MKL1888:Wurzel (mathematisch)

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Meyers Konversations-Lexikon
4. Auflage
Vorheriger
Wurzel
Wikisource-logo.svg

Wikisource-Seite: Mathematik

Tango style Wikipedia Icon.svg
Wikipedia-Artikel: Wurzel (Mathematik)
Wiktionary small.svg
Wiktionary-Eintrag: Wurzel
Seite mit dem Stichwort „Wurzel (mathematisch)“ in Meyers Konversations-Lexikon

Originalseite(n)
788, 789

fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
Empfohlene Zitierweise
Wurzel (mathematisch). In: Meyers Konversations-Lexikon. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Leipzig 1888–1889, Bd. 16, S. 788. Digitale Ausgabe in Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=MKL1888:Wurzel_(mathematisch)&oldid=- (Version vom 11.11.2015)

Wurzel, in der Mathematik die Zahl, welche man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des Radikanden, in mehrere gleich große Faktoren erhält; die Anzahl dieser Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die W. benannt. Es ist z. B. 8 die zweite W. oder Quadratwurzel aus 64 , weil ist; 5 die dritte W. oder Kubikwurzel aus 125 , weil ist; 6 die vierte W. oder Biquadratwurzel aus 1296 , weil ist; 2 die fünfte W. aus 32 , weil ist, etc. Das Wurzelzeichen , bei längern Zahlen oben noch durch einen Horizontalstrich verlängert, ist aus dem Anfangsbuchstaben r des lateinischen Wortes radix = W. entstanden; die Wurzelexponenten, mit Ausnahme der 2, werden demselben in der angegebenen Weise beigeschrieben. Das Ausziehen der W. aus einer gegebenen Zahl, d. h. die Berechnung der W. (das Radizieren), erfolgt am raschesten mittels Logarithmen (s. Logarithmus), und bei Wurzeln höhern Grades wendet man fast immer dieses Hilfsmittel an. Nachstehend soll daher nur das Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Logarithmen erklärt werden.

Um die Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl, z. B. , zu ziehen, teile man

1) dieselbe von rechts nach links durch Vertikalstriche in Klassen von je 2 Ziffern: ; nur die höchste Klasse (links) erhält bei ungerader Zifferzahl bloß eine einzige Ziffer.

2) Unter den Quadratzahlen


suche man die größte, die sich von der höchsten Klasse subtrahieren läßt ; ihre Quadratwurzel ist die erste Ziffer des Resultats. Das Quadrat selbst subtrahiere man von .

3) An den Rest hänge man die Ziffern der nächsten Klasse und schreibe daneben als Divisor das Doppelte des bisher erhaltenen Resultats .

4) Man führe die Division aus, lasse aber dabei die letzte Ziffer des Dividenden unbeachtet.

5) Der Quotient ist die zweite Ziffer des Resultats und wird einesteils der ersten Ziffer , andernteils dem Divisor angehängt (vgl. die beistehende Rechnung A), worauf man von abzieht und den Rest erhält. Bei der Division muß man den Quotienten immer so wählen, daß diese Subtraktion möglich ist; man darf also in dem gegebenen Fall nicht setzen, weil sich nicht von subtrahieren läßt.

A.

6) An den bei der Subtraktion erhaltenen Rest hängt man die Ziffern der nächsten Klasse und dividiert mit dem Doppelten des Resultats , also mit , in , indem man die letzte Ziffer von vorläufig unbeachtet läßt. Der Quotient ist die nächste Ziffer des Resultats, wird aber auch an den Divisor angehängt, worauf man von subtrahiert und den Rest erhält. Mit diesem Rest und dem Resultat wiederholt man nun dasselbe Verfahren, d. h. die Operationen 3) bis 5), wodurch man noch die Ziffer des Resultats erhält, wobei die Rechnung aufgeht. Es ist also die gesuchte W. (Vgl. A, wo die an die Divisoren angehängten Quotienten durch kleinere Schrift ausgezeichnet sind.) Es gründet sich das hier erläuterte Verfahren auf die Formel ; ist der bereits bekannte Teil der Quadratwurzel, der durch Division mit in den Rest zu findende Teil.

7) Wenn bei wiederholter Ausführung der Operationen 3) bis 6) alle Klassen heruntergenommen sind, ohne daß die Rechnung aufgeht, so läßt sich die Quadratwurzel nicht genau angeben (sie ist irrational). Man kann aber durch Wiederholung der genannten Operationen, indem man statt der „2 Ziffern der nächsten Klasse“ je 2 Nullen an den Rest anhängt, beliebig viele Dezimalstellen der W. ausrechnen (vgl. die Rechnung B).

B.
C.

8) Kommt bei einer Division der Quotient Null heraus, so hänge man denselben an das Resultat und den Quotienten, nehme sodann die nächste Klasse herunter und dividiere weiter. (Vgl. die Rechnung C, wo den Quotienten gibt, worauf man erhält.)

9) Geht die Subtraktion auf, und bleiben noch eine oder mehrere Klassen übrig, die lauter Nullen enthalten, wie in C, so hängt man an das bis dahin erhaltene Resultat so viel Nullen, als noch Klassen da sind. In C ergibt sich also als W.

10) Soll man die Quadratwurzel aus einer Zahl ziehen, die mit einem Dezimalbruch behaftet ist, so beginnt man die Abteilung in Klassen von je 2 Ziffern vom Dezimalkomma aus, in den Ganzen nach links, in den Dezimalen nach rechts gehend; dabei kann man der letzten Klasse (rechts) in den Dezimalen, wenn sie nur eine einzige Ziffer enthält, eine Null anhängen. [789] Die Rechnung bleibt die oben beschriebene, nur muß im Resultat ein Komma gesetzt werden, sobald Dezimalstellen heruntergenommen werden, z. B. ; vgl. A.

11) Enthält der Radikand auf der linken Seite eine oder mehrere Klassen mit lauter Nullen, so hat die W. links ebenso viele Nullen, als die Zahl jener Klassen beträgt; z. B. , .

12) Hat man die Quadratwurzel aus einem gemeinen Bruch zu ziehen, so kann man denselben in einen Dezimalbruch verwandeln und dann die W. ausziehen, oder man zieht letztere aus Zähler und Nenner und dividiert dann. Im letztern Fall multipliziert man vor dem Radizieren Zähler und Nenner mit einer passenden Zahl, so daß der Nenner ein Quadrat wird; z. B.

Zum Ausziehen der Kubikwurzel braucht man die Kuben (s. Kubus) der einstelligen Zahlen:

Zahl: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kubus: 1 8 27 64 125 216 343 512 729.

Soll man z. B. aus die Kubikwurzel ziehen, so teile man

1) diese Zahl durch Vertikalstriche von rechts nach links in Klassen von je 3 Ziffern: ; die höchste Klasse (links) kann auch eine oder zwei Ziffern enthalten.

2) Man suche den höchsten Kubus , der sich von der höchsten Klasse subtrahieren läßt, führe die Subtraktion aus und notiere die Kubikwurzel als erste Ziffer des Resultats (s. die folgende Rechnung).

3) An den Rest hänge man die 3 Ziffern der nächsten Klasse und setze neben die gewonnene Zahl das dreifache Quadrat des bisherigen Resultats, , als Divisor.

4) Man dividiere, lasse aber die 2 letzten Ziffern des Dividenden außer acht; der Quotient ist die zweite Ziffer des Resultats.

5) Man mache jetzt die erste Nebenrechnung: Zunächst gebe man sich das Produkt des Divisors und des erhaltenen Quotienten an, , sodann das dreifache Produkt der ersten Zahl und des Quadrats der zweiten: , endlich den Kubus der zweiten Zahl . Diese 3 Zahlen setze man untereinander, aber jede um eine Stelle weiter nach rechts gerückt als die vorhergehende, und addiere; die Summe ziehe man in der Hauptrechnung von ab.

6) An den Rest hänge man die Ziffern der nächsten Klasse , und nun verfahre man mit der Zahl und dem bisherigen Resultat genau so wie vorher mit der Zahl und dem Resultat , d. h. man dividiere mit in , schreibe den Quotienten an das Resultat als dritte Ziffer und stelle in der zweiten Nebenrechnung die Produkte , und schräg untereinander, ziehe endlich die Summe in der Hauptrechnung ab, wobei letztere aufgeht. Es ist also die gesuchte W.

Hauptrechnung

Erste Nebenrechnung

Zweite Nebenrechnung

7) Wäre die Subtraktion nicht aufgegangen, so würde man an den Rest die Ziffern der nächsten Klasse anhängen und nun mit gerade so operieren wie vorher mit u. s. f. Es gründet sich das Verfahren auf die Formel , wobei unter der bereits bekannte Teil der W. verstanden ist.

8) Geht die Subtraktion auf, und sind noch Klassen mit lauter Nullen vorhanden, so hängt man dem gewonnenen Resultat so viel Nullen an, als die Anzahl dieser Klassen beträgt.

9) Ist die Zahl, aus der man die W. ziehen soll, mit einem Dezimalbruch behaftet, so wird die Klasseneinteilung vom Dezimalkomma aus nach links und rechts ausgeführt, wobei man die äußerste Klasse (rechts), wenn nötig, durch Anhängen von Nullen auf 3 Ziffern bringt. Bei der Rechnung setzt man im Resultat das Dezimalkomma, sobald man die erste Dezimalklasse herabgenommen hat.

10) Geht eine Rechnung nicht auf, so kann man beliebig vielmal je drei Nullen herabnehmen und so immer neue Dezimalstellen der W. berechnen.