{2}{\mathsf {A}}{\mathfrak {j}}$,

wobei ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$, ${\mathsf {A}}$ eine Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ bedeutet. Bilden wir nun auf beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm und erheben sie dann in die $h$-te Potenz, so entsteht eine Gleichung von der Gestalt

$(\varkappa )=N({\mathsf {A}})\{N({\mathfrak {J}})\cdot {\mathfrak {j}}\}^{2h}=N({\mathsf {A}})(\gamma )^{2}$,

wobei $\gamma$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ ist und aus dieser Gleichung entnehmen wir die Gleichung

$\xi \varkappa =N(\gamma {\mathsf {A}}),$

wo $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Da nach dem vorhin Bewiesenen jede Einheit in $k$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, so zeigt die letzte Gleichung, daß auch $\varkappa$ die Relativnorm einer gewissen Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein muß. Durch eine einfache Betrachtung erkennen wir sodann, daß $\varkappa$ sich jedenfalls auch als Relativnorm einer solchen Zahl muß darstellen lassen, deren Nenner zu $2$ prim ist.

Wir nehmen drittens an, es wäre ${\mathfrak {p}}$ ein nichtprimäres Primideal in $k$ und $\zeta$ eine Einheit, für welche $\textstyle \left({\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ wird. In diesem Falle kann $\zeta$ sicher nicht die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein; es ist mithin die in Satz 23 mit $v$ bezeichnete Anzahl hier $\textstyle \leqq {\frac {m}{2}}-1$. Da $\pi$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {L}}^{2}$ kongruent wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ nach Satz 4 prim zu ${\mathfrak {L}}$ und enthält daher wiederum nur die beiden Primfaktoren ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {l}}$. Setzen wir in Satz 23 $t=2$ ein, so folgt aus demselben wegen $\textstyle v\leqq {\frac {m}{2}}-1$ die Ungleichung $a\leqq 0$, d. h. es ist $a=0$ und $v=\textstyle {\frac {m}{2}}-1$. Es machen nun die Gesamtheit aller Einheiten $\xi$, für welche $\textstyle \left({\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ ausfällt, offenbar genau $2^{{\frac {m}{2}}-1}$ Einheitenverbände des Körpers $k$ aus und da diejenigen $2^{{\frac {m}{2}}-1}$ Verbände von Einheiten $\eta$, für welche $\textstyle \left({\frac {\eta }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ ausfällt, gewiß nicht Einheiten enthalten dürfen, die Relativnormen von Zahlen sind, so folgt, daß alle Einheiten $\xi$ mit der Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ notwendig Relativnormen von Zahlen des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sind.

Aus der Gleichung $a=0$ folgt ferner, daß im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ der einzige ambige Komplex der Hauptkomplex ist und hieraus schließen wir, wie im zweiten Teil des Beweises zu Satz 47, daß die Klassenanzahl $H$ des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ notwendig ungerade sein muß. Auch erkennen wir, wie dort, daß, wenn $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$ bezeichnet, die Zahl $\varepsilon \varkappa ^{H}$ gleich der Relativnorm einer gewissen ganzen Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein muß. Infolgedessen besteht die Gleichung

$\left({\frac {\varepsilon \varkappa ^{H}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1;$

wegen (3) muß hiernach auch $\textstyle \left({\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ sein, und nach dem Vorigen ist mithin $\varepsilon$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ Hieraus schließen wir, daß auch $\varkappa ^{H}$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein muß und folglich ist $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und insbesondere auch einer solchen Zahl, deren Nenner zu $2$ prim ist.

In allen drei soeben behandelten Fällen ist mithin nach Definition 6 gewiß

$\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Wir hatten nun zu Beginn des Beweises $\alpha =\pi \mu ^{*h}$ und sodann $\beta =\varkappa \nu ^{h}$ als ganze Zahlen in $k$ derart bestimmt, daß sie Quadraten ganzer Zahlen in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfielen. Da ferner $\mu ^{*}\equiv \mu$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ ist, so folgt nach Satz 47

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$;

damit ist der Satz 48 vollständig bewiesen.

Satz 49. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner seien $\nu$, $\mu$ beliebige zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir wenden die am Anfang des Beweises zu Satz 48 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen eine ganze Zahl $\mu ^{*}$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,\quad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\right),\\\mu ^{*}&\equiv 1,\quad \left({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{2l_{3}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right)\end{aligned}}$

genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ ist; dann haben wir wegen Satz 47

${\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,1}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,z);\end{aligned}}$

infolgedessen gibt es gewisse ganze Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{z}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ derart, daß

${\begin{aligned}\nu \equiv &N({\mathsf {A}}_{1}),\quad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}\right),\\&\vdots \\\nu \equiv &N({\mathsf {A}}_{z}),\quad \left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)\end{aligned}}$

ausfällt. Wenn wir daher eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ bestimmen, die zugleich den $z$ Kongruenzen

${\begin{aligned}{\mathsf {A}}\equiv &{\mathsf {A}}_{1},\quad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}\right),\\&\vdots \\{\mathsf {A}}\equiv &{\mathsf {A}}_{z},\quad \left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)\end{aligned}}$

genügt, so wird auch

$\nu \equiv N({\mathsf {A}}),\qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)$

und vermöge des Satzes 36 schließen wir hieraus leicht

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {N({\mathsf {A}}),\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

wo die Produkte $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ zu erstrecken sind; nach der Definition 17 ist das Produkt linker Hand gleich $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$. Da nun nach Definition 6 sämtliche Faktoren des Produktes rechter Hand den Wert $+1$ haben, so folgt $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$, womit der Satz 49 vollständig bewiesen ist. Die beiden Sätze 48 und 49 zusammengenommen ergeben das folgende Resultat:

Satz 50. (Hilfssatz.) Wenn ${\mathfrak {l}}$ irgendein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner $\nu$, $\mu$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ bedeuten, dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$.

§ 34. Die Eigenschaften des Symbols für $\mathbf {\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)}$ für irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Mit Hilfe des Satzes 50 können wir die wichtige Tatsache beweisen, daß die in Satz 14 aufgestellten Formeln auch für jedes in $2$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {l}}$ gültig sind. Wir sprechen den Satz aus:

Satz 51. Wenn $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, so gelten in bezug auf jedes in $2$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ die Formeln

${\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\mu ,\,\nu }{\mathfrak {l}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{1}\nu _{2},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\nu _{1},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\nu _{2},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right),\\\left({\frac {\nu ,\,\mu _{1}\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\nu ,\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right).\end{aligned}}$

Beweis. Es mögen ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {L}}$ die Bedeutung wie in Definition 17 haben. Um die erste Formel des Satzes 51 zu beweisen, bestimmen wir zwei ganze Zahlen $\nu ^{*}$, $\mu ^{*}$ in $k$ von der Art, daß

${\begin{aligned}\left.{\begin{aligned}\nu ^{*}\equiv \nu \\\mu ^{*}\equiv \mu \\\end{aligned}}\right\}&,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2l+1}\right)\\\left.{\begin{aligned}\nu ^{*}\equiv 1\\\mu ^{*}\equiv 1\\\end{aligned}}\right\}&,\qquad \left({\mathfrak {L}}^{2}\right)\end{aligned}}$

wird. Nach Satz 47 ist dann

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right),\quad \left({\frac {\mu ,\,\nu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\mu ^{*},\,\nu }{\mathfrak {l}}}\right)$

und folglich wegen Satz 50 auch

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ^{*},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right),\quad \left({\frac {\underline {\mu ,\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\mu ^{*},\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)$

(1)

Nun ist nach Definition 17

$\left({\frac {\underline {\nu ^{*},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),\quad \left({\frac {\underline {\mu ^{*},\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\mu ^{*},\,\nu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

(2)

und da nach der ersten Formel in Satz 14 für jedes zu $2$ prime Primideal ${\mathfrak {w}}$

$\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\mu ^{*},\,\nu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$

ausfällt, so folgt aus (2) auch

$\left({\frac {\underline {\nu ^{*},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\mu ^{*},\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)$

und daher wegen (1) auch

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\mu ,\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right);$

diese Gleichung lehrt mit Rücksicht auf Satz 50 die Richtigkeit der ersten Formeln des zu beweisenden Satzes 51.

Die beiden letzten Formeln des Satzes 51 folgen unmittelbar aus den Sätzen 45 und 50.

§ 35. Das Produkt $\textstyle \mathbf {\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)}$ für irgendwelche zu 2 prime Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Wir sind nunmehr imstande, einen Satz zu beweisen, der eine wesentliche Verallgemeinerung des Satzes 36 darstellt.

Satz 52. Wenn $\nu$, $\mu$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, so ist stets

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo das Produkt über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll.

Beweis. Wir wenden die in Satz 40 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen $z$ ganze Zahlen $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, …, $\mu _{z}$ in $k$, so daß die Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mu _{1}&\equiv \mu ,\,\mu _{2}\equiv 1,\,\ldots ,\mu _{z}\equiv 1,\;\left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}\right),\\\mu _{1}&\equiv 1,\,\mu _{2}\equiv \mu ,\,\ldots ,\mu _{z}\equiv 1,\;\left({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}}\right),\\&\quad \vdots \\\mu _{1}&\equiv 1,\,\mu _{2}\equiv 1,\,\ldots ,\mu _{z}\equiv \mu ,\;\left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)\end{aligned}}\right\}$

(1)

gelten; dann genügt offenbar das Produkt dieser $z$ Zahlen der Kongruenz

$\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{z}\equiv \mu ,\qquad (2^{2})$.

(2)

Die Definition 17 liefert mit Rücksicht auf die Kongruenzen (1) die Gleichungen

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{i}}{\mathfrak {w}}}\right),\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,z)$,

und wegen Satz 50 folgt hieraus das weitere System von $z$ Gleichungen

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{i}}{\mathfrak {w}}}\right),\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,z);$

(3)

dabei ist das Produkt $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ zu erstrecken. Multiplizieren wir die $z$ Gleichungen (3) miteinander, so entsteht die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{z}}{\mathfrak {w}}}\right)$

und durch Multiplikation mit $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ erhalten wir hieraus die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu \mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{z}}{\mathfrak {w}}}\right),$

(4)

wo rechter Hand das Produkt $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$, dagegen linker Hand das Produkt $\textstyle \prod$ über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ genommen werden soll. Nun wird wegen der Kongruenz (2) die Zahl $\mu \,\mu _{1}\,\mu _{2}\,\ldots \mu _{z}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ kongruent nach $2^{2}$ und folglich ist gemäß Satz 36 die rechte Seite von (4) gleich $+1$; damit ist der Beweis für Satz 52 erbracht.

§ 36. Der erste Ergänzungssatz und das allgemeine Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste.

Wir heben einige besonders wichtige Folgerungen des Satzes 52 hervor.

Satz 53. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$ und $\varepsilon$ bedeute irgendeine Einheit in $k$; ferner sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal und $\pi$ eine ganze Zahl in $k$, so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$ ausfällt: dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\varepsilon ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\varepsilon ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right).$

Dieser Satz 53 heiße der erste Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste im Körper $k$.

Satz 54. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$; ferner seien ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$ irgend zwei zu $2$ prime Primideale und $\pi$, $\varkappa$ ganze Zahlen in $k$, so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$, $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$ wird: dann gilt die Gleichung

$\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\pi ,\,\varkappa }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\varkappa }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\varkappa }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right).$

Der Satz 54 heiße das allgemeine Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper $k$.

Wir können die Sätze 53 und 54 unmittelbar aus Satz 52 herleiten, indem wir in Satz 52 zunächst $\nu =\varepsilon$, $\mu =\pi$ und dann $\nu =\pi$, $\mu =\varkappa$ wählen.

§ 37. Das Symbol $\mathbf {\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)}$ für beliebige ganze Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Wir dehnen nunmehr die Bedeutung des in Definition 17 eingeführten Symbols $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ auf den Fall aus, daß $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$ sind; das so verallgemeinerte Symbol wird sich wiederum als gleichbedeutend mit dem allgemeinen Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ erweisen.

Definition 18. Es seien wie bisher ${\mathfrak {l}}_{1}={\mathfrak {l}}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoren von $2$ und es gehe das Primideal ${\mathfrak {l}}_{z}={\mathfrak {l}}$ genau zur $l_{1}=l$-ten, ferner gehen die Primideale ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ bez. zur $l_{2}$, …, $l_{z}$-ten Potenz in $2$ auf; endlich seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$ und es gehe in $\mu$ genau die $a$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ auf: dann wird das Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch die Gleichung

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$

definiert; hierin ist das Produkt $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ zu ${\mathfrak {m}}$ erstrecken und $\mu ^{*}$ soll eine solche ganze Zahl sein, die den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+a}),\\\mu ^{*}&\equiv \alpha ^{2},&&({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

genügt, wo $\alpha$ irgendeine ganze zu ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ prime Zahl in $k$ bedeutet.

Wir zeigen wie in § 32, indem wir statt des dort benutzten Satzes 36 nunmehr den Satz 40 anwenden, daß das Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch die getroffenen Festsetzungen eindeutig bestimmt ist.

Aus der Definition 18 entnehmen wir leicht mit Benutzung der beiden letzten Formeln in Satz 14 die folgende dem Satz 45 entsprechende Tatsache:

Satz 55. (Hilfssatz). Wenn $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen in $k$ sind, so gelten in bezug auf ein jedes in $2$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {l}}$ die Formeln

${\begin{aligned}\left({\frac {\underline {\nu _{1}\nu _{2},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\underline {\nu _{1},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\underline {\nu _{2},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right),\\\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{1}\mu _{2}}}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{1}}}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{2}}}{\mathfrak {l}}}\right).\end{aligned}}$

§ 38. Die Übereinstimmung der beiden Symbole $\mathbf {\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)}$ und $\mathbf {\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)}$ für beliebige ganze Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Um die Übereinstimmung der beiden Symbole $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ und $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ für beliebige ganze Zahlen $\nu$, $\mu$ zu erkennen, bedienen wir uns der folgenden Entwicklungen:

Satz 56. (Hilfssatz). Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein Primfaktor von $2$ im Körper $k$ und es gehe ${\mathfrak {l}}$ in $2$ genau zur $l$-ten Potenz auf; ferner seien $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ ganze Zahlen in $k$ und es gehe in diesen Zahlen das Primideal ${\mathfrak {l}}$ bez. genau zur $b_{1}$, $b_{2}$, $a_{1}$, $a_{2}$-ten Potenz auf, wobei $b_{2}\leqq b_{1}$, $a_{2}\leqq a_{1}$ ausfallen möge: wenn es dann in $k$ gewisse ganze Zahlen $\alpha$, $\beta$ gibt, für welche die Kongruenzen

${\begin{aligned}\nu _{1}&\equiv \alpha ^{2}\nu _{2},&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+b_{1}}),\\\mu _{1}&\equiv \beta ^{2}\mu _{2},&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+a_{1}})\end{aligned}}$

gelten, so ist stets

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Den Beweis dieses Hilfssatzes führen wir leicht, indem wir uns der nämlichen Schlüsse wie beim Beweise des entsprechenden Satzes 47 bedienen.

Satz 57. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$ und ferner seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen ($\neq 0$) in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen. Es sind zwei Fälle gesondert zu behandeln, je nachdem der Exponent $a$, zu dem ${\mathfrak {l}}$ in $\mu$ aufgeht, gerade oder ungerade ausfällt.

Im ersteren Falle bezeichnen wir mit ${\overline {\lambda }}$ irgendeine durch ${\mathfrak {l}}^{\frac {a}{2}}$, aber durch keine höhere Potenz von ${\mathfrak {l}}$ teilbare und zu ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ prime ganze Zahl in $k$ und bestimmen dann eine ganze Zahl $\mu ^{*}$ in $k$ derart, daß sie die Kongruenzen

${\begin{aligned}{\overline {\lambda }}^{2}\mu ^{*}&\equiv \mu ,&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+a}),\\\mu ^{*}&\equiv 1,&&({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{2l_{3}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

(1)

erfüllt und nicht zugleich das Quadrat einer Zahl in $k$ ist; es ist dann $\mu ^{*}$ eine zu $2$ prime Zahl und nach Definition 18 wird

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,{\overline {\lambda }}^{2}\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$,

wo die Produkte $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ zu erstrecken sind. Wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

(2)

Wir wollen nun aus (2) beweisen, daß der Exponent $b$, zu dem ${\mathfrak {l}}$ in $\nu$ aufgeht, sicher dann gerade ausfallen muß, wenn das Ideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ auch in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ Primideal bleibt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es bliebe ${\mathfrak {l}}$ in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ Primideal. Wir bestimmen sodann ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches die Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{*}}}\right)$,

(3)

$\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu ^{*}}}\right)$,

(4)

erfüllt sind, wobei $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, …, $\lambda _{z}$ die in Satz42 erklärte Bedeutung haben mögen. Da ${\mathfrak {l}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ unzerlegbar sein soll, so ist nach Satz 4 und 6 $\mu ^{*}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l}$ und folglich wegen (1) auch nach $2^{2}$; mithin gelten nach Satz 39 die Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{*}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{*}}}\right)=+1$

und wegen (3) ist daher ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal. Bezeichnet $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so ist, wie man aus (3), (4) vermöge Satz 43 unter Hinzuziehung von Satz 28 erkennt, $\pi \mu ^{*}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent; es ist folglich wegen (1) $\pi$ gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent und nach Satz 8 zerfällt daher jedes der Primideale ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Im Beweise zu Satz 34 ist gezeigt worden, daß alle Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ dem Hauptgeschlechte angehören. Die Charaktere der in ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ enthaltenen Primfaktoren des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ müssen somit sämtlich $+1$ sein, d. h. es gelten die Gleichungen

$\left({\frac {\lambda _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\left({\frac {\lambda _{3}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1.$

Würde nun auch $\textstyle \left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ ausfallen, so müßte nach Satz 43 die Primärzahl $\pi$ und folglich auch die Zahl $\mu ^{*}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ sein und dann zerfiele nach Satz 8 das Primideal ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {l}}_{1}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ in zwei Primfaktoren, was unserer Annahme entgegen ist. Es ist mithin notwendigerweise

$\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1.$

(5)

Nunmehr setzen wir

$(\nu )={\mathfrak {nl}}^{b}{\mathfrak {l}}_{2}^{b_{2}}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{b_{z}}$,

so daß ${\mathfrak {n}}$ prim zu $2$ ist und $b_{2}$, …, $b_{z}$ gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten; es folgt dann

$\nu ^{h}=\nu ^{*}\lambda _{1}^{b}\lambda _{2}^{b_{2}}\lambda _{3}^{b_{3}}\ldots \lambda _{z}^{b_{z}}$,

wobei $\nu ^{*}$ eine zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ darstellt. Nach Satz 40 haben wir

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi \mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1.$

Ferner ist mit Rücksicht auf (2)

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi \mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)$;

es wird daher

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

(6)

Andererseits erhalten wir, da nach Satz 36

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

ausfällt, die Gleichung

${\begin{aligned}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{1},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)^{b}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{2},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)^{b_{2}}\cdots \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{z},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)^{b_{z}}\\&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)\cdot \left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b}\left({\frac {\lambda _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b_{2}}\cdots \left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b_{z}}=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b};\end{aligned}}$

wegen (5) und (6) entnehmen wir hieraus

$(-1)^{b}=+1$,

d. h. $b$ ist eine gerade Zahl.

Damit ist unsere Behauptung bewiesen und es muß mithin entweder das Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ weiter zerlegbar sein oder der Exponent $b$, zu dem ${\mathfrak {l}}$ in $\nu$ aufgeht, gerade ausfallen. In beiden Fällen aber kann, wie leicht ersichtlich, eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ gefunden werden, derart, daß $\textstyle {\frac {\nu }{N({\mathsf {A}})}}$ einem Bruche $\textstyle {\frac {\varrho }{\sigma }}$ wird, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ zu $2$ prim ausfallen, und aus (2) schließen wir dann

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

Diese Gleichung erhält mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gestalt

$\left({\frac {\underline {\varrho \,\sigma ,\,\mu ^{*}}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$

und folglich ist nach Satz 50 auch

$\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$,

d. h. $\varrho \,\sigma$ ist Normenrest im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich ist wegen Satz 56 auch $\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$. Damit ist der Satz 57 in dem Falle bewiesen, daß der Exponent $a$ gerade ausfällt.

Wir machen zweitens die Annahme, daß der Exponent $a$ ungerade ist und benutzen wiederum die Bezeichnungen wie in Satz 42. Wir bestimmen dann eine ganze zu $2$ prime Zahl $\mu ^{*}$ in $k$, für welche die Kongruenzen

${\begin{aligned}\lambda _{1}^{a}\mu ^{*}&\equiv \mu ^{h},\quad ({\mathfrak {l}}^{2l+1+ah}),\\\lambda _{1}^{a}\mu ^{*}&\equiv 1\,\,\,\,,\quad ({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{2l_{3}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

bestehen. Es sei ferner ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $k$, welches den Bedingungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\,=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{\ast }}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{\ast }}}\right),$

$\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu ^{\ast }}}\right),\dotsc ,\,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)\,=\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu ^{\ast }}}\right)\,\,\,\,$

genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in $k$ eine ganze Zahl $\pi ^{*}$ derart, daß das Hauptideal $(\pi ^{*})$ gleich ${\mathfrak {p}}^{h}$ wird und das Produkt $\pi ^{*}\mu ^{*}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ ausfällt. Ferner läßt sich, wie leicht mit Rücksicht auf Satz 4, 6 und 8 ersichtlich ist, im Körper $K({\sqrt {\lambda _{1}\mu ^{*}}})$ gewiß eine Zahl ${\mathsf {A}}$ finden, so daß $\textstyle {\frac {\nu }{N({\mathsf {A}})}}$ gleich einem Bruche $\textstyle {\frac {\varrho }{\sigma }}$ wird, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ zu 2 prim ausfallen. Endlich werde ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ in $k$ bestimmt, welches den Bedingungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\varrho \,\sigma }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\varrho \,\sigma }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\varrho \,\sigma }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\varrho \,\sigma }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right)&=+1\end{aligned}}$

(7)

genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in $k$ eine ganze Zahl $\varkappa$ derart, daß $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$ und zugleich $\varkappa \varrho \sigma$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ ausfällt.

Wir haben nun auf Grund von Definition 18

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

ferner ist

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$.

Endlich folgt bei Anwendung der Sätze 36 und 40

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

und wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

d. h. es ist

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

und wegen (7) wird also auch

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.

(8)

Wir betrachten nunmehr den Körper $K\left({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}}\right)$ und bedienen uns dann zum Beweise des Satzes 57 der nämlichen Schlußweise, welche wir beim Beweise des Satzes 48 angewandt haben. Aus (7) folgt, daß das Primideal ${\mathfrak {q}}$ des Körpers $k$ in $K\left({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}}\right)$ stets weiter zerlegbar ist. Wir unterscheiden ferner im folgenden zwei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ ein nichtprimäres oder ein primäres Primideal ist.

Im ersteren Falle erweist sich durch eine ähnliche Betrachtung, wie sie im dritten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 462) angestellt wurde, die Klassenanzahl des Körpers $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ als ungerade und es folgt hieraus mit Hinzuziehung von (8) wie in dem eben genannten Beweise, daß $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl in $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ ist.

Im zweiten Falle verteilen wir ähnlich wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 460–462) die Komplexe des Körpers $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ in zwei Geschlechter und zeigen dann, wie dort, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes gleich dem Quadrat eines Komplexes wird. Berücksichtigen wir, daß wegen (8) jedes durch Zerlegung von ${\mathfrak {q}}$ entstehende Primideal in $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ dem Hauptgeschlechte angehört, so folgt wiederum, daß $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl in $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ ist.

In beiden vorhin unterschiedenen Fällen erhalten wir mithin

$\left({\frac {\varkappa ,\,\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$

und da die Zahlen $\pi ^{*}\mu ^{*}$ und $\varkappa \varrho \sigma$ Quadraten von ganzen Zahlen in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfallen, so folgt auf Grund des Satzes 56 schließlich auch

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Hiermit ist Satz 57 bewiesen.

Satz 58. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal in $k$ und ferner seien $\nu ,\,\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen und bestimmen eine ganze Zahl $\mu ^{*}$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu \quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1+a}),\\\mu ^{*}&\equiv 1\quad ({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ ist; dann haben wir nach Satz 56

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i=2,\,3,\,\ldots z).\end{aligned}}\right\}$

(9)

Es mögen nun in der Zahl $\nu$ die Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ bez. genau zur $b_{1}$, …, $b_{z}$-ten Potenz aufgehen; infolge der Gleichungen (9) gibt es gewisse Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{z}$ im Körper $K({\sqrt {\mu ^{*}}})$ derart, daß

${\begin{aligned}\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{1}),\quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1+b_{1}}),\\&\vdots \\\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{z}),\quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{z}+1+b_{z}})\end{aligned}}$

ausfällt. Wenn wir ähnlich wie im Beweise zu Satz 49 aus den Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{z}$ eine Zahl ${\mathsf {A}}$ konstruieren und dann in entsprechender Weise wie am genannten Ort verfahren, so erkennen wir ohne Schwierigkeit die Richtigkeit des Satzes 58.

Die beiden Sätze 57 und 58 zusammen genommen ergeben das Resultat:

Satz 59. (Hilfssatz). Wenn ${\mathfrak {l}}$ irgendein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ bedeuten, dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Mit Hilfe des Satzes 59 können wir leicht die in Satz 51 für das Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ aufgestellten drei Formeln auch in dem Falle als richtig nachweisen, daß $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$ sind. Das Schlußverfahren zum Beweise der ersten Formel entspricht demjenigen, das zum Beweise der ersten Formel des Satzes 51 angewandt worden ist. Die Richtigkeit der beiden letzten Formeln folgt unmittelbar aus Satz 55 und 59. Wir erkennen hiernach, daß die für das Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ in Satz 14 aufgestellten Formeln allgemein für beliebige ganze Zahlen $\nu$, $\mu$ in $k$ und in bezug auf jedes beliebige Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k$ gültig sind.

§ 39. Das Produkt $\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ für beliebige ganze Zahlen $\nu$, $\mu$.

Wir sind nunmehr imstande, einen Satz auszusprechen und zu beweisen, der als die weiteste Verallgemeinerung der Sätze 36, 40 und 52 anzusehen ist und der zugleich, wie mir scheint, das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper $k$ auf die einfachste und vollständigste Weise zum Ausdruck bringt. Dieser Satz lautet:

Satz 60. Wenn $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ sind, so ist stets

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo das Produkt über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll.

Zum Beweise dieses Satzes gelangen wir durch eine entsprechende Schlußweise, wie sie zum Beweise des Satzes 52 angewandt worden ist.

Wir heben endlich noch eine besondere Folgerung des Satzes 60 hervor.

Satz 61. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}(={\mathfrak {l}})$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$, und $\lambda$ bedeute eine ganze Zahl in $k$ derart, daß das Ideal ($\lambda$) die $h$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ wird; ferner sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal und $\pi$ eine ganze Zahl in $k$, so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$ ausfällt: dann gilt die Gleichung

$\left({\frac {\lambda }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\lambda ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\lambda ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)$.

Zum Beweise des Satzes 61 setze man in 60 $\nu =\lambda$, $\mu =\pi$ ein.

Der Satz 61 heiße der zweite Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für die quadratischen Reste im Körper $k$.

§ 40. Die Anzahl der Normenreste nach einem in $2$ aufgehenden Primideal.

Es gelingt jetzt, die Aussagen des Satzes 15 auf die Primfaktoren der Zahl $2$ auszudehnen. Wir sprechen den folgenden Satz aus:

Satz 62. Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein Primfaktor von $2$ und zwar gehe ${\mathfrak {l}}$ genau zur $l$-ten Potenz in 2 auf: wenn dann die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist, so ist jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl $\nu$ in $k$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {l}}$.

Wenn dagegen die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ den Faktor ${\mathfrak {l}}$ enthält und $L$ einen beliebigen Exponenten größer als $2l$ bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu ${\mathfrak {l}}$ primen und nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ inkongruenten Zahlen $\nu$ in $k$ genau die Hälfte Normenreste des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {l}}$.

Beweis. Wenn ${\mathfrak {l}}$ nicht in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht, so können wir mit Rücksicht auf Satz 4 und 6 annehmen, daß $\mu$ kongruent dem Quadrat einer ganzen zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{2l}$ ausfällt. Eine gemäß Definition 17 zu $\mu$ bestimmte Zahl $\mu ^{*}$ wird dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ und folglich erhalten wir nach Satz 36 $\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ und mithin nach Satz 50 auch $\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$; damit ist die erste Aussage des Satzes 62 als richtig erkannt.

Und um die zweite Aussage des Satzes 62 zu beweisen, nehmen wir zunächst $\mu$ prim zu $2$ an; es sei $\mu ^{*}$ eine gemäß Definition 17 zu $\mu$ bestimmte ganze Zahl in $k$. Wir haben in Satz 29 gewisse $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Primideale ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ aufgestellt und aus diesen gewisse ganze Zahlen $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ abgeleitet, so daß dann nach diesem Satze jede zu $2$ prime ganze Zahl des Körpers $k$ nach dem Modul $2^{2}$ in der dort angegebenen Gestalt darstellbar ist; wir setzen somit insbesondere

$\mu ^{*}\equiv \varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\beta ^{2},\qquad (2^{2}),$

worin die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\beta$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet.

Wir unterscheiden im folgenden zwei Fälle, je nachdem die Exponenten $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich gleich $0$ sind oder mindestens einer dieser Exponenten $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ von $0$ verschieden ausfällt. Im ersten Falle können die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ nicht ebenfalls sämtlich verschwinden, da sonst $\mu ^{*}\equiv \mu \equiv \beta ^{2}$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}^{2l}$ und mithin der Voraussetzung entgegen die Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ prim zu ${\mathfrak {l}}$ wäre. Ist also etwa $u_{i}=1$, so wird mit Berücksichtigung der Sätze 50 und 36

$\left({\frac {\varkappa _{i},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varkappa _{i},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa _{i},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1$.

Im zweiten Falle sei etwa $v_{i}=1$; dann schließen wir auf die nämliche Weise

$\left({\frac {\varepsilon _{i},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varepsilon _{i},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varepsilon _{i},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1$.

Nehmen wir im ersten Falle $\nu =\varkappa _{i}$, im zweiten $\nu =\varepsilon _{i}$, so ist gezeigt, daß es im Körper $k$ stets eine Zahl $\nu$ gibt, welche Normennichtrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {l}}$ wird.

Wegen $L>2l$ sind nach Satz 47 zwei nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruente zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen in $k$ stets gleichzeitig Normenreste oder Normennichtreste nach ${\mathfrak {l}}$. Wir bezeichnen nun mit $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, …, $\nu _{s}$ ein System ganzer Zahlen in $k$ von folgender Beschaffenheit: die Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{s}$ sollen nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ untereinander inkongruente und zu ${\mathfrak {l}}$ prime Normenreste nach ${\mathfrak {l}}$ sein; endlich soll jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl, welche Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$ ist, einer jener Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{s}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruent sein. Ist nun $\nu$ ein zu ${\mathfrak {l}}$ primer Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$, so sind die Zahlen $\nu \nu _{1}$, $\nu \nu _{2}$, …, $\nu \nu _{s}$ wegen der zweiten Formel in Satz 51 sämtlich Normennichtreste nach ${\mathfrak {l}}$ und wir können leicht zeigen, daß jeder beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$ einer dieser $s$ Zahlen nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruent ausfällt. In der Tat bestimmen wir eine ganze Zahl $\nu ^{*}$, so daß $\nu \nu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ ausfällt, so folgt wegen $L>2l$ mit Rücksicht auf Satz 47 die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{\ast },\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=-1$;

es ist folglich auch $\nu ^{*}$ Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$. Bedeutet nun $\nu '$ irgendeinen beliebigen Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$, so ist $\nu '\nu ^{*}$ Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich einer der Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{s}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruent; es sei etwa $\nu '\nu ^{*}\equiv \nu _{i}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$; dann ist $\nu \nu '\nu ^{*}\equiv \nu '\equiv \nu \nu _{i}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$.

Aus dieser Betrachtung ergibt sich unmittelbar die Richtigkeit der zweiten Aussage des Satzes 62 für den Fall, daß $\mu$ zu $2$ prim ist. Der vollständige Nachweis dieser zweiten Aussage gelingt leicht durch ein ähnliches Schlußverfahren unter Heranziehung von Satz 56.

Die in den beiden Sätzen 15 und 62 ausgesprochene Tatsache entspricht gewissermaßen dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung eines einfachen Verzweigungspunktes den Vollwinkel auf die Hälfte desselben konform abbildet. Infolgedessen nenne ich die in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $k$ auch Verzweigungsideale für den Körper $K({\sqrt {\mu }})$. Die Verzweigungsideale sind die Quadrate oder die Relativnormen der ambigen Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.

§ 41. Beweis des Fundamentalsatzes über die Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper.

In § 17 bis § 19, sowie in § 29 hatten wir die vorläufige Annahme gemacht, daß die Relativdiskriminante des zu untersuchenden Körpers $K$ zu $2$ prim ausfällt. Da wir erkannt haben, daß alle wesentlichen Eigenschaften des Symbols $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ auch für die in $2$ enthaltenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ gültig sind, so kann nunmehr jene vorläufige Annahme beseitigt werden.

Wir bezeichnen wie bisher mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl $2$ und setzen

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$.

Zunächst lassen sich die Definitionen 11 und 12 der Begriffe „Charakterensystem“ und „Geschlecht“ unmittelbar auf den Fall ausdehnen, daß die Relativdiskriminante von $K$ Faktoren aus der Reihe der Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ enthält; wir haben hierbei nur die Bemerkung am Schluß des § 38 zu berücksichtigen.

Desgleichen können wir die Beweise der Sätze 24, 25, 26 sofort auf den gegenwärtigen allgemeinen Fall übertragen, und es gilt demnach insbesondere auch der Satz 26 für jeden beliebigen relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\mu }})$.

Endlich entsteht die Aufgabe, den fundamentalen Satz 41 auch in dem Falle zu beweisen, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ Primfaktoren der Zahl $2$ enthält. Um diesen Beweis zu entwickeln, behalten wir die in § 29 festgesetzten Bezeichnungen bei; es ist hierbei nur zu beachten, daß im gegenwärtigen Falle unter den Primidealen ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$ auch solche vorkommen, die in der Zahl $2$ aufgehen.

Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z^{*}}$ diejenigen Primfaktoren von $2$, die unter den $r$ Idealen ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r}$ vorkommen; wir setzen etwa

${\mathfrak {l}}_{1}={\mathfrak {d}}_{r-z^{*}+1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z^{*}}={\mathfrak {d}}_{r}$,

so daß die $r-z^{*}$ Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}$ zu $2$ prim sind. Es mögen nun $c_{1}$, …, $c_{r}$ irgend beliebige $r$ der Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ genügende Einheiten $\pm 1$ sein. Wegen Satz 62 kann man gewiß $z^{*}$ ganze zu $2$ prime Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{z^{*}}$ finden, so daß

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=c_{r-z^{*}+1}$, …, $\left({\frac {\nu _{z^{*}},\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=c_{r}$

wird. Bestimmen wir nun eine ganze Zahl $\nu$ derart, daß

${\begin{aligned}\nu &\equiv \nu _{1},\quad &&({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}),\\&\,\vdots &&\\\nu &\equiv \nu _{z^{*}},\quad &&({\mathfrak {l}}_{z^{*}}^{2l_{z^{*}}+1}),\\\nu &\equiv 1,\quad &&({\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}^{2l_{z^{*}+1}+1}),\\&\,\vdots &&\\\nu &\equiv 1,\quad &&({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

ausfällt, so genügt $\nu$ nach Satz 56 den Bedingungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)&=c_{r-z^{*}+1},&&\ldots ,\,\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=c_{r},\\\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}}}\right)&=+1,&&\ldots ,\,\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(1)

Nunmehr bezeichnen wir mit ${\mathfrak {d}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t^{*}}$ diejenigen unter den $t-r$ Primidealen ${\mathfrak {d}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$, die zu $2$ prim sind und bestimmen dann ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches bei Benutzung der Bezeichnungen von § 31 die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\nu }}\right),\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\nu }}\right),\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\nu }}\right),\\\end{aligned}}\right\}$

(2)

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=c_{1}\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)\left({\frac {\delta _{1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\delta _{r-z^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{r-z^{*}}\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}}}\right)\left({\frac {\delta _{r-z^{*}}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)\left({\frac {\delta _{r+1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\delta _{t^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{t^{*}}}}\right)\left({\frac {\delta _{t^{*}}}{\nu }}\right)\end{aligned}}\right\}$

(3)

gelten. Wegen (2) läßt sich nach Satz 43 eine ganze Zahl $\pi$ bestimmen, so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$ und überdies die Zahl $\pi \nu$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ wird. Infolgedessen schließen wir aus Satz 56 mit Rücksicht auf (1)

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=c_{r-z^{*}+1},\,\ldots ,\,\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=c_{r},\\\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=+1.\\\end{aligned}}\right\}$

(4)

Andererseits folgt aus Satz 40, wenn wir die erste Formel des Satzes 14 berücksichtigen,

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\pi \nu ,\,\delta _{i}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,r-z^{*},\,r+1,\,\ldots ,\,t^{*})$

und wegen (3) haben wir daher

${\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\nu }}\right)&=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)c_{i}=+1,\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,r-z^{*}),\\\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\nu }}\right)&=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\color {white}c_{i}\color {black}=+1,\quad (i=r+1,\,\ldots ,\,t^{*}),\\\end{aligned}}$

d. h. es gelten die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=c_{i},&&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,r-z^{*}),\\\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=+1,&&(i=r+1,\,\ldots ,\,t^{*}).\end{aligned}}\right\}$

(5)

Da ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}$, ${\mathfrak {d}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t^{*}}$ die sämtlichen zu $2$ primen Teiler der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sind, so können wir

$\mu ^{h}=\gamma \alpha ^{2}\delta _{1}\cdots \delta _{r-z^{*}}\delta _{r+1}\cdots \delta _{t^{*}}$

setzen, wo $\gamma$ eine ganze Zahl in $k$ ist, deren Primfaktoren sämtlich in $2$ aufgehen, und wo $\alpha$ irgendeine bestimmte ganze Zahl in $k$ bedeutet. Nach Satz 60 ist

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t^{*}}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=+1$

und folglich erhalten wir wegen (4), (5)

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)c_{1}\cdots c_{r}=+1$;

da nun $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ angenommen worden ist, so ergibt sich auch $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Mit Rücksicht auf (4), (5) haben die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren die Werte

$\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)c_{1}$, …, $\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)c_{r}$.

Hieraus schließen wir genau wie bei dem in § 29 entwickelten Beweise die Richtigkeit des Satzes 41 im allgemeinen Falle.

Wir haben damit die wichtigste Frage nach der Anzahl der Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vollständig erledigt.

§ 42. Die Klassen des Hauptgeschlechtes.

Wir heben in diesem und in den folgenden Paragraphen einige Folgerungen hervor, die sich aus dem Satze 41 ergeben.

Satz 63. Die Anzahl $g$ der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper ist gleich der Anzahl $A$ seiner ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn $t$ und $v$ die Bedeutung wie in Satz 23 haben und wenn wir berücksichtigen, daß nach Satz 41 $g=2^{r-1}$ ist, so folgt aus den Sätzen 23 und 25

$r\leqq t+v-{\frac {m}{2}}$

und da andererseits nach Satz 24

$t+v-{\frac {m}{2}}\leqq r$

sein muß, so erhalten wir

$r=t+v-{\frac {m}{2}}$;

nach Satz 23 ist mithin die Anzahl der ambigen Komplexe

$A=2^{a}=2^{r-1}=g$.

Satz 64. Jeder Komplex des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper $K$ ist das Quadrat eines Komplexes in $K$, d. h. jede Klasse des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper $K$ ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat einer Klasse und aus einer solchen Klasse, welche Ideale des Grundkörpers $k$ enthält.

Beweis. In dem Beweise zu Satz 25 ist die Gleichung ${\mathsf {A}}f'=gf$ abgeleitet worden; hierbei haben ${\mathsf {A}}$ und $g$ die Bedeutung wie in Satz 63; ferner bedeutet $f'$ die Anzahl derjenigen Komplexe, welche gleich Quadraten von Komplexen sind und $f$ die Anzahl der Komplexe des Hauptgeschlechtes. Da nach Satz 63 ${\mathsf {A}}=g$ ist, so folgt $f'=f$ und damit ist bewiesen, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes das Quadrat eines Komplexes ist.

§ 43. Der Satz von den Relativnormen eines relativquadratischen Körpers.

Satz 65. Wenn $\nu$, $\mu$ irgend zwei beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ des Körpers $k$ bedeuten, von denen $\mu$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, und welche für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k$ die Bedingung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

erfüllen, so ist die Zahl $\nu$ stets gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.

Beweis. Wir beweisen diesen Satz zunächst für den Fall, daß $\nu$ eine Einheit in $k$ ist. Es mögen $t$ und $v$ die Bedeutung wie in Satz 23 haben; im Beweise zu Satz 63 ist gezeigt worden, daß $r=t+v-\textstyle {\frac {m}{2}}$ sein muß: d. h. es ist $v=\textstyle {\frac {m}{2}}-t+r$. Die Anzahl der Einheitenverbände in $k$, soweit sie aus Einheiten, die Relativnormen sind, entspringen, beträgt also $\textstyle 2^{{\frac {m}{2}}-t+r}$.

Andererseits betrachten wir die $r^{*}=t-r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$, die in § 17 bestimmt worden sind. Aus den Gleichungen (1) in § 17 erkennen wir leicht, daß die $r^{*}$ aus $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$ entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. Es müssen sich daher $\textstyle {\frac {m}{2}}-r^{*}$ solche Einheitenverbände finden lassen, die mit jenen zusammen ein System von $\textstyle {\frac {m}{2}}$ unabhängigen Einheitenverbänden bilden. Sind $\varepsilon _{r^{*}+1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ Einheiten bez. aus diesen $\textstyle {\frac {m}{2}}-r^{*}$ Einheitenverbänden, so läßt sich offenbar jede beliebige Einheit $\xi$ des Körpers $k$ in der Gestalt

$\xi =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varepsilon ^{2}$

darstellen, wo $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$ bedeutet. Betrachtet man nun die $r^{*}$ Gleichungen

$\left({\frac {\xi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$, $\left({\frac {\xi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1$, …, $\left({\frac {\xi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{*}+1}}}\right)=+1$,

(1)

so liefern sie für die Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, …, $\textstyle u_{\frac {m}{2}}$ gewisse $r^{*}$ lineare Kongruenzen nach dem Modul $2$, die, wie man leicht erkennt, voneinander unabhängig sind; es folgt somit, daß alle diejenigen Einheiten $\xi$, die den Bedingungen (1) genügen, insgesamt

$2^{{\frac {m}{2}}-r^{*}}=2^{{\frac {m}{2}}-t+r}$

Einheitenverbände ausmachen.

Wir haben zu Beginn dieses Beweises festgestellt, daß die Anzahl der Einheitenverbände, soweit sie aus Einheiten, die Relativnormen sind, entspringen, in gleicher Anzahl vorhanden sind. Da ferner jede Einheit in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl $K({\sqrt {\mu }})$ ist, offenbar Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$ sein und daher notwendig den Gleichungen (1) genügen muß, so ist jeder Verband der zu Anfang behandelten Einheiten auch unter den Verbänden enthalten, deren Einheiten $\xi$ den Gleichungen (1) genügen; da die Anzahlen beider Systeme von Einheitenverbänden die gleiche ist, so sind die beiden Systeme miteinander identisch. Die vorgelegte Einheit $\nu$ genügt nach Voraussetzung den Bedingungen (1) und ist mithin nach dem eben Bewiesenen die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$.

Es sei jetzt $\nu$ eine beliebige Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$, welche die Voraussetzung des Satzes 65 erfüllt. Sind dann ${\mathfrak {n}}_{1}$, ${\mathfrak {n}}_{2}$, … die höchsten in $\nu$ aufgehenden Potenzen von Primidealen des Körpers $k$, so muß es wegen der Voraussetzung des Satzes 65 gewiß ganze Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}$, … in $K({\sqrt {\mu }})$ geben von der Art, daß die Kongruenzen gelten

${\begin{aligned}\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{1}),\quad ({\mathfrak {n}}_{1}^{2}),\\\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{2}),\quad ({\mathfrak {n}}_{2}^{2}),\\&\,\vdots \end{aligned}}$

Bezeichnet also ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$, die kongruent ${\mathsf {A}}_{1}$ nach ${\mathfrak {n}}_{1}^{2}$, kongruent ${\mathsf {A}}_{2}$ nach ${\mathfrak {n}}_{2}^{2}$, usf. ausfällt, so erhalten wir

$\nu \equiv N({\mathsf {A}}),\quad (\nu ^{2})$.

(2)

Betrachten wir nun in $K({\sqrt {\mu }})$ das Ideal

${\mathfrak {H}}=(\nu ,\,{\mathsf {A}})$,

so ergibt sich wegen (2)

${\mathfrak {H}}\cdot S{\mathfrak {H}}=(\nu ,\,{\mathsf {A}})(\nu ,\,S{\mathsf {A}})=(\nu ^{2},\,\nu {\mathsf {A}},\,\nu S{\mathsf {A}},\,{\mathsf {A}}S{\mathsf {A}})=(\nu )$

und hieraus folgt, daß $\nu$ die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {H}}$ in $K({\sqrt {\mu }})$ sein muß.

Wegen der Voraussetzung des Satzes 65 gehört ${\mathfrak {H}}$ notwendig dem Hauptgeschlecht von $K({\sqrt {\mu }})$ an und wir können daher nach Satz 64

${\mathfrak {H}}\sim {\mathfrak {jJ}}^{2}$

setzen in solcher Weise, daß ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ und ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet. Wegen ${\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$ muß $\textstyle {\mathsf {B}}=({\frac {\mathfrak {H}}{{\mathfrak {J}}^{2}}})^{h}$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$ sein; die Relativnorm $N({\mathsf {B}})$ dieser Zahl ist offenbar von der Gestalt $\textstyle {\frac {\varepsilon \nu ^{h}}{\alpha ^{2}}}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt, daß für jedes beliebige Primideal ${\mathfrak {w}}$ notwendig $\textstyle \left({\frac {\varepsilon v^{h}\alpha ^{2},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ und daher auch $\textstyle \left({\frac {\varepsilon ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ sein muß. Es ist nun im ersten Teil des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen $\varepsilon$ stets gleich der Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sein muß; wir setzen $\varepsilon =N({\mathsf {\Gamma }})$, wo ${\mathsf {\Gamma }}$ eine Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ ist. Es folgt dann

$\nu =N\left({\frac {{\mathsf {B}}\cdot \alpha }{{\mathsf {\Gamma }}\cdot \nu ^{\frac {h-1}{2}}}}\right)$,

und hiermit ist der Beweis für Satz 65 vollständig erbracht.

§ 44. Die ternäre quadratische Diophantische Gleichung im Körper $\mathbf {k}$.

Den Inhalt des Satzes 65 können wir auch auf folgende Weisen aussprechen:

Satz 66. Wenn $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung

$\nu \xi ^{2}+\mu \eta ^{2}=1$

in ganzen oder gebrochenen Zahlen $\xi$, $\eta$ des Körpers $k$ stets dann lösbar, wenn für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k$ die Bedingung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=1$

erfüllt ist.

Satz 67. Wenn $\nu$, $\mu$ irgend zwei beliebige ganze Zahlen des Körpers $k$ bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung

$\nu \xi ^{2}+\mu \eta ^{2}=1$

in ganzen oder gebrochenen Zahlen $\xi$, $\eta$ des Körpers $k$ stets dann lösbar, wenn die Kongruenz

$\nu \xi ^{2}+\mu \eta ^{2}\equiv 1$

nach jedem Primideal des Körpers $k$ und nach jeder Potenz eines solchen in ganzen Zahlen $\xi$, $\eta$ des Körpers $k$ lösbar ist.

Beweis. Falls $\mu$ das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ ist, wird jener Diophantischen Gleichung durch $\xi =0$, $\textstyle \eta ={\frac {1}{\sqrt {\mu }}}$ genügt. Es sei nun $\mu$ nicht das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$. Es sei ferner ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal in $k$ und ${\mathfrak {w}}^{L}$ eine beliebige Potenz von ${\mathfrak {w}}$; endlich seien $\xi$, $\eta$ ganze Zahlen in $k$, die der im Satze 67 aufgestellten Kongruenz nach ${\mathfrak {w}}^{L}$ genügen. Da offenbar $\xi$, $\eta$ nicht beide zugleich durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar sein können, so dürfen wir annehmen, daß etwa $\xi$ zu ${\mathfrak {w}}$ prim ausfiele: dann ist wegen

$\nu \equiv N\left({\frac {1+\eta {\sqrt {\mu }}}{\xi }}\right),\quad ({\mathfrak {w}}^{L})$

die Zahl $\nu$ Normenrest des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach ${\mathfrak {w}}$ und folglich erfüllen die Zahlen $\nu$, $\mu$ die Bedingungen des Satzes 65. Nach diesem Satze 65 ist daher $\nu$ die Relativnorm einer gewissen Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$; setzen wir ${\mathsf {A}}={\frac {\alpha +\beta {\sqrt {\mu }}}{\gamma }}$, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ganze Zahlen in $k$ sind, so folgt

$\nu ={\frac {\alpha ^{2}-\mu \beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}$

und mithin erfüllen die Zahlen $\xi ={\frac {\gamma }{\alpha }}$, $\eta ={\frac {\beta }{\alpha }}$ die vorgelegte Gleichung. Damit ist der Satz 67 bewiesen.

Ist irgendeine ternäre homogene quadratische Diophantische Gleichung mit beliebigen in $k$ liegenden Koeffizienten vorgelegt, so entsteht die Frage nach den Bedingungen, unter denen diese Gleichung durch geeignete ganze Zahlen des Körpers $k$ gelöst werden kann. Auch diese Frage findet, wie leicht zu sehen, auf Grund der Sätze 66 und 67 ihre vollständige Beantwortung.

Verzeichnis der Sätze und Definitionen.

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iiiiiiiiiSatz 001 . . . . . . . 372
iiiiiiiiiSatz 002 . . . . . . . 372
iiiiiiiiiSatz 003 . . . . . . . 374
iiiiiiiiiSatz 004 . . . . . . . 374
iiiiiiiiiSatz 005 . . . . . . . 376
iiiiiiiiiSatz 006 . . . . . . . 376
iiiiiiiiiSatz 007 . . . . . . . 377
iiiiiiiiiSatz 008 . . . . . . . 377
iiiiiiiiiSatz 009 . . . . . . . 380
iiiiiiiiiSatz 010 . . . . . . . 381
iiiiiiiiiSatz 011 . . . . . . . 383
iiiiiiiiiSatz 012 . . . . . . . 384
iiiiiiiiiSatz 013 . . . . . . . 385
iiiiiiiiiSatz 014 . . . . . . . 387
iiiiiiiiiSatz 015 . . . . . . . 388
iiiiiiiiiSatz 016 . . . . . . . 390
iiiiiiiiiSatz 017 . . . . . . . 392
iiiiiiiiiSatz 018 . . . . . . . 393
iiiiiiiiiSatz 019 . . . . . . . 393
iiiiiiiiiSatz 020 . . . . . . . 396
iiiiiiiiiSatz 021 . . . . . . . 397
iiiiiiiiiSatz 022 . . . . . . . 397
iiiiiiiiiSatz 023 . . . . . . . 403
iiiiiiiiiSatz 024 . . . . . . . 409
iiiiiiiiiSatz 025 . . . . . . . 411
iiiiiiiiiSatz 026 . . . . . . . 411
iiiiiiiiiSatz 027 . . . . . . . 413
iiiiiiiiiSatz 028 . . . . . . . 413
iiiiiiiiiSatz 029 . . . . . . . 413
iiiiiiiiiSatz 030 . . . . . . . 416
iiiiiiiiiSatz 031 . . . . . . . 417
iiiiiiiiiSatz 032 . . . . . . . 423
iiiiiiiiiSatz 033 . . . . . . . 426
iiiiiiiiiSatz 034 . . . . . . . 427
iiiiiiiiiSatz 035 . . . . . . . 427
iiiiiiiiiSatz 036 . . . . . . . 428
iiiiiiiiiSatz 037 . . . . . . . 434
iiiiiiiiiSatz 038 . . . . . . . 435
iiiiiiiiiSatz 039 . . . . . . . 436
iiiiiiiiiSatz 040 . . . . . . . 445
iiiiiiiiiSatz 041 . . . . . . . 446
iiiiiiiiiSatz 042 . . . . . . . 448
iiiiiiiiiSatz 043 . . . . . . . 451
iiiiiiiiiSatz 044 . . . . . . . 452
iiiiiiiiiSatz 045 . . . . . . . 454
iiiiiiiiiSatz 046 . . . . . . . 454
iiiiiiiiiSatz 047 . . . . . . . 455
iiiiiiiiiSatz 048 . . . . . . . 458
iiiiiiiiiSatz 049 . . . . . . . 463
iiiiiiiiiSatz 050 . . . . . . . 464
iiiiiiiiiSatz 051 . . . . . . . 464
iiiiiiiiiSatz 052 . . . . . . . 465
iiiiiiiiiSatz 053 . . . . . . . 466
iiiiiiiiiSatz 054 . . . . . . . 466
iiiiiiiiiSatz 055 . . . . . . . 467
iiiiiiiiiSatz 056 . . . . . . . 467
iiiiiiiiiSatz 057 . . . . . . . 468
iiiiiiiiiSatz 058 . . . . . . . 472
iiiiiiiiiSatz 059 . . . . . . . 473
iiiiiiiiiSatz 060 . . . . . . . 473
iiiiiiiiiSatz 061 . . . . . . . 473
iiiiiiiiiSatz 062 . . . . . . . 474
iiiiiiiiiSatz 063 . . . . . . . 478
iiiiiiiiiSatz 064 . . . . . . . 479
iiiiiiiiiSatz 065 . . . . . . . 479
iiiiiiiiiSatz 066 . . . . . . . 481
iiiiiiiiiSatz 067 . . . . . . . 481
iiiiiiiii

Definition 001 . . . . . . . 371
Definition 002 . . . . . . . 372
Definition 003 . . . . . . . 374
Definition 004 . . . . . . . 379
Definition 005 . . . . . . . 379
Definition 006 . . . . . . . 380
Definition 007 . . . . . . . 388
Definition 008 . . . . . . . 389
Definition 009 . . . . . . . 389
Definition 010 . . . . . . . 396
Definition 011 . . . . . . . 407
Definition 012 . . . . . . . 409
Definition 013 . . . . . . . 412
Definition 014 . . . . . . . 412
Definition 015 . . . . . . . 427
Definition 016 . . . . . . . 434
Definition 017 . . . . . . . 453
Definition 018 . . . . . . . 467

1. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ Satz 94 (dieser Band S. 155), sowie die daselbst zu diesem Satze gemachte Bemerkung.
2. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ Satz 23 (dieser Band Abh. 7 S. 82).
3. Geometrie der Zahlen, Teubner 1896, S. 62.
4. Über einen in der Zahlentheorie angewandten Satz der Integralrechnung, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1896, S. 275. H. Weber hat diesen Satz hernach in seinen Untersuchungen „Über Zahlengruppen in algebraischen Körpern“ zweite Abhandlung Math. Ann. 49, S. 83 (1897) auf ein dem meinigen verwandtes Problem der Zahlentheorie angewandt.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: $\equiv \alpha _{i}+\alpha _{i}$ (ohne ')

← 9.I Allgemeine Definitionen und vorbereitende Sätze.

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10. Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper. →

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