Die Feldgleichungen der Gravitation

Die Feldgleichungen der Gravitation.

Von A. Einstein.

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In zwei vor kurzem erschienenen Mitteilungen^[1] habe ich gezeigt, wie man zu Feldgleichungen der Gravitation gelangen kann, die dem Postulat allgemeiner Relativität entsprechen, d. h. die in ihrer allgemeinen Fassung beliebigen Substitutionen der Raumzeitvariabeln gegenüber kovariant sind.

Der Entwicklungsgang war dabei folgender. Zunächst fand ich Gleichungen, welche die Newtonsche Theorie als Näherung enthalten und beliebigen Substitutionen von der Determinante 1 gegenüber kovariant waren. Hierauf fand ich, daß diesen Gleichungen allgemein kovariante entsprechen, falls der Skalar des Energietensors der »Materie« verschwindet. Das Koordinatensystem war dann nach der einfachen Regel zu spezialisieren, daß ${\sqrt {-g}}$ zu 1 gemacht wird, wodurch die Gleichungen der Theorie eine eminente Vereinfachung erfahren. Dabei mußte aber, wie erwähnt, die Hypothese eingeführt werden, daß der Skalar des Energietensors der Materie verschwinde.

Neuerdings finde ich nun, daß man ohne Hypothese über den Energietensor der Materie auskommen kann, wenn man den Energietensor der Materie in etwas anderer Weise in die Feldgleichungen einsetzt, als dies in meinen beiden früheren Mitteilungen geschehen ist. Die Feldgleichungen für das Vakuum, auf welche ich die Erklärung der Perihelbewegung des Merkur gegründet habe, bleiben von dieser Modifikation unberührt. Ich gebe hier nochmals die ganze Betrachtung, damit der Leser nicht genötigt ist, die früheren Mitteilungen unausgesetzt heranzuziehen.

Aus der bekannten Riemannsche Kovariante vierten Ranges leitet man folgende Kovariante zweiten Ranges ab:

$G_{im}=R_{im}+S_{im}$

(1)

$R_{im}=-\sum \limits _{l}{\frac {\partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum \limits _{l\rho }\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{m\rho \atop l}\right\}$

(1a)

$S_{im}=\sum \limits _{l}{\frac {\partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\sum \limits _{l\rho }\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}$

(1b)

Die allgemein kovarianten zehn Gleichungen des Gravitationsfeldes in Räumen, in denen »Materie« fehlt, erhalten wir, indem wir ansetzen

$G_{im}=0$

(2)

Diese Gleichungen lassen sich einfacher gestalten, wenn man das Bezugssystem so wählt, daß ${\sqrt {-g}}=1$ ist. Dann verschwindet $S_{im}$ wegen (Ib), so daß man statt (2) erhält

$R_{im}=\sum \limits _{l}{\frac {\partial \Gamma _{im}^{l}}{\partial x_{l}}}+\sum \limits _{\rho l}\Gamma _{i\rho }^{l}\Gamma _{ml}^{\rho }=0$

(3)

${\sqrt {-g}}=1$

(3a)

Dabei ist

$\Gamma _{im}^{l}=-\left\{{im \atop l}\right\}$

(4)

gesetzt, welche Größen wir als die »Komponenten« des Gravitationsfeldes bezeichnen.

Ist in dem betrachteten Raume »Materie« vorhanden, so tritt deren Energietensor auf der rechten Seite von (2) bzw. (3) auf. Wir setzen

$G_{im}=-\varkappa \left(T_{im}-{\frac {1}{2}}g_{im}T\right)$

(2a)

wobei

$\sum \limits _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }T_{\rho \sigma }=\sum \limits _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }=T$

(5)

gesetzt ist; T ist der Skalar des Energietensors der »Materie«, die rechte Seite von (2a) ein Tensor. Spezialisieren wir wieder das Koordinatensystem in der gewohnten Weise, so erhalten wir an Stelle von (2a) die äquivalenten Gleichungen

$R_{im}=\sum \limits _{l}{\frac {\partial \Gamma _{im}^{l}}{\partial x_{l}}}+\sum \limits _{\rho l}\Gamma _{i\rho }^{l}\Gamma _{ml}^{\rho }=-\varkappa \left(T_{im}-{\frac {1}{2}}g_{im}T\right)$

(6)

${\sqrt {-g}}=1$

(3a)

Wie stets nehmen wir an, daß die Divergenz des Energietensors der Materie im Sinne des allgemeinen Differentialkalkuls verschwinde (Impulsenergiesatz). Bei der Spezialisierung der Koordinatenwahl gemäß (3a) kommt dies darauf hinaus, daß die $T_{im}$ die Bedingungen

$\sum \limits _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }$

(7)

oder

$\sum \limits _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-\sum \limits _{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T_{\mu }^{\nu }$

(7a)

erfüllen sollen.

Multipliziert man ^[2] (6) mit ${\tfrac {\partial g^{im}}{\partial x_{\sigma }}}$ und summiert über i und m, so erhält man! mit Rücksicht auf (7) und auf die aus (3a) folgende Relation

${\frac {1}{2}}\sum \limits _{im}g_{im}{\frac {\partial g^{im}}{\partial x_{\sigma }}}=-{\frac {\partial lg{\sqrt {-g}}}{\partial x_{\sigma }}}=0$

den Erhaltungssatz für Materie und Gravitationsfeld zusammen in der Form

$\sum \limits _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}\left(T_{\sigma }^{\lambda }+t_{\sigma }^{\lambda }\right)=0$

(8)

wobei $t_{\sigma }^{\lambda }$ (der »Energietensor« des Gravitationsfeldes) gegeben ist durch

$\varkappa t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\lambda }\sum \limits _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }-\sum g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }$

(8a)

Die Gründe, welche mich zur Einführung des zweiten Gliedes auf der rechten Seite von (2a) und (6) veranlaßt haben, erhellen erst aus den folgenden Überlegungen, welche den an der soeben angeführten Stelle (S. 785) gegebenen völlig analog sind.

Multiplizieren wir (6) mit $g^{im}$ und summieren wir über die Indizes i und m, so erhalten wir nach einfacher Rechnung

$\sum \limits _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\varkappa (T+t)=0$

(9)

wobei entsprechend (5) zur Abkürzung gesetzt ist

$\sum \limits _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }t_{\rho \sigma }=\sum \limits _{\sigma }t_{\sigma }^{\sigma }=t$.

(8b)

Man beachte, daß es unser Zusatzglied mit sich bringt, daß in (9) der Energietensor des Gravitationsfeldes neben dem der Materie in gleicher Weise auftritt, was in Gleichung (21) a.a.O. nicht der Fall ist.

Ferner leitet man an Stelle der Gleichung (22) a.a.O. auf dem dort angegebenen Wege mit Hilfe der Energiegleichung die Relationen ab:

${\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum \limits _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\varkappa (T+t)\right]=0$

(10)

Unser Zusatzglied bringt es mit sich, daß diese Gleichungen gegenüber (9) keine neue Bedingung enthalten, so daß über den Energietensor der Materie keine andere Voraussetzung gemacht werden muß als die, daß er dem Impulsenergiesatze entspricht.

Damit ist endlich die allgemeine Relativitätstheorie als logisches Gebäude abgeschlossen. Das Relativitätspostulat in seiner allgemeinsten Fassung, welches die Raumzeitkoordinaten zu physikalisch bedeutungslosen Parametern macht, führt mit zwingender Notwendigkeit zu einer ganz bestimmten Theorie der Gravitation, welche die Perihelbewegung des Merkur erklärt. Dagegen vermag das allgemeine Relativitätspostulat uns nichts über das Wesen der übrigen Naturvorgänge zu offenbaren, was nicht schon die spezielle Relativitätstheorie gelehrt hätte. Meine in dieser Hinsicht neulich an dieser Stelle geäußerte Meinung war irrtümlich. Jede der speziellen Relativitätstheorie gemäße physikalische 'Theorie kann vermittels des absoluten Differentialkalkuls in das System der allgemeinen Relativitätstheorie eingereiht werden, ohne daß letztere irgendein Kriterium für die Zulässigkeit jener Theorie lieferte.

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Ausgegeben am 2. Dezember.

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1. Sitzungsber. XLIV, S. 778 und XLVI, S. 799, 1915
2. Über die Ableitung vgl. Sitzungsber. XLIV, 1915, S.784/785. Ich ersuche den Leser, für das Folgende auch die dort auf S. 785 gegebenen Entwicklungen zum Vergleiche heranzuziehen.