Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Erstes Buch

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Vorwort Coppernicus Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879)
von Nicolaus Copernicus
Zweites Buch Teil A


[9]
Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen.
Erstes Buch.

[1] Unter den vielen verschiedenen Studien der Wissenschaften und Künste, durch welche sich der Menschengeist entwickelt, halte ich diejenigen vorzüglich für werth, ergriffen und mit dem höchsten Eifer betrieben zu werden, welche sich mit den schönsten und wissenswürdigsten Gegenständen beschäftigen. Diese sind nun diejenigen, welche von den himmlischen Kreisbewegungen der Welt, dem Laufe der Gestirne, den Grössen und Entfernungen, dem Auf- und Untergange und den Ursachen der übrigen Himmelserscheinungen handeln, und endlich die gesammte Form entwickeln. Was aber ist schöner, als der Himmel, welcher ja alles Schöne enthält? Die lateinischen Namen selbst, — caelum der Himmel und mundus die Welt, — deuten dies schon an, dieser durch die Bezeichnung der Reinheit und des Schmuckes, jener durch die Bedeutung des kunstreich Gestalteten. Wegen seiner sichtlichen, übergrossen Herrlichkeit nannten ihn die meisten Philosophen: Gott. Deswegen, wenn die Würde der Wissenschaften nach dem Gegenstande abgeschätzt werden soll, den sie behandeln, wird diejenige bei Weitem die Höchste sein, welche Einige Astronomie, Andere Astrologie, viele der Alten aber die Vollendung der Mathematik nennen. In der That wird die dem freien Manne würdigste, als das Haupt der freien Künste, fast von allen Zweigen der Mathematik getragen. Arithmetik, Geometrie, Optik, Geodäsie, Mechanik und wenn es sonst noch Andere giebt, alle beziehen sich auf jene. Wenn es aber die Aufgabe aller Wissenschaften ist, den Menschengeist der Sünde zu entziehen und auf das Bessere zu lenken, so kann sie dies, neben einer unglaublichen Beseligung des Geistes, im Uebermasse bewirken. Denn wer würde nicht beim Erforschen dessen, was er in der besten Ordnung gegründet, von der göttlichen Vorsehung gelenkt erkennt, durch fleissige Betrachtung desselben und durch eine gewisse Vertrautheit damit, zu dem Besten angeregt, und den Urheber des All’s bewundern, worin alles Glück und alles Gute besteht? Vergebens würde jener göttliche Sänger von sich sagen, dass er sich an der Schöpfung Gottes erfreue, und bei den Werken seiner Hände jauchzen möchte, wenn wir nicht durch diese Mittel, gleichsam wie auf einem Gefährt, zu der Anschauung des höchsten Gottes geführt würden. Welchen Nutzen und welche Zierde [10] sie dem Staate, — um die unzähligen Vortheile des Privatmannes zu übergehen, — verleiht, hat Plato sehr gut nachgewiesen, der sie im siebenten Buche der Gesetze hauptsächlich deswegen für erstrebenswerth erachtet, weil die durch sie nach dem Massstabe der Tage in Monate und Jahre eingetheilte Zeit den Staat in Bezug auf die Feste und Opfer lebendig und wachsam macht; und er sagt, dass, wenn Jemand behauptete, dass für Einen, der irgend welche der höchsten Wissenschaften erfassen will, diese nicht nöthig sei, dieser sehr thöricht denken würde. Er ist der Ansicht, es sei weit gefehlt, dass Jemand als gross aufgestellt und bezeichnet werden könnte, der weder von der Sonne, noch von dem Monde, noch von den übrigen Gestirnen die nothwendige Kenntniss besitze. Diese mehr göttliche als menschliche Wissenschaft, welche die höchsten Dinge erforscht, entbehrt aber auch nicht der Schwierigkeiten, zumal wir sehen, dass die Meisten, welche es unternommen haben, sich damit zu beschäftigen, über ihre Grundlagen und Annahmen, welche die Griechen Hypothesen nennen, uneinig gewesen sind und daher sich nicht auf dieselben Berechnungen gestützt haben. Ferner weil der Lauf der Fixsterne und die Kreisbewegung der Planeten nur erst mit der Zeit und nach vielen vorangegangenen Beobachtungen, aus welchen sie, so zu sagen, von Hand zu Hand der Nachwelt überliefert wurden, durch zuverlässige Zahlen bestimmt und zu einer vollkommenen Wissenschaft gestaltet werden können. Denn obgleich Cl. Ptolemäus von Alexandrien, welcher an bewunderungswürdiger Geschicklichkeit und Umsicht die Uebrigen weit überragt, mit Hülfe der Beobachtungen von vierhundert und mehr Jahren diese Wissenschaft fast zur höchsten Vollendung gebracht hat, so dass es bereits den Anschein hatte, als gäbe es nichts, was er nicht berührt hätte: so sehen wir doch, dass das Meiste mit dem nicht übereinstimmt, was aus seiner Ueberlieferung folgen sollte, weil noch einige andere Bewegungen aufgefunden sind, welche ihm noch unbekannt waren. Deshalb sagt auch Plutarch da, wo er vom Sonnenjahre handelt: „bis jetzt übersteigt die Bewegung der Gestirne die Einsicht der Mathematiker.“ Um nämlich bei dem Beispiele von dem Jahre stehen zu bleiben, so halte ich es für bekannt, wie verschieden die Meinungen darüber immer gewesen sind, und zwar bis zu dem Grade, dass Viele daran verzweifelten, eine zuverlässige Berechnung desselben finden zu können. Damit es aber nicht so scheine, als wollte ich meine Schwachheit unter dem Vorwande dieser Schwierigkeit verbergen, so werde ich mit Hülfe Gottes, ohne den wir nichts vermögen, an den andern Planeten dieses weitläufiger zu prüfen versuchen, indem wir desto mehr Hülfsmittel besitzen, unsere Theorie zu unterstützen, um einen je grösseren Zeitraum die Gründer dieser Wissenschaft uns vorangegangen sind, mit deren Beobachtungen wir das vergleichen können, was auch wir von Neuem beobachtet haben. Uebrigens gestehe ich, dass ich Vieles anders, als meine Vorgänger darstellen werde, wenngleich auf Grund ihrer eigenen Dienste, da sie ja den ersten Zugang zu der Untersuchung dieser Gegenstände eröffnet haben.

[11]
Capitel 1.
Dass die Welt kugelförmig sei.[2]

Zuerst müssen wir bemerken, dass die Welt kugelförmig ist, theils weil diese Form, als die vollendete, keiner Fuge bedürftige Ganzheit, die vollkommenste von allen ist, theils weil sie die geräumigste Form bildet, welche am meisten dazu geeignet ist, Alles zu enthalten und zu bewahren; oder auch weil alle in sich abgeschlossene Theile der Welt, ich meine die Sonne, den Mond und die Planeten, in dieser Form erscheinen; oder weil Alles dahin strebt, sich in dieser Form zu begrenzen, was an den Tropfen des Wassers und an den übrigen flüssigen Körpern zur Erscheinung kommt, wenn sie sich aus sich selbst zu begrenzen streben. So dass Niemand bezweifeln wird, dass diese Form den himmlischen Körpern[WS 1] zukommt.

Capitel 2.
Dass die Erde gleichfalls kugelförmig sei.[3]

Dass die Erde gleichfalls kugelförmig sei, ist deshalb ausser Zweifel, weil sie sich von allen Seiten auf ihren Mittelpunkt stützt. Obgleich ein vollkommener Kreis bei der grossen Erhebung der Berge und der Vertiefung der Thäler nicht sogleich wahrgenommen wird, so beeinträchtigt dies doch die allgemeine Rundung der Erde keineswegs. Dies wird auf folgende Weise klar. Für Diejenigen, welche irgend woher nach Norden gehen, erhebt sich der Nordpol der täglichen Kreisbewegung allmälig, während der andere um ebensoviel sinkt. Die meisten Sterne in der Gegend des grossen Bären scheinen nicht unterzugehen, und im Süden Einige nicht mehr aufzugehn. So sieht Italien den Canopus nicht, der den Aegyptern sichtbar ist. Und Italien sieht den äussersten Stern des Flusses, welchen unsre Gegend einer kältern Zone nicht kennt. Dagegen erheben sich für Diejenigen, welche nach Süden reisen, jene, während diejenigen untergehen, welche für uns hoch stehen. Nun haben auch die Neigungen der Pole selbst zu den durchmessenen Räumen der Erde immer dasselbe Verhältniss, was bei keiner andern, als bei der Kugelgestalt, zutrifft. Daher ist offenbar, dass auch die Erde zwischen den Polen eingeschlossen und deswegen kugelförmig ist. Nehmen wir noch hinzu, dass die Bewohner des Ostens die am Abend, und die nach Westen Wohnenden die am Morgen eintretenden Sonnen- und Mond-Finsternisse nicht wahrnehmen, die dazwischen Wohnenden aber jene später, diese dagegen früher sehen. Dass auch das Wasser derselben Form unterworfen ist, wird auf den Schiffen wahrgenommen, indem das Land, was man vom Schiffe aus nicht sehen kann, von der Spitze des Mastbaums erspäht wird, und umgekehrt, wenn eine Leuchte an der Spitze des Mastbaums angebracht wird: so scheint dieselbe, wenn das Schiff sich vom Lande entfernt, den am Gestade Zurückbleibenden allmälig hinabzusteigen, bis sie zuletzt, gleichsam untergehend, verschwindet. Es ist klar, dass auch das [12] Wasser seiner flüssigen Natur nach, ebenso wie die Erde, immer nach unten strebt, und sich vom Ufer ab nicht höher erhebt, als dies seine Convexität zulässt. Daher ragt das Land überall um so viel aus dem Ocean hervor, als das Land zufällig höher ist.

Capitel 3.
Wie das Land mit dem Wasser eine Kugel ausmacht.

Indem der das Land umgebende Ocean seine Gewässer nach allen Seiten verbreitet, füllt er die eingesenkten Vertiefungen desselben aus. Daher war es nöthig, dass es weniger Wasser gäbe, als Land, damit das Wasser nicht den ganzen Erdkreis verschlänge, indem Beide vermöge ihrer Schwere nach einem und demselben Mittelpunkte streben; sondern dass es einige Erdtheile und so viele nach allen Seiten freiliegende Inseln, den lebendigen Wesen zum Heile, übrig lasse. Denn selbst das Festland und der Erdkreis, was sind sie Anders, als eine Insel, grösser, als die übrigen? Und man darf nicht auf gewisse Peripatetiker hören, welche behauptet haben, das gesammte Wasser sei zehnmal so viel, als das ganze Land, weil nämlich bei der Verwandlung der Elemente aus einem Theile Erde zehn Theile Wasser in flüssigem Zustande entständen; und welche, unter Annahme dieser Voraussetzung, sagen, das Land rage deswegen hervor, weil es wegen seiner Höhlungen in Hinsicht der Schwere nicht nach allen Seiten im Gleichgewichte stehe, und der Mittelpunkt der Schwere daher ein anderer sei, als der Mittelpunkt des Umfanges. Sie täuschten sich aber aus Unkenntniss der Geometrie, indem sie nicht wussten, dass das Wasser nicht einmal siebenmal so viel betragen darf, wenn noch irgend ein Theil des Landes trocken gelegt werden soll, ohne dass das ganze Land den Mittelpunkt der Schwere räumt und dem Wasser überlässt, als ob dieses schwerer wäre, als jenes. Es stehen nämlich die Kugeln zu einander im cubischen Verhältnisse ihrer Durchmesser: wenn daher, bei sieben Theilen Wasser, der achte Theil Land wäre, so könnte der Durchmesser des letzteren nicht grösser sein, als der Halbmesser der Wasserkugel; um so weniger ist es möglich, dass das Wasser gar zehnmal so viel sein sollte.[4] Dass auch kein Unterschied zwischen dem Mittelpunkte der Schwere der Erde und dem Mittelpunkte ihres Umfanges besteht, kann daraus erkannt werden, dass die aus dem Ocean hervorgetretene Erhebung des Landes nicht zu einer zusammenhängenden Beule angeschwollen ist; sonst würde sie das Wasser des Meeres aufs Aeusserste von sich ausschliessen, und durchaus nicht gestatten, dass Binnenmeere und grosse Busen sie unterbrächen. Ferner würde die Tiefe des Grundes von der Meeresküste an immer grösser werden, und deshalb würde Denen, welche grössere Seefahrten ausführten, weder eine Insel, noch eine Klippe, noch irgend etwas Landartiges aufstossen. Nun ist aber bekannt, dass zwischen dem ägyptischen Meere und dem arabischen Meerbusen fast in der Mitte der Ländermasse kaum fünfzehn Stadien breites Land hervorragt; dagegen dehnt [13] Ptolemäus in seiner Kosmographie das bewohnte Land bis zum mittleren Längenkreise[5] aus, wobei noch überdies das unbekannte Land ausser Acht gelassen ist, wo die Neueren Cathagya[6] und sehr ausgedehnte Gegenden bis zu sechzig Längengraden hinzugefügt haben; so dass die Erde schon in einer grösseren Länge bewohnt ist, als das Uebrige des Oceans ausmacht. Das wird noch klarer werden, wenn diejenigen Inseln hinzugenommen werden, welche in unsrer Zeit unter den Herrschern Spaniens und Portugals entdeckt sind, und vorzüglich Amerika, welches nach seinem Entdecker, einem Schiffskapitän, benannt ist, und welches man, bei seiner noch nicht feststehenden Grösse für ein zweites Festland hält, ausser den vielen früher unbekannten Inseln; so dass wir uns nicht wundern dürfen, dass es Antipoden oder Antichthonen giebt. Denn nach geometrischer Berechnung muss man Amerika seiner Lage nach dem Indien des Ganges diametral entgegengesetzt annehmen. Nach allem Diesen halte ich es endlich für ausgemacht, dass das Land zugleich mit dem Wasser sich auf einem einzigen Mittelpunkt bezieht, dass es keinen andern Mittelpunkt des Umfanges des Landes giebt, dass die zerrissenen Theile des Landes, obgleich Letzteres schwerer ist, mit Wasser ausgefüllt sind, und dass also das Wasser im Vergleich zu dem Lande gering ist, wenngleich an der Oberfläche vielleicht mehr Wasser erscheint. Dass das Land mit dem es umfliessenden Wasser eine solche Gestalt habe, wie der Schatten der Erde zeigt, ist durchaus nothwendig, dieser aber verfinstert den Mond in Theilen eines vollkommenen Kreises. Die Erde ist daher weder eben, wie Empedokles und Anaximenes gemeint haben, noch paukenförmig, wie Leucipp, noch beckenförmig, wie Heraklid, noch auf eine andere Weise ausgehöhlt, wie Demokrit, noch walzenförmig, wie Anaximander, noch am untern Ende mit abnehmender Dicke nach der Tiefe hin unbegrenzt, wie Xenophanes: — sondern von vollkommener Rundung, wie die Philosophen dafür halten.

Capitel 4.
Dass die Bewegung der Himmelskörper gleichmässig, kreisförmig, ununterbrochen, oder aus kreisförmigen zusammengesetzt sei.

Hiernach bemerken wir, dass die Bewegung der Himmelskörper kreisförmig ist. Die Beweglichkeit einer Kugel besteht nämlich darin, sich im Kreise zu bewegen, indem sie durch diese Thätigkeit ihre Form, als diejenige des einfachsten Körpers, ausdrückt, an welchem weder ein Anfang noch ein Ende zu finden, noch eines von dem andern zu unterscheiden ist, während sie durch dieselben Zwischenpunkte in ihre ursprüngliche Lage gelangt. Wegen der Vielheit der Kreise giebt es aber mehrere Bewegungen. Die bekannteste von Allen ist die tägliche Kreisbewegung, welche die Griechen Nychthemeron nennen, d. h. der Zeitraum von Tag und Nacht. Durch diese, meint man[7], bewege sich die ganze Welt, mit Ausnahme der Erde, von Osten nach Westen. Sie wird als gemeinschaftliches Maass für alle [14] Bewegungen erkannt, da die Zeit selbst hauptsächlich nach der Anzahl der Tage gemessen wird. Ferner sehen wir andere, gleichsam rückläufige Kreisbewegungen, d. h. von Westen nach Osten, vor sich gehen: nämlich diejenige der Sonne, des Mondes und der fünf Planeten. So misst uns die Sonne das Jahr, der Mond die Monate, als die gewöhnlichsten Zeitabschnitte, zu; so vollendet jeder der andern fünf Planeten seinen Umlauf. — Sie unterscheiden sich jedoch in mehrfacher Weise: erstens darin, dass sie sich nicht um dieselben Pole, um welche jene erste Bewegung vor sich geht, drehen, indem sie in der schiefen Lage des Thierkreises fortschreiten; zweitens darin, dass sie in ihrem eigenen Umlaufe sich nicht gleichmässig zu bewegen scheinen, denn Sonne und Mond werden bald in langsamerem, bald in schnellerem Laufe begriffen angetroffen; die übrigen fünf Planeten sehen wir aber auch zuweilen zurückgehen und bei dem Uebergange stillstehen, und, während die Sonne immer in ihrem directen Wege fortrückt, irren jene auf verschiedene Weisen ab, indem sie bald nach Süden, bald nach Norden schweifen, weshalb sie eben Planeten heissen. Hierzu kommt noch, dass sie zuweilen der Erde näher kommen, wo sie perigeisch, dann wieder sich mehr von ihr entfernen, wo sie apogeisch genannt werden. Nichtsdestoweniger muss zugegeben werden, dass die Bewegungen kreisförmig, oder aus mehreren Kreisen zusammengesetzt sind, wodurch derartige Ungleichheiten sich nach einem zuverlässigen Gesetze und einer feststehenden Periode richten, was nicht geschehen könnte, wenn sie nicht kreisförmig wären. Denn der Kreis kann allein das Vergangene zurückführen, wie denn die Sonne, so zu sagen, uns durch ihre aus Kreisen zusammengesetzte Bewegung die Ungleichheit der Tage und Nächte und die vier Jahreszeiten zurückführt, woran mehrere Bewegungen erkannt werden, weil es nicht geschehen kann, dass die einfachen Himmelskörper sich in einem einzigen Kreise ungleichmässig bewegen; denn dies müsste geschehen, entweder wegen einer Unbeständigkeit in der Natur des Bewegenden, — möchte sie nun durch eine ihm äusserliche Ursache, oder durch sein inneres Wesen herbeigeführt sein —, oder wegen einer Ungleichheit des bewegten Körpers. Da aber der Verstand sich gegen Beides sträubt, und es unwürdig ist, so etwas bei Demjenigen anzunehmen, welches nach der besten Ordnung eingerichtet ist: so muss man zugeben, dass die gleichmässigen Bewegungen uns ungleichmässig erscheinen, entweder wegen der Verschiedenheit der Pole jener Kreise, oder weil die Erde nicht im Mittelpunkte der Kreise sich befindet, in welchen sich jene bewegen; und dass sie uns, die wir die Bewegungen der Gestirne von der Erde aus beobachten, wegen der ungleichen Entfernungen, in grösserer Nähe grösser vorkommen, als wenn sie in grösserem Abstande von uns vor sich gehen, — wie das in der Optik nachgewiesen wird —. Auf diese Weise erscheinen uns die Bewegungen, welche in gleichen Zeiten durch gleiche Bogen verlaufen, wegen der verschiedenen Entfernungen, ungleich. Deshalb halte ich es vor allen Dingen für nothwendig, dass wir sorgfältig untersuchen, welche Stellung die Erde zum Himmel hat, damit wir, während wir das Erhabenste [15] erforschen wollen, nicht das Nächste ausser Acht lassen, und irrthümlich das, was der Erde zukommt, den Himmelskörpern zuschreiben.

Capitel 5.
Ob der Erde eine kreisförmige Bewegung zukomme? und über ihren Ort.

Da schon nachgewiesen ist, dass die Erde die Gestalt einer Kugel hat, so halte ich dafür, dass untersucht werden muss, ob aus ihrer Form auch eine Bewegung folgt, und welchen Ort sie im Weltall einnimmt? — Ohne Dieses ist keine sichere Berechnung der am Himmel vor sich gehenden Erscheinungen zu finden. Der grösste Theil der Schriftsteller stimmt freilich darin überein, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhe, so dass sie es für unbegreiflich und sogar für lächerlich halten, das Gegentheil zu meinen. Wenn man jedoch die Sache sorgfältiger erwägt, so wird man einsehen, dass diese Frage noch nicht erledigt, und deshalb keinesweges gering zu achten ist. Jede Ortsveränderung, welche wahrgenommen wird, rührt nämlich von einer Bewegung entweder des beobachteten Gegenstandes, oder des Beobachters, oder von, natürlich verschiedenen, Bewegungen Beider her; denn wenn der beobachtete Gegenstand und der Beobachter sich in gleicher Weise und in gleicher Richtung bewegen: so wird keine Bewegung wahrgenommen. Nun ist es aber die Erde, von wo aus der Umlauf des Himmels beobachtet, und wo derselbe unsern Augen vorgeführt wird. Wenn daher der Erde irgend eine Bewegung zukäme, so würde diese an Allem, was sich ausserhalb jener befindet, zur Erscheinung kommen, aber in entgegengesetzter Richtung, gleichsam als ob Alles an der Erde vorüber zöge; und dieser Art ist denn vorzüglich die tägliche Kreisbewegung. Denn diese scheint die ganze Welt zu ergreifen und zwar Alles, was ausserhalb der Erde ist, mit alleiniger Ausnahme der Erde selbst. Wenn man aber zugäbe, dass dem Himmel nichts von dieser Bewegung eigen sei, sondern dass die Erde sich von Westen nach Osten drehe, und wenn man dies ernstlich in Bezug auf den erscheinenden Auf- und Untergang der Sonne, des Mondes und der Sterne erwöge: so würde man finden, dass es sich so verhält. Da der Himmel, der Alles enthält und birgt, der gemeinschaftliche Ort aller Dinge ist, so lässt sich nicht sogleich verstehen, warum nicht eher dem Enthaltenen als dem Enthaltenden, dem Gesetzten, als dem Setzenden, eine Bewegung zugeschrieben wird. Dieser Meinung waren wirklich die Pythagoräer Heraklid und Ekphantus[8] und der Syracusaner Nicetas bei Cicero[9], indem sie die Erde in der Mitte der Welt sich drehen liessen. Sie waren nämlich der Ansicht, dass die Gestirne durch das Dazwischentreten der Erde unter- und durch das Zurückweichen derselben aufgingen. Aus dieser Annahme folgt der andere, nicht geringere Zweifel über den Ort der Erde, obgleich fast von Allen angenommen und geglaubt worden ist, dass die Erde die Mitte der Welt einnehme. Wenn daher Jemand behauptete, dass die Erde sich [16] nicht in dem Mittelpunkte der Welt befinde, dass aber der Abstand zwischen Beiden zwar nicht gross genug sei, um an der Fixsternsphäre gemessen werden zu können, wohl aber an den Bahnen der Sonne und der Planeten merklich und erkennbar würde; und wenn er ferner der Ansicht wäre, dass die Bewegungen der Letzteren aus diesem Grunde unregelmässig erschienen, gleichsam als wenn dieselben in Bezug auf einen andern Mittelpunkt, als denjenigen der Erde, geregelt wären: — so könnte ein Solcher vielleicht den wahren Grund der ungleichmässig erscheinenden Bewegung angegeben haben. Denn da die Planeten der Erde bald näher bald entfernter erscheinen, so verräth dies nothwendig, dass der Mittelpunkt der Erde nicht der Mittelpunkt jener Kreisbahnen ist; weshalb auch nicht feststeht, ob die Erde ihre Entfernung von Jenen verkleinert oder vergrössert, oder Jene ihre Entfernung von der Erde. Es würde also nicht zum Verwundern sein, wenn Jemand ausser jener täglichen Umwälzung, der Erde noch eine andere Bewegung zuschriebe. Dass aber die Erde sich drehe, mit mehreren Bewegungen sich im Raume fortbewege und zu den Planeten gehöre, soll nun der Pythagoräer Philolaus[8], ein nicht gewöhnlicher Mathematiker, geglaubt haben, weshalb Plato nicht zögerte, nach Italien zu reisen, um ihn aufzusuchen, wie Diejenigen erzählen, welche Plato’s Leben beschrieben haben. Viele glaubten dagegen, es könne durch mathematische Berechnung erwiesen werden, dass sich die Erde in der Mitte der Welt befinde, und, da sie gegen die ungeheure Grösse des Himmels als Punkt gelten könne, den Ort des Mittelpunktes einnähme, und aus diesem Grunde unbeweglich sei; weil, wenn sich das Universum bewegte, der Mittelpunkt unbewegt bliebe, und dasjenige, was dem Mittelpunkte am nächsten wäre, sich am langsamsten bewegte.

Capitel 6.
Ueber die Unermesslichkeit des Himmels im Verhältnisse zu der Grösse der Erde.[10]
Dass die so grosse Masse der Erde, im Verhältnisse zu der Grösse des Himmels, nicht in Betracht kommt, kann daraus erkannt werden, dass die begrenzenden Kreise, — das bedeuten nämlich die Horizontes der Griechen, — die ganze Himmelskugel halbiren; was nicht geschehen könnte, wenn die Grösse der Erde, oder ihr Abstand vom Mittelpunkte der Welt, im Vergleich mit dem Himmel merklich wäre.
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Der eine Kugel halbirende Kreis geht nämlich durch den Mittelpunkt der Kugel, und ist der grösste von den umschriebenen Kreisen. Es sei ein begrenzender Kreis, die Erde aber, von welcher aus wir ihn sehen, sei : so ist eben dies der Mittelpunkt des Horizontes, durch welchen alles Erscheinende von dem Nichterscheindenden geschieden wird. Erblickt man nun durch ein, in aufgestelltes Diopter, oder Horoskop, oder durch

[17] eine Wasserwage, den Aufgang des Anfanges des Krebses im Punkte : so sieht man in demselben Augenblicke den Anfang des Steinbocks in untergehen. Da die Punkte , und in einer durch das Diopter gehenden graden Linie liegen: so ist klar, dass letztere der Durchmesser der Ekliptik ist; und da sechs Zeichen den Halbkreis bestimmen, so ist auch der Mittelpunkt des Horizontes. Wenn bei einer andern Umwälzung der Anfang des Steinbocks in aufgeht, so wird der Untergang des Krebses in gesehen werden, und wird eine grade Linie, und zwar der Durchmesser der Ekliptik sein. Es hat sich aber schon gezeigt, dass der Durchmesser desselben Kreises ist, folglich ist klar, dass der Mittelpunkt des Kreises in dem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte liegt. So halbirt also immer der Horizont die Ekliptik, welche ein grösster Kreis der Kugel ist. Da nun ein Kreis auf einer Kugel, wenn er durch den Mittelpunkt eines grössten Kreises geht, selbst ein grösster Kreis ist, so gehört der Horizont zu den grössten Kreisen, und sein Mittelpunkt ist zugleich derjenige der Ekliptik. Weil aber die Linie durch die Oberfläche der Erde nothwendig eine andere ist, als diejenige durch ihren Mittelpunkt, beide aber wegen der Unermesslichkeit im Verhältnisse zur Erde gewissermassen Parallelen ähnlich sind, welche, wegen des zu kleinen Abstandes an der Grenze, eine einzige Linie zu sein scheinen, — da der Zwischenraum, den sie einschliessen, im Verhältnisse zu ihrer Länge, in der Weise, wie dies in der Optik gezeigt wird, nicht wahrnehmbar ist: — so scheint dies ohne Zweifel hinreichend zu beweisen, dass der Himmel im Vergleiche mit der Erde unermesslich sei, und den Anschein einer unendlichen Grösse gewinnt, und dass die Erde zum Himmel, nach der Sinnenschätzung, wie ein Punkt zu einem Körper, und ein endlich Grosses zu einem unendlich Grossen sich verhält.[11] Weiter ist aber auch nichts bewiesen, und es folgt namentlich nicht daraus, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhen müsse. Vielmehr müsste es uns recht befremden, wenn die so unermesslich ausgedehnte Welt sich leichter in 24 Stunden im Raume bewegte, als ein sehr kleiner Theil derselben, welcher die Erde ist. Denn, dass man behauptet, der Mittelpunkt sei unbeweglich, und das dem Mittelpunkte Benachbarte bewege sich langsamer, beweist nicht, dass die Erde im Mittelpunkte der Welt ruhe; es ist nämlich nichts Anderes, als wenn man sagte, der Himmel bewege sich, aber die Pole ruhen, und das den Polen Benachbarte bewege sich sehr langsam; wie denn der Polarstern sich viel langsamer, als der Adler oder der Sirius zu bewegen scheint, weil ersterer, als dem Pole nahe stehend, einen kleineren Kreis beschreibt, indem alle einer Kugel angehören, deren Bewegung, nach ihrer Axe hin abnehmend, eine unter sich gleiche Bewegung aller ihrer Theile nicht zulässt, während die Bewegung des Ganzen sie alle in gleichen Zeiten, aber durch ungleiche Räume hindurch herumführt. Hierauf beruht also der Grund des Beweises, dass die Erde, indem sie einen Theil der Himmelskugel ausmacht und derselben Art und Bewegung theilhaftig ist, als dem Mittelpunkte benachbart sich wenig bewege. Da sie nun ein existirender [18] Körper und nicht selbst der Mittelpunkt ist: so würde sie sich selbst in derselben Zeit in den Himmelskreisen ähnlichen, wenn auch kleineren Kreisen bewegen. Wie falsch dies sei, ist klarer als das Licht, denn es müsste an einem und demselben Orte (der Erde) immer Mittag, an einem andern immer Mitternacht sein, so dass weder ein täglicher Aufgang, noch ein Untergang eintreten könnte, weil die Bewegung des Ganzen und des Theiles eine einzige untrennbare wäre. Es besteht aber ein sehr verschiedenes Verhältniss in Bezug auf das Ganze und dessen Theile, und dies löst die Schwierigkeit der Sache. Diejenigen nämlich, welche einen kleineren Kreis beschreiben, bewegen sich schneller, als diejenigen, welche einen grösseren Kreis durchlaufen. So vollendet der oberste der Planeten, der Saturn, seine Kreisbahn in dreissig Jahren, und der Mond, der ohne Zweifel der Erde am nächsten ist, in einem Monate, endlich wird man einräumen, dass die Erde in dem Zeiträume von einem Tage und einer Nacht sich um sich selbst drehe. Es kehrt also derselbe Zweifel über die tägliche Kreisbewegung hier wieder. Aber es handelt sich auch noch um den Ort der Erde, der aus dem Obigen noch nicht ganz gewiss folgt. Denn jener Beweis enthält nichts weiter, als dass die Grösse des Himmels im Verhältnisse zur Erde unendlich ist, aber bis wie weit sich diese Unermesslichkeit erstrecke, steht keinesweges fest. Ebenso wie sehr kleine und untheilbare Körperchen, sogenannte Atome, wenn sie zwei- oder einigemal genommen werden, wegen ihrer Unmerklichkeit, nicht sofort einen wahrnehmbaren Körper zusammensetzen; dennoch aber so oft multiplicirt werden können, dass sie endlich ausreichen, um zu einer wahrnehmbaren Grösse anzuwachsen: so verhält es sich auch mit dem Orte der Erde, — obgleich derselbe nicht in dem Mittelpunkte der Welt liegt, so ist dennoch diese Entfernung, namentlich im Vergleiche mit der Fixsternsphäre, noch nicht messbar.[12]

Capitel 7.
Warum die Alten geglaubt haben, die Erde ruhe in der Mitte der Welt, gleichsam als Mittelpunkt?[13]

Deshalb haben die alten Philosophen aus einigen anderen Gründen zu beweisen versucht, dass die Erde in der Mitte der Welt stehe. Als hauptsächlichste Ursache aber führen sie die Schwere und Leichtigkeit an. Das Element der Erde ist nämlich am schwersten, und alles Wägbare bewegt sich, seinem Streben gemäss, nach der innersten Mitte derselben hin. Da nun die Erde, nach welcher die schweren Gegenstände von allen Seiten her rechtwinklig auf die Oberfläche, vermöge ihrer eigenen Natur sich hinbewegen, kugelförmig ist: so würden sie, wenn sie nicht eben auf der Oberfläche zurückgehalten würden, in ihrem Mittelpunkte zusammentreffen; weil in der That eine grade Linie, welche gegen die Tangentialebene im Berührungspunkte senkrecht gerichtet ist, zum Mittelpunkte führt. Für diejenigen [19] Körper aber, welche sich nach der Mitte hin bewegen, scheint zu folgen, dass sie in der Mitte ruhen würden. Um so mehr wird also die ganze Erde in der Mitte ruhen, und, was sie auch alles für fallende Körper in sich aufnimmt, durch ihr Gewicht unbeweglich bleiben. Ebenso stützen sie sich auch bei ihren Beweisen auf den Grund der Bewegung und deren Natur. Aristoteles[14] sagt nämlich, dass die Bewegung eines einfachen Körpers einfach sei; von den einfachen Bewegungen sei aber die eine gradlinig, die andere kreisförmig; von der gradlinigen aber die eine aufwärts, die andere abwärts. Deshalb sei jede einfache Bewegung entweder nach der Mitte hin, nämlich abwärts, oder von der Mitte fort, nämlich aufwärts, oder um die Mitte herum, und diese wäre eben die kreisförmige. Nur der Erde und dem Wasser, welche für schwer gelten, kommt es zu, sich abwärts zu bewegen, d. h. nach der Mitte hin zu streben; der Luft aber und dem Feuer, welche mit Leichtigkeit begabt sind, aufwärts und von der Mitte fort sich zu bewegen. Es scheint klar, dass diesen vier Elementen die gradlinige Bewegung zugestanden werden muss; in Bezug auf die himmlischen Körper aber, dass sie sich um die Mitte im Kreise drehen. So Aristoteles. Wenn daher, sagt der Alexandriner Ptolemäus[13], die Erde sich drehete, wenigstens in täglicher Umdrehung: so müsste das Gegentheil von dem Obengesagten eintreten, es müsste nämlich die Bewegung, welche in vier und zwanzig Stunden den ganzen Umfang der Erde durchliefe, die heftigste und ihre Geschwindigkeit unübertreffbar sein. Was aber in jähe Drehung versetzt wird, scheint zu einer Zusammenhäufung durchaus nicht geeignet zu sein, vielmehr zerstreut zu werden, wenn nicht die zusammenhängenden Theile mit einiger Festigkeit zusammengehalten würden. Und schon lange, sagt er, würde die lose Erde über den Himmel selbst, — was sehr lächerlich ist, — hinausgelangt, und um so weniger würden die lebenden Wesen und sonstigen losgelösten Massen irgendwie unerschüttert geblieben sein. Aber auch die gradlinig fallenden Körper würden nicht in der Senkrechten an den ihnen bestimmten Ort gelangen, da derselbe inzwischen mit so grosser Gechwindigkeit darunter weggezogen wäre. Auch würden wir die Wolken und was sonst in der Luft schwebte, immer nach Westen hin sich bewegen sehen.

Capitel 8.
Widerlegung der angeführten Gründe und ihre Unzulänglichkeit.

Aus diesen und ähnlichen Gründen behauptet man, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhe, und dass es sich unzweifelhaft so verhalte. Aber wenn Einer glaubt, dass die Erde sich drehe, so wird er gewiss auch der Meinung sein, dass diese Bewegung eine natürliche und keine gewaltsame sei. Was aber der Natur gemäss ist, das bringt Wirkungen hervor, welche dem entgegengesetzt sind, was durch Gewalt geschieht. Dinge, auf welche Gewalt oder ein äusserer Anstoss ausgeübt wird, müssen zerstört werden, [20] und können nicht lange bestehen; was aber von Natur geschieht, verhält sich richtig und bleibt in seinem besten Zusammenhange. Ohne Grund also fürchtet Ptolemäus[13], dass die Erde und alle die in Umdrehung versetzten irdischen Gegenstände durch die Thätigkeit der Natur zerfahren würden, da diese Letztere eine ganz andere ist, als die der Kunst; oder als das, was vom menschlichen Geiste hervorgebracht werden könnte. Warum aber fürchtet er nicht Dasselbe, und zwar in noch viel höherem Masse von der Welt, deren Bewegung um so viel geschwinder sein müsste, um wie viel der Himmel grösser ist, als die Erde? Oder ist der Himmel deswegen unermesslich geworden, weil er durch die unaussprechliche Gewalt der Bewegung von der Mitte entfernt worden ist; während er sonst, wenn er stillstände, zusammenfallen würde? Gewiss würde, wenn dieser Grund stattfände, auch die Grösse des Himmels in’s Unendliche gehen. Denn je mehr er durch den äusseren Anstoss der Bewegung in die Höhe getrieben würde, um so geschwinder würde die Bewegung werden, wegen des immer wachsenden Kreises, den er in dem Zeitraume von 24 Stunden durchlaufen müsste; und umgekehrt, wenn die Bewegung wüchse, so wüchse auch die Unermesslichkeit des Himmels. So würde die Geschwindigkeit die Grösse und die Grösse die Geschwindigkeit in’s Unendliche steigern. Nach jenem physischen Grundsatze: dass das Unendliche weder durchlaufen werden,[15] noch sich aus irgend einem Grunde bewegen kann,[16] müsste jedoch der Himmel nothwendig stillstehen. Aber man[17] sagt, dass ausserhalb des Himmels kein Körper, kein Ort, kein leerer Raum, und überhaupt gar nichts existire, und deshalb nichts da sei, über welches der Himmel hinausgehen könnte; dann ist es doch recht wunderbar, dass etwas von nichts umschlossen werden kann. Wenn jedoch der Himmel unendlich, und nur an der inneren Höhlung begrenzt wäre, so bestätigt sich vielleicht um so mehr, dass ausserhalb des Himmels nichts ist, weil jedes Ding, welche Grösse es auch haben mag, innerhalb desselben ist, dann aber wird der Himmel unbeweglich bleiben. Das Vorzüglichste nämlich, worauf man sich beim Beweise von der Endlichkeit der Welt stützt, ist die Bewegung. Ob nun die Welt endlich oder unendlich sei, wollen wir dem Streite der Physiologen überlassen, sicher bleibt uns dies, dass die Erde, zwischen Polen eingeschlossen; von einer kugelförmigen Oberfläche begrenzt ist. Warum wollen wir also noch Anstand nehmen, ihr eine von Natur ihr zukommende, ihrer Form entsprechende Beweglichkeit zuzugestehen, eher als anzunehmen, dass die ganze Welt, deren Grenze nicht gekannt wird, und nicht gekannt werden kann, sich bewege? und warum wollen wir nicht bekennen, dass der Schein einer täglichen Umdrehung dem Himmel, die Wirklichkeit derselben aber der Erde angehöre? und dass es sich daher hiermit so verhalte, wie wenn Virgil’s Aeneas[18] sagt: „Wir laufen aus dem Hafen aus, und Länder und Städte weichen zurück.“ Weil, wenn ein Schiff ruhig dahinfährt, Alles, was ausserhalb desselben ist, von den Schiffern so gesehen wird, als ob es nach dem Vorbilde der Bewegung des Schiffes sich bewege, und die Schiffer umgekehrt der [21] Meinung sind, dass sie mit Allem, was sie bei sich haben, ruhen: so kann es sich ohne Zweifel mit der Bewegung der Erde ebenso verhalten, und scheinen, als ob die ganze Welt sich drehe. Was sollen wir nun über die Wolken und das übrige irgend wie in der Luft Schwebende, oder Fallende oder in die Höhe Steigende sagen? als, dass nicht nur die Erde sich mit dem ihr verbundenen, wässrigen Elemente so bewege, sondern auch ein nicht geringer Theil der Luft, und was sonst noch auf dieselbe Weise mit der Erde verknüpft ist; — sei es nun, dass die zunächst liegende Luft, mit erdiger und wässriger Materie vermischt, derselben Natur, wie die Erde, folgt, sei es, dass der Luft die Bewegung mitgetheilt worden ist, indem sie mittelst der Berührung mit der Erde, und vermöge des Widerstandes durch die fortwährende Umdrehung derselben theilhaftig wird. Man behauptet aber wiederum zu gleicher Verwunderung, dass die höchste Gegend der Luft der himmlischen Bewegung folge, was jene plötzlich erscheinenden Gestirne, welche von den Griechen Cometen oder Bartsterne genannt werden, verrathen sollen, für deren Entstehung man eben jene Gegend anweist, und welche gleich den anderen Gestirnen ebenfalls auf- und untergehen. Wir können sagen, dass jener Theil der Luft, wegen seiner grossen Entfernung von der Erde, von der irdischen Bewegung frei geblieben sei. Daher wird die Luft, welche der Erde am nächsten liegt, ruhig erscheinen, und ebenso die in ihr schwebenden Gegenstände, wenn sie nicht vom Winde oder von irgend einer andern, äusseren Kraft, wie es der Zufall mit sich bringt, hin und her getrieben werden; denn was ist der Wind in der Luft Anderes, als die Fluth im Meere? Wir müssen zugeben, dass die Bewegung der fallenden und steigenden Gegenstände in Beziehung zu dem Weltall eine gedoppelte, und stets aus gradlinigen und kreisförmigen Bewegungen zusammengesetzt sei. Da dasjenige, was durch sein Gewicht nach unten strebt, vorzüglich erdig ist, so leidet es keinen Zweifel, dass diese Theile derselben Natur folgen, wie ihr Ganzes; und aus keinem andern Grunde geschieht es, dass diejenigen Gegenstände, welche dem Feuer angehören, mit Gewalt in die Höhe gerissen werden. Das irdische Feuer wird nämlich hauptsächlich durch erdige Materie ernährt, und man sagt, die Flamme sei nichts Anderes, als brennender Rauch. Die Eigenschaft des Feuers besteht aber darin, das auszudehnen, was es ergriffen hat; und es führt dies mit solcher Gewalt aus, dass es auf keine Weise und durch keine Maschine daran gehindert werden kann, die Schranken zu durchbrechen, und sein Werk zu vollführen. Die ausdehnende Bewegung ist aber vom Mittelpunkte nach der Peripherie hin gerichtet; wenn daher etwas aus erdigen Theilen Bestehendes angezündet wird, so bewegt es sich von der Mitte nach oben. Daher kommt, wie man behauptet hat, dem einfachen Körper eine einfache Bewegung zu, und dies erweist sich vorzüglich an der Kreisbewegung, so lange der einfache Körper an seinem natürlichen Orte und in seiner Einheit verharrt. An diesem Orte ist nämlich die Bewegung keine andere, als die kreisförmige, welche ganz in sich bleibt, als ob der Körper ruhete. Die gradlinige Bewegung [22] ergreift aber diejenigen Körper, welche von ihrem natürlichen Orte weggegangen oder gestossen, oder auf irgend eine Weise ausserhalb desselben gerathen sind. Nichts widerstrebt der Ordnung und der Form der ganzen Welt so sehr, als das Ausserhalb-seines-Ortes-sein. Die gradlinige Bewegung tritt also nur ein, wenn die Dinge sich nicht richtig verhalten, und nicht vollkommen ihrer Natur gemäss sind, indem sie sich von ihrem Ganzen trennen und seine Einheit verlassen. Ausserdem führen diejenigen Körper, welche aufwärts oder abwärts, abgesehen von der Kreisbewegung, getrieben werden, keine einfache, gleichförmige und gleichmässige Bewegung aus; denn sie können sich nicht nach ihrer Leichtigkeit oder nach dem Drucke ihres Gewichtes richten; und wenn sie beim Fallen anfänglich eine langsamere Bewegung haben, so vermehren sie ihre Geschwindigkeit im Fallen: während wir dagegen das in die Höhe getriebene irdische Feuer, — und wir kennen kein anderes, — sogleich träge werden sehen, gleichsam als ob sich dadurch die Ursache der Kraft der erdigen Materie zeigte. Die kreisförmige Bewegung verläuft dagegen immer gleichmässig, weil sie eine nicht nachlassende Ursache hat. Jene aber nehmen in der fortschreitenden Bewegung ab, in welcher sie, wenn sie ihren Ort erreicht haben, aufhören, schwer oder leicht zu sein, und deshalb hört ihre Bewegung auf. Wenn also die Kreisbewegung dem Weltall zukäme, den Theilen aber auch die gradlinige: so könnten wir sagen, die Kreisbewegung bestehe mit der gradlinigen, wie das Thier mit der Krankheit. Dass nämlich Aristoteles[14] die einfache Bewegung in drei Arten, von der Mitte fort, nach der Mitte hin und um die Mitte herum eingetheilt hat, scheint bloss eine Verstandesthätigkeit zu sein, wie wir ja auch die Linie, den Punkt und die Oberfläche unterscheiden, während doch das Eine nicht ohne das Andere, und Keines von ihnen ohne den Körper bestehen kann. Es kommt nun noch hinzu, dass der Zustand der Unbeweglichkeit für edler und göttlicher gehalten wird, als der der Veränderung und Unbeständigkeit, welcher letztere deshalb eher der Erde, als der Welt zukommt; und ich füge noch hinzu, dass es widersinnig erscheint, dem Enthaltenden und Setzenden eine Bewegung zuzuschreiben, und nicht vielmehr dem Enthaltenen und Gesetzten, welches die Erde ist. Da endlich die Planeten offenbar der Erde bald näher bald ferner zu stehen kommen, so wird auch dann die Bewegung eines und desselben Körpers, welche um die Mitte, die der Mittelpunkt der Erde sein soll, stattfindet, auch von der Mitte fort und nach ihr hin gerichtet sein. Man muss also die Bewegung um die Mitte herum allgemeiner fassen, und es genügt, wenn jede einzelne Bewegung ihre eigene Mitte hat. Man sieht also, dass aus allem Diesen die Bewegung der Erde wahrscheinlicher ist, als ihre Ruhe, zumal in Bezug auf die tägliche Umdrehung, welche der Erde am eigenthümlichsten ist.

[23]
Capitel 9.
Ob der Erde mehrere Bewegungen beigelegt werden können? und vom Mittelpunkte der Welt.

Da also der Beweglichkeit der Erde nichts im Wege steht: so, glaube ich, muss nun untersucht werden, ob ihr auch mehrere Bewegungen zukommen, so dass sie für einen der Planeten gehalten werden könnte. Dass sie nämlich nicht der Mittelpunkt aller Kreisbewegungen ist, beweisen die scheinbar ungleichmässigen Bewegungen der Planeten, und ihre veränderlichen Abstände von der Erde, welche aus concentrischen Kreisen, mit der Erde im Mittelpunkte, nicht erklärt werden können. Da also mehrere Mittelpunkte existiren, so wird Niemand ohne Grund im Zweifel sein, ob der Mittelpunkt der Welt derjenige der irdischen Schwere, oder ein anderer sei. Ich bin wenigstens der Ansicht, dass die Schwere nichts Anderes ist, als ein von der göttlichen Vorsehung des Weltenmeisters den Theilen eingepflanztes, natürliches Streben, vermöge dessen sie dadurch, dass sie sich zur Form einer Kugel zusammenschliessen, ihre Einheit und Ganzheit bilden.[19] Und es ist anzunehmen, dass diese Neigung auch der Sonne, dem Monde und den übrigen Planeten innewohnt, und sie durch deren Wirkung in der Rundung, in welcher sie erscheinen, verharren; während sie nichtsdestoweniger in vielfacher Weise ihre Kreisläufe vollenden. Wenn also auch die Erde andere Bewegungen, als diejenige um ihren Mittelpunkt besitzt, so werden dieselben solche sein müssen, die nach aussen hin an Vielem in entsprechender Weise zur Erscheinung kommen, und unter diesen erkennen wir den jährlichen Umlauf. Da, wenn man die Unbeweglichkeit der Sonne zugegeben hat, und den jährlichen Umlauf von der Sonne auf die Erde überträgt, der Auf- und Untergang der Zeichen und Fixsterne, wodurch sie Morgen- und Abendsterne werden, sich in derselben Weise ergiebt: so wird es den Anschein gewinnen, dass auch die Stillstände und das Rück- und Vorwärtsgehen der Planeten nicht Bewegungen dieser, sondern der Erde sind, welche diese den Erscheinungen jener leiht. Endlich wird man sich überzeugen, dass die Sonne selbst die Mitte der Welt einnimmt. Und dies Alles lehrt uns das Gesetz der Reihenfolge, in welcher jene auf einander folgen, und die Harmonie der Welt, wenn wir selbst nur die Sache, wie man sagt, mit beiden Augen ansehen.

Capitel 10.
Ueber die Ordnung der Himmelskreise.

Dass die Fixsternsphäre das Höchste von allem Sichtbaren ist, sehe ich Niemanden bezweifeln. Die Reihenfolge der Planeten wollten die alten Philosophen nach ihren Umlaufszeiten bestimmen, indem sie als Grund dafür anführten, dass, wenn mehrere Körper mit gleicher Geschwindigkeit sich bewegen, diejenigen langsamer fortzurücken scheinen, welche weiter entfernt [24] sind, wie dies von Euklid in der Optik[20] bewiesen wird. Deshalb glauben sie, dass der Mond, weil er, als der Erde am nächsten stehend, sich in dem kleinsten Kreise bewegt, seinen Umlauf auch in der kürzesten Zeit vollendet; der Saturn aber, als der höchste, die grösste Bahn in der längsten Zeit durchläuft. Unter diesem steht der Jupiter, darauf folgt der Mars. Ueber Venus aber und Merkur finden sich verschiedene Meinungen, weil sie nicht, wie jene, sich durch alle Grade von der Sonne entfernen. Deshalb stellen Einige dieselben über die Sonne, wie Timäus bei Plato, Andere unter dieselbe, wie Ptolemäus[21] und ein guter Theil der Neueren[22]. Alpetragius[23] setzt die Venus über die Sonne, und den Merkur unter dieselbe. Da nun Diejenigen, welche dem Plato folgen, meinen, dass alle Planeten als sonst dunkle Körper, durch das von der Sonne empfangene Licht leuchten: so müssten jene, wenn sie sich unter der Sonne befänden, wegen ihres eben nicht grossen Abstandes von derselben, halb oder wenigstens nicht völlig rund gesehen werden; denn sie würden das empfangene Licht gewöhnlich seitlich, d. h. nach der Sonne hin, zeigen, wie wir dies beim zu- und abnehmenden Monde sehen. Auch sagen sie, die Sonne müsste durch ihr Dazwischentreten zuweilen verfinstert werden, und das Licht derselben nach Massgabe ihrer Grösse einen Verlust erleiden; da dies nun niemals bemerkt wird, so sind sie der Meinung, dass sie niemals unter der Sonne zu stehen kommen. Dagegen vertheidigen Diejenigen, welche Venus und Merkur unter die Sonne stellen, ihre Ansicht durch die Grösse des Raumes, den sie zwischen Sonne und Mond finden. Denn sie haben ermittelt, dass der grösste Abstand des Mondes von der Erde, also vier und sechzig und ein Sechstel solcher Theile, von denen einer vom Mittelpunkte der Erde bis zur Oberfläche reicht, — in der kleinsten Entfernung der Sonne fast achtzehnmal enthalten sei, und diese 1160 solcher Theile betrage, zwischen ihr und dem Monde also 1096. Damit nun ein so weiter Raum nicht leer bleibe, finden sie aus den Unterschieden der Abstände, aus denen sie die Grösse ihrer Bahnen berechnen, dass dieselben Grössen nahezu ausreichen, dass auf die grösste Entfernung des Mondes, die kleinste Merkurs, und auf dessen grösste Entfernung, die kleinste der Venus folge, welche dann endlich in ihrer grössten Entfernung die Sonne in ihrer kleinsten Entfernung gleichsam berührt. Sie glauben nämlich, dass die Merkursbahn 177 der obenbezeichneten Theile umfasse, und dass der übrige Raum von dem Durchmesser der Venusbahn mit 910 Theilen nahezu ausgefüllt werde. Sie geben daher auch nicht zu, dass sich an den Planeten irgend eine Dunkelheit, ähnlich derjenigen des Mondes, finde, sondern behaupten, dass sie entweder mit eigenem Lichte, oder mit ihrem ganzen Körper in Sonnenlicht getaucht, leuchten; und die Sonne deshalb nicht verfinstern, weil es höchst selten vorkomme, dass sie sich vor die Scheibe der Sonne stellen, indem sie meistentheils in der Breite abweichen; ausserdem weil sie im Vergleich zur Sonne kleine Körper sind, da die Venus, die noch grösser ist, als Merkur, kaum den hundertsten Theil der Sonne bedecken kann, wie Albategnius, der Aratenser[24] [25] behauptet, der den Durchmesser der Sonne für zehnmal grösser hält. Deshalb ist es nicht leicht, dass ein so kleiner Fleck in dem vorherrschenden Lichte gesehen werde, — obgleich Averroës[25] in der Ptolemäischen Paraphrase, sich erinnert etwas Schwärzliches gesehen zu haben[26], als er die Conjunction der Sonne und Merkur’s berechnet hatte; — und so entscheidet man sich dafür, dass diese beiden Planeten sich unterhalb des Sonnenzirkels bewegen. Aber wie ungewiss und unsicher dieser Schluss sei, erhellt daraus, dass, während nach Ptolemäus die kleinste Entfernung des Mondes 38, nach richtiger Schätzung aber mehr als 49 Erdradien beträgt[27], — wie unten klar werden wird, — wir doch nicht wissen, dass in einem so grossen Raume etwas Anderes enthalten sei, als Luft und, wenn man will, dasjenige, was man das feurige Element nennt. Ferner daraus, dass der Durchmesser der Venusbahn, nach dessen Grösse sie von der Sonne nach beiden Seiten um mehr oder weniger als 45 Grade abweicht, sechsmal so gross sein muss, als die Linie, welche vom Mittelpunkte der Erde nach dem untersten Punkte der Venusbahn gezogen werden kann, wie seines Ortes bewiesen werden wird. Was soll also in diesem ganzen Raume enthalten sein, der um so grösser ist, als er Erde, Luft, Aether, Mond und Merkur und was ausserdem noch der ungeheure Epicyclus der Venus ausmacht, wenn er um die ruhende Erde kreist, umfasst? — Wie wenig überzeugend die Begründung des Ptotemäus ist, nach welcher die Sonne die Mitte zwischen den überallhin und den nicht so von ihr abweichenden Planeten einnehmen soll, geht daraus hervor, dass der Mond, indem er selbst überallhin abweicht, ihre Unwahrheit verräth. — Was wollen aber Diejenigen, welche unter die Sonne die Venus und dann den Merkur setzen, oder dieselben nach einer andern Reihenfolge anordnen, für eine Ursache dafür anführen, dass diese nicht ebenso selbständige und von der Sonne unabhängige Bahnen durchlaufen, wie die übrigen Planeten, wenn das Verhältniss ihrer Geschwindigkeit und Langsamkeit ihre Reihenfolge nicht falsch darstellt? Also es würde entweder die Erde nicht in dem Mittelpunkte, auf welchen die Reihenfolge der Gestirne und Bahnen bezogen werden, stehen dürfen; oder es gäbe mindestens gar keinen Grund für ihre Reihenfolge, noch wäre es ersichtlich, warum dem Saturn mehr, als dem Jupiter oder irgend einem andern, die höchste Stelle gebührte. Deshalb scheint mir durchaus nicht unbeachtenswerth, was Martianus Capella, welcher eine Encyclopädie[28] geschrieben hat, und einige andere Lateiner sehr wohl wussten. Er glaubt nämlich[29], dass Venus und Merkur die Sonne als ihren Mittelpunkt umkreisen, und deswegen von ihr nicht weiter weggehen können, als es die Kreise ihrer Bahnen erlauben, weil sie die Erde nicht wie die andern umkreisen, sondern wechselnd-wiederkehrende Abstände haben. Was will dies Anderes bedeuten, als dass dieselben um die Sonne, als um den Mittelpunkt ihrer Bahnen, kreisen? So würde denn in der That die Bahn Merkur’s von derjenigen der Venus, welche mehr als doppelt so gross ist, umschlossen, und fände in der Ausdehnung dieser die ihr genügende Stelle. [26] Nimmt man hiervon Gelegenheit, und bezieht Saturn, Jupiter und Mars auf denselben Mittelpunkt, während man die grosse Ausdehnung ihrer Bahnen in’s Auge fasst, welche mit Jenen auch die darin liegende Erde enthält und umschliesst: so wird man die Erklärung der regelmässigen Ordnung ihrer Bewegungen nicht verfehlen. Denn es steht fest, dass jene der Erde immer dann am nächsten sind, wenn sie des Abends aufgehen, d. h. wenn sie in Opposition mit der Sonne treten, wo die Erde zwischen ihnen und der Sonne steht; dass sie aber von der Erde am entferntesten sind, wenn sie des Abends untergehen, d. h. wenn sie von der Sonne verdeckt werden, indem wir zwischen ihnen und der Erde die Sonne haben, was hinreichend beweist, dass ihr Mittelpunkt vielmehr der Sonne zugehöre, und derselbe sei, auf welchen auch Venus und Merkur ihre Bahnen beziehen. Da aber alle diese sich auf einen Mittelpunkt beziehen: so ist nothwendig, dass der kreis- oder kugelförmige Raum, welcher zwischen dem convexen Kreise der Venus und dem concaven des Mars übrig bleibt, und mit jenen an beiden Oberflächen concentrisch ist, unterbrochen wird, und die Erde mit dem sie begleitenden Monde, und Allem, was unter dem Monde sich befindet, aufnimmt. Denn wir können den Mond, der unstreitig der Erde am nächsten steht, in keiner Weise von ihr trennen, zumal da wir in jenem Räume für ihn eine überflüssig ausreichende Stelle finden. Daher scheuen wir uns nicht, zu behaupten, dass das Ganze, was der Mond einschliesst, mit dem Mittelpunkte der Erde, zwischen den Planeten jenen grossen Kreis in jährlicher Bewegung um die Sonne durchläuft, und sich um den Weltmittelpunkt bewegt, in welchem auch die Sonne unbeweglich ruht; und dass alle Dasjenige, was von einer Bewegung der Sonne erscheint, vielmehr in der Bewegung der Erde seine Wahrheit findet; — dass aber der Umfang der Welt so gross ist, dass jene Entfernung der Erde von der Sonne, während sie im Verhältnisse zu der Grösse der Bahnen der anderen Planeten eine merkliche Ausdehnung hat, gegen die Fixsternsphäre gehalten, verschwindet; was ich für leichter begreiflich halte, als wenn der Geist in eine fast endlose Menge von Kreisen zersplittert wird, was Diejenigen zu thun gezwungen gewesen sind, welche die Erde in der Mitte der Welt festgehalten haben. Man muss vielmehr der Weisheit der Natur nachgehen, welche, indem sie sich sehr gehütet hat, irgend etwas Ueberflüssiges oder Unnützes hervorzubringen, vielmehr oft einen und denselben Gegenstand mit vielen Wirkungen begabte. Wenn alle Dieses schwierig, fast unbegreiflich und gegen die Meinung Vieler sein sollte, so werden wir es, so Gott will, klarer als die Sonne machen, wenigstens Denen, die in der Mathematik nicht unwissend sind. Das erste Gesetz bleibt also unangefochten, und es wird Niemand ein zutreffenderes herbeibringen, dass nämlich die Grösse der Bahnen durch die Dauer der Umlaufszeit gemessen wird. Die Reihe der Sphären ordnet sich aber, von dem Höchsten anfangend, in folgender Weise.

Die erste und höchste von allen Sphären ist diejenige der Fixsterne, sich selbst und Alles enthaltend, und daher unbeweglich, als der Ort des [27] Universums, auf welchen die Bewegung und Stellung aller übrigen Gestirne bezogen wird. Während nämlich Einige meinen, dass auch diese sich einigermassen verändern, so werden wir bei der Ableitung der irdischen Bewegung eine andere Ursache für diese Erscheinung darlegen. Es folgt der erste Planet, Saturn, welcher in 30 Jahren seinen Umlauf vollendet; hierauf Jupiter mit einem zwölfjährigen Umlaufe; dann Mars, welcher in 2 Jahren seine Bahn durchläuft. Die vierte Stelle in der Reihe nimmt der jährliche Kreislauf ein, in welchem die Erde mit der Mondbahn, als Epicyclus, enthalten ist. In fünfter Stelle kreist Venus in neun Monaten. Die sechste

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Stelle nimmt Merkur ein, der in einem Zeitraume von achtzig Tagen seinen Umlauf vollendet. In der Mitte aber von Allen steht die Sonne. Denn wer möchte in diesem schönsten Tempel diese Leuchte an einen andern oder bessern Ort setzen, als von wo aus sie das Ganze zugleich erleuchten kann? Wenn anders nicht unpassend Einige sie die Leuchte der Welt, Andere die Seele, noch Andere den Regierer nennen. Trimegistus[30] nennt sie den sichtbaren Gott, Electra[31] des Sophocles den Alles Sehenden. So lenkt in der That die Sonne, auf dem königlichen Throne sitzend, die sie umkreisende [28] Familie der Gestirne. Auch wird die Erde nicht des Dienstes des Mondes beraubt, sondern, wie Aristoteles de animalibus[32] sagt, der Mond hat zur Erde die grösste Verwandtschaft. Indessen empfängt die Erde von der Sonne und wird schwanger mit jährlicher Geburt. Wir finden also in dieser Anordnung eine bewunderungswürdige Harmonie der Welt, und einen zuverlässigen, harmonischen Zusammenhang der Bewegung und Grösse der Bahnen, wie er anderweitig nicht gefunden werden kann. Denn hier kann der eingehende Beobachter bemerken, warum das Vor- und Zurückgehen beim Jupiter grösser erscheint, als beim Saturn, und kleiner, als beim Mars, und wiederum bei der Venus grösser, als beim Merkur; und warum ein solcher Rückgang beim Saturn häufiger erscheint, als beim Jupiter; seltener beim Mars, und bei der Venus, als beim Merkur. Ausserdem warum Saturn, Jupiter und Mars, wenn sie des Abends aufgehen, der Erde näher sind, als bei ihrem Verschwinden und Wieder-sichtbar-werden. Vorzüglich aber scheint Mars, wenn er des Nachts am Himmel steht, an Grösse dem Jupiter gleich zu sein, indem er sich nur durch die röthliche Farbe unterscheidet; bald darauf wird er unter den Sternen zweiter Grösse gefunden, erkannt durch sorgfältige Beobachtung am Sextanten. Und dieses Alles ergiebt sich aus derselben Ursache, welche in der Bewegung der Erde liegt. Dass aber an den Fixsternen nichts von derselben zur Erscheinung kommt, beweist ihre unermessliche Entfernung, welche selbst die Bahn der jährlichen Bewegung oder deren Abbild für unsere Augen verschwinden lässt, weil alles Sichtbare eine gewisse Entfernung als Grenze hat, über welche hinaus es nicht gesehen werden kann, wie das in der Optik bewiesen wird. Dass nämlich zwischen dem höchsten Planeten, dem Saturn, und der Fixsternsphäre noch sehr Vieles liegt, beweist der funkelnde Glanz der Letzteren, durch welche Eigenschaft sie sich von den Planeten am meisten unterscheiden; wie denn zwischen Bewegtem und Unbewegtem der grösste Unterschied bestehen muss. So gross ist in der That diese göttliche, beste und grösste Werkstatt.

Capitel 11.
Beweis von der dreifachen Bewegung der Erde.

Da also so viele und so gewichtige den Planeten entnommene Zeugnisse für die Beweglichkeit der Erde sprechen: so wollen wir nun eben diese Bewegung im Allgemeinen darlegen, insofern durch dieselbe, gleich wie an einer Hypothese, die Erscheinungen nachgewiesen werden. Man muss dieselbe überhaupt als eine dreifache annehmen: die erste, von der wir gesagt haben, dass sie von den Griechen Nychthemerinon genannt wird, ist der eigentliche Kreislauf von Tag und Nacht, der um die Erdaxe von Westen nach Osten ebenso vor sich geht, wie man bisher geglaubt hat, dass die Welt sich im entgegengesetzten Sinne bewege, und welcher Kreislauf den Nachtgleichenkreis (Aequator) beschreibt, den Einige den Taggleichenkreis nennen, indem [29] sie die Bezeichnung der Griechen nachahmen, bei denen er Isemerinos heisst. Die zweite ist die jährliche Bewegung des Mittelpunktes mit dem sich auf denselben Beziehenden, welche, wie gesagt, den Thierkreis um die Sonne ebenfalls von Westen nach Osten, d. h. rechtläufig, zwischen Venus und Mars durchläuft. Hierdurch geschieht es, dass, wie wir sagten, die Sonne selbst in ähnlicher Bewegung den Thierkreis zu durchlaufen scheint, wie wenn z. B. der Mittelpunkt der Erde durch Steinbock, Wassermann u. s. w. geht, die Sonne durch Krebs, Löwe u. s. w. zu gehen scheint. — Man muss sich vorstellen, dass der Aequator und die Axe der Erde gegen die Ebene des Kreises, welcher durch die Mitte der Zeichen geht,[33] eine veränderliche Neigung haben. Weil, wenn sie in unveränderlicher Neigung verharrten, und nur der Bewegung des Mittelpunktes einfach folgten, keine Ungleichheit der Tage und Nächte erscheinen würde, sondern immer entweder Solstitium, oder der kürzeste Tag, oder Nachtgleiche, entweder Sommer, oder Winter, oder was sonst für eine und dieselbe sich gleiche Jahreszeit stattfinden müsste. Es folgt also die dritte Bewegung der Declination[34], ebenfalls im jährlichen Kreislaufe, aber rückläufig, d. h. entgegengesetzt der Bewegung des Mittelpunktes. Und so kommt es durch beide, einander fast gleiche und entgegengesetzte Bewegungen, dass die Axe der Erde, und also auch der Aequator, als der grösste Parallelkreis, fast nach derselben Himmelsgegend gerichtet bleiben, gleich als ob sie unbeweglich wären, während die Sonne, wegen der Bewegung, mit welcher der Mittelpunkt der Erde fortrückt, durch die Schiefe des Thierkreises sich zu bewegen scheint; nicht anders, als ob eben dieser Mittelpunkt der Erde der Mittelpunkt der Welt wäre, wofern man sich nur erinnert, dass die Entfernung der Sonne von der Erde an der Fixsternsphäre unser Wahrnehmungsvermögen bereits überschritten hat. Da dies nun so beschaffen ist, dass es leichter mit den Augen aufgefasst, als gesagt werden kann: so beschreiben wir einen Kreis , welcher den jährlichen Umlauf des Mittelpunktes der Erde in der Ebene des Thierkreises vorstellt, und sei die um dessen Mittelpunkt herum befindliche Sonne. Diesen Kreis theile ich in vier gleiche Theile durch die Durchmesser und . Den Punkt nehme der Anfang des Krebses, der der Wage, der des Steinbocks und der des Widders ein. Nehmen wir nun den Mittelpunkt der Erde zuerst in an, und beschreiben um denselben den Erdäquator , aber nicht in derselben Ebene, nur dass der Durchmesser den gemeinschaftlichen Durchschnitt der Kreise, nämlich des Aequators und des Thierkreises darstellt. Nachdem wir den Durchmesser rechtwinklig gegen gezogen haben, sei der Punkt der grössten Declination nach Süden, dagegen der nach Norden. Stellt man sich dies so richtig vor: so sehen die Erdbewohner die um den Mittelpunkt herum befindliche Sonne im Steinbock ihre Winterwende machen, welche durch die nach der Sonne hin gewendete, grösste, nördliche Declination bewirkt wird; weil die tägliche Umdrehung, wegen der schrägen Lage des Aequators, dem von dem Neigungswinkel umfassten Abstände gemäss, an der

[30]
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Linie den parallelen südlichen Wendekreis einschneidet.[35] Nun rücke der Mittelpunkt der Erde rechtläufig, und um eben so viel der Punkt der grössten Declination rückläufig fort, bis beide in Kreisquadranten zurückgelegt haben: dann bleibt während dem der Winkel , wegen der Gleichmässigkeit der Kreisbewegungen, immer gleich , und der Durchmesser mit , und mit , und der Aequator mit dem Aequator parallel. Und zwar erscheinen sie wegen der schon oft angegebenen Ursache, bei der Unermesslichkeit des Himmels, als dieselben. Daher erscheint vom Anfange der Wage aus, im Widder, und fällt der gemeinschaftliche Durchschnitt der Kreise in die eine Linie , an welcher die tägliche Umdrehung keine Declination zulässt, sondern alle Declination liegt nach den Seiten hin. Deshalb wird die Sonne im Frühlingspunkte gesehen werden. Der Mittelpunkt der Erde möge unter den angenommenen Bedingungen fortfahren, sich zu bewegen; wenn nun in der Halbkreis zurückgelegt ist, so wird die Sonne in den Krebs einzutreten scheinen. Aber da , die südliche Abweichung des Aequators, der Sonne zugewendet ist: so bewirkt dies, dass die Sonne nördlich erscheint, indem sie den nördlichen Wendekreis, nach Massgabe des Neigungswinkels durchläuft. Wenn bis zum dritten Quadranten sich wieder abwendet: so fällt der gemeinschaftliche Durchschnitt von Neuem in die Linie ; weshalb die Sonne, in der Wage gesehen, das Herbstäquinoctium erreicht zu haben scheint. Und indem [31] bei demselben Fortrücken sich allmälig nach der Sonne hin wendet, so bewirkt dies, dass dasselbe wiederkehrt, von dem wir Anfangs ausgegangen sind. — In anderer Weise. — Es sei ebenso der Durchmesser

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in der Zeichenebene und der gemeinschaftliche Durchschnitt derselben mit dem senkrecht gegen diese Ebene construirten Kreise . In der ersteren Ebene möge in und , d. h. beziehlich in Krebs und Steinbock, der Meridian der Erde durch , und die Axe der Erde durch bezeichnet werden. Der nördliche Pol sei , der südliche , und der Durchmesser des Aequators sei . Wenn nun sich der Sonne, welche in stehen mag, zuwendet, und die Neigung des Aequators um den Winkel nördlich ist: so beschreibt die Bewegung um die Axe, in dem Abstande , den mit dem Aequator parallelen, von der Sonne beschienenen, südlichen Wendekreis des Steinbocks mit dem Durchmesser . Oder um richtiger zu sprechen. Jene Bewegung um die Axe beschreibt in der Richtung eine Kegeloberfläche, die ihren Gipfel im Mittelpunkte der Erde, ihre Basis aber parallel mit dem Aequator liegen hat. In dem entgegengesetzten Zeichen trifft Alles in gleicher Weise, nur umgekehrt, zu. Es ist also klar, wie die beiden, einander entgegengesetzten Bewegungen, nämlich die des Mittelpunktes und der Declination, die Axe der Erde zwingen, in derselben Neigung und in ganz ähnlicher Stellung zu verharren, und dass dies Alles so erscheint, als wären es Bewegungen der Sonne. Wir sagten aber, dass die jährlichen Umläufe des Mittelpunktes und der Declination fast gleich wären, weil, wenn dies genau der Fall wäre, die Aequinoctial- und Solstitialpunkte und die ganze Schiefe des Thierkreises gegen die Fixsternsphäre sich durchaus nicht ändern dürften. Da aber jene Differenz gering ist: so wird sie nur mit zunehmender Zeit merklich: von Ptolemäus nämlich bis auf uns sind jene Aequinoctial- und Solstitialpunkte ungefähr um 21 Grade zurückgerückt. Deshalb haben Einige geglaubt, dass die Fixsternsphäre sich ebenfalls bewege, so dass sie aus diesem Grunde eine neunte höhere Sphäre annahmen; und da diese noch nicht hinreicht, fügen jetzt die Neueren noch eine zehnte hinzu, und dennoch haben sie das Ziel noch nicht erreicht, welches wir durch die Bewegung der Erde zu erreichen hoffen, indem wir uns derselben bei der Entwicklung des Nachfolgenden als Prinzip und Voraussetzung bedienen.[36]

[32]
Capitel 12.
Ueber die graden Linien, welche Sehnen im Kreise sind.[37]

Weil die Entwicklungen, deren wir uns fast in dem ganzen Werke bedienen, mit graden Linien und Bogen, mit ebenen und sphärischen Dreiecken sich beschäftigen, und man, obgleich darüber schon Vieles in Euklid’s Elementen vorliegt, dennoch nicht Dasjenige besitzt, warum es sich hier hauptsächlich handelt: wie man nämlich aus den Winkeln die Seiten, und aus den Seiten die Winkel finden kann; indem der Winkel nicht die Sehne, und nicht diese, sondern der Bogen den Winkel misst; und deswegen eine Methode erfunden ist, durch welche man die Sehne eines beliebigen Bogens erkennen, und aus der Sehne mit Hülfe des Winkels den entsprechenden Bogen, und umgekehrt aus dem Bogen die Sehne, welche einem Winkel zugehört, erhalten kann: — so wird es nicht befremden, wenn wir von diesen Linien handeln. Auch über die Seiten und Winkel, sowohl der ebenen, als auch der sphärischen Dreiecke, werden wir das, was Ptolemäus zerstreut und beispielsweise mitgetheilt hat, an dieser Stelle ein für alle Mal soweit untersuchen, als später Dasjenige, was wir besprechen müssen, dadurch klarer wird. Wir theilen den Kreis nach der allgemeinen Sitte der Mathematiker in 360 Theile. Den Durchmesser nehmen die Alten als aus 120 Theilen bestehend an. Um aber bei der Multiplication und Division mit diesen Linien, die wie meistens in der Länge, so auch in der Potenz incommensurabel sind, die Verwicklung sehr kleiner Zahlen zu vermeiden, führten die Späteren von der Zeit an, wo die indischen Zahlzeichen in Gebrauch kamen, entweder einen zwölfmal oder zwanzigmal hunderttausendtheiligen, oder einen andern rationalen Durchmesser ein. Eine solche Zahlenangabe aber übertrifft jede andere, sowohl die griechische als auch die lateinische, durch ihre besondere Brauchbarkeit, und fügt sich am besten jeder Art von Rechnung. Auch wir haben deswegen 200000 Theile des Durchmessers für hinreichend gehalten, um einen merklichen Irrthum ausschliessen zu können. Was sich nämlich nicht wie eine Zahl zu einer Zahl verhält, davon genügt es, einen Näherungswerth zu erlangen. Wir wollen nun nachstehende sechs Lehrsätze und eine Aufgabe erörtern, indem wir meistentheils dem Ptolemäus folgen.

Erster Lehrsatz.

Wenn der Durchmesser eines Kreises gegeben ist, so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Sechsecks, Fünfecks und Zehnecks, welche derselbe Kreis umschreibt, gegeben. Der Radius, als die Hälfte des Durchmessers, ist nämlich gleich der Seite des Sechsecks. Das Quadrat der Dreiecksseite ist aber das Dreifache, und dasjenige der Quadratsseite das Doppelte von dem Quadrate der Sechsecksseite, wie das bei Euklid in den Elementen bewiesen ist.[38] Die Seite des Sechsecks wird also in der Länge 100000 Theile, die des Vierecks 141422 Theile, die des Dreiecks 173205

[33] Theile enthalten.
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Es sei aber die Sechsecksseite , welche nach der ersten Aufgabe des zweiten, oder nach der zehnten des sechsten Buches von Euklid[39] im mittleren und äusseren Verhältnisse im Punkte geschnitten werde,[40] und der grössere Abschnitt sei . An diesen tragen wir an. Dann wird auch die ganze Linie im mittleren und äusseren Verhältnisse geschnitten, und der kleinere, angetragene Abschnitt die Seite des dem Kreise, zu welchem die Sechsecksseite gehört, inbeschriebenen Zehnecks sein,[41] was aus dem fünften und neunten Satze des 13ten Buches Euklids erhellt. Die Linie selbst erhält man aber auf folgende Weise: man halbirt in , so ist aus dem dritten Satze desselben Buches von Euklid bekannt, dass das Quadrat von das Fünffache von dem Quadrate von ist.[42] Aber hat in seiner Länge 50000 Theile, woraus sich das fünffache Quadrat, und eben jene Linie von der Länge von 111803 Theilen ergiebt. Wenn von diesen die 50000 Theile der Linie abgezogen werden, so bleibt mit 61803 Theilen, als die gesuchte Seite des Zehnecks. Die Seite des Fünfecks, deren Quadrat gleich ist der Summe der Quadrate der Sechsecks- und der Zehnecksseite[43], enthält 117557 Theile. Wenn also der Durchmesser eines Kreises gegeben ist: so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Fünfecks, Sechsecks und Zehnecks, welche demselben Kreise einbeschrieben werden können, gegeben, was zu beweisen war.
Zusatz.

Daraus erhellt, dass wenn die Sehne irgend eines Bogens bekannt ist auch diejenige Sehne gegeben ist, welche dem, jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogen zugehört. Denn der Winkel im Halbkreise ist ein Rechter. In rechtwinkligen Dreiecken ist aber das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, das ist des Durchmessers, gleich den Quadraten, welche über den den rechten Winkel einschliessenden Seiten construirt worden sind. Weil also die Seite des Zehnecks, welche die Sehne eines Bogens von 36 Graden ist, bewiesenermassen 61803 Theile enthält, von denen 200000 auf den Durchmesser gehen: so ist auch die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 144 Graden mit 190211 solcher Theile gegeben. Und aus der Fünfecksseite, welche mit 117557 Theilen des Durchmessers 72 Grade spannt, ergiebt sich die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 108 Graden mit 161803 Theilen.

Zweiter Lehrsatz.

Wenn ein Viereck einem Kreise einbeschrieben ist: so ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich den beiden Rechtecken aus je zweien einander gegenüberliegenden Seiten. Es sei nämlich das dem Kreise einbeschriebene Viereck: so behaupte ich, dass das Rechteck aus den Diagonalen und gleich ist denjenigen aus und und aus und . Denn machen wir den Winkel gleich : so wird der ganze Winkel

[34] gleich dem ganzen , indem zu jedem der Beiden hinzuaddirt ist.
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Auch sind die Winkel und einander gleich, als Winkel in demselben Kreisabschnitte, und es werden die beiden deswegen ähnlichen Dreiecke und proportionirte Seiten haben, also und . Aber auch die Dreiecke und sind ähnlich, weil die Winkel und gleichgemacht, und und als Winkel über gleichen Bogen gleich sind. Deshalb wird wieder und . Es ist aber schon nachgewiesen, dass ist. Zusammen also ist , was bewiesen zu haben vorteilhaft ist.
Dritter Lehrsatz.
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Denn daraus ergiebt sich: wenn im Halbkreise die Sehnen ungleicher Bogen gegeben sind, ist auch die Sehne des Bogens gegeben, um welchen der grössere den kleineren übertrifft. In dem Halbkreise von dem Durchmesser mögen die Sehnen der ungleichen Bogen und gegeben sein. Wollen wir nun die Sehne finden, so ergeben sich aus dem Obengesagten die Sehnen der jene zum Halbkreise ergänzenden Bogen und , mit denen das Viereck im Halbkreise zusammentrifft. Die Diagonalen desselben und ergeben sich zugleich mit den drei Seiten , und , und in demselben ist, wie schon bewiesen, . Wenn nun von abgezogen wird, so bleibt . Dividiren wir dann mit , so weit dies möglich ist, so erhalten wir die gesuchte Sehne in Zahlen. Da nun nach dem Früheren z. B. die Seiten des Fünfecks und Sechsecks gegeben sind, so ergiebt sich auf diese Weise, dass die Sehne von 12 Graden, um welche jene verschieden sind, 20905 Theile des Durchmessers beträgt.[44]
Vierter Lehrsatz.
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Wenn die Sehne irgend eines Bogens gegeben ist, so ist auch die Sehne des halben Bogens gegeben. Beschreiben wir einen Kreis , dessen Durchmesser sei; wenn nun der mit seiner Sehne gegebene Bogen ist, so möge die Linie vom Mittelpunkte aus, rechtwinklig schneiden, dieselbe wird also, nach dem dritten Satze des dritten Buches von Euklid, die Linie in , und verlängert den Bogen in halbiren. Wir ziehen noch die Sehnen und . Weil nun die Dreiecke und rechtwinklig sind, und ausserdem den Winkel

[35] gemeinschaftlich haben, so sind sie ähnlich; wie daher die Hälfte von ist, so ist die Hälfte von . Aber ist als die Sehne des, jenen zum Halbkreise ergänzenden, Bogens gegeben, also ist auch gegeben, so wie der Rest von dem halben Durchmesser; dieser werde als vollendet und dann gezogen. In dem Dreiecke bildet nun das Loth von dem rechten Winkel aus auf die Basis. Das Rechteck ist also gleich dem Quadrate von ; es ergiebt sich also die Länge von , welche die Sehne zur Hälfte des Bogens ist. Und da schon die Sehne von 12 Graden gegeben ist, so ergiebt sich auch die von 6 Graden zu 10467 Theilen[45], die von 3 Graden zu 5235, die von anderthalb Graden zu 2618 und die von dreiviertel Graden zu 1309 Theilen.

Fünfter Lehrsatz.
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Wenn wiederum die Sehnen zweier Bogen gegeben sind, so ist auch die Sehne des ganzen, aus jenen zusammengesetzten, Bogens gegeben. Seien die in dem Kreise gegebenen Sehnen und , so behaupte ich, dass auch die Sehne des ganzen Bogens gegeben sei. Denn nachdem wir die Durchmesser und construirt haben, ziehen wir noch die graden Linien und , welche sich aus dem Früheren ergeben, weil und gegeben sind, und gleich ist. Durch die Linie wird das Viereck geschlossen, dessen Diagonalen und nebst den dreien Seiten , und gegeben sind. Die noch Uebrige wird durch den zweiten Lehrsatz gefunden, und daraus als die Sehne der Ergänzung zum Halbkreise, oder des ganzen Bogens , welche gesucht wurde. Da bisher die Sehnen von drei, anderthalb und dreiviertel Graden gefunden sind, so könnte man ferner für die Zwischenräume durch sehr genaue Rechnung ein Verzeichniss zu Stande bringen. Demnach ist man wegen der Sehnen jener Theile nicht mit Unrecht im Zweifel, ob man nach Graden aufsteigen und einen zum andern hinzufügen soll, oder nach halben Graden, oder nach einer andern Regel, weil die feinen Berechnungen, durch welche sie abgeleitet werden könnten, uns im Stiche lassen. Nichts jedoch hindert, dieses auf einem andern Wege, frei von jedem wahrnehmbaren oder der erhaltenen Zahl im geringsten widersprechenden Fehler, zu erlangen. Und dieses hat auch Ptolemäus in Betreff der Sehnen eines und eines halben Grades gesucht, wodurch er uns zuerst angeregt hat.[46]
Sechster Lehrsatz.

Das Verhältniss eines grösseren zu einem kleineren Bogen ist grösser, als das der entprechenden Sehnen. und seien zwei ungleiche, zusammenhängende Bogen in einem Kreise, aber der grössere, so behaupte ich,

[36] dass ein grösseres Verhältniss sei, als das der Sehnen , welche den Winkel bilden, welcher durch die Linie halbirt wird.
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Wir ziehen , welche in schneidet. Ebenso ziehen wir und , welche gleich sind, weil sie Sehnen gleicher Bogen sind. Da nun in dem Dreiecke die Linie , welche den Winkel halbirt, in schneidet, so verhalten sich die Abschnitte der Basis wie , und weil grösser als , so ist auch grösser als . Nun möge senkrecht gegen gezogen werden, diese halbirt in , welcher Punkt in dem grösseren Abschnitte liegen muss. Und da in jedem Dreiecke dem grösseren Winkel auch die grössere Seite gegenüberliegt, so ist im Dreiecke die Seite größer als , und grösser als , weswegen der um den Mittelpunkt mit dem Radius beschriebene Bogen schneidet und überschreitet. Er schneide in , und werde bis zur Graden verlängert. Da nun der Sector grösser als das Dreieck , aber das Dreieck grösser als der Sector ist, so hat Dreieck zu Dreieck ein kleineres Verhältniss, als Sector zu Sector . Und da die Sectoren den Bogen oder den Centriwinkeln, die Dreiecke von denselben Scheitelpunkten aber ihren Basen proportional sind, so ist das Verhältniss der Winkel zu grösser, als dasjenige der Basen zu . Folglich ist auch das Verhältniss des summirten Winkels zu grösser, als zu . Und auf dieselbe Weise ist Winkel zu grösser, als zu , oder durch Subtraction Winkel zu grösser, als zu . Es verhalten sich aber die Winkel zu wie die Bogen zu , die Basis zu dagegen wie die Sehnen zu . Folglich ist das Verhältniss der Bogen zu grösser, als dasjenige der Sehnen zu , was zu beweisen war.
Aufgabe.
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Weil aber der Bogen immer grösser ist, als seine Sehne, indem die Grade der kürzeste Weg zwischen zweien Punkten ist; diese Ungleichheit aber beim Uebergange von den grösseren zu den kleineren Abschnitten des Kreises zur Gleichheit convergirt, so dass endlich bei der Berührung mit dem Kreise die grade mit der krummen Linie gleichzeitig verschwindet: so ist nothwendig, dass sie sich vorher durch eine merkliche Differenz von einander unterscheiden. Es sei nämlich z. B. ein Bogen von drei Graden, und ein solcher von anderthalb Graden, so ist bewiesen, dass die Sehne 5235 Theile enthält, wenn der Durchmesser deren 200000 zählt, und gleich 2618 solcher Theile ist. Und während das Verhältniss der Bogen zu gleich 2 zu 1 ist, ist dagegen die Sehne weniger als das doppelte von

[37] , indem sie nur tun 2617 Theile grösser ist, als jene. Wenn wir aber den Bogen zu anderthalb und zu dreiviertel Graden annehmen: so haben wir die Sehne gleich 2618 und gleich 1309 Theilen, und obgleich die Sehne grösser als 1/2 sein muss, so scheint sie doch von der Hälfte sich nicht zu unterscheiden, sondern das Verhältniss der Bogen erscheint schon als dasselbe, wie dasjenige der Sehnen. Da wir also dahin gelangt zu sein scheinen, wo der Unterschied der graden und krummen Linie der Merklichkeit sich entzieht, gleichsam als ob beide nur eine Linie wären, so zweifeln wir nicht, dass sich die Sehnen, — für dreiviertel Grade gleich 1309, — in gleichem Verhältnisse einem Grade und den übrigen Theilen anschliessen, so dass, wenn wir den drei Theilen ein Viertel hinzufügen, wir einen Grad gleich 1745, einen halben Grad gleich 8721/2 Theilen, und einen drittel Grad gleich 582 Theilen setzen. Ich halte es aber für hinreichend, wenn wir nur die halben Sehnen der doppelten Bogen in das Verzeichniss aufnehmen, durch welche Abkürzung wir Dasjenige im Quadranten zusammenfassen, was für den Halbkreis ausgeführt werden müsste. Und dies zwar um so eher, als im Gebrauche häufiger die halben, als die ganzen Sehnen in der Entwicklung und Rechnung vorkommen. Wir haben aber ein um Sechstel-Grade fortschreitendes und drei Abtheilungen enthaltendes Verzeichniss angefertigt. In der ersten Abtheilung stehen die Grade oder Bogentheile und ihre Sechstel, die zweite Abtheilung enthält die Zahlen der halben Sehnen der doppelten Bogen, die dritte Abtheilung giebt die Differenzen dieser Zahlen, welche zwischen den einzelnen Graden liegen, und aus welchen man Dasjenige proportional berechnen kann, was den einzelnen Theilchen der Grade entspricht. Die Tafel ist nun folgende. [38]

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff.
Grad Min. Grad Min. Grad Min.
00 10 000291 291 06 10 010742 289 12 10 021076 284
00 20 000582 291 06 20 011031 289 12 20 021360 284
00 30 000873 290 06 30 011320 289 12 30 021644 284
0
00 40 001163 291 06 40 011609 289 12 40 021928 284
00 50 001454 291 06 50 011898 289 12 50 022212 283
01 00 001745 291 07 00 012187 289 13 00 022495 283
0
01 10 002036 291 07 10 012476 288 13 10 022778 284
01 20 002327 290 07 20 012764 289 13 20 023062 282
01 30 002617 291 07 30 013053 288 13 30 023344 283
0
01 40 002908 291 07 40 013341 288 13 40 023627 283
01 50 003199 291 07 50 013629 288 13 50 023910 282
02 00 003490 291 08 00 013917 288 14 00 024192 282
0
02 10 003781 290 08 10 014205 288 14 10 024474 282
02 20 004071 291 08 20 014493 288 14 20 024756 282
02 30 004362 291 08 30 014781 288 14 30 025038 281
0
02 40 004653 290 08 40 015069 287 14 40 025319 282
02 50 004943 291 08 50 015356 287 14 50 025601 281
03 00 005234 290 09 00 015643 288 15 00 025882 281
0
03 10 005524 290 09 10 015931 287 15 10 026163 280
03 20 005814 291 09 20 016218 287 15 20 026443 281
03 30 006105 290 09 30 016505 287 15 30 026724 280
0
03 40 006395 290 09 40 016792 286 15 40 027004 280
03 50 006685 290 09 50 017078 287 15 50 027284 280
04 00 006975 290 10 00 017365 286 16 00 027564 279
0
04 10 007265 290 10 10 017651 286 16 10 027843 279
04 20 007555 290 10 20 017937 286 16 20 028122 279
04 30 007845 290 10 30 018223 286 16 30 028401 279
0
04 40 008135 290 10 40 018509 286 16 40 028680 279
04 50 008425 290 10 50 018795 286 16 50 028959 278
05 00 008715 290 11 00 019081 285 17 00 029237 278
0
05 10 009005 290 11 10 019366 286 17 10 029515 278
05 20 009295 290 11 20 019652 285 17 20 029793 278
05 30 009585 289 11 30 019937 285 17 30 030071 277
0
05 40 009874 290 11 40 020222 285 17 40 030348 277
05 50 010164 289 11 50 020507 284 17 50 030625 277
06 00 010453 289 12 00 020791 285 18 00 030902 276

[39]

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff.
Grad Min. Grad Min. Grad Min.
18 10 031178 276 24 10 040939 265 30 10 050252 251
18 20 031454 276 24 20 041204 265 30 20 050503 251
18 30 031730 276 24 30 041469 265 30 30 050754 250
0
18 40 032006 276 24 40 041734 264 30 40 051004 250
18 50 032282 275 24 50 041998 264 30 50 051254 250
19 00 032557 275 25 00 042262 263 31 00 051504 249
0
19 10 032832 274 25 10 042525 263 31 10 051753 249
19 20 033106 275 25 20 042788 263 31 20 052002 248
19 30 033381 274 25 30 043051 262 31 30 052250 248
0
19 40 033655 274 25 40 043313 262 31 40 052498 247
19 50 033929 273 25 50 043575 262 31 50 052745 247
20 00 034202 273 26 00 043837 261 32 00 052992 246
0
20 10 034475 273 26 10 044098 261 32 10 053238 246
20 20 034748 273 26 20 044359 261 32 20 053484 246
20 30 035021 272 26 30 044620 260 32 30 053730 245
0
20 40 035293 272 26 40 044880 260 32 40 053975 245
20 50 035565 272 26 50 045140 259 32 50 054220 244
21 00 035837 271 27 00 045399 259 33 00 054464 244
0
21 10 036108 271 27 10 045658 259 33 10 054708 243
21 20 036379 271 27 20 045917 258 33 20 054951 243
21 30 036650 270 27 30 046175 258 33 30 055194 242
0
21 40 036920 270 27 40 046433 257 33 40 055436 242
21 50 037190 270 27 50 046690 257 33 50 055678 241
22 00 037460 270 28 00 046947 257 34 00 055919 241
0
22 10 037730 269 28 10 047204 256 34 10 056160 240
22 20 037999 269 28 20 047460 256 34 20 056400 241
22 30 038268 269 28 30 047716 255 34 30 056641 239
0
22 40 038537 268 28 40 047971 255 34 40 056880 239
22 50 038805 268 28 50 048226 255 34 50 057119 239
23 00 039073 268 29 00 048481 254 35 00 057358 238
0
23 10 039341 267 29 10 048735 254 35 10 057596 237
23 20 039608 267 29 20 048989 253 35 20 057833 237
23 30 039875 266 29 30 049242 253 35 30 058070 237
0
23 40 040141 267 29 40 049495 253 35 40 058307 236
23 50 040408 266 29 50 049748 252 35 50 058543 236
24 00 040674 265 30 00 050000 252 36 00 058779 235

[40]

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff.
Grad Min. Grad Min. Grad Min.
36 10 059014 234 42 10 067129 215 48 10 074508 194
36 20 059248 234 42 20 067344 215 48 20 074702 194
36 30 059482 234 42 30 067559 214 48 30 074896 194
0
36 40 059716 233 42 40 067773 214 48 40 075088 192
36 50 059949 232 42 50 067987 213 48 50 075280 191
37 00 060181 232 43 00 068200 212 49 00 075471 190
0
37 10 060413 232 43 10 068412 212 49 10 075661 190
37 20 060645 231 43 20 068624 211 49 20 075851 189
37 30 060876 231 43 30 068835 211 49 30 076040 189
0
37 40 061107 230 43 40 069046 210 49 40 076299 188
37 50 061337 229 43 50 069256 210 49 50 076417 187
38 00 061566 229 44 00 069466 209 50 00 076604 187
0
38 10 061795 229 44 10 069675 208 50 10 076791 186
38 20 062024 227 44 20 069883 208 50 20 076977 185
38 30 062251 228 44 30 070091 207 50 30 077162 185
0
38 40 062479 227 44 40 070298 207 50 40 077347 184
38 50 062706 226 44 50 070505 206 50 50 077531 184
39 00 062932 226 45 00 070711 205 51 00 077715 182
0
39 10 063158 225 45 10 070916 205 51 10 077897 182
39 20 063383 225 45 20 071121 204 51 20 078079 182
39 30 063608 224 45 30 071325 204 51 30 078261 181
0
39 40 063832 224 45 40 071529 203 51 40 078442 180
39 50 064056 223 45 50 071732 202 51 50 078622 179
39 50 064056 223 45 50 071732 202 51 50 078622 179
0
40 10 064501 222 46 10 072136 201 52 10 078980 178
40 20 064723 222 46 20 072337 200 52 20 079158 177
40 30 064945 221 46 30 072537 200 52 30 079335 177
0
40 40 065166 220 46 40 072737 199 52 40 079512 176
40 50 065386 220 46 50 072936 199 52 50 079688 176
41 00 065606 219 47 00 073135 198 53 00 079864 174
0
41 10 065825 219 47 10 073333 198 53 10 080038 174
41 20 066044 218 47 20 073531 197 53 20 080212 174
41 30 066262 218 47 30 073728 196 53 30 080386 172
0
41 40 066480 217 47 40 073924 195 53 40 080558 172
41 50 066697 216 47 50 074119 195 53 50 080730 172
42 00 066913 216 48 00 074314 194 54 00 080902 170

[41]

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff.
Grad Min. Grad Min. Grad Min.
54 10 081072 170 60 10 086747 145 66 10 091472 118
54 20 081242 169 60 20 086892 144 66 20 091590 116
54 30 081411 169 60 30 087036 142 66 30 091706 116
0
54 40 081580 168 60 40 087178 142 66 40 091822 114
54 50 081748 167 60 50 087320 142 66 50 091936 114
55 00 081915 167 61 00 087462 141 67 00 092050 114
0
55 10 082082 166 61 10 087603 140 67 10 092164 112
55 20 082248 165 61 20 087743 139 67 20 092276 112
55 30 082413 164 61 30 087882 138 67 30 092388 111
0
55 40 082577 164 61 40 088020 138 67 40 092499 110
55 50 082741 163 61 50 088158 137 67 50 092609 109
56 00 082904 162 62 00 088295 136 68 00 092718 109
0
56 10 083066 162 62 10 088431 135 68 10 092827 108
56 20 083228 161 62 20 088566 135 68 20 092935 107
56 30 083389 160 62 30 088701 134 68 30 093042 106
0
56 40 083549 159 62 40 088835 133 68 40 093148 105
56 50 083708 159 62 50 088968 133 68 50 093253 105
57 00 083867 158 63 00 089101 131 69 00 093358 104
0
57 10 084025 157 63 10 089232 131 69 10 093462 103
57 20 084182 157 63 20 089363 130 69 20 093565 102
57 30 084339 156 63 30 089493 129 69 30 093667 102
0
57 40 084495 155 63 40 089622 129 69 40 093769 101
57 50 084650 155 63 50 089751 128 69 50 093870 099
57 50 084650 155 63 50 089751 128 69 50 093870 099
0
58 10 084959 153 64 10 090006 127 70 10 094068 099
58 20 085112 152 64 20 090133 125 70 20 094167 097
58 30 085264 151 64 30 090258 125 70 30 094264 097
0
58 40 085415 151 64 40 090383 124 70 40 094361 096
58 50 085566 151 64 50 090507 124 70 50 094457 095
59 00 085717 149 65 00 090631 122 71 00 094552 094
0
59 10 085866 149 65 10 090753 122 71 10 094646 093
59 20 086015 148 65 20 090875 121 71 20 094739 093
59 30 086163 147 65 30 090996 120 71 30 094832 092
0
59 40 086310 147 65 40 091116 119 71 40 094924 091
59 50 086457 145 65 50 091235 119 71 50 095015 090
60 00 086602 145 66 00 091354 118 72 00 095105 090

[42]

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff. Bogen Halbe Sehne des doppelten Bogens Diff.
Grad Min. Grad Min. Grad Min.
72 10 095195 089 78 10 097875 059 84 10 099482 029
72 20 095284 088 78 20 097934 058 84 20 099511 028
72 30 095372 087 78 30 097992 058 84 30 099539 028
0
72 40 095459 086 78 40 098050 057 84 40 099567 027
72 50 095545 085 78 50 098107 056 84 50 099594 026
73 00 095630 085 79 00 098163 055 85 00 099620 024
0
73 10 095715 084 79 10 098218 054 85 10 099644 024
73 20 095799 083 79 20 098272 053 85 20 099668 024
73 30 095882 082 79 30 098325 053 85 30 099692 022
0
73 40 095964 081 79 40 098378 052 85 40 099714 022
73 50 096045 081 79 50 098430 051 85 50 099736 020
74 00 096126 080 80 00 098481 050 86 00 099756 020
0
74 10 096206 079 80 10 098531 049 86 10 099776 019
74 20 096285 078 80 20 098580 049 86 20 099795 018
74 30 096363 077 80 30 098629 047 86 30 099813 017
0
74 40 096440 077 80 40 098676 047 86 40 099830 017
74 50 096517 075 80 50 098723 046 86 50 099847 016
75 00 096592 075 81 00 098769 045 87 00 099863 015
0
75 10 096667 075 81 10 098814 044 87 10 099878 014
75 20 096742 073 81 20 098858 044 87 20 099892 013
75 30 096815 072 81 30 098902 042 87 30 099905 012
0
75 40 096887 072 81 40 098944 042 87 40 099917 011
75 50 096959 071 81 50 098986 041 87 50 099928 011
75 50 096959 071 81 50 098986 041 87 50 099928 011
0
76 10 097099 070 82 10 099067 039 88 10 099949 009
76 20 097169 068 82 20 099106 038 88 20 099958 008
76 30 097237 067 82 30 099144 038 88 30 099966 007
0
76 40 097304 067 82 40 099182 037 88 40 099973 006
76 50 097371 066 82 50 099219 036 88 50 099979 006
77 00 097437 065 83 00 099255 035 89 00 099985 004
0
77 10 097502 064 83 10 099290 034 89 10 099989 004
77 20 097566 064 83 20 099324 033 89 20 099993 003
77 30 097630 062 83 30 099357 032 89 30 099996 002
0
77 40 097692 062 83 40 099389 032 89 40 099998 001
77 50 097754 061 83 50 099421 031 89 50 099999 001
78 00 097815 060 84 00 099452 030 90 00 100000 000
[43]
Capitel 13.
Ueber die Seiten und Winkel der ebenen gradlinigen Dreiecke.
1.
Wenn die Winkel eines Dreiecks gegeben sind: so ergeben sich die Seiten. Sei nämlich das Dreieck , um welches nach der fünften Aufgabe des 4ten Buches von Euklid, ein Kreis beschrieben wird.
Coppernicus 012.svg
Es werden also auch die Bogen , , so gegeben sein, dass 360 Theile zweien Rechten gleich sind.[47] Wenn aber die Bogen bekannt sind, so ergeben sich auch die Seiten des inbeschriebenen Dreiecks, als die Sehnen, aus dem gegebenen Verzeichnisse in Theilen, von denen 200000 auf den Durchmesser kommen.[48]
2.
Wenn aber irgend ein Winkel nebst zweien Seiten des Dreiecks gegeben ist: so ergiebt sich auch die dritte Seite nebst den übrigen Winkeln. Entweder sind nämlich die gegebenen Seiten einander gleich oder ungleich. Der gegebene Winkel ist aber entweder ein rechter oder ein spitzer oder ein stumpfer; und die gegebenen Seiten schliessen entweder den gegebenen Winkel ein oder nicht. Seien also erstlich in dem Dreiecke die beiden gegebenen Seiten und gleich und schliessen sie den gegebenen Winkel ein.
Coppernicus 013.svg
Dann sind die übrigen Winkel an der Basis , weil sie gleich sind, als die Hälfte der Differenz von zweien Rechten und , auch gegeben. Und wenn ein Winkel an der Basis ursprünglich gegeben ist: so ergiebt sich sogleich der ihm gleiche, und aus diesen der Rest von zweien Rechten. Aber die Seiten eines Dreiecks von gegebenen Winkeln sind bekannt, es ist also die Basis bekannt, und zwar nach dem Verzeichnisse in Theilen, von denen oder als Radien 100000, oder der Durchmesser 200000 Theile betragen.
3.
Wenn der Winkel als rechter nebst seinen einschliessenden Seiten gegeben ist, so ergiebt sich dasselbe.
Coppernicus 014.svg
Weil es bekannt ist, dass die Quadrate von und gleich sind dem von der Basis : so ergiebt sich also seiner Länge nach, und umgekehrt die Seiten selbst nach ihrem Verhältnisse. Der Kreisabschnitt aber, welcher das rechtwinklige Dreieck enthält, ist ein Halbkreis, dessen Durchmesser die Basis ist. Wird daher in 200000 Theile getheilt:

[44] so ergeben sich und als die Sehnen der beiden andern Winkel und , welche nun die Einrichtung des Verzeichnisses in Theilen, von denen 180 gleich zweien Rechten sind, nachweist. Dasselbe wird sich ergeben, wenn nebst einer der den rechten Winkel einschliessenden Seiten gegeben ist, was mir hinreichend klar zu sein scheint.

4.
Coppernicus 015.svg
Wenn der spitze Winkel nebst den ihn einschliessenden Seiten und ist: so fälle man von aus ein Perpendikel auf , oder, wenn es nöthig ist, auf deren Verlängerung, je nachdem es innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks fällt, dieses sei . Durch dasselbe werden zwei rechtwinklige Dreiecke und unterschieden; und weil in die Winkel gegeben sind, nämlich als Rechter und nach der Voraussetzung: so ergeben sich und als Sehnen der Winkel und in Theilen, von denen als Durchmesser des Kreises 200000 enthält, nach dem Verzeichnisse. Und auf dieselbe Weise, wie , und der Länge nach gegeben sind, ergiebt sich auch , als die Differenz von und . Folglich ergiebt sich, aus den bekannten Seiten und des rechtwinkligen Dreiecks , auch die gesuchte Seite und der Winkel nach der obigen Entwickelung.
5.
Coppernicus 016.svg
Nicht anders wird es sich gestalten, wenn der Winkel ein stumpfer ist, indem das Loth von auf die Verlängerung von ein Dreieck von bekannten Winkeln bildet. Denn der Aussenwinkel ist durch , und als Rechter bekannt; es ergeben sich also und in Theilen, von denen 200000 enthält. Und weil und zu einander ein gegebenes Verhältniss haben: so ergiebt sich auch in denselben Theilen wie , und folglich auch die ganze Linie . Da nun auch in dem rechtwinkligen Dreiecke zwei Seiten und gegeben sind: so ergiebt sich auch die gesuchte und der Winkel nebst dem andern , was verlangt war.
6.

Wenn eine von den gegebenen Seiten und dem gegebenen Winkel gegenüberliegt: so ergiebt sich aus dem Verzeichnisse in Theilen, von denen der Durchmesser des das Dreieck umschreibenden Kreises 200000 enthält; und da das Verhältniss von zu gegeben ist: so ergiebt sich in denselben Theilen, folglich aus dem Verzeichnisse der Winkel nebst dem andern , aus welchem wiederum als Sehne sich ergiebt, und hierdurch sind sie nach jedem beliebigen Maassstabe gegeben.

[45]
7.
Coppernicus 017.svg
Wenn alle Seiten eines Dreiecks gegeben sind: so ergeben sich die Winkel. Von dem gleichseitigen Dreiecke ist es zu bekannt, als dass es hervorgehoben zu werden brauchte, dass seine einzelnen Winkel den dritten Theil von zweien Rechten betragen. In dem gleichschenkligen Dreiecke ist es auch klar; denn die gleichen Seiten verhalten sich zur dritten, wie die Hälfte des Durchmessers zu der Sehne des Bogens, woraus der von den gleichen Seiten eingeschlossene Winkel sich aus dem Verzeichnisse in Theilen ergiebt, von denen 360 um den Mittelpunkt herum vier Rechten gleich sind. Demnächst ergeben sich die übrigen Winkel an der Basis, als die Hälften des Restes von zweien Rechten. Es ist also nun noch übrig, dasselbe von den ungleichseitigen Dreiecken zu beweisen, die wir wieder in rechtwinklige zerlegen. Es sei also ein ungleichseitiges Dreieck von gegebenen Seiten, und auf die längste Seite z. B. , ein Loth gefällt. Der 13te Satz des zweiten Buches von Euklid sagt uns aber, dass das Quadrat der Seite , welche einem spitzen Winkel gegenüberliegt, um das doppelte Rechteck von und kleiner sei, als die Summe der Quadrate der beiden andern Seiten. Der Winkel muss aber ein spitzer sein, sonst wäre gegen die Voraussetzung die längste Seite, was aus dem 17ten Satze des ersten Buches von Euklid und den beiden folgenden Sätzen ersehen werden kann. Es ergeben sich also und , und von den rechtwinkligen Dreiecken und sind die Seiten und Winkel bekannt, wie das schon öfters wiederholt ist, wodurch denn auch die gesuchten Winkel des Dreiecks sich ergeben.
Coppernicus 018.svg
Oder. Dasselbe wird aus dem vorletzten Satze des dritten Buches von Euklid, vielleicht für uns bequemer, sich ableiten lassen. Wenn wir mit der kürzeren Seite als Radius, um den Mittelpunkt , einen Kreis beschreiben: so schneidet derselbe entweder die beiden andern Seiten oder bloss eine von ihnen. Zunächst schneide der Kreis beide: in , in . Wir verlängern nach um den Durchmesser zu vervollständigen. Nach dieser Construction ist aus jenem Satze von Euklid[49] klar, dass das Rechteck von [50] gleich sei dem Rechtecke von , indem jedes von Beiden gleich ist dem Quadrate der Tangente von aus an den Kreis. Die ganze Linie ist aber gegeben, weil alle ihre Stücke gegeben sind; denn und sind gleich als Radien eines Kreises, und ist die Differenz von und . Deshalb ist auch das Rechteck von gegeben und folglich auch seiner Länge nach[51], und der Rest

[46] , die Sehne des Bogens . Wenn wir ziehen: so haben wir ein gleichschenkliges Dreieck von gegebenen Seiten. Daraus ergiebt sich der Winkel und dadurch werden auch in dem Dreiecke die übrigen Winkel und nach dem Früheren gefunden. Schneidet aber der Kreis, nicht, wie in der andern Figur, wo auf den convexen Bogen trifft: so ist nichtsdestoweniger gegeben, und in dem gleichschenkligen Dreiecke ist der Winkel , wie auch der Aussenwinkel bekannt, und auf dieselbe Weise, wie vorhin, ergeben sich sofort die übrigen Winkel. Und dies mag für die gradlinigen Dreiecke hinreichen, worauf ein grosser Theil der Geodäsie beruht. Wir wenden uns nun zu den sphärischen Dreiecken.

Capitel 14.
Ueber die sphärischen Dreiecke.

Wir nehmen hier dasjenige convexe Dreieck, welches auf einer Kugeloberfläche von dreien Bogen grösster Kreise eingeschlossen wird; die Differenz und Grösse der Winkel aber auf dem Bogen des grössten Kreises, welcher von dem Schnittpunkte als von einem Pole aus beschrieben wird, und welchen Bogen die Quadranten der den Winkel bildenden Kreise einschliessen. Denn wie der so eingeschlossene Bogen zur ganzen Peripherie: so verhält sich der Winkel am Schnittpunkte zu vier Rechten, welche, wie wir gesagt haben, 360 gleiche Theile enthalten.

1.

Aus dreien Bogen grösster Kreise einer Kugel, von denen zwei beliebige zusammengenommen grösser sind, als der dritte, kann offenbar ein sphärisches Dreieck zusammengesetzt werden. Denn was hier von den Bogen behauptet wird, beweist der 23ste Satz des elften Buches des Euklid von den Winkeln[52], da das Verhältniss der Winkel und der Bogen dasselbe ist, und grösste Kreise solche sind, welche durch den Mittelpunkt der Kugel gehen: so ist klar, dass jene drei Kreissectoren, von denen jene Bogen sind, am Mittelpunkte der Kugel eine Ecke bilden. Es ist also sicher, was behauptet ist.

2.

Jeder Bogen eines Dreiecks muss kleiner sein, als ein Halbkreis. Denn ein Halbkreis bildet am Mittelpunkte keinen Winkel, sondern projicirt sich als grade Linie. Aber die beiden übrigen Winkel, zu denen die Bogen gehören, können am Mittelpunkte keine Ecke einschliessen, also auch kein sphärisches Dreieck. Und dies ist, wie ich glaube, die Ursache gewesen, warum Ptolemäus bei der Untersuchung dieser Art von Dreiecken besonders an der Figur des Kugelsectors beweist, dass Bogen, die grösser als Halbkreise angenommen werden, nicht existiren.

[47]
3.
In sphärischen Dreiecken, die einen rechten Winkel enthalten, verhält sich die Sehne der doppelten Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, zur Sehne des Doppelten einer von den beiden den rechten Winkel Einschliessenden, wie der Durchmesser der Kugel, zu der Sehne des doppelten Winkels, welcher von der übrigen und der ersten Seite auf dem grössten Kreise der Kugel eingeschlossen ist.
Coppernicus 019.svg
Denn es sei ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel ein rechter sei; und ich behaupte, die Sehne des doppelten verhält sich zu der Sehne des doppelten , wie der Durchmesser der Kugel zu der Sehne, welche im grössten Kreise dem Doppelten des Winkels angehört. Man nehme als Pol, beschreibe den Bogen des grössten Kreises und vollende die Quadranten der Kreise und und aus dem Mittelpunkte der Kugel ziehe man den gemeinschaftlichen Schnitt der Kreise und , derjenige aber der Kreise und sei , und der von und . Ausserdem noch von den Kreisen und . Darauf werden rechtwinklig gegen , gegen , und gegen gezogen und verbunden. Weil nun zwei Kreise, wenn sie gegenseitig durch ihre Pole gehen, sich rechtwinklig schneiden: so wird der Winkel ein rechter sein; ist aber ein Rechter nach der Voraussetzung, und folglich steht jede von den beiden Ebenen und senkrecht auf . Deswegen, wenn auf der gemeinschaftlichen Schnittlinie in der Grundebene () ein Loth errichtet wird, so schliesst dasselbe mit einen rechten Winkel ein, nach der Definition der rechtwinkligen Ebenen. Deshalb steht auch nach dem 4ten Satze des elften Buches Euklid’s auf senkrecht. Aus demselben Grunde steht auch senkrecht auf derselben Ebene, und deshalb sind und einander parallel nach dem sechsten Satze desselben Buches. Aber auch ist parallel , weil und rechte Winkel sind; und folglich ist nach dem zehnten Satze des elften Buches Euklid’s der Winkel gleich . Da aber Winkel ein rechter ist, so ist es auch nach der Definition des Perpendikels. Nun sind die Seiten ähnlicher Dreiecke proportional und also zu wie zu . Aber ist die Hälfte der Sehnen des doppelten Bogens , weil auf der aus dem Mittelpunkte gezogenen Linie senkrecht steht, und aus demselben Grunde ist die Hälfte der Sehne der doppelten Seite , und die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens oder des doppelten Winkels , und die Hälfte des Durchmessers der Kugel. Also ist offenbar, dass die Sehne der doppelten Seite zur Sehne der doppelten sich verhält, wie der Durchmesser zu der Sehne des doppelten Winkels oder des doppelten Bogens ; was bewiesen zu haben vortheilhaft sein wird. [48]
4.
Wenn in einem rechtwinkligen Dreiecke noch ein Winkel und irgend eine Seite gegeben sind: so ergiebt sich auch der dritte Winkel und die beiden andern Seiten.
Coppernicus 020.svg
Denn es sei der rechte Winkel im Dreieck , und ausserdem irgend einer der beiden andern Winkel z. B. gegeben. Wegen der gegebenen Seite machen wir einen dreifachen Unterschied. Denn entweder liegt sie den beiden gegebenen Winkeln an, wie ; oder nur dem Rechten, wie ; oder sie liegt dem Rechten gegenüber, wie . Es sei also zuerst die gegebene Seite, und es werde aus dem Pole der Bogen eines grössten Kreises beschrieben, und nachdem die Quadranten und vollendet sind, werden und verlängert, bis sie sich in schneiden. Es wird also wieder in der Pol des Kreises sein, weil die Winkel bei und rechte sind. Weil nun, wenn an einer Kugel grösste Kreise sich gegenseitig rechtwinklig schneiden, sie sich halbiren und gegenseitig durch ihre Pole gehen: so sind sowohl als auch Quadranten von Kreisen; und da gegeben ist: so ist auch der Rest des Quadranten gegeben, und der Winkel ist als Scheitelwinkel dem gegebenen gleich. Nach dem vorhergehenden Beweise aber verhält sich die Sehne der doppelten zur Sehne der doppelten , wie der Durchmesser der Kugel zu der Sehne des doppelten Winkels . Drei dieser Grössen sind aber gegeben; der Durchmesser der Kugel, die Sehne des doppelten Bogens und des doppelten Winkels , oder die Hälften davon. Es ergiebt sich also, nach dem 15ten Satze des sechsten Buches Euklid’s, auch die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens und aus dem „Verzeichnisse“ der Bogen selbst, und daraus der Rest des Quadranten , oder der gesuchte Winkel . Auf dieselbe Weise verhalten sich wieder die Sehnen der doppelten zu wie zu . Die Sehnen von , und vom Kreisquadranten sind aber schon gegeben, es ergiebt sich also auch die vierte Sehne des doppelten , und die gesuchte Seite selbst. Da sich nun die Sehnen der doppelten zu verhalten wie , — weil jedes von beiden Verhältnissen gleich dem des Durchmessers der Kugel zur Sehne des doppelten Winkels ist, und Verhältnisse, die einem und demselben gleich sind, auch unter sich gleich sind; — und da schon die drei , und gegeben sind: so ergiebt sich die vierte und daraus die dritte Seite des Dreiecks . Es werde nun die Seite als gegeben angenommen, und es sollen gefunden werden die Seiten und und der Winkel : so wird wiederum die Sehne des doppelten Bogens zu der Sehne des doppelten dasselbe Verhältniss haben, wie die Sehne des doppelten Winkels zum Durchmesser, wodurch die Seite sich ergiebt, und aus den Quadranten der Kreise die Reste und . Ebenso verhält sich die Sehne des doppelten , d. h. der Durchmesser, zu der Sehne des doppelten ,

[49] wie die Sehne des doppelten zu der Sehne des doppelten . Es ergiebt sich also der Bogen , und als Rest die Seite . Auf ähnliche Weise, wie im Vorhergehenden, ergiebt sich aus den Sehnen der doppelten , und , die Sehne des doppelten , oder der Winkel . Wenn ferner als bekannt angenommen würde: so würde sich wieder wie vorhin , und ergeben, wodurch mittelst der Sehnen und des Durchmessers, wie oft gesagt ist, der Bogen sich ergiebt und als Rest die Seite ; und aus dem bekannten , und ergiebt sich sogleich nach dem vorhergehenden Lehrsatze der Bogen , d. h. der Winkel , welchen wir suchten. Und so ist wiederum in dem Dreiecke , wenn die Winkel und , von denen ein Rechter ist, und irgend eine der drei Seiten gegeben sind, der dritte Winkel mit den übrigen beiden Seiten gegeben, was zu beweisen war.

5.

Bei einem Dreiecke von gegebenen Winkeln, von denen irgend einer ein Rechter ist, ergeben sich die Seiten. Behalten wir noch die vorhergehende Figur bei, in welcher wegen des gegebenen Winkels , der Bogen und, als Rest des Kreisquadranten, sich ergeben. Weil nun ein rechter Winkel ist, indem von dem Pole des Kreises herkommt, und weil der Winkel Scheitelwinkel eines gegebenen ist: so sind die Winkel und Seiten des Dreiecks , welches den rechten Winkel , den gegebenen Winkel und die gegebene Seite enthält, nach dem vorhergehenden Lehrsatze bekannt; es ergiebt sich also und als Rest des Quadranten ; und durch das Vorhergehende ist bewiesen, dass in dem Dreiecke ebenfalls die übrigen Seiten und sich ergeben.

6.

Wenn auf derselben Kugel zwei Dreiecke einen rechten, und ausserdem noch einen gleichen Winkel und eine gleiche Seite haben, mag nun Letztere dem gleichen Winkel an- oder gegenüberliegen: so sind auch die andern Seiten und der dritte Winkel beziehlich gleich.

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Es sei eine Halbkugel, auf welcher zwei Dreiecke und angenommen werden, deren Winkel und rechte, und ausserdem Winkel gleich und eine Seite gleich ist, und zwar zuerst eine solche, welche dem gleichen Winkel anliegt, also gleich . Ich behaupte, dass auch die Seite gleich , gleich und Winkel gleich sei. Denn, nachdem und zu Polen genommen sind, beschreibe man die Quadranten grösster Kreise und und vollende und , welche sich im Pole der Halbkugel schneiden müssen, der in liegen mag, weil die Winkel bei und rechte sind, und weil und durch die Pole desselben Kreises beschrieben sind. Da nun

[50] und als gleiche Seiten angenommen sind: so werden auch die Reste und gleiche Bogen sein, und die Winkel und sind gleich, denn sie sind Scheitelwinkel der als gleich angenommenen Winkel; und die Winkel bei und sind rechte; und da diejenigen Verhältnisse, welche einem Dritten gleich sind, auch unter sich gleich sind: so verhält sich die Sehne des Doppelten zur Sehne des Doppelten , wie die Sehne des Doppelten zur Sehne des Doppelten ; da jedes von diesen beiden Verhältnissen nach dem obigen 3ten Satze gleich ist dem Verhältnisse des Durchmessers der Kugel zu der Sehne des doppelten Winkels , oder zu der gleichen Sehne des doppelten Winkels . Und da die Sehne des doppelten Bogens gleich ist der Sehne des Doppelten : so sind auch nach dem 14ten Satze des fünften Buches der Elemente von Euklid die Sehnen der doppelten und gleich; und da in gleichen Kreisen gleiche grade Linien gleiche Bogen abschneiden, und die Theile in dem halben Verhältnisse wie die Vielfachen stehen: so sind die einfachen Bogen und einander gleich, und also auch die Reste der Quadranten und , wodurch sich die Winkel und als gleiche ergeben. Weshalb auch zwischen der Sehne des doppelten und der Sehne des doppelten , oder zwischen der Sehne des doppelten und der Sehne des doppelten , dasselbe Verhältniss besteht, als zwischen der Sehne des doppelten und der Sehne des doppelten . Denn jedes von beiden Verhältnissen ist gleich demjenigen der Sehne des doppelten oder des diesem gleichen doppelten , zur Sehne des doppelten d. h. zum Durchmesser, nach dem umgekehrten 3ten Lehrsatze, und ist gleich . Folglich ist nach dem 14ten Satze des fünften Buches der Elemente von Euklid gleich aus Gleichheit der Sehnen der doppelten Bogen. Auf dieselbe Weise werden wir aus der Gleichheit von und die Gleichheit der übrigen Seiten und Winkel beweisen. Und wiederum, wenn und als die gleichen Seiten angenommen werden, so folgen sie derselben Gleichheit in Bezug auf ihr Verhältniss.

7.
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Wenn auch der eine Winkel kein rechter, und nur die den beiden gleichen Winkeln anliegende Seite einander gleich wäre: so liesse sich schon dasselbe beweisen. Wie z. B. wenn in den beiden Dreiecken und die beiden Winkel und den beiden Winkeln und beziehlich und die Seite , welche den gleichen Winkeln anliegt, der Seite gleich wäre: so behaupte ich wiederum, dass die Dreiecke selbst congruent sind. Denn nachdem wieder und als Pole angenommen sind, beschreibe man die Bogen grösster Kreise und . Die Verlängerungen von und mögen sich in schneiden und die von und in . Da nun die beiden Dreiecke und die gleichen

[51] Winkel und enthalten, welche als Scheitelwinkel von als gleich angenommenen gleich sind, und weil diejenigen bei und rechte sind, wegen des Schneidens am Pole: so sind auch die Seiten und gleich. Die Dreiecke haben also gleiche Winkel und gleiche Seiten nach dem vorigen Beweise. Und wiederum weil und gleiche Bogen sind, wegen der als gleich vorausgesetzten Winkel und : so ist der ganze Bogen gleich dem ganzen nach dem Grundsatze der Addition von Gleichen. Es giebt also auch hier zwei Dreiecke und , welche eine Seite gleich einer Seite und einen Winkel gleich und die rechten und enthalten. Deswegen sind also auch diese Dreiecke congruent. Wenn nun Gleiches von Gleichem abgezogen wird: so bleibt gleich , gleich , und Winkel gleich dem Winkel . Was zu beweisen war.

8.

Aber auch wenn zwei Dreiecke zwei Paar gleiche Seiten und ein Paar gleiche Winkel enthalten, mögen Letzteren die gleichen Seiten einschliessen, oder mag derselbe an der Basis liegen: so ist auch die Basis der Basis und die übrigen Winkel den übrigen Winkeln gleich. Mag in der vorhergehenden Figur die Seite gleich der Seite , und gleich , und erstens der von den gleichen Seiten eingeschlossene Winkel gleich dem Winkel sein. Ich behaupte, dass auch die Basis der Basis , und der Winkel dem Winkel , und dem gleich sei. Denn wir haben zwei Dreiecke und , deren Winkel und rechte, und gleich , als Reste von Gleichen und . Diese Dreiecke sind also, da auch gleich ist, congruent. Deshalb lassen die Gleichen und auch gleiche Reste und . Es ist aber schon bewiesen, dass der Winkel gleich dem Winkel sei und dass die Winkel bei und rechte sind, also sind auch die Dreiecke und congruent, woraus sich als Reste gleich , und gleich ergeben; und hieraus folgt, dass die Winkel und , und also auch die Reste und einander gleich sind. Wenn aber anstatt der Seiten und , die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Basen und als gleich angenommen werden: so lässt es sich für die anliegenden auf dieselbe Weise beweisen, weil wir wegen der gleichen Aussenwinkel und und der rechten und und wegen der gleichen Seiten und wiederum wie früher zwei Dreiecke und von beziehlich gleichen Seiten und Winkeln haben. Auf ähnliche Weise sind auch die Theil-Dreiecke und congruent, weil und rechte, und gleiche Winkel und und als Reste von Quadranten gleiche Seiten sind, woraus dasselbe folgt, was wir behauptet haben.

9.

Im gleichschenkligen sphärischen Dreiecke sind die Winkel an der Basis unter sich gleich. Es sei ein Dreieck, dessen beide Seiten und gleich sind, so behaupte ich, dass die Winkel an der Basis und [52] gleich sind.

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Durch den Scheitel werde ein grösster Kreis gezogen, welcher die Basis rechtwinklig schneidet, also durch die Pole derselben geht. Da nun in den Dreiecken und die Seite gleich der Seite , und beiden gemeinschaftlich ist, und die Winkel bei rechte sind: so ist nach dem vorigen Beweise klar, dass die Winkel und gleich sind, was zu beweisen war.
Zusatz.

Hieraus folgt, dass der Bogen, welcher von dem Scheitel eines gleichschenkligen Dreiecks aus die Basis rechtwinklig trifft, zugleich die Basis und den von den gleichen Seiten eingeschlossenen Winkel halbirt, und umgekehrt, was aus dem eben gegebenen Beweise sich ergiebt.

10.

Irgend welche zwei Dreiecke auf derselben Kugel, haben, wenn ihre Seiten beziehlich einander gleich sind, auch einzeln beziehlich gleiche Winkel. Denn weil drei Abschnitte grösster Kreise auf beiden Seiten Pyramiden bilden, welche ihre Gipfel im Mittelpunkte der Kugel haben, deren Grundflächen aber ebene Dreiecke sind, die von den Sehnen der Bogen der sphärischen Dreiecke eingeschlossen werden, so sind auch diese Pyramiden einander ähnlich und gleich, nach der Definition gleicher und ähnlicher körperlicher Figuren. Der Grund der Aehnlichkeit liegt darin, dass sie Winkel enthalten, die auf welche Weise sie auch genommen werden mögen, einander beziehlich gleich sind; folglich enthalten auch die Dreiecke selbst einander beziehlich gleiche Winkel. Zumal Diejenigen, welche die Aehnlichkeit der Figuren allgemeiner definiren, dieselbe darin finden wollen, dass diese irgendwie übereinstimmend geneigte Ebenen und in denselben einander gleiche Winkel enthalten. Hieraus scheint mir zu erhellen, dass sphärische Dreiecke, welche beziehlich gleiche Seiten haben, ähnlich sind, wie die ebenen.

11.
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Jedes Dreieck, von welchem zwei Seiten nebst irgend einem Winkel gegeben sind, wird dadurch zu einem von gegebenen Winkeln und Seiten. Denn wenn die gegebenen Seiten gleich wären: so würden die Winkel an der Basis gleich sein, und nachdem ein Bogen vom Scheitel gegen die Basis rechtwinklig gezogen ist, ergiebt sich leicht das Gesuchte nach dem Zusatze des neunten Satzes. Wenn aber die gegebenen Seiten ungleich wären, wie in dem Dreiecke , dessen Winkel gegeben sei, nebst zweien Seiten, welche den gegebenen Winkel entweder einschliessen oder nicht einschliessen, so

[53] mögen zuerst die gegebenen Seiten und denselben einschliessen, und nachdem zum Pole genommen ist, werde ein Bogen eines grössten Kreises beschrieben, die Quadranten und vollendet, und die Verlängerung von möge den Bogen im Punkte schneiden. So wird auch in dem Dreiecke die Seite als Rest des Quadranten durch gegeben. Auch wird der Winkel durch zu zweien Rechten ergänzt, denn es herrscht dieselbe Beziehung und Grösse der Winkel, welche durch das Schneiden grader Linien und der Ebenen gebildet werden, und ist ein rechter Winkel. Folglich ist nach dem vierten Satze dieses Capitels ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten. Und wiederum ist der Winkel des Dreiecks gefunden, und als rechter wegen des Polschnitts, auch die Seite , um welche die ganze die übertrifft. Es wird also nach demselben Lehrsatze auch ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten sein. Hieraus ergiebt sich durch auch die gesuchte Seite als Rest des Quadranten, und durch auch als Rest des Ganzen , dies ist der Winkel , und durch den Winkel auch der gesuchte Scheitelwinkel . Wenn anstatt , die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende als gegeben angenommen würde: so ergiebt sich dasselbe. Denn es ergeben sich als Reste der Quadranten und , und nach derselben Beweismethode zwei Dreiecke und von gegebenen Winkeln und Seiten, wie vorhin; wodurch ein Dreieck von gegebenen Seiten und Winkeln wird, was verlangt wurde.

12.

Aber auch wenn irgend welche zwei Winkel nebst irgend einer Seite gegeben sind, ergiebt sich dasselbe. Denn wenn die Construction der vorigen Figur bleibt: so mögen die beiden Winkel und nebst der, beiden Winkeln anliegenden, Seite des Dreiecks gegeben sein. Wenn nun einer der beiden Winkel ein rechter wäre: so könnten alle übrigen Stücke nach dem obigen 4ten Satze durch Rechnung gefunden werden. Hiervon wollen wir aber den Fall unterscheiden, wo die Winkel keine rechte sind. Es ist nun der Rest des Quadranten , und der Rest, wenn von zweien Rechten abgezogen wird, und ist ein Rechter. Folglich ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels, die Winkel nebst den Seiten des Dreiecks . Durch den gegebenen Winkel ergiebt sich der Bogen und der Rest ; ist ein Rechter und ist beiden Dreiecken gemeinschaftlich. Ebenso ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels und , wodurch sich die beiden andern gesuchten Seiten und herausstellen. Wenn ferner einer der beiden gegebenen Winkel der gegebenen Seite gegenüberliegt, z. B. wenn der Winkel statt gegeben wäre, während die übrigen Stücke dieselben bleiben: so stellt sich durch dieselbe Beweismethode das ganze als ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten heraus, und ebenso das Theil-Dreieck , weil im vorigen Satze bewiesen ist, dass aus dem, beiden gemeinsamen, Winkel , aus dem Winkel [54] , welcher der Scheitelwinkel eines gegebenen ist, und aus dem rechten , auch alle Seiten desselben sich ergeben. Hieraus folgt denn endlich dasselbe, was wir behauptet haben. Denn Alles dies steht immer in wechselseitigem und stetigem Zusammenhange, wie es der Form der Kugel zukommt.

13.
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Endlich ergeben sich bei einem Dreiecke, dessen sämmtliche Seiten gegeben sind, auch die Winkel. Mögen in dem Dreiecke alle Seiten gegeben sein, so behaupte ich, dass auch alle Winkel gefunden werden können. Denn entweder enthält das Dreieck selbst gleiche Seiten, oder nicht. Es seien also zuerst und gleich: so ist offenbar, dass auch die Hälften der Sehnen der doppelten Seiten gleich sind. Diese mögen und sein, die sich im Punkte schneiden, weil ihr Abstand vom Mittelpunkte der Kugel auf dem gemeinschaftlichen Schnitte der Kreise gleich ist, was sich aus der 4ten Definition des dritten Buches von Euklid und deren Umkehrung ergiebt. Aber nach der dritten Proposition desselben Buches ist der Winkel in der Ebene ein rechter, und ebenfalls in der Ebene . Daher ist der Winkel nach der 4ten Definition des elften Buches von Euklid der Neigungswinkel dieser Ebenen, welchen wir auf diese Weise finden. Denn da die Sehne eine grade Linie ist: so haben wir ein gradliniges Dreieck von gegebenen Seiten, weil ihre Bogen gegeben sind, und folglich auch von gegebenen Winkeln, und wir erhalten den gesuchten Winkel , d. h. den sphärischen , und die übrigen nach dem Früheren. Wenn aber das Dreieck ungleichseitig ist, wie in der zweiten Figur: so ist klar, dass die halben Sehnen der doppelten Bogen sich nicht treffen.
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Weil wenn der Bogen grösser als ist, die halbe Sehne des doppelten , also , tiefer, wenn kleiner, höher fällt, je nachdem diese graden Linien, nach dem 15ten Satze des dritten Buches von Euklid, näher oder entfernter vom Mittelpunkte treffen. Dann aber wird mit eine Parallele gezogen, welche den gemeinschaftlichen Schnitt der Kreisausschnitte in schneidet, und mit verbunden. Nun ist offenbar, dass der Winkel ein rechter ist, nämlich gleich ; und da die halbe Sehne des doppelten ist: so ist auch ein rechter. Folglich ist der Neigungswinkel der Kreise und , den wir also dadurch auch finden. Denn es ist zu wie zu , wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke und . Es ergiebt sich also in denselben Maasstheilen als in welchen gegeben ist. Aber

[55] in demselben Verhältnisse steht auch zu , es ergiebt sich also auch in denselben Maasstheilen, in welchen gegeben ist, nämlich in 100000. Auch ist der Winkel durch den Bogen gegeben. Es ergiebt sich also nach dem 2ten Satze der ebenen Dreiecke die Seite in denselben Maasstheilen, in welchen die übrigen Seiten des Dreiecks gegeben sind, folglich haben wir nach dem letzten Satze der ebenen Dreiecke den Winkel , das ist der gesuchte sphärische , und dann erhalten wir die übrigen nach dem 11ten Satze der sphärischen Dreiecke.

14.
Wenn ein gegebener Kreisbogen irgend wo geschnitten wird, so dass jeder von beiden Abschnitten kleiner ist, als ein Halbkreis, und das Verhältniss der halben Sehne des doppelten einen Abschnittes zur halben Sehne des doppelten andern gegeben ist: so ergeben sich auch die Bogen der Abschnitte selbst.
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Denn es sei der Bogen , dessen Mittelpunkt , gegeben, und er werde in irgend einem Punkte geschnitten und zwar so, dass die Abschnitte kleiner sind, als der Halbkreis; das Längen-Verhältniss der halben Sehne des doppelten zur halben Sehne des doppelten sei auf irgend eine Weise gegeben: so behaupte ich, dass auch die Bogen und sich ergeben. Denn man ziehe die Grade , welche den Durchmesser im Punkte schneidet; von den Endpunkten und aber fälle man Perpendikel auf den Durchmesser, nämlich und : so müssen dies die Hälften der Sehnen von den doppelten und sein. Die Winkel der rechtwinkligen Dreiecke und am Scheitel sind gleich, und deshalb sind die Dreiecke selbst gleichwinklig und ähnlich, und ihre, gleichen Winkeln gegenüberliegenden, Seiten sind proportional, z. B. zu wie zu . In welchen Zahlen also oder gegeben sind, in denen haben wir auch und , aus diesen ergiebt sich auch die ganze in denselben Zahlen. Aber die Sehne des Bogens ergiebt sich in Maasstheilen, in welchen der Radius , die Hälfte von , und der Rest sich ergeben. Man ziehe und , welche ebenfalls in denselben Maasstheilen sich ergeben, in welchen , als die halbe Sehne des Abschnittes, welcher vom Halbkreise übrig bleibt, wenn man davon abzieht, und welcher von dem Winkel umfasst wird, und folglich ergiebt sich der Winkel , welcher die Hälfte des Bogens umfasst. Aber auch in dem Dreiecke , das zwei gegebene Seiten und den rechten Winkel enthält, ergiebt sich , und hieraus der ganze Winkel , welcher den Bogen umfasst, wodurch auch der Rest sich herausstellt, was nachzuweisen erzielt wurde. [56]
15.
In einem Dreiecke, dessen sämmtliche Winkel, auch wenn kein rechter dabei ist, gegeben sind, ergeben sich auch alle Seiten. Es sei ein Dreieck, dessen sämmtliche Winkel gegeben sind, deren keiner ein rechter ist. Ich behaupte, dass sich auch sämmtliche Seiten desselben ergeben.
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Denn durch irgend einen der Winkel z. B. durch und durch die Pole des Bogens construire man einen Bogen , welcher also den Bogen rechtwinklig schneidet; und selbst fällt innerhalb des Dreiecks, wenn nicht der eine der Winkel an der Basis, oder , ein stumpfer und der andere ein spitzer ist; ist aber dies der Fall: so ist der Kreis durch eben diesen stumpfen Winkel nach der Basis zu ziehen. Nachdem nun die Quadranten , , vollendet und und als Pole genommen sind, construire man die Bogen und . Die Winkel und sind also rechte. In den rechtwinkeligen Dreiecken wird sich also die halbe Sehne des doppelten zur halben Sehne des doppelten verhalten, wie der halbe Durchmesser der Kugel zur halben Sehne des doppelten Winkels . Ebenso verhält sich in dem den rechten Winkel enthaltenden Dreiecke die halbe Sehne des doppelten zur halben Sehne des doppelten , wie der halbe Durchmesser der Kugel zur halben Sehne des doppelten Winkels . Und aus gleichem Grunde verhält sich die halbe Sehne des doppelten zur halben Sehne des doppelten , wie die halbe Sehne des doppelten Winkels zur halben Sehne des doppelten Winkels . Und weil die Bogen und gegeben sind, — sie sind nämlich die Reste, um welche sich die Winkel und von rechten unterscheiden —, so haben wir hierdurch das Verhältniss der Winkel und , d. h. und , welche zu jenen Scheitelwinkel sind, als gegebene. Der ganze Winkel