Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Erstes Buch

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Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879) von Nicolaus Copernicus

Zweites Buch Teil A →

Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen.

Erstes Buch.

^[1] Unter den vielen verschiedenen Studien der Wissenschaften und Künste, durch welche sich der Menschengeist entwickelt, halte ich diejenigen vorzüglich für werth, ergriffen und mit dem höchsten Eifer betrieben zu werden, welche sich mit den schönsten und wissenswürdigsten Gegenständen beschäftigen. Diese sind nun diejenigen, welche von den himmlischen Kreisbewegungen der Welt, dem Laufe der Gestirne, den Grössen und Entfernungen, dem Auf- und Untergange und den Ursachen der übrigen Himmelserscheinungen handeln, und endlich die gesammte Form entwickeln. Was aber ist schöner, als der Himmel, welcher ja alles Schöne enthält? Die lateinischen Namen selbst, — caelum der Himmel und mundus die Welt, — deuten dies schon an, dieser durch die Bezeichnung der Reinheit und des Schmuckes, jener durch die Bedeutung des kunstreich Gestalteten. Wegen seiner sichtlichen, übergrossen Herrlichkeit nannten ihn die meisten Philosophen: Gott. Deswegen, wenn die Würde der Wissenschaften nach dem Gegenstande abgeschätzt werden soll, den sie behandeln, wird diejenige bei Weitem die Höchste sein, welche Einige Astronomie, Andere Astrologie, viele der Alten aber die Vollendung der Mathematik nennen. In der That wird die dem freien Manne würdigste, als das Haupt der freien Künste, fast von allen Zweigen der Mathematik getragen. Arithmetik, Geometrie, Optik, Geodäsie, Mechanik und wenn es sonst noch Andere giebt, alle beziehen sich auf jene. Wenn es aber die Aufgabe aller Wissenschaften ist, den Menschengeist der Sünde zu entziehen und auf das Bessere zu lenken, so kann sie dies, neben einer unglaublichen Beseligung des Geistes, im Uebermasse bewirken. Denn wer würde nicht beim Erforschen dessen, was er in der besten Ordnung gegründet, von der göttlichen Vorsehung gelenkt erkennt, durch fleissige Betrachtung desselben und durch eine gewisse Vertrautheit damit, zu dem Besten angeregt, und den Urheber des All’s bewundern, worin alles Glück und alles Gute besteht? Vergebens würde jener göttliche Sänger von sich sagen, dass er sich an der Schöpfung Gottes erfreue, und bei den Werken seiner Hände jauchzen möchte, wenn wir nicht durch diese Mittel, gleichsam wie auf einem Gefährt, zu der Anschauung des höchsten Gottes geführt würden. Welchen Nutzen und welche Zierde sie dem Staate, — um die unzähligen Vortheile des Privatmannes zu übergehen, — verleiht, hat Plato sehr gut nachgewiesen, der sie im siebenten Buche der Gesetze hauptsächlich deswegen für erstrebenswerth erachtet, weil die durch sie nach dem Massstabe der Tage in Monate und Jahre eingetheilte Zeit den Staat in Bezug auf die Feste und Opfer lebendig und wachsam macht; und er sagt, dass, wenn Jemand behauptete, dass für Einen, der irgend welche der höchsten Wissenschaften erfassen will, diese nicht nöthig sei, dieser sehr thöricht denken würde. Er ist der Ansicht, es sei weit gefehlt, dass Jemand als gross aufgestellt und bezeichnet werden könnte, der weder von der Sonne, noch von dem Monde, noch von den übrigen Gestirnen die nothwendige Kenntniss besitze. Diese mehr göttliche als menschliche Wissenschaft, welche die höchsten Dinge erforscht, entbehrt aber auch nicht der Schwierigkeiten, zumal wir sehen, dass die Meisten, welche es unternommen haben, sich damit zu beschäftigen, über ihre Grundlagen und Annahmen, welche die Griechen Hypothesen nennen, uneinig gewesen sind und daher sich nicht auf dieselben Berechnungen gestützt haben. Ferner weil der Lauf der Fixsterne und die Kreisbewegung der Planeten nur erst mit der Zeit und nach vielen vorangegangenen Beobachtungen, aus welchen sie, so zu sagen, von Hand zu Hand der Nachwelt überliefert wurden, durch zuverlässige Zahlen bestimmt und zu einer vollkommenen Wissenschaft gestaltet werden können. Denn obgleich Cl. Ptolemäus von Alexandrien, welcher an bewunderungswürdiger Geschicklichkeit und Umsicht die Uebrigen weit überragt, mit Hülfe der Beobachtungen von vierhundert und mehr Jahren diese Wissenschaft fast zur höchsten Vollendung gebracht hat, so dass es bereits den Anschein hatte, als gäbe es nichts, was er nicht berührt hätte: so sehen wir doch, dass das Meiste mit dem nicht übereinstimmt, was aus seiner Ueberlieferung folgen sollte, weil noch einige andere Bewegungen aufgefunden sind, welche ihm noch unbekannt waren. Deshalb sagt auch Plutarch da, wo er vom Sonnenjahre handelt: „bis jetzt übersteigt die Bewegung der Gestirne die Einsicht der Mathematiker.“ Um nämlich bei dem Beispiele von dem Jahre stehen zu bleiben, so halte ich es für bekannt, wie verschieden die Meinungen darüber immer gewesen sind, und zwar bis zu dem Grade, dass Viele daran verzweifelten, eine zuverlässige Berechnung desselben finden zu können. Damit es aber nicht so scheine, als wollte ich meine Schwachheit unter dem Vorwande dieser Schwierigkeit verbergen, so werde ich mit Hülfe Gottes, ohne den wir nichts vermögen, an den andern Planeten dieses weitläufiger zu prüfen versuchen, indem wir desto mehr Hülfsmittel besitzen, unsere Theorie zu unterstützen, um einen je grösseren Zeitraum die Gründer dieser Wissenschaft uns vorangegangen sind, mit deren Beobachtungen wir das vergleichen können, was auch wir von Neuem beobachtet haben. Uebrigens gestehe ich, dass ich Vieles anders, als meine Vorgänger darstellen werde, wenngleich auf Grund ihrer eigenen Dienste, da sie ja den ersten Zugang zu der Untersuchung dieser Gegenstände eröffnet haben.

Capitel 1.

Dass die Welt kugelförmig sei.^[2]

Zuerst müssen wir bemerken, dass die Welt kugelförmig ist, theils weil diese Form, als die vollendete, keiner Fuge bedürftige Ganzheit, die vollkommenste von allen ist, theils weil sie die geräumigste Form bildet, welche am meisten dazu geeignet ist, Alles zu enthalten und zu bewahren; oder auch weil alle in sich abgeschlossene Theile der Welt, ich meine die Sonne, den Mond und die Planeten, in dieser Form erscheinen; oder weil Alles dahin strebt, sich in dieser Form zu begrenzen, was an den Tropfen des Wassers und an den übrigen flüssigen Körpern zur Erscheinung kommt, wenn sie sich aus sich selbst zu begrenzen streben. So dass Niemand bezweifeln wird, dass diese Form den himmlischen Körpern^{[WS 1]} zukommt.

Capitel 2.

Dass die Erde gleichfalls kugelförmig sei.^[3]

Dass die Erde gleichfalls kugelförmig sei, ist deshalb ausser Zweifel, weil sie sich von allen Seiten auf ihren Mittelpunkt stützt. Obgleich ein vollkommener Kreis bei der grossen Erhebung der Berge und der Vertiefung der Thäler nicht sogleich wahrgenommen wird, so beeinträchtigt dies doch die allgemeine Rundung der Erde keineswegs. Dies wird auf folgende Weise klar. Für Diejenigen, welche irgend woher nach Norden gehen, erhebt sich der Nordpol der täglichen Kreisbewegung allmälig, während der andere um ebensoviel sinkt. Die meisten Sterne in der Gegend des grossen Bären scheinen nicht unterzugehen, und im Süden Einige nicht mehr aufzugehn. So sieht Italien den Canopus nicht, der den Aegyptern sichtbar ist. Und Italien sieht den äussersten Stern des Flusses, welchen unsre Gegend einer kältern Zone nicht kennt. Dagegen erheben sich für Diejenigen, welche nach Süden reisen, jene, während diejenigen untergehen, welche für uns hoch stehen. Nun haben auch die Neigungen der Pole selbst zu den durchmessenen Räumen der Erde immer dasselbe Verhältniss, was bei keiner andern, als bei der Kugelgestalt, zutrifft. Daher ist offenbar, dass auch die Erde zwischen den Polen eingeschlossen und deswegen kugelförmig ist. Nehmen wir noch hinzu, dass die Bewohner des Ostens die am Abend, und die nach Westen Wohnenden die am Morgen eintretenden Sonnen- und Mond-Finsternisse nicht wahrnehmen, die dazwischen Wohnenden aber jene später, diese dagegen früher sehen. Dass auch das Wasser derselben Form unterworfen ist, wird auf den Schiffen wahrgenommen, indem das Land, was man vom Schiffe aus nicht sehen kann, von der Spitze des Mastbaums erspäht wird, und umgekehrt, wenn eine Leuchte an der Spitze des Mastbaums angebracht wird: so scheint dieselbe, wenn das Schiff sich vom Lande entfernt, den am Gestade Zurückbleibenden allmälig hinabzusteigen, bis sie zuletzt, gleichsam untergehend, verschwindet. Es ist klar, dass auch das Wasser seiner flüssigen Natur nach, ebenso wie die Erde, immer nach unten strebt, und sich vom Ufer ab nicht höher erhebt, als dies seine Convexität zulässt. Daher ragt das Land überall um so viel aus dem Ocean hervor, als das Land zufällig höher ist.

Capitel 3.

Wie das Land mit dem Wasser eine Kugel ausmacht.

Indem der das Land umgebende Ocean seine Gewässer nach allen Seiten verbreitet, füllt er die eingesenkten Vertiefungen desselben aus. Daher war es nöthig, dass es weniger Wasser gäbe, als Land, damit das Wasser nicht den ganzen Erdkreis verschlänge, indem Beide vermöge ihrer Schwere nach einem und demselben Mittelpunkte streben; sondern dass es einige Erdtheile und so viele nach allen Seiten freiliegende Inseln, den lebendigen Wesen zum Heile, übrig lasse. Denn selbst das Festland und der Erdkreis, was sind sie Anders, als eine Insel, grösser, als die übrigen? Und man darf nicht auf gewisse Peripatetiker hören, welche behauptet haben, das gesammte Wasser sei zehnmal so viel, als das ganze Land, weil nämlich bei der Verwandlung der Elemente aus einem Theile Erde zehn Theile Wasser in flüssigem Zustande entständen; und welche, unter Annahme dieser Voraussetzung, sagen, das Land rage deswegen hervor, weil es wegen seiner Höhlungen in Hinsicht der Schwere nicht nach allen Seiten im Gleichgewichte stehe, und der Mittelpunkt der Schwere daher ein anderer sei, als der Mittelpunkt des Umfanges. Sie täuschten sich aber aus Unkenntniss der Geometrie, indem sie nicht wussten, dass das Wasser nicht einmal siebenmal so viel betragen darf, wenn noch irgend ein Theil des Landes trocken gelegt werden soll, ohne dass das ganze Land den Mittelpunkt der Schwere räumt und dem Wasser überlässt, als ob dieses schwerer wäre, als jenes. Es stehen nämlich die Kugeln zu einander im cubischen Verhältnisse ihrer Durchmesser: wenn daher, bei sieben Theilen Wasser, der achte Theil Land wäre, so könnte der Durchmesser des letzteren nicht grösser sein, als der Halbmesser der Wasserkugel; um so weniger ist es möglich, dass das Wasser gar zehnmal so viel sein sollte.^[4] Dass auch kein Unterschied zwischen dem Mittelpunkte der Schwere der Erde und dem Mittelpunkte ihres Umfanges besteht, kann daraus erkannt werden, dass die aus dem Ocean hervorgetretene Erhebung des Landes nicht zu einer zusammenhängenden Beule angeschwollen ist; sonst würde sie das Wasser des Meeres aufs Aeusserste von sich ausschliessen, und durchaus nicht gestatten, dass Binnenmeere und grosse Busen sie unterbrächen. Ferner würde die Tiefe des Grundes von der Meeresküste an immer grösser werden, und deshalb würde Denen, welche grössere Seefahrten ausführten, weder eine Insel, noch eine Klippe, noch irgend etwas Landartiges aufstossen. Nun ist aber bekannt, dass zwischen dem ägyptischen Meere und dem arabischen Meerbusen fast in der Mitte der Ländermasse kaum fünfzehn Stadien breites Land hervorragt; dagegen dehnt Ptolemäus in seiner Kosmographie das bewohnte Land bis zum mittleren Längenkreise^[5] aus, wobei noch überdies das unbekannte Land ausser Acht gelassen ist, wo die Neueren Cathagya^[6] und sehr ausgedehnte Gegenden bis zu sechzig Längengraden hinzugefügt haben; so dass die Erde schon in einer grösseren Länge bewohnt ist, als das Uebrige des Oceans ausmacht. Das wird noch klarer werden, wenn diejenigen Inseln hinzugenommen werden, welche in unsrer Zeit unter den Herrschern Spaniens und Portugals entdeckt sind, und vorzüglich Amerika, welches nach seinem Entdecker, einem Schiffskapitän, benannt ist, und welches man, bei seiner noch nicht feststehenden Grösse für ein zweites Festland hält, ausser den vielen früher unbekannten Inseln; so dass wir uns nicht wundern dürfen, dass es Antipoden oder Antichthonen giebt. Denn nach geometrischer Berechnung muss man Amerika seiner Lage nach dem Indien des Ganges diametral entgegengesetzt annehmen. Nach allem Diesen halte ich es endlich für ausgemacht, dass das Land zugleich mit dem Wasser sich auf einem einzigen Mittelpunkt bezieht, dass es keinen andern Mittelpunkt des Umfanges des Landes giebt, dass die zerrissenen Theile des Landes, obgleich Letzteres schwerer ist, mit Wasser ausgefüllt sind, und dass also das Wasser im Vergleich zu dem Lande gering ist, wenngleich an der Oberfläche vielleicht mehr Wasser erscheint. Dass das Land mit dem es umfliessenden Wasser eine solche Gestalt habe, wie der Schatten der Erde zeigt, ist durchaus nothwendig, dieser aber verfinstert den Mond in Theilen eines vollkommenen Kreises. Die Erde ist daher weder eben, wie Empedokles und Anaximenes gemeint haben, noch paukenförmig, wie Leucipp, noch beckenförmig, wie Heraklid, noch auf eine andere Weise ausgehöhlt, wie Demokrit, noch walzenförmig, wie Anaximander, noch am untern Ende mit abnehmender Dicke nach der Tiefe hin unbegrenzt, wie Xenophanes: — sondern von vollkommener Rundung, wie die Philosophen dafür halten.

Capitel 4.

Dass die Bewegung der Himmelskörper gleichmässig, kreisförmig, ununterbrochen, oder aus kreisförmigen zusammengesetzt sei.

Hiernach bemerken wir, dass die Bewegung der Himmelskörper kreisförmig ist. Die Beweglichkeit einer Kugel besteht nämlich darin, sich im Kreise zu bewegen, indem sie durch diese Thätigkeit ihre Form, als diejenige des einfachsten Körpers, ausdrückt, an welchem weder ein Anfang noch ein Ende zu finden, noch eines von dem andern zu unterscheiden ist, während sie durch dieselben Zwischenpunkte in ihre ursprüngliche Lage gelangt. Wegen der Vielheit der Kreise giebt es aber mehrere Bewegungen. Die bekannteste von Allen ist die tägliche Kreisbewegung, welche die Griechen Nychthemeron nennen, d. h. der Zeitraum von Tag und Nacht. Durch diese, meint man^[7], bewege sich die ganze Welt, mit Ausnahme der Erde, von Osten nach Westen. Sie wird als gemeinschaftliches Maass für alle Bewegungen erkannt, da die Zeit selbst hauptsächlich nach der Anzahl der Tage gemessen wird. Ferner sehen wir andere, gleichsam rückläufige Kreisbewegungen, d. h. von Westen nach Osten, vor sich gehen: nämlich diejenige der Sonne, des Mondes und der fünf Planeten. So misst uns die Sonne das Jahr, der Mond die Monate, als die gewöhnlichsten Zeitabschnitte, zu; so vollendet jeder der andern fünf Planeten seinen Umlauf. — Sie unterscheiden sich jedoch in mehrfacher Weise: erstens darin, dass sie sich nicht um dieselben Pole, um welche jene erste Bewegung vor sich geht, drehen, indem sie in der schiefen Lage des Thierkreises fortschreiten; zweitens darin, dass sie in ihrem eigenen Umlaufe sich nicht gleichmässig zu bewegen scheinen, denn Sonne und Mond werden bald in langsamerem, bald in schnellerem Laufe begriffen angetroffen; die übrigen fünf Planeten sehen wir aber auch zuweilen zurückgehen und bei dem Uebergange stillstehen, und, während die Sonne immer in ihrem directen Wege fortrückt, irren jene auf verschiedene Weisen ab, indem sie bald nach Süden, bald nach Norden schweifen, weshalb sie eben Planeten heissen. Hierzu kommt noch, dass sie zuweilen der Erde näher kommen, wo sie perigeisch, dann wieder sich mehr von ihr entfernen, wo sie apogeisch genannt werden. Nichtsdestoweniger muss zugegeben werden, dass die Bewegungen kreisförmig, oder aus mehreren Kreisen zusammengesetzt sind, wodurch derartige Ungleichheiten sich nach einem zuverlässigen Gesetze und einer feststehenden Periode richten, was nicht geschehen könnte, wenn sie nicht kreisförmig wären. Denn der Kreis kann allein das Vergangene zurückführen, wie denn die Sonne, so zu sagen, uns durch ihre aus Kreisen zusammengesetzte Bewegung die Ungleichheit der Tage und Nächte und die vier Jahreszeiten zurückführt, woran mehrere Bewegungen erkannt werden, weil es nicht geschehen kann, dass die einfachen Himmelskörper sich in einem einzigen Kreise ungleichmässig bewegen; denn dies müsste geschehen, entweder wegen einer Unbeständigkeit in der Natur des Bewegenden, — möchte sie nun durch eine ihm äusserliche Ursache, oder durch sein inneres Wesen herbeigeführt sein —, oder wegen einer Ungleichheit des bewegten Körpers. Da aber der Verstand sich gegen Beides sträubt, und es unwürdig ist, so etwas bei Demjenigen anzunehmen, welches nach der besten Ordnung eingerichtet ist: so muss man zugeben, dass die gleichmässigen Bewegungen uns ungleichmässig erscheinen, entweder wegen der Verschiedenheit der Pole jener Kreise, oder weil die Erde nicht im Mittelpunkte der Kreise sich befindet, in welchen sich jene bewegen; und dass sie uns, die wir die Bewegungen der Gestirne von der Erde aus beobachten, wegen der ungleichen Entfernungen, in grösserer Nähe grösser vorkommen, als wenn sie in grösserem Abstande von uns vor sich gehen, — wie das in der Optik nachgewiesen wird —. Auf diese Weise erscheinen uns die Bewegungen, welche in gleichen Zeiten durch gleiche Bogen verlaufen, wegen der verschiedenen Entfernungen, ungleich. Deshalb halte ich es vor allen Dingen für nothwendig, dass wir sorgfältig untersuchen, welche Stellung die Erde zum Himmel hat, damit wir, während wir das Erhabenste erforschen wollen, nicht das Nächste ausser Acht lassen, und irrthümlich das, was der Erde zukommt, den Himmelskörpern zuschreiben.

Capitel 5.

Ob der Erde eine kreisförmige Bewegung zukomme? und über ihren Ort.

Da schon nachgewiesen ist, dass die Erde die Gestalt einer Kugel hat, so halte ich dafür, dass untersucht werden muss, ob aus ihrer Form auch eine Bewegung folgt, und welchen Ort sie im Weltall einnimmt? — Ohne Dieses ist keine sichere Berechnung der am Himmel vor sich gehenden Erscheinungen zu finden. Der grösste Theil der Schriftsteller stimmt freilich darin überein, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhe, so dass sie es für unbegreiflich und sogar für lächerlich halten, das Gegentheil zu meinen. Wenn man jedoch die Sache sorgfältiger erwägt, so wird man einsehen, dass diese Frage noch nicht erledigt, und deshalb keinesweges gering zu achten ist. Jede Ortsveränderung, welche wahrgenommen wird, rührt nämlich von einer Bewegung entweder des beobachteten Gegenstandes, oder des Beobachters, oder von, natürlich verschiedenen, Bewegungen Beider her; denn wenn der beobachtete Gegenstand und der Beobachter sich in gleicher Weise und in gleicher Richtung bewegen: so wird keine Bewegung wahrgenommen. Nun ist es aber die Erde, von wo aus der Umlauf des Himmels beobachtet, und wo derselbe unsern Augen vorgeführt wird. Wenn daher der Erde irgend eine Bewegung zukäme, so würde diese an Allem, was sich ausserhalb jener befindet, zur Erscheinung kommen, aber in entgegengesetzter Richtung, gleichsam als ob Alles an der Erde vorüber zöge; und dieser Art ist denn vorzüglich die tägliche Kreisbewegung. Denn diese scheint die ganze Welt zu ergreifen und zwar Alles, was ausserhalb der Erde ist, mit alleiniger Ausnahme der Erde selbst. Wenn man aber zugäbe, dass dem Himmel nichts von dieser Bewegung eigen sei, sondern dass die Erde sich von Westen nach Osten drehe, und wenn man dies ernstlich in Bezug auf den erscheinenden Auf- und Untergang der Sonne, des Mondes und der Sterne erwöge: so würde man finden, dass es sich so verhält. Da der Himmel, der Alles enthält und birgt, der gemeinschaftliche Ort aller Dinge ist, so lässt sich nicht sogleich verstehen, warum nicht eher dem Enthaltenen als dem Enthaltenden, dem Gesetzten, als dem Setzenden, eine Bewegung zugeschrieben wird. Dieser Meinung waren wirklich die Pythagoräer Heraklid und Ekphantus^[8] und der Syracusaner Nicetas bei Cicero^[9], indem sie die Erde in der Mitte der Welt sich drehen liessen. Sie waren nämlich der Ansicht, dass die Gestirne durch das Dazwischentreten der Erde unter- und durch das Zurückweichen derselben aufgingen. Aus dieser Annahme folgt der andere, nicht geringere Zweifel über den Ort der Erde, obgleich fast von Allen angenommen und geglaubt worden ist, dass die Erde die Mitte der Welt einnehme. Wenn daher Jemand behauptete, dass die Erde sich nicht in dem Mittelpunkte der Welt befinde, dass aber der Abstand zwischen Beiden zwar nicht gross genug sei, um an der Fixsternsphäre gemessen werden zu können, wohl aber an den Bahnen der Sonne und der Planeten merklich und erkennbar würde; und wenn er ferner der Ansicht wäre, dass die Bewegungen der Letzteren aus diesem Grunde unregelmässig erschienen, gleichsam als wenn dieselben in Bezug auf einen andern Mittelpunkt, als denjenigen der Erde, geregelt wären: — so könnte ein Solcher vielleicht den wahren Grund der ungleichmässig erscheinenden Bewegung angegeben haben. Denn da die Planeten der Erde bald näher bald entfernter erscheinen, so verräth dies nothwendig, dass der Mittelpunkt der Erde nicht der Mittelpunkt jener Kreisbahnen ist; weshalb auch nicht feststeht, ob die Erde ihre Entfernung von Jenen verkleinert oder vergrössert, oder Jene ihre Entfernung von der Erde. Es würde also nicht zum Verwundern sein, wenn Jemand ausser jener täglichen Umwälzung, der Erde noch eine andere Bewegung zuschriebe. Dass aber die Erde sich drehe, mit mehreren Bewegungen sich im Raume fortbewege und zu den Planeten gehöre, soll nun der Pythagoräer Philolaus^[8], ein nicht gewöhnlicher Mathematiker, geglaubt haben, weshalb Plato nicht zögerte, nach Italien zu reisen, um ihn aufzusuchen, wie Diejenigen erzählen, welche Plato’s Leben beschrieben haben. Viele glaubten dagegen, es könne durch mathematische Berechnung erwiesen werden, dass sich die Erde in der Mitte der Welt befinde, und, da sie gegen die ungeheure Grösse des Himmels als Punkt gelten könne, den Ort des Mittelpunktes einnähme, und aus diesem Grunde unbeweglich sei; weil, wenn sich das Universum bewegte, der Mittelpunkt unbewegt bliebe, und dasjenige, was dem Mittelpunkte am nächsten wäre, sich am langsamsten bewegte.

Capitel 6.

Ueber die Unermesslichkeit des Himmels im Verhältnisse zu der Grösse der Erde.^[10]

Dass die so grosse Masse der Erde, im Verhältnisse zu der Grösse des Himmels, nicht in Betracht kommt, kann daraus erkannt werden, dass die begrenzenden Kreise, — das bedeuten nämlich die Horizontes der Griechen, — die ganze Himmelskugel halbiren; was nicht geschehen könnte, wenn die Grösse der Erde, oder ihr Abstand vom Mittelpunkte der Welt, im Vergleich mit dem Himmel merklich wäre.

Der eine Kugel halbirende Kreis geht nämlich durch den Mittelpunkt der Kugel, und ist der grösste von den umschriebenen Kreisen. Es sei $a$ $b$ $c$ $d$ ein begrenzender Kreis, die Erde aber, von welcher aus wir ihn sehen, sei $e$: so ist eben dies $e$ der Mittelpunkt des Horizontes, durch welchen alles Erscheinende von dem Nichterscheindenden geschieden wird. Erblickt man nun durch ein, in $e$ aufgestelltes Diopter, oder Horoskop, oder durch

eine Wasserwage, den Aufgang des Anfanges des Krebses im Punkte $c$: so sieht man in demselben Augenblicke den Anfang des Steinbocks in $a$ untergehen. Da die Punkte $a$, $e$ und $c$ in einer durch das Diopter gehenden graden Linie liegen: so ist klar, dass letztere der Durchmesser der Ekliptik ist; und da sechs Zeichen den Halbkreis bestimmen, so ist auch $e$ der Mittelpunkt des Horizontes. Wenn bei einer andern Umwälzung der Anfang des Steinbocks in $b$ aufgeht, so wird der Untergang des Krebses in $d$ gesehen werden, und $bed$ wird eine grade Linie, und zwar der Durchmesser der Ekliptik sein. Es hat sich aber schon gezeigt, dass $aec$ der Durchmesser desselben Kreises ist, folglich ist klar, dass der Mittelpunkt des Kreises in dem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte liegt. So halbirt also immer der Horizont die Ekliptik, welche ein grösster Kreis der Kugel ist. Da nun ein Kreis auf einer Kugel, wenn er durch den Mittelpunkt eines grössten Kreises geht, selbst ein grösster Kreis ist, so gehört der Horizont zu den grössten Kreisen, und sein Mittelpunkt ist zugleich derjenige der Ekliptik. Weil aber die Linie durch die Oberfläche der Erde nothwendig eine andere ist, als diejenige durch ihren Mittelpunkt, beide aber wegen der Unermesslichkeit im Verhältnisse zur Erde gewissermassen Parallelen ähnlich sind, welche, wegen des zu kleinen Abstandes an der Grenze, eine einzige Linie zu sein scheinen, — da der Zwischenraum, den sie einschliessen, im Verhältnisse zu ihrer Länge, in der Weise, wie dies in der Optik gezeigt wird, nicht wahrnehmbar ist: — so scheint dies ohne Zweifel hinreichend zu beweisen, dass der Himmel im Vergleiche mit der Erde unermesslich sei, und den Anschein einer unendlichen Grösse gewinnt, und dass die Erde zum Himmel, nach der Sinnenschätzung, wie ein Punkt zu einem Körper, und ein endlich Grosses zu einem unendlich Grossen sich verhält.^[11] Weiter ist aber auch nichts bewiesen, und es folgt namentlich nicht daraus, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhen müsse. Vielmehr müsste es uns recht befremden, wenn die so unermesslich ausgedehnte Welt sich leichter in 24 Stunden im Raume bewegte, als ein sehr kleiner Theil derselben, welcher die Erde ist. Denn, dass man behauptet, der Mittelpunkt sei unbeweglich, und das dem Mittelpunkte Benachbarte bewege sich langsamer, beweist nicht, dass die Erde im Mittelpunkte der Welt ruhe; es ist nämlich nichts Anderes, als wenn man sagte, der Himmel bewege sich, aber die Pole ruhen, und das den Polen Benachbarte bewege sich sehr langsam; wie denn der Polarstern sich viel langsamer, als der Adler oder der Sirius zu bewegen scheint, weil ersterer, als dem Pole nahe stehend, einen kleineren Kreis beschreibt, indem alle einer Kugel angehören, deren Bewegung, nach ihrer Axe hin abnehmend, eine unter sich gleiche Bewegung aller ihrer Theile nicht zulässt, während die Bewegung des Ganzen sie alle in gleichen Zeiten, aber durch ungleiche Räume hindurch herumführt. Hierauf beruht also der Grund des Beweises, dass die Erde, indem sie einen Theil der Himmelskugel ausmacht und derselben Art und Bewegung theilhaftig ist, als dem Mittelpunkte benachbart sich wenig bewege. Da sie nun ein existirender Körper und nicht selbst der Mittelpunkt ist: so würde sie sich selbst in derselben Zeit in den Himmelskreisen ähnlichen, wenn auch kleineren Kreisen bewegen. Wie falsch dies sei, ist klarer als das Licht, denn es müsste an einem und demselben Orte (der Erde) immer Mittag, an einem andern immer Mitternacht sein, so dass weder ein täglicher Aufgang, noch ein Untergang eintreten könnte, weil die Bewegung des Ganzen und des Theiles eine einzige untrennbare wäre. Es besteht aber ein sehr verschiedenes Verhältniss in Bezug auf das Ganze und dessen Theile, und dies löst die Schwierigkeit der Sache. Diejenigen nämlich, welche einen kleineren Kreis beschreiben, bewegen sich schneller, als diejenigen, welche einen grösseren Kreis durchlaufen. So vollendet der oberste der Planeten, der Saturn, seine Kreisbahn in dreissig Jahren, und der Mond, der ohne Zweifel der Erde am nächsten ist, in einem Monate, endlich wird man einräumen, dass die Erde in dem Zeitraume von einem Tage und einer Nacht sich um sich selbst drehe. Es kehrt also derselbe Zweifel über die tägliche Kreisbewegung hier wieder. Aber es handelt sich auch noch um den Ort der Erde, der aus dem Obigen noch nicht ganz gewiss folgt. Denn jener Beweis enthält nichts weiter, als dass die Grösse des Himmels im Verhältnisse zur Erde unendlich ist, aber bis wie weit sich diese Unermesslichkeit erstrecke, steht keinesweges fest. Ebenso wie sehr kleine und untheilbare Körperchen, sogenannte Atome, wenn sie zwei- oder einigemal genommen werden, wegen ihrer Unmerklichkeit, nicht sofort einen wahrnehmbaren Körper zusammensetzen; dennoch aber so oft multiplicirt werden können, dass sie endlich ausreichen, um zu einer wahrnehmbaren Grösse anzuwachsen: so verhält es sich auch mit dem Orte der Erde, — obgleich derselbe nicht in dem Mittelpunkte der Welt liegt, so ist dennoch diese Entfernung, namentlich im Vergleiche mit der Fixsternsphäre, noch nicht messbar.^[12]

Capitel 7.

Warum die Alten geglaubt haben, die Erde ruhe in der Mitte der Welt, gleichsam als Mittelpunkt?^[13]

Deshalb haben die alten Philosophen aus einigen anderen Gründen zu beweisen versucht, dass die Erde in der Mitte der Welt stehe. Als hauptsächlichste Ursache aber führen sie die Schwere und Leichtigkeit an. Das Element der Erde ist nämlich am schwersten, und alles Wägbare bewegt sich, seinem Streben gemäss, nach der innersten Mitte derselben hin. Da nun die Erde, nach welcher die schweren Gegenstände von allen Seiten her rechtwinklig auf die Oberfläche, vermöge ihrer eigenen Natur sich hinbewegen, kugelförmig ist: so würden sie, wenn sie nicht eben auf der Oberfläche zurückgehalten würden, in ihrem Mittelpunkte zusammentreffen; weil in der That eine grade Linie, welche gegen die Tangentialebene im Berührungspunkte senkrecht gerichtet ist, zum Mittelpunkte führt. Für diejenigen Körper aber, welche sich nach der Mitte hin bewegen, scheint zu folgen, dass sie in der Mitte ruhen würden. Um so mehr wird also die ganze Erde in der Mitte ruhen, und, was sie auch alles für fallende Körper in sich aufnimmt, durch ihr Gewicht unbeweglich bleiben. Ebenso stützen sie sich auch bei ihren Beweisen auf den Grund der Bewegung und deren Natur. Aristoteles^[14] sagt nämlich, dass die Bewegung eines einfachen Körpers einfach sei; von den einfachen Bewegungen sei aber die eine gradlinig, die andere kreisförmig; von der gradlinigen aber die eine aufwärts, die andere abwärts. Deshalb sei jede einfache Bewegung entweder nach der Mitte hin, nämlich abwärts, oder von der Mitte fort, nämlich aufwärts, oder um die Mitte herum, und diese wäre eben die kreisförmige. Nur der Erde und dem Wasser, welche für schwer gelten, kommt es zu, sich abwärts zu bewegen, d. h. nach der Mitte hin zu streben; der Luft aber und dem Feuer, welche mit Leichtigkeit begabt sind, aufwärts und von der Mitte fort sich zu bewegen. Es scheint klar, dass diesen vier Elementen die gradlinige Bewegung zugestanden werden muss; in Bezug auf die himmlischen Körper aber, dass sie sich um die Mitte im Kreise drehen. So Aristoteles. Wenn daher, sagt der Alexandriner Ptolemäus^[13], die Erde sich drehete, wenigstens in täglicher Umdrehung: so müsste das Gegentheil von dem Obengesagten eintreten, es müsste nämlich die Bewegung, welche in vier und zwanzig Stunden den ganzen Umfang der Erde durchliefe, die heftigste und ihre Geschwindigkeit unübertreffbar sein. Was aber in jähe Drehung versetzt wird, scheint zu einer Zusammenhäufung durchaus nicht geeignet zu sein, vielmehr zerstreut zu werden, wenn nicht die zusammenhängenden Theile mit einiger Festigkeit zusammengehalten würden. Und schon lange, sagt er, würde die lose Erde über den Himmel selbst, — was sehr lächerlich ist, — hinausgelangt, und um so weniger würden die lebenden Wesen und sonstigen losgelösten Massen irgendwie unerschüttert geblieben sein. Aber auch die gradlinig fallenden Körper würden nicht in der Senkrechten an den ihnen bestimmten Ort gelangen, da derselbe inzwischen mit so grosser Gechwindigkeit darunter weggezogen wäre. Auch würden wir die Wolken und was sonst in der Luft schwebte, immer nach Westen hin sich bewegen sehen.

Capitel 8.

Widerlegung der angeführten Gründe und ihre Unzulänglichkeit.

Aus diesen und ähnlichen Gründen behauptet man, dass die Erde in der Mitte der Welt ruhe, und dass es sich unzweifelhaft so verhalte. Aber wenn Einer glaubt, dass die Erde sich drehe, so wird er gewiss auch der Meinung sein, dass diese Bewegung eine natürliche und keine gewaltsame sei. Was aber der Natur gemäss ist, das bringt Wirkungen hervor, welche dem entgegengesetzt sind, was durch Gewalt geschieht. Dinge, auf welche Gewalt oder ein äusserer Anstoss ausgeübt wird, müssen zerstört werden, und können nicht lange bestehen; was aber von Natur geschieht, verhält sich richtig und bleibt in seinem besten Zusammenhange. Ohne Grund also fürchtet Ptolemäus^[13], dass die Erde und alle die in Umdrehung versetzten irdischen Gegenstände durch die Thätigkeit der Natur zerfahren würden, da diese Letztere eine ganz andere ist, als die der Kunst; oder als das, was vom menschlichen Geiste hervorgebracht werden könnte. Warum aber fürchtet er nicht Dasselbe, und zwar in noch viel höherem Masse von der Welt, deren Bewegung um so viel geschwinder sein müsste, um wie viel der Himmel grösser ist, als die Erde? Oder ist der Himmel deswegen unermesslich geworden, weil er durch die unaussprechliche Gewalt der Bewegung von der Mitte entfernt worden ist; während er sonst, wenn er stillstände, zusammenfallen würde? Gewiss würde, wenn dieser Grund stattfände, auch die Grösse des Himmels in’s Unendliche gehen. Denn je mehr er durch den äusseren Anstoss der Bewegung in die Höhe getrieben würde, um so geschwinder würde die Bewegung werden, wegen des immer wachsenden Kreises, den er in dem Zeitraume von 24 Stunden durchlaufen müsste; und umgekehrt, wenn die Bewegung wüchse, so wüchse auch die Unermesslichkeit des Himmels. So würde die Geschwindigkeit die Grösse und die Grösse die Geschwindigkeit in’s Unendliche steigern. Nach jenem physischen Grundsatze: dass das Unendliche weder durchlaufen werden,^[15] noch sich aus irgend einem Grunde bewegen kann,^[16] müsste jedoch der Himmel nothwendig stillstehen. Aber man^[17] sagt, dass ausserhalb des Himmels kein Körper, kein Ort, kein leerer Raum, und überhaupt gar nichts existire, und deshalb nichts da sei, über welches der Himmel hinausgehen könnte; dann ist es doch recht wunderbar, dass etwas von nichts umschlossen werden kann. Wenn jedoch der Himmel unendlich, und nur an der inneren Höhlung begrenzt wäre, so bestätigt sich vielleicht um so mehr, dass ausserhalb des Himmels nichts ist, weil jedes Ding, welche Grösse es auch haben mag, innerhalb desselben ist, dann aber wird der Himmel unbeweglich bleiben. Das Vorzüglichste nämlich, worauf man sich beim Beweise von der Endlichkeit der Welt stützt, ist die Bewegung. Ob nun die Welt endlich oder unendlich sei, wollen wir dem Streite der Physiologen überlassen, sicher bleibt uns dies, dass die Erde, zwischen Polen eingeschlossen; von einer kugelförmigen Oberfläche begrenzt ist. Warum wollen wir also noch Anstand nehmen, ihr eine von Natur ihr zukommende, ihrer Form entsprechende Beweglichkeit zuzugestehen, eher als anzunehmen, dass die ganze Welt, deren Grenze nicht gekannt wird, und nicht gekannt werden kann, sich bewege? und warum wollen wir nicht bekennen, dass der Schein einer täglichen Umdrehung dem Himmel, die Wirklichkeit derselben aber der Erde angehöre? und dass es sich daher hiermit so verhalte, wie wenn Virgil’s Aeneas^[18] sagt: „Wir laufen aus dem Hafen aus, und Länder und Städte weichen zurück.“ Weil, wenn ein Schiff ruhig dahinfährt, Alles, was ausserhalb desselben ist, von den Schiffern so gesehen wird, als ob es nach dem Vorbilde der Bewegung des Schiffes sich bewege, und die Schiffer umgekehrt der Meinung sind, dass sie mit Allem, was sie bei sich haben, ruhen: so kann es sich ohne Zweifel mit der Bewegung der Erde ebenso verhalten, und scheinen, als ob die ganze Welt sich drehe. Was sollen wir nun über die Wolken und das übrige irgend wie in der Luft Schwebende, oder Fallende oder in die Höhe Steigende sagen? als, dass nicht nur die Erde sich mit dem ihr verbundenen, wässrigen Elemente so bewege, sondern auch ein nicht geringer Theil der Luft, und was sonst noch auf dieselbe Weise mit der Erde verknüpft ist; — sei es nun, dass die zunächst liegende Luft, mit erdiger und wässriger Materie vermischt, derselben Natur, wie die Erde, folgt, sei es, dass der Luft die Bewegung mitgetheilt worden ist, indem sie mittelst der Berührung mit der Erde, und vermöge des Widerstandes durch die fortwährende Umdrehung derselben theilhaftig wird. Man behauptet aber wiederum zu gleicher Verwunderung, dass die höchste Gegend der Luft der himmlischen Bewegung folge, was jene plötzlich erscheinenden Gestirne, welche von den Griechen Cometen oder Bartsterne genannt werden, verrathen sollen, für deren Entstehung man eben jene Gegend anweist, und welche gleich den anderen Gestirnen ebenfalls auf- und untergehen. Wir können sagen, dass jener Theil der Luft, wegen seiner grossen Entfernung von der Erde, von der irdischen Bewegung frei geblieben sei. Daher wird die Luft, welche der Erde am nächsten liegt, ruhig erscheinen, und ebenso die in ihr schwebenden Gegenstände, wenn sie nicht vom Winde oder von irgend einer andern, äusseren Kraft, wie es der Zufall mit sich bringt, hin und her getrieben werden; denn was ist der Wind in der Luft Anderes, als die Fluth im Meere? Wir müssen zugeben, dass die Bewegung der fallenden und steigenden Gegenstände in Beziehung zu dem Weltall eine gedoppelte, und stets aus gradlinigen und kreisförmigen Bewegungen zusammengesetzt sei. Da dasjenige, was durch sein Gewicht nach unten strebt, vorzüglich erdig ist, so leidet es keinen Zweifel, dass diese Theile derselben Natur folgen, wie ihr Ganzes; und aus keinem andern Grunde geschieht es, dass diejenigen Gegenstände, welche dem Feuer angehören, mit Gewalt in die Höhe gerissen werden. Das irdische Feuer wird nämlich hauptsächlich durch erdige Materie ernährt, und man sagt, die Flamme sei nichts Anderes, als brennender Rauch. Die Eigenschaft des Feuers besteht aber darin, das auszudehnen, was es ergriffen hat; und es führt dies mit solcher Gewalt aus, dass es auf keine Weise und durch keine Maschine daran gehindert werden kann, die Schranken zu durchbrechen, und sein Werk zu vollführen. Die ausdehnende Bewegung ist aber vom Mittelpunkte nach der Peripherie hin gerichtet; wenn daher etwas aus erdigen Theilen Bestehendes angezündet wird, so bewegt es sich von der Mitte nach oben. Daher kommt, wie man behauptet hat, dem einfachen Körper eine einfache Bewegung zu, und dies erweist sich vorzüglich an der Kreisbewegung, so lange der einfache Körper an seinem natürlichen Orte und in seiner Einheit verharrt. An diesem Orte ist nämlich die Bewegung keine andere, als die kreisförmige, welche ganz in sich bleibt, als ob der Körper ruhete. Die gradlinige Bewegung ergreift aber diejenigen Körper, welche von ihrem natürlichen Orte weggegangen oder gestossen, oder auf irgend eine Weise ausserhalb desselben gerathen sind. Nichts widerstrebt der Ordnung und der Form der ganzen Welt so sehr, als das Ausserhalb-seines-Ortes-sein. Die gradlinige Bewegung tritt also nur ein, wenn die Dinge sich nicht richtig verhalten, und nicht vollkommen ihrer Natur gemäss sind, indem sie sich von ihrem Ganzen trennen und seine Einheit verlassen. Ausserdem führen diejenigen Körper, welche aufwärts oder abwärts, abgesehen von der Kreisbewegung, getrieben werden, keine einfache, gleichförmige und gleichmässige Bewegung aus; denn sie können sich nicht nach ihrer Leichtigkeit oder nach dem Drucke ihres Gewichtes richten; und wenn sie beim Fallen anfänglich eine langsamere Bewegung haben, so vermehren sie ihre Geschwindigkeit im Fallen: während wir dagegen das in die Höhe getriebene irdische Feuer, — und wir kennen kein anderes, — sogleich träge werden sehen, gleichsam als ob sich dadurch die Ursache der Kraft der erdigen Materie zeigte. Die kreisförmige Bewegung verläuft dagegen immer gleichmässig, weil sie eine nicht nachlassende Ursache hat. Jene aber nehmen in der fortschreitenden Bewegung ab, in welcher sie, wenn sie ihren Ort erreicht haben, aufhören, schwer oder leicht zu sein, und deshalb hört ihre Bewegung auf. Wenn also die Kreisbewegung dem Weltall zukäme, den Theilen aber auch die gradlinige: so könnten wir sagen, die Kreisbewegung bestehe mit der gradlinigen, wie das Thier mit der Krankheit. Dass nämlich Aristoteles^[14] die einfache Bewegung in drei Arten, von der Mitte fort, nach der Mitte hin und um die Mitte herum eingetheilt hat, scheint bloss eine Verstandesthätigkeit zu sein, wie wir ja auch die Linie, den Punkt und die Oberfläche unterscheiden, während doch das Eine nicht ohne das Andere, und Keines von ihnen ohne den Körper bestehen kann. Es kommt nun noch hinzu, dass der Zustand der Unbeweglichkeit für edler und göttlicher gehalten wird, als der der Veränderung und Unbeständigkeit, welcher letztere deshalb eher der Erde, als der Welt zukommt; und ich füge noch hinzu, dass es widersinnig erscheint, dem Enthaltenden und Setzenden eine Bewegung zuzuschreiben, und nicht vielmehr dem Enthaltenen und Gesetzten, welches die Erde ist. Da endlich die Planeten offenbar der Erde bald näher bald ferner zu stehen kommen, so wird auch dann die Bewegung eines und desselben Körpers, welche um die Mitte, die der Mittelpunkt der Erde sein soll, stattfindet, auch von der Mitte fort und nach ihr hin gerichtet sein. Man muss also die Bewegung um die Mitte herum allgemeiner fassen, und es genügt, wenn jede einzelne Bewegung ihre eigene Mitte hat. Man sieht also, dass aus allem Diesen die Bewegung der Erde wahrscheinlicher ist, als ihre Ruhe, zumal in Bezug auf die tägliche Umdrehung, welche der Erde am eigenthümlichsten ist.

Capitel 9.

Ob der Erde mehrere Bewegungen beigelegt werden können? und vom Mittelpunkte der Welt.

Da also der Beweglichkeit der Erde nichts im Wege steht: so, glaube ich, muss nun untersucht werden, ob ihr auch mehrere Bewegungen zukommen, so dass sie für einen der Planeten gehalten werden könnte. Dass sie nämlich nicht der Mittelpunkt aller Kreisbewegungen ist, beweisen die scheinbar ungleichmässigen Bewegungen der Planeten, und ihre veränderlichen Abstände von der Erde, welche aus concentrischen Kreisen, mit der Erde im Mittelpunkte, nicht erklärt werden können. Da also mehrere Mittelpunkte existiren, so wird Niemand ohne Grund im Zweifel sein, ob der Mittelpunkt der Welt derjenige der irdischen Schwere, oder ein anderer sei. Ich bin wenigstens der Ansicht, dass die Schwere nichts Anderes ist, als ein von der göttlichen Vorsehung des Weltenmeisters den Theilen eingepflanztes, natürliches Streben, vermöge dessen sie dadurch, dass sie sich zur Form einer Kugel zusammenschliessen, ihre Einheit und Ganzheit bilden.^[19] Und es ist anzunehmen, dass diese Neigung auch der Sonne, dem Monde und den übrigen Planeten innewohnt, und sie durch deren Wirkung in der Rundung, in welcher sie erscheinen, verharren; während sie nichtsdestoweniger in vielfacher Weise ihre Kreisläufe vollenden. Wenn also auch die Erde andere Bewegungen, als diejenige um ihren Mittelpunkt besitzt, so werden dieselben solche sein müssen, die nach aussen hin an Vielem in entsprechender Weise zur Erscheinung kommen, und unter diesen erkennen wir den jährlichen Umlauf. Da, wenn man die Unbeweglichkeit der Sonne zugegeben hat, und den jährlichen Umlauf von der Sonne auf die Erde überträgt, der Auf- und Untergang der Zeichen und Fixsterne, wodurch sie Morgen- und Abendsterne werden, sich in derselben Weise ergiebt: so wird es den Anschein gewinnen, dass auch die Stillstände und das Rück- und Vorwärtsgehen der Planeten nicht Bewegungen dieser, sondern der Erde sind, welche diese den Erscheinungen jener leiht. Endlich wird man sich überzeugen, dass die Sonne selbst die Mitte der Welt einnimmt. Und dies Alles lehrt uns das Gesetz der Reihenfolge, in welcher jene auf einander folgen, und die Harmonie der Welt, wenn wir selbst nur die Sache, wie man sagt, mit beiden Augen ansehen.

Capitel 10.

Ueber die Ordnung der Himmelskreise.

Dass die Fixsternsphäre das Höchste von allem Sichtbaren ist, sehe ich Niemanden bezweifeln. Die Reihenfolge der Planeten wollten die alten Philosophen nach ihren Umlaufszeiten bestimmen, indem sie als Grund dafür anführten, dass, wenn mehrere Körper mit gleicher Geschwindigkeit sich bewegen, diejenigen langsamer fortzurücken scheinen, welche weiter entfernt sind, wie dies von Euklid in der Optik^[20] bewiesen wird. Deshalb glauben sie, dass der Mond, weil er, als der Erde am nächsten stehend, sich in dem kleinsten Kreise bewegt, seinen Umlauf auch in der kürzesten Zeit vollendet; der Saturn aber, als der höchste, die grösste Bahn in der längsten Zeit durchläuft. Unter diesem steht der Jupiter, darauf folgt der Mars. Ueber Venus aber und Merkur finden sich verschiedene Meinungen, weil sie nicht, wie jene, sich durch alle Grade von der Sonne entfernen. Deshalb stellen Einige dieselben über die Sonne, wie Timäus bei Plato, Andere unter dieselbe, wie Ptolemäus^[21] und ein guter Theil der Neueren^[22]. Alpetragius^[23] setzt die Venus über die Sonne, und den Merkur unter dieselbe. Da nun Diejenigen, welche dem Plato folgen, meinen, dass alle Planeten als sonst dunkle Körper, durch das von der Sonne empfangene Licht leuchten: so müssten jene, wenn sie sich unter der Sonne befänden, wegen ihres eben nicht grossen Abstandes von derselben, halb oder wenigstens nicht völlig rund gesehen werden; denn sie würden das empfangene Licht gewöhnlich seitlich, d. h. nach der Sonne hin, zeigen, wie wir dies beim zu- und abnehmenden Monde sehen. Auch sagen sie, die Sonne müsste durch ihr Dazwischentreten zuweilen verfinstert werden, und das Licht derselben nach Massgabe ihrer Grösse einen Verlust erleiden; da dies nun niemals bemerkt wird, so sind sie der Meinung, dass sie niemals unter der Sonne zu stehen kommen. Dagegen vertheidigen Diejenigen, welche Venus und Merkur unter die Sonne stellen, ihre Ansicht durch die Grösse des Raumes, den sie zwischen Sonne und Mond finden. Denn sie haben ermittelt, dass der grösste Abstand des Mondes von der Erde, also vier und sechzig und ein Sechstel solcher Theile, von denen einer vom Mittelpunkte der Erde bis zur Oberfläche reicht, — in der kleinsten Entfernung der Sonne fast achtzehnmal enthalten sei, und diese 1160 solcher Theile betrage, zwischen ihr und dem Monde also 1096. Damit nun ein so weiter Raum nicht leer bleibe, finden sie aus den Unterschieden der Abstände, aus denen sie die Grösse ihrer Bahnen berechnen, dass dieselben Grössen nahezu ausreichen, dass auf die grösste Entfernung des Mondes, die kleinste Merkurs, und auf dessen grösste Entfernung, die kleinste der Venus folge, welche dann endlich in ihrer grössten Entfernung die Sonne in ihrer kleinsten Entfernung gleichsam berührt. Sie glauben nämlich, dass die Merkursbahn 177 der obenbezeichneten Theile umfasse, und dass der übrige Raum von dem Durchmesser der Venusbahn mit 910 Theilen nahezu ausgefüllt werde. Sie geben daher auch nicht zu, dass sich an den Planeten irgend eine Dunkelheit, ähnlich derjenigen des Mondes, finde, sondern behaupten, dass sie entweder mit eigenem Lichte, oder mit ihrem ganzen Körper in Sonnenlicht getaucht, leuchten; und die Sonne deshalb nicht verfinstern, weil es höchst selten vorkomme, dass sie sich vor die Scheibe der Sonne stellen, indem sie meistentheils in der Breite abweichen; ausserdem weil sie im Vergleich zur Sonne kleine Körper sind, da die Venus, die noch grösser ist, als Merkur, kaum den hundertsten Theil der Sonne bedecken kann, wie Albategnius, der Aratenser^[24] behauptet, der den Durchmesser der Sonne für zehnmal grösser hält. Deshalb ist es nicht leicht, dass ein so kleiner Fleck in dem vorherrschenden Lichte gesehen werde, — obgleich Averroës^[25] in der Ptolemäischen Paraphrase, sich erinnert etwas Schwärzliches gesehen zu haben^[26], als er die Conjunction der Sonne und Merkur’s berechnet hatte; — und so entscheidet man sich dafür, dass diese beiden Planeten sich unterhalb des Sonnenzirkels bewegen. Aber wie ungewiss und unsicher dieser Schluss sei, erhellt daraus, dass, während nach Ptolemäus die kleinste Entfernung des Mondes 38, nach richtiger Schätzung aber mehr als 49 Erdradien beträgt^[27], — wie unten klar werden wird, — wir doch nicht wissen, dass in einem so grossen Raume etwas Anderes enthalten sei, als Luft und, wenn man will, dasjenige, was man das feurige Element nennt. Ferner daraus, dass der Durchmesser der Venusbahn, nach dessen Grösse sie von der Sonne nach beiden Seiten um mehr oder weniger als 45 Grade abweicht, sechsmal so gross sein muss, als die Linie, welche vom Mittelpunkte der Erde nach dem untersten Punkte der Venusbahn gezogen werden kann, wie seines Ortes bewiesen werden wird. Was soll also in diesem ganzen Raume enthalten sein, der um so grösser ist, als er Erde, Luft, Aether, Mond und Merkur und was ausserdem noch der ungeheure Epicyclus der Venus ausmacht, wenn er um die ruhende Erde kreist, umfasst? — Wie wenig überzeugend die Begründung des Ptotemäus ist, nach welcher die Sonne die Mitte zwischen den überallhin und den nicht so von ihr abweichenden Planeten einnehmen soll, geht daraus hervor, dass der Mond, indem er selbst überallhin abweicht, ihre Unwahrheit verräth. — Was wollen aber Diejenigen, welche unter die Sonne die Venus und dann den Merkur setzen, oder dieselben nach einer andern Reihenfolge anordnen, für eine Ursache dafür anführen, dass diese nicht ebenso selbständige und von der Sonne unabhängige Bahnen durchlaufen, wie die übrigen Planeten, wenn das Verhältniss ihrer Geschwindigkeit und Langsamkeit ihre Reihenfolge nicht falsch darstellt? Also es würde entweder die Erde nicht in dem Mittelpunkte, auf welchen die Reihenfolge der Gestirne und Bahnen bezogen werden, stehen dürfen; oder es gäbe mindestens gar keinen Grund für ihre Reihenfolge, noch wäre es ersichtlich, warum dem Saturn mehr, als dem Jupiter oder irgend einem andern, die höchste Stelle gebührte. Deshalb scheint mir durchaus nicht unbeachtenswerth, was Martianus Capella, welcher eine Encyclopädie^[28] geschrieben hat, und einige andere Lateiner sehr wohl wussten. Er glaubt nämlich^[29], dass Venus und Merkur die Sonne als ihren Mittelpunkt umkreisen, und deswegen von ihr nicht weiter weggehen können, als es die Kreise ihrer Bahnen erlauben, weil sie die Erde nicht wie die andern umkreisen, sondern wechselnd-wiederkehrende Abstände haben. Was will dies Anderes bedeuten, als dass dieselben um die Sonne, als um den Mittelpunkt ihrer Bahnen, kreisen? So würde denn in der That die Bahn Merkur’s von derjenigen der Venus, welche mehr als doppelt so gross ist, umschlossen, und fände in der Ausdehnung dieser die ihr genügende Stelle. Nimmt man hiervon Gelegenheit, und bezieht Saturn, Jupiter und Mars auf denselben Mittelpunkt, während man die grosse Ausdehnung ihrer Bahnen in’s Auge fasst, welche mit Jenen auch die darin liegende Erde enthält und umschliesst: so wird man die Erklärung der regelmässigen Ordnung ihrer Bewegungen nicht verfehlen. Denn es steht fest, dass jene der Erde immer dann am nächsten sind, wenn sie des Abends aufgehen, d. h. wenn sie in Opposition mit der Sonne treten, wo die Erde zwischen ihnen und der Sonne steht; dass sie aber von der Erde am entferntesten sind, wenn sie des Abends untergehen, d. h. wenn sie von der Sonne verdeckt werden, indem wir zwischen ihnen und der Erde die Sonne haben, was hinreichend beweist, dass ihr Mittelpunkt vielmehr der Sonne zugehöre, und derselbe sei, auf welchen auch Venus und Merkur ihre Bahnen beziehen. Da aber alle diese sich auf einen Mittelpunkt beziehen: so ist nothwendig, dass der kreis- oder kugelförmige Raum, welcher zwischen dem convexen Kreise der Venus und dem concaven des Mars übrig bleibt, und mit jenen an beiden Oberflächen concentrisch ist, unterbrochen wird, und die Erde mit dem sie begleitenden Monde, und Allem, was unter dem Monde sich befindet, aufnimmt. Denn wir können den Mond, der unstreitig der Erde am nächsten steht, in keiner Weise von ihr trennen, zumal da wir in jenem Raume für ihn eine überflüssig ausreichende Stelle finden. Daher scheuen wir uns nicht, zu behaupten, dass das Ganze, was der Mond einschliesst, mit dem Mittelpunkte der Erde, zwischen den Planeten jenen grossen Kreis in jährlicher Bewegung um die Sonne durchläuft, und sich um den Weltmittelpunkt bewegt, in welchem auch die Sonne unbeweglich ruht; und dass alle Dasjenige, was von einer Bewegung der Sonne erscheint, vielmehr in der Bewegung der Erde seine Wahrheit findet; — dass aber der Umfang der Welt so gross ist, dass jene Entfernung der Erde von der Sonne, während sie im Verhältnisse zu der Grösse der Bahnen der anderen Planeten eine merkliche Ausdehnung hat, gegen die Fixsternsphäre gehalten, verschwindet; was ich für leichter begreiflich halte, als wenn der Geist in eine fast endlose Menge von Kreisen zersplittert wird, was Diejenigen zu thun gezwungen gewesen sind, welche die Erde in der Mitte der Welt festgehalten haben. Man muss vielmehr der Weisheit der Natur nachgehen, welche, indem sie sich sehr gehütet hat, irgend etwas Ueberflüssiges oder Unnützes hervorzubringen, vielmehr oft einen und denselben Gegenstand mit vielen Wirkungen begabte. Wenn alle Dieses schwierig, fast unbegreiflich und gegen die Meinung Vieler sein sollte, so werden wir es, so Gott will, klarer als die Sonne machen, wenigstens Denen, die in der Mathematik nicht unwissend sind. Das erste Gesetz bleibt also unangefochten, und es wird Niemand ein zutreffenderes herbeibringen, dass nämlich die Grösse der Bahnen durch die Dauer der Umlaufszeit gemessen wird. Die Reihe der Sphären ordnet sich aber, von dem Höchsten anfangend, in folgender Weise.

Die erste und höchste von allen Sphären ist diejenige der Fixsterne, sich selbst und Alles enthaltend, und daher unbeweglich, als der Ort des Universums, auf welchen die Bewegung und Stellung aller übrigen Gestirne bezogen wird. Während nämlich Einige meinen, dass auch diese sich einigermassen verändern, so werden wir bei der Ableitung der irdischen Bewegung eine andere Ursache für diese Erscheinung darlegen. Es folgt der erste Planet, Saturn, welcher in 30 Jahren seinen Umlauf vollendet; hierauf Jupiter mit einem zwölfjährigen Umlaufe; dann Mars, welcher in 2 Jahren seine Bahn durchläuft. Die vierte Stelle in der Reihe nimmt der jährliche Kreislauf ein, in welchem die Erde mit der Mondbahn, als Epicyclus, enthalten ist. In fünfter Stelle kreist Venus in neun Monaten. Die sechste

Stelle nimmt Merkur ein, der in einem Zeitraume von achtzig Tagen seinen Umlauf vollendet. In der Mitte aber von Allen steht die Sonne. Denn wer möchte in diesem schönsten Tempel diese Leuchte an einen andern oder bessern Ort setzen, als von wo aus sie das Ganze zugleich erleuchten kann? Wenn anders nicht unpassend Einige sie die Leuchte der Welt, Andere die Seele, noch Andere den Regierer nennen. Trimegistus^[30] nennt sie den sichtbaren Gott, Electra^[31] des Sophocles den Alles Sehenden. So lenkt in der That die Sonne, auf dem königlichen Throne sitzend, die sie umkreisende Familie der Gestirne. Auch wird die Erde nicht des Dienstes des Mondes beraubt, sondern, wie Aristoteles de animalibus^[32] sagt, der Mond hat zur Erde die grösste Verwandtschaft. Indessen empfängt die Erde von der Sonne und wird schwanger mit jährlicher Geburt. Wir finden also in dieser Anordnung eine bewunderungswürdige Harmonie der Welt, und einen zuverlässigen, harmonischen Zusammenhang der Bewegung und Grösse der Bahnen, wie er anderweitig nicht gefunden werden kann. Denn hier kann der eingehende Beobachter bemerken, warum das Vor- und Zurückgehen beim Jupiter grösser erscheint, als beim Saturn, und kleiner, als beim Mars, und wiederum bei der Venus grösser, als beim Merkur; und warum ein solcher Rückgang beim Saturn häufiger erscheint, als beim Jupiter; seltener beim Mars, und bei der Venus, als beim Merkur. Ausserdem warum Saturn, Jupiter und Mars, wenn sie des Abends aufgehen, der Erde näher sind, als bei ihrem Verschwinden und Wieder-sichtbar-werden. Vorzüglich aber scheint Mars, wenn er des Nachts am Himmel steht, an Grösse dem Jupiter gleich zu sein, indem er sich nur durch die röthliche Farbe unterscheidet; bald darauf wird er unter den Sternen zweiter Grösse gefunden, erkannt durch sorgfältige Beobachtung am Sextanten. Und dieses Alles ergiebt sich aus derselben Ursache, welche in der Bewegung der Erde liegt. Dass aber an den Fixsternen nichts von derselben zur Erscheinung kommt, beweist ihre unermessliche Entfernung, welche selbst die Bahn der jährlichen Bewegung oder deren Abbild für unsere Augen verschwinden lässt, weil alles Sichtbare eine gewisse Entfernung als Grenze hat, über welche hinaus es nicht gesehen werden kann, wie das in der Optik bewiesen wird. Dass nämlich zwischen dem höchsten Planeten, dem Saturn, und der Fixsternsphäre noch sehr Vieles liegt, beweist der funkelnde Glanz der Letzteren, durch welche Eigenschaft sie sich von den Planeten am meisten unterscheiden; wie denn zwischen Bewegtem und Unbewegtem der grösste Unterschied bestehen muss. So gross ist in der That diese göttliche, beste und grösste Werkstatt.

Capitel 11.

Beweis von der dreifachen Bewegung der Erde.

Da also so viele und so gewichtige den Planeten entnommene Zeugnisse für die Beweglichkeit der Erde sprechen: so wollen wir nun eben diese Bewegung im Allgemeinen darlegen, insofern durch dieselbe, gleich wie an einer Hypothese, die Erscheinungen nachgewiesen werden. Man muss dieselbe überhaupt als eine dreifache annehmen: die erste, von der wir gesagt haben, dass sie von den Griechen Nychthemerinon genannt wird, ist der eigentliche Kreislauf von Tag und Nacht, der um die Erdaxe von Westen nach Osten ebenso vor sich geht, wie man bisher geglaubt hat, dass die Welt sich im entgegengesetzten Sinne bewege, und welcher Kreislauf den Nachtgleichenkreis (Aequator) beschreibt, den Einige den Taggleichenkreis nennen, indem sie die Bezeichnung der Griechen nachahmen, bei denen er Isemerinos heisst. Die zweite ist die jährliche Bewegung des Mittelpunktes mit dem sich auf denselben Beziehenden, welche, wie gesagt, den Thierkreis um die Sonne ebenfalls von Westen nach Osten, d. h. rechtläufig, zwischen Venus und Mars durchläuft. Hierdurch geschieht es, dass, wie wir sagten, die Sonne selbst in ähnlicher Bewegung den Thierkreis zu durchlaufen scheint, wie wenn z. B. der Mittelpunkt der Erde durch Steinbock, Wassermann u. s. w. geht, die Sonne durch Krebs, Löwe u. s. w. zu gehen scheint. — Man muss sich vorstellen, dass der Aequator und die Axe der Erde gegen die Ebene des Kreises, welcher durch die Mitte der Zeichen geht,^[33] eine veränderliche Neigung haben. Weil, wenn sie in unveränderlicher Neigung verharrten, und nur der Bewegung des Mittelpunktes einfach folgten, keine Ungleichheit der Tage und Nächte erscheinen würde, sondern immer entweder Solstitium, oder der kürzeste Tag, oder Nachtgleiche, entweder Sommer, oder Winter, oder was sonst für eine und dieselbe sich gleiche Jahreszeit stattfinden müsste. Es folgt also die dritte Bewegung der Declination^[34], ebenfalls im jährlichen Kreislaufe, aber rückläufig, d. h. entgegengesetzt der Bewegung des Mittelpunktes. Und so kommt es durch beide, einander fast gleiche und entgegengesetzte Bewegungen, dass die Axe der Erde, und also auch der Aequator, als der grösste Parallelkreis, fast nach derselben Himmelsgegend gerichtet bleiben, gleich als ob sie unbeweglich wären, während die Sonne, wegen der Bewegung, mit welcher der Mittelpunkt der Erde fortrückt, durch die Schiefe des Thierkreises sich zu bewegen scheint; nicht anders, als ob eben dieser Mittelpunkt der Erde der Mittelpunkt der Welt wäre, wofern man sich nur erinnert, dass die Entfernung der Sonne von der Erde an der Fixsternsphäre unser Wahrnehmungsvermögen bereits überschritten hat. Da dies nun so beschaffen ist, dass es leichter mit den Augen aufgefasst, als gesagt werden kann: so beschreiben wir einen Kreis $abcd$, welcher den jährlichen Umlauf des Mittelpunktes der Erde in der Ebene des Thierkreises vorstellt, und sei $e$ die um dessen Mittelpunkt herum befindliche Sonne. Diesen Kreis theile ich in vier gleiche Theile durch die Durchmesser $aec$ und $bed$. Den Punkt $a$ nehme der Anfang des Krebses, $b$ der der Wage, $c$ der des Steinbocks und $d$ der des Widders ein. Nehmen wir nun den Mittelpunkt der Erde zuerst in $a$ an, und beschreiben um denselben den Erdäquator $fghi$, aber nicht in derselben Ebene, nur dass der Durchmesser $gai$ den gemeinschaftlichen Durchschnitt der Kreise, nämlich des Aequators und des Thierkreises darstellt. Nachdem wir den Durchmesser $fah$ rechtwinklig gegen $gai$ gezogen haben, sei $f$ der Punkt der grössten Declination nach Süden, $h$ dagegen der nach Norden. Stellt man sich dies so richtig vor: so sehen die Erdbewohner die um den Mittelpunkt $e$ herum befindliche Sonne im Steinbock ihre Winterwende machen, welche durch die nach der Sonne hin gewendete, grösste, nördliche Declination $h$ bewirkt wird; weil die tägliche Umdrehung, wegen der schrägen Lage des Aequators, dem von dem Neigungswinkel $eah$ umfassten Abstände gemäss, an der

Linie $ae$ den parallelen südlichen Wendekreis einschneidet.^[35] Nun rücke der Mittelpunkt der Erde rechtläufig, und um eben so viel der Punkt der grössten Declination $f$ rückläufig fort, bis beide in $b$ Kreisquadranten zurückgelegt haben: dann bleibt während dem der Winkel $eai$, wegen der Gleichmässigkeit der Kreisbewegungen, immer gleich $aeb$, und der Durchmesser $fah$ mit $fbh$, und $gai$ mit $gbi$, und der Aequator mit dem Aequator parallel. Und zwar erscheinen sie wegen der schon oft angegebenen Ursache, bei der Unermesslichkeit des Himmels, als dieselben. Daher erscheint vom Anfange $b$ der Wage aus, $e$ im Widder, und fällt der gemeinschaftliche Durchschnitt der Kreise in die eine Linie $gbie$, an welcher die tägliche Umdrehung keine Declination zulässt, sondern alle Declination liegt nach den Seiten hin. Deshalb wird die Sonne im Frühlingspunkte gesehen werden. Der Mittelpunkt der Erde möge unter den angenommenen Bedingungen fortfahren, sich zu bewegen; wenn nun in $c$ der Halbkreis zurückgelegt ist, so wird die Sonne in den Krebs einzutreten scheinen. Aber da $f$, die südliche Abweichung des Aequators, der Sonne zugewendet ist: so bewirkt dies, dass die Sonne nördlich erscheint, indem sie den nördlichen Wendekreis, nach Massgabe des Neigungswinkels $ecf$ durchläuft. Wenn $f$ bis zum dritten Quadranten sich wieder abwendet: so fällt der gemeinschaftliche Durchschnitt $gi$ von Neuem in die Linie $ed$; weshalb die Sonne, in der Wage gesehen, das Herbstäquinoctium erreicht zu haben scheint. Und indem $hf$ bei demselben Fortrücken sich allmälig nach der Sonne hin wendet, so bewirkt dies, dass dasselbe wiederkehrt, von dem wir Anfangs ausgegangen sind. — In anderer Weise. — Es sei ebenso $aec$ der Durchmesser

in der Zeichenebene und der gemeinschaftliche Durchschnitt derselben mit dem senkrecht gegen diese Ebene construirten Kreise $abc$. In der ersteren Ebene möge in $a$ und $c$, d. h. beziehlich in Krebs und Steinbock, der Meridian der Erde durch $dgfi$, und die Axe der Erde durch $df$ bezeichnet werden. Der nördliche Pol sei $d$, der südliche $f$, und der Durchmesser des Aequators sei $gi$. Wenn nun $f$ sich der Sonne, welche in $e$ stehen mag, zuwendet, und die Neigung des Aequators um den Winkel $iae$ nördlich ist: so beschreibt die Bewegung um die Axe, in dem Abstande $li$, den mit dem Aequator parallelen, von der Sonne beschienenen, südlichen Wendekreis des Steinbocks mit dem Durchmesser $kl$. Oder um richtiger zu sprechen. Jene Bewegung um die Axe beschreibt in der Richtung $ae$ eine Kegeloberfläche, die ihren Gipfel im Mittelpunkte der Erde, ihre Basis aber parallel mit dem Aequator liegen hat. In dem entgegengesetzten Zeichen $c$ trifft Alles in gleicher Weise, nur umgekehrt, zu. Es ist also klar, wie die beiden, einander entgegengesetzten Bewegungen, nämlich die des Mittelpunktes und der Declination, die Axe der Erde zwingen, in derselben Neigung und in ganz ähnlicher Stellung zu verharren, und dass dies Alles so erscheint, als wären es Bewegungen der Sonne. Wir sagten aber, dass die jährlichen Umläufe des Mittelpunktes und der Declination fast gleich wären, weil, wenn dies genau der Fall wäre, die Aequinoctial- und Solstitialpunkte und die ganze Schiefe des Thierkreises gegen die Fixsternsphäre sich durchaus nicht ändern dürften. Da aber jene Differenz gering ist: so wird sie nur mit zunehmender Zeit merklich: von Ptolemäus nämlich bis auf uns sind jene Aequinoctial- und Solstitialpunkte ungefähr um 21 Grade zurückgerückt. Deshalb haben Einige geglaubt, dass die Fixsternsphäre sich ebenfalls bewege, so dass sie aus diesem Grunde eine neunte höhere Sphäre annahmen; und da diese noch nicht hinreicht, fügen jetzt die Neueren noch eine zehnte hinzu, und dennoch haben sie das Ziel noch nicht erreicht, welches wir durch die Bewegung der Erde zu erreichen hoffen, indem wir uns derselben bei der Entwicklung des Nachfolgenden als Prinzip und Voraussetzung bedienen.^[36]

Capitel 12.

Ueber die graden Linien, welche Sehnen im Kreise sind.^[37]

Weil die Entwicklungen, deren wir uns fast in dem ganzen Werke bedienen, mit graden Linien und Bogen, mit ebenen und sphärischen Dreiecken sich beschäftigen, und man, obgleich darüber schon Vieles in Euklid’s Elementen vorliegt, dennoch nicht Dasjenige besitzt, warum es sich hier hauptsächlich handelt: wie man nämlich aus den Winkeln die Seiten, und aus den Seiten die Winkel finden kann; indem der Winkel nicht die Sehne, und nicht diese, sondern der Bogen den Winkel misst; und deswegen eine Methode erfunden ist, durch welche man die Sehne eines beliebigen Bogens erkennen, und aus der Sehne mit Hülfe des Winkels den entsprechenden Bogen, und umgekehrt aus dem Bogen die Sehne, welche einem Winkel zugehört, erhalten kann: — so wird es nicht befremden, wenn wir von diesen Linien handeln. Auch über die Seiten und Winkel, sowohl der ebenen, als auch der sphärischen Dreiecke, werden wir das, was Ptolemäus zerstreut und beispielsweise mitgetheilt hat, an dieser Stelle ein für alle Mal soweit untersuchen, als später Dasjenige, was wir besprechen müssen, dadurch klarer wird. Wir theilen den Kreis nach der allgemeinen Sitte der Mathematiker in 360 Theile. Den Durchmesser nehmen die Alten als aus 120 Theilen bestehend an. Um aber bei der Multiplication und Division mit diesen Linien, die wie meistens in der Länge, so auch in der Potenz incommensurabel sind, die Verwicklung sehr kleiner Zahlen zu vermeiden, führten die Späteren von der Zeit an, wo die indischen Zahlzeichen in Gebrauch kamen, entweder einen zwölfmal oder zwanzigmal hunderttausendtheiligen, oder einen andern rationalen Durchmesser ein. Eine solche Zahlenangabe aber übertrifft jede andere, sowohl die griechische als auch die lateinische, durch ihre besondere Brauchbarkeit, und fügt sich am besten jeder Art von Rechnung. Auch wir haben deswegen 200000 Theile des Durchmessers für hinreichend gehalten, um einen merklichen Irrthum ausschliessen zu können. Was sich nämlich nicht wie eine Zahl zu einer Zahl verhält, davon genügt es, einen Näherungswerth zu erlangen. Wir wollen nun nachstehende sechs Lehrsätze und eine Aufgabe erörtern, indem wir meistentheils dem Ptolemäus folgen.

Erster Lehrsatz.

Wenn der Durchmesser eines Kreises gegeben ist, so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Sechsecks, Fünfecks und Zehnecks, welche derselbe Kreis umschreibt, gegeben. Der Radius, als die Hälfte des Durchmessers, ist nämlich gleich der Seite des Sechsecks. Das Quadrat der Dreiecksseite ist aber das Dreifache, und dasjenige der Quadratsseite das Doppelte von dem Quadrate der Sechsecksseite, wie das bei Euklid in den Elementen bewiesen ist.^[38] Die Seite des Sechsecks wird also in der Länge 100000 Theile, die des Vierecks 141422 Theile, die des Dreiecks 173205

Theile enthalten.

Es sei aber die Sechsecksseite $ab$, welche nach der ersten Aufgabe des zweiten, oder nach der zehnten des sechsten Buches von Euklid^[39] im mittleren und äusseren Verhältnisse im Punkte $c$ geschnitten werde,^[40] und der grössere Abschnitt sei $bc$. An diesen tragen wir $bd=bc$ an. Dann wird auch die ganze Linie $abd$ im mittleren und äusseren Verhältnisse geschnitten, und der kleinere, angetragene Abschnitt die Seite des dem Kreise, zu welchem die Sechsecksseite $ab$ gehört, inbeschriebenen Zehnecks sein,^[41] was aus dem fünften und neunten Satze des 13ten Buches Euklids erhellt. Die Linie $bd$ selbst erhält man aber auf folgende Weise: man halbirt $ab$ in $e$, so ist aus dem dritten Satze desselben Buches von Euklid bekannt, dass das Quadrat von $ebd$ das Fünffache von dem Quadrate von $eb$ ist.^[42] Aber $eb$ hat in seiner Länge 50000 Theile, woraus sich das fünffache Quadrat, und eben jene Linie $ebd$ von der Länge von 111803 Theilen ergiebt. Wenn von diesen die 50000 Theile der Linie $eb$ abgezogen werden, so bleibt $bd$ mit 61803 Theilen, als die gesuchte Seite des Zehnecks. Die Seite des Fünfecks, deren Quadrat gleich ist der Summe der Quadrate der Sechsecks- und der Zehnecksseite^[43], enthält 117557 Theile. Wenn also der Durchmesser eines Kreises gegeben ist: so sind auch die Seiten des Dreiecks, Vierecks, Fünfecks, Sechsecks und Zehnecks, welche demselben Kreise einbeschrieben werden können, gegeben, was zu beweisen war.

Zusatz.

Daraus erhellt, dass wenn die Sehne irgend eines Bogens bekannt ist auch diejenige Sehne gegeben ist, welche dem, jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogen zugehört. Denn der Winkel im Halbkreise ist ein Rechter. In rechtwinkligen Dreiecken ist aber das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, das ist des Durchmessers, gleich den Quadraten, welche über den den rechten Winkel einschliessenden Seiten construirt worden sind. Weil also die Seite des Zehnecks, welche die Sehne eines Bogens von 36 Graden ist, bewiesenermassen 61803 Theile enthält, von denen 200000 auf den Durchmesser gehen: so ist auch die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 144 Graden mit 190211 solcher Theile gegeben. Und aus der Fünfecksseite, welche mit 117557 Theilen des Durchmessers 72 Grade spannt, ergiebt sich die Sehne des jenen zum Halbkreise ergänzenden Bogens von 108 Graden mit 161803 Theilen.

Zweiter Lehrsatz.

Wenn ein Viereck einem Kreise einbeschrieben ist: so ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich den beiden Rechtecken aus je zweien einander gegenüberliegenden Seiten. Es sei nämlich $abcd$ das dem Kreise einbeschriebene Viereck: so behaupte ich, dass das Rechteck aus den Diagonalen $ac$ und $bd$ gleich ist denjenigen aus $ab$ und $cd$ und aus $ad$ und $bc$. Denn machen wir den Winkel $abe$ gleich $cbd$: so wird der ganze Winkel

$abd$ gleich dem ganzen $ebc$, indem $ebd$ zu jedem der Beiden hinzuaddirt ist.

Auch sind die Winkel $acb$ und $bda$ einander gleich, als Winkel in demselben Kreisabschnitte, und es werden die beiden deswegen ähnlichen Dreiecke $bce$ und $bda$ proportionirte Seiten haben, also $bc:bd=ec:ad$ und $bc\cdot ad=bd\cdot ec$. Aber auch die Dreiecke $abe$ und $cbd$ sind ähnlich, weil die Winkel $abe$ und $cbd$ gleichgemacht, und $bac$ und $bdc$ als Winkel über gleichen Bogen gleich sind. Deshalb wird wieder $ab:bd=ae:cd$ und $ab\cdot cd=ae\cdot bd$. Es ist aber schon nachgewiesen, dass $bc\cdot ad=bd\cdot ec$ ist. Zusammen also ist $bd\cdot ac=ad\cdot bc+ab\cdot cd$, was bewiesen zu haben vorteilhaft ist.

Dritter Lehrsatz.

Denn daraus ergiebt sich: wenn im Halbkreise die Sehnen ungleicher Bogen gegeben sind, ist auch die Sehne des Bogens gegeben, um welchen der grössere den kleineren übertrifft. In dem Halbkreise $abcd$ von dem Durchmesser $ad$ mögen die Sehnen der ungleichen Bogen $ab$ und $ac$ gegeben sein. Wollen wir nun die Sehne $bc$ finden, so ergeben sich aus dem Obengesagten die Sehnen der jene zum Halbkreise ergänzenden Bogen $bd$ und $cd$, mit denen das Viereck im Halbkreise $abcd$ zusammentrifft. Die Diagonalen desselben $ac$ und $bd$ ergeben sich zugleich mit den drei Seiten $ab$, $ad$ und $cd$, und in demselben ist, wie schon bewiesen, $ac\cdot bd=ab\cdot cd+ad\cdot bc$. Wenn nun $ab\cdot cd$ von $ac\cdot bd$ abgezogen wird, so bleibt $ad\cdot bc$. Dividiren wir dann mit $ad$, so weit dies möglich ist, so erhalten wir die gesuchte Sehne $bc$ in Zahlen. Da nun nach dem Früheren z. B. die Seiten des Fünfecks und Sechsecks gegeben sind, so ergiebt sich auf diese Weise, dass die Sehne von 12 Graden, um welche jene verschieden sind, 20905 Theile des Durchmessers beträgt.^[44]

Vierter Lehrsatz.

Wenn die Sehne irgend eines Bogens gegeben ist, so ist auch die Sehne des halben Bogens gegeben. Beschreiben wir einen Kreis $abc$, dessen Durchmesser $ac$ sei; wenn nun $bc$ der mit seiner Sehne gegebene Bogen ist, so möge die Linie $ef$ vom Mittelpunkte $e$ aus, $bc$ rechtwinklig schneiden, dieselbe wird also, nach dem dritten Satze des dritten Buches von Euklid, die Linie $be$ in $f$, und verlängert den Bogen in $d$ halbiren. Wir ziehen noch die Sehnen $ab$ und $bd$. Weil nun die Dreiecke $abc$ und $efc$ rechtwinklig sind, und ausserdem den Winkel

$ecf$ gemeinschaftlich haben, so sind sie ähnlich; wie daher $cf$ die Hälfte von $bfc$ ist, so ist $ef$ die Hälfte von $ab$. Aber $ab$ ist als die Sehne des, jenen zum Halbkreise ergänzenden, Bogens gegeben, also ist auch $ef$ gegeben, so wie der Rest $df$ von dem halben Durchmesser; dieser werde als $deg$ vollendet und dann $bg$ gezogen. In dem Dreiecke $bdg$ bildet nun $bf$ das Loth von dem rechten Winkel $b$ aus auf die Basis. Das Rechteck $gd\cdot df$ ist also gleich dem Quadrate von $bd$; es ergiebt sich also die Länge von $bd$, welche die Sehne zur Hälfte des Bogens $bdc$ ist. Und da schon die Sehne von 12 Graden gegeben ist, so ergiebt sich auch die von 6 Graden zu 10467 Theilen^[45], die von 3 Graden zu 5235, die von anderthalb Graden zu 2618 und die von dreiviertel Graden zu 1309 Theilen.

Fünfter Lehrsatz.

Wenn wiederum die Sehnen zweier Bogen gegeben sind, so ist auch die Sehne des ganzen, aus jenen zusammengesetzten, Bogens gegeben. Seien die in dem Kreise gegebenen Sehnen $ab$ und $bc$, so behaupte ich, dass auch die Sehne des ganzen Bogens $abc$ gegeben sei. Denn nachdem wir die Durchmesser $afd$ und $bfe$ construirt haben, ziehen wir noch die graden Linien $bd$ und $ce$, welche sich aus dem Früheren ergeben, weil $ab$ und $bc$ gegeben sind, und $de$ gleich $ab$ ist. Durch die Linie $cd$ wird das Viereck $bcde$ geschlossen, dessen Diagonalen $bd$ und $ce$ nebst den dreien Seiten $bc$, $de$ und $be$ gegeben sind. Die noch Uebrige $cd$ wird durch den zweiten Lehrsatz gefunden, und daraus $ca$ als die Sehne der Ergänzung zum Halbkreise, oder des ganzen Bogens $abc$, welche gesucht wurde. Da bisher die Sehnen von drei, anderthalb und dreiviertel Graden gefunden sind, so könnte man ferner für die Zwischenräume durch sehr genaue Rechnung ein Verzeichniss zu Stande bringen. Demnach ist man wegen der Sehnen jener Theile nicht mit Unrecht im Zweifel, ob man nach Graden aufsteigen und einen zum andern hinzufügen soll, oder nach halben Graden, oder nach einer andern Regel, weil die feinen Berechnungen, durch welche sie abgeleitet werden könnten, uns im Stiche lassen. Nichts jedoch hindert, dieses auf einem andern Wege, frei von jedem wahrnehmbaren oder der erhaltenen Zahl im geringsten widersprechenden Fehler, zu erlangen. Und dieses hat auch Ptolemäus in Betreff der Sehnen eines und eines halben Grades gesucht, wodurch er uns zuerst angeregt hat.^[46]

Sechster Lehrsatz.

Das Verhältniss eines grösseren zu einem kleineren Bogen ist grösser, als das der entprechenden Sehnen. $ab$ und $bc$ seien zwei ungleiche, zusammenhängende Bogen in einem Kreise, $bc$ aber der grössere, so behaupte ich,

dass $bc:ab$ ein grösseres Verhältniss sei, als das der Sehnen $bc:ab$, welche den Winkel $b$ bilden, welcher durch die Linie $bd$ halbirt wird.

Wir ziehen $ac$, welche $bd$ in $e$ schneidet. Ebenso ziehen wir $ad$ und $cd$, welche gleich sind, weil sie Sehnen gleicher Bogen sind. Da nun in dem Dreiecke $abc$ die Linie $ac$, welche den Winkel halbirt, in $e$ schneidet, so verhalten sich die Abschnitte der Basis $ec:ae$ wie $bc:ab$, und weil $bc$ grösser als $ab$, so ist auch $ec$ grösser als $ae$. Nun möge $df$ senkrecht gegen $ac$ gezogen werden, diese halbirt $ac$ in $f$, welcher Punkt in dem grösseren Abschnitte $ec$ liegen muss. Und da in jedem Dreiecke dem grösseren Winkel auch die grössere Seite gegenüberliegt, so ist im Dreiecke $def$ die Seite $de$ größer als $df$, und $ad$ grösser als $de$, weswegen der um den Mittelpunkt $d$ mit dem Radius $de$ beschriebene Bogen $ad$ schneidet und $df$ überschreitet. Er schneide $ad$ in $h$, und werde bis zur Graden $dfi$ verlängert. Da nun der Sector $edi$ grösser als das Dreieck $edf$, aber das Dreieck $dea$ grösser als der Sector $deh$ ist, so hat Dreieck $def$ zu Dreieck $dea$ ein kleineres Verhältniss, als Sector $dei$ zu Sector $deh$. Und da die Sectoren den Bogen oder den Centriwinkeln, die Dreiecke von denselben Scheitelpunkten aber ihren Basen proportional sind, so ist das Verhältniss der Winkel $cdf$ zu $ade$ grösser, als dasjenige der Basen $ef$ zu $ae$. Folglich ist auch das Verhältniss des summirten Winkels $fda$ zu $ade$ grösser, als $af$ zu $ae$. Und auf dieselbe Weise ist Winkel $cda$ zu $ade$ grösser, als $ac$ zu $ae$, oder durch Subtraction Winkel $cde$ zu $eda$ grösser, als $ce$ zu $ea$. Es verhalten sich aber die Winkel $cde$ zu $eda$ wie die Bogen $cb$ zu $ab$, die Basis $ce$ zu $ae$ dagegen wie die Sehnen $cb$ zu $ab$. Folglich ist das Verhältniss der Bogen $cb$ zu $ab$ grösser, als dasjenige der Sehnen $bc$ zu $ab$, was zu beweisen war.

Aufgabe.

Weil aber der Bogen immer grösser ist, als seine Sehne, indem die Grade der kürzeste Weg zwischen zweien Punkten ist; diese Ungleichheit aber beim Uebergange von den grösseren zu den kleineren Abschnitten des Kreises zur Gleichheit convergirt, so dass endlich bei der Berührung mit dem Kreise die grade mit der krummen Linie gleichzeitig verschwindet: so ist nothwendig, dass sie sich vorher durch eine merkliche Differenz von einander unterscheiden. Es sei nämlich z. B. $ab$ ein Bogen von drei Graden, und $ac$ ein solcher von anderthalb Graden, so ist bewiesen, dass die Sehne $ab$ 5235 Theile enthält, wenn der Durchmesser deren 200000 zählt, und $ac$ gleich 2618 solcher Theile ist. Und während das Verhältniss der Bogen $ab$ zu $ac$ gleich 2 zu 1 ist, ist dagegen die Sehne $ab$ weniger als das doppelte von

$ac$, indem sie nur tun 2617 Theile grösser ist, als jene. Wenn wir aber den Bogen $ab$ zu anderthalb und $ac$ zu dreiviertel Graden annehmen: so haben wir die Sehne $ab$ gleich 2618 und $ac$ gleich 1309 Theilen, und obgleich die Sehne $ac$ grösser als 1/2 $ab$ sein muss, so scheint sie doch von der Hälfte sich nicht zu unterscheiden, sondern das Verhältniss der Bogen erscheint schon als dasselbe, wie dasjenige der Sehnen. Da wir also dahin gelangt zu sein scheinen, wo der Unterschied der graden und krummen Linie der Merklichkeit sich entzieht, gleichsam als ob beide nur eine Linie wären, so zweifeln wir nicht, dass sich die Sehnen, — für dreiviertel Grade gleich 1309, — in gleichem Verhältnisse einem Grade und den übrigen Theilen anschliessen, so dass, wenn wir den drei Theilen ein Viertel hinzufügen, wir einen Grad gleich 1745, einen halben Grad gleich 8721/2 Theilen, und einen drittel Grad gleich 582 Theilen setzen. Ich halte es aber für hinreichend, wenn wir nur die halben Sehnen der doppelten Bogen in das Verzeichniss aufnehmen, durch welche Abkürzung wir Dasjenige im Quadranten zusammenfassen, was für den Halbkreis ausgeführt werden müsste. Und dies zwar um so eher, als im Gebrauche häufiger die halben, als die ganzen Sehnen in der Entwicklung und Rechnung vorkommen. Wir haben aber ein um Sechstel-Grade fortschreitendes und drei Abtheilungen enthaltendes Verzeichniss angefertigt. In der ersten Abtheilung stehen die Grade oder Bogentheile und ihre Sechstel, die zweite Abtheilung enthält die Zahlen der halben Sehnen der doppelten Bogen, die dritte Abtheilung giebt die Differenzen dieser Zahlen, welche zwischen den einzelnen Graden liegen, und aus welchen man Dasjenige proportional berechnen kann, was den einzelnen Theilchen der Grade entspricht. Die Tafel ist nun folgende.

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.
Grad	Min.			Grad	Min.			Grad	Min.
00	10	000291	291	06	10	010742	289	12	10	021076	284
00	20	000582	291	06	20	011031	289	12	20	021360	284
00	30	000873	290	06	30	011320	289	12	30	021644	284
0
00	40	001163	291	06	40	011609	289	12	40	021928	284
00	50	001454	291	06	50	011898	289	12	50	022212	283
01	00	001745	291	07	00	012187	289	13	00	022495	283
0
01	10	002036	291	07	10	012476	288	13	10	022778	284
01	20	002327	290	07	20	012764	289	13	20	023062	282
01	30	002617	291	07	30	013053	288	13	30	023344	283
0
01	40	002908	291	07	40	013341	288	13	40	023627	283
01	50	003199	291	07	50	013629	288	13	50	023910	282
02	00	003490	291	08	00	013917	288	14	00	024192	282
0
02	10	003781	290	08	10	014205	288	14	10	024474	282
02	20	004071	291	08	20	014493	288	14	20	024756	282
02	30	004362	291	08	30	014781	288	14	30	025038	281
0
02	40	004653	290	08	40	015069	287	14	40	025319	282
02	50	004943	291	08	50	015356	287	14	50	025601	281
03	00	005234	290	09	00	015643	288	15	00	025882	281
0
03	10	005524	290	09	10	015931	287	15	10	026163	280
03	20	005814	291	09	20	016218	287	15	20	026443	281
03	30	006105	290	09	30	016505	287	15	30	026724	280
0
03	40	006395	290	09	40	016792	286	15	40	027004	280
03	50	006685	290	09	50	017078	287	15	50	027284	280
04	00	006975	290	10	00	017365	286	16	00	027564	279
0
04	10	007265	290	10	10	017651	286	16	10	027843	279
04	20	007555	290	10	20	017937	286	16	20	028122	279
04	30	007845	290	10	30	018223	286	16	30	028401	279
0
04	40	008135	290	10	40	018509	286	16	40	028680	279
04	50	008425	290	10	50	018795	286	16	50	028959	278
05	00	008715	290	11	00	019081	285	17	00	029237	278
0
05	10	009005	290	11	10	019366	286	17	10	029515	278
05	20	009295	290	11	20	019652	285	17	20	029793	278
05	30	009585	289	11	30	019937	285	17	30	030071	277
0
05	40	009874	290	11	40	020222	285	17	40	030348	277
05	50	010164	289	11	50	020507	284	17	50	030625	277
06	00	010453	289	12	00	020791	285	18	00	030902	276

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.
Grad	Min.			Grad	Min.			Grad	Min.
18	10	031178	276	24	10	040939	265	30	10	050252	251
18	20	031454	276	24	20	041204	265	30	20	050503	251
18	30	031730	276	24	30	041469	265	30	30	050754	250
0
18	40	032006	276	24	40	041734	264	30	40	051004	250
18	50	032282	275	24	50	041998	264	30	50	051254	250
19	00	032557	275	25	00	042262	263	31	00	051504	249
0
19	10	032832	274	25	10	042525	263	31	10	051753	249
19	20	033106	275	25	20	042788	263	31	20	052002	248
19	30	033381	274	25	30	043051	262	31	30	052250	248
0
19	40	033655	274	25	40	043313	262	31	40	052498	247
19	50	033929	273	25	50	043575	262	31	50	052745	247
20	00	034202	273	26	00	043837	261	32	00	052992	246
0
20	10	034475	273	26	10	044098	261	32	10	053238	246
20	20	034748	273	26	20	044359	261	32	20	053484	246
20	30	035021	272	26	30	044620	260	32	30	053730	245
0
20	40	035293	272	26	40	044880	260	32	40	053975	245
20	50	035565	272	26	50	045140	259	32	50	054220	244
21	00	035837	271	27	00	045399	259	33	00	054464	244
0
21	10	036108	271	27	10	045658	259	33	10	054708	243
21	20	036379	271	27	20	045917	258	33	20	054951	243
21	30	036650	270	27	30	046175	258	33	30	055194	242
0
21	40	036920	270	27	40	046433	257	33	40	055436	242
21	50	037190	270	27	50	046690	257	33	50	055678	241
22	00	037460	270	28	00	046947	257	34	00	055919	241
0
22	10	037730	269	28	10	047204	256	34	10	056160	240
22	20	037999	269	28	20	047460	256	34	20	056400	241
22	30	038268	269	28	30	047716	255	34	30	056641	239
0
22	40	038537	268	28	40	047971	255	34	40	056880	239
22	50	038805	268	28	50	048226	255	34	50	057119	239
23	00	039073	268	29	00	048481	254	35	00	057358	238
0
23	10	039341	267	29	10	048735	254	35	10	057596	237
23	20	039608	267	29	20	048989	253	35	20	057833	237
23	30	039875	266	29	30	049242	253	35	30	058070	237
0
23	40	040141	267	29	40	049495	253	35	40	058307	236
23	50	040408	266	29	50	049748	252	35	50	058543	236
24	00	040674	265	30	00	050000	252	36	00	058779	235

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.
Grad	Min.			Grad	Min.			Grad	Min.
36	10	059014	234	42	10	067129	215	48	10	074508	194
36	20	059248	234	42	20	067344	215	48	20	074702	194
36	30	059482	234	42	30	067559	214	48	30	074896	194
0
36	40	059716	233	42	40	067773	214	48	40	075088	192
36	50	059949	232	42	50	067987	213	48	50	075280	191
37	00	060181	232	43	00	068200	212	49	00	075471	190
0
37	10	060413	232	43	10	068412	212	49	10	075661	190
37	20	060645	231	43	20	068624	211	49	20	075851	189
37	30	060876	231	43	30	068835	211	49	30	076040	189
0
37	40	061107	230	43	40	069046	210	49	40	076299	188
37	50	061337	229	43	50	069256	210	49	50	076417	187
38	00	061566	229	44	00	069466	209	50	00	076604	187
0
38	10	061795	229	44	10	069675	208	50	10	076791	186
38	20	062024	227	44	20	069883	208	50	20	076977	185
38	30	062251	228	44	30	070091	207	50	30	077162	185
0
38	40	062479	227	44	40	070298	207	50	40	077347	184
38	50	062706	226	44	50	070505	206	50	50	077531	184
39	00	062932	226	45	00	070711	205	51	00	077715	182
0
39	10	063158	225	45	10	070916	205	51	10	077897	182
39	20	063383	225	45	20	071121	204	51	20	078079	182
39	30	063608	224	45	30	071325	204	51	30	078261	181
0
39	40	063832	224	45	40	071529	203	51	40	078442	180
39	50	064056	223	45	50	071732	202	51	50	078622	179
39	50	064056	223	45	50	071732	202	51	50	078622	179
0
40	10	064501	222	46	10	072136	201	52	10	078980	178
40	20	064723	222	46	20	072337	200	52	20	079158	177
40	30	064945	221	46	30	072537	200	52	30	079335	177
0
40	40	065166	220	46	40	072737	199	52	40	079512	176
40	50	065386	220	46	50	072936	199	52	50	079688	176
41	00	065606	219	47	00	073135	198	53	00	079864	174
0
41	10	065825	219	47	10	073333	198	53	10	080038	174
41	20	066044	218	47	20	073531	197	53	20	080212	174
41	30	066262	218	47	30	073728	196	53	30	080386	172
0
41	40	066480	217	47	40	073924	195	53	40	080558	172
41	50	066697	216	47	50	074119	195	53	50	080730	172
42	00	066913	216	48	00	074314	194	54	00	080902	170

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.
Grad	Min.			Grad	Min.			Grad	Min.
54	10	081072	170	60	10	086747	145	66	10	091472	118
54	20	081242	169	60	20	086892	144	66	20	091590	116
54	30	081411	169	60	30	087036	142	66	30	091706	116
0
54	40	081580	168	60	40	087178	142	66	40	091822	114
54	50	081748	167	60	50	087320	142	66	50	091936	114
55	00	081915	167	61	00	087462	141	67	00	092050	114
0
55	10	082082	166	61	10	087603	140	67	10	092164	112
55	20	082248	165	61	20	087743	139	67	20	092276	112
55	30	082413	164	61	30	087882	138	67	30	092388	111
0
55	40	082577	164	61	40	088020	138	67	40	092499	110
55	50	082741	163	61	50	088158	137	67	50	092609	109
56	00	082904	162	62	00	088295	136	68	00	092718	109
0
56	10	083066	162	62	10	088431	135	68	10	092827	108
56	20	083228	161	62	20	088566	135	68	20	092935	107
56	30	083389	160	62	30	088701	134	68	30	093042	106
0
56	40	083549	159	62	40	088835	133	68	40	093148	105
56	50	083708	159	62	50	088968	133	68	50	093253	105
57	00	083867	158	63	00	089101	131	69	00	093358	104
0
57	10	084025	157	63	10	089232	131	69	10	093462	103
57	20	084182	157	63	20	089363	130	69	20	093565	102
57	30	084339	156	63	30	089493	129	69	30	093667	102
0
57	40	084495	155	63	40	089622	129	69	40	093769	101
57	50	084650	155	63	50	089751	128	69	50	093870	099
57	50	084650	155	63	50	089751	128	69	50	093870	099
0
58	10	084959	153	64	10	090006	127	70	10	094068	099
58	20	085112	152	64	20	090133	125	70	20	094167	097
58	30	085264	151	64	30	090258	125	70	30	094264	097
0
58	40	085415	151	64	40	090383	124	70	40	094361	096
58	50	085566	151	64	50	090507	124	70	50	094457	095
59	00	085717	149	65	00	090631	122	71	00	094552	094
0
59	10	085866	149	65	10	090753	122	71	10	094646	093
59	20	086015	148	65	20	090875	121	71	20	094739	093
59	30	086163	147	65	30	090996	120	71	30	094832	092
0
59	40	086310	147	65	40	091116	119	71	40	094924	091
59	50	086457	145	65	50	091235	119	71	50	095015	090
60	00	086602	145	66	00	091354	118	72	00	095105	090

VERZEICHNISS DER SEHNEN IM KREISE.
Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.	Bogen		Halbe Sehne des doppelten Bogens	Diff.
Grad	Min.			Grad	Min.			Grad	Min.
72	10	095195	089	78	10	097875	059	84	10	099482	029
72	20	095284	088	78	20	097934	058	84	20	099511	028
72	30	095372	087	78	30	097992	058	84	30	099539	028
0
72	40	095459	086	78	40	098050	057	84	40	099567	027
72	50	095545	085	78	50	098107	056	84	50	099594	026
73	00	095630	085	79	00	098163	055	85	00	099620	024
0
73	10	095715	084	79	10	098218	054	85	10	099644	024
73	20	095799	083	79	20	098272	053	85	20	099668	024
73	30	095882	082	79	30	098325	053	85	30	099692	022
0
73	40	095964	081	79	40	098378	052	85	40	099714	022
73	50	096045	081	79	50	098430	051	85	50	099736	020
74	00	096126	080	80	00	098481	050	86	00	099756	020
0
74	10	096206	079	80	10	098531	049	86	10	099776	019
74	20	096285	078	80	20	098580	049	86	20	099795	018
74	30	096363	077	80	30	098629	047	86	30	099813	017
0
74	40	096440	077	80	40	098676	047	86	40	099830	017
74	50	096517	075	80	50	098723	046	86	50	099847	016
75	00	096592	075	81	00	098769	045	87	00	099863	015
0
75	10	096667	075	81	10	098814	044	87	10	099878	014
75	20	096742	073	81	20	098858	044	87	20	099892	013
75	30	096815	072	81	30	098902	042	87	30	099905	012
0
75	40	096887	072	81	40	098944	042	87	40	099917	011
75	50	096959	071	81	50	098986	041	87	50	099928	011
75	50	096959	071	81	50	098986	041	87	50	099928	011
0
76	10	097099	070	82	10	099067	039	88	10	099949	009
76	20	097169	068	82	20	099106	038	88	20	099958	008
76	30	097237	067	82	30	099144	038	88	30	099966	007
0
76	40	097304	067	82	40	099182	037	88	40	099973	006
76	50	097371	066	82	50	099219	036	88	50	099979	006
77	00	097437	065	83	00	099255	035	89	00	099985	004
0
77	10	097502	064	83	10	099290	034	89	10	099989	004
77	20	097566	064	83	20	099324	033	89	20	099993	003
77	30	097630	062	83	30	099357	032	89	30	099996	002
0
77	40	097692	062	83	40	099389	032	89	40	099998	001
77	50	097754	061	83	50	099421	031	89	50	099999	001
78	00	097815	060	84	00	099452	030	90	00	100000	000

Capitel 13.

Ueber die Seiten und Winkel der ebenen gradlinigen Dreiecke.

1.

Wenn die Winkel eines Dreiecks gegeben sind: so ergeben sich die Seiten. Sei nämlich das Dreieck $abc$, um welches nach der fünften Aufgabe des 4ten Buches von Euklid, ein Kreis beschrieben wird.

Es werden also auch die Bogen $ab$, $bc$, $ca$ so gegeben sein, dass 360 Theile zweien Rechten gleich sind.^[47] Wenn aber die Bogen bekannt sind, so ergeben sich auch die Seiten des inbeschriebenen Dreiecks, als die Sehnen, aus dem gegebenen Verzeichnisse in Theilen, von denen 200000 auf den Durchmesser kommen.^[48]

2.

Wenn aber irgend ein Winkel nebst zweien Seiten des Dreiecks gegeben ist: so ergiebt sich auch die dritte Seite nebst den übrigen Winkeln. Entweder sind nämlich die gegebenen Seiten einander gleich oder ungleich. Der gegebene Winkel ist aber entweder ein rechter oder ein spitzer oder ein stumpfer; und die gegebenen Seiten schliessen entweder den gegebenen Winkel ein oder nicht. Seien also erstlich in dem Dreiecke $abc$ die beiden gegebenen Seiten $ab$ und $ac$ gleich und schliessen sie den gegebenen Winkel $a$ ein.

Dann sind die übrigen Winkel an der Basis $bc$, weil sie gleich sind, als die Hälfte der Differenz von zweien Rechten und $a$, auch gegeben. Und wenn ein Winkel an der Basis ursprünglich gegeben ist: so ergiebt sich sogleich der ihm gleiche, und aus diesen der Rest von zweien Rechten. Aber die Seiten eines Dreiecks von gegebenen Winkeln sind bekannt, es ist also die Basis $bc$ bekannt, und zwar nach dem Verzeichnisse in Theilen, von denen $ab$ oder $ac$ als Radien 100000, oder der Durchmesser 200000 Theile betragen.

3.

Wenn der Winkel $bac$ als rechter nebst seinen einschliessenden Seiten gegeben ist, so ergiebt sich dasselbe.

Weil es bekannt ist, dass die Quadrate von $ab$ und $ac$ gleich sind dem von der Basis $bc$: so ergiebt sich also $bc$ seiner Länge nach, und umgekehrt die Seiten selbst nach ihrem Verhältnisse. Der Kreisabschnitt aber, welcher das rechtwinklige Dreieck enthält, ist ein Halbkreis, dessen Durchmesser die Basis $bc$ ist. Wird daher $bc$ in 200000 Theile getheilt:

so ergeben sich $ab$ und $ac$ als die Sehnen der beiden andern Winkel $b$ und $c$, welche nun die Einrichtung des Verzeichnisses in Theilen, von denen 180 gleich zweien Rechten sind, nachweist. Dasselbe wird sich ergeben, wenn $bc$ nebst einer der den rechten Winkel einschliessenden Seiten gegeben ist, was mir hinreichend klar zu sein scheint.

4.

Wenn der spitze Winkel $abc$ nebst den ihn einschliessenden Seiten $ab$ und $bc$ ist: so fälle man von $a$ aus ein Perpendikel auf $bc$, oder, wenn es nöthig ist, auf deren Verlängerung, je nachdem es innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks fällt, dieses sei $ad$. Durch dasselbe werden zwei rechtwinklige Dreiecke $abd$ und $adc$ unterschieden; und weil in $abd$ die Winkel gegeben sind, nämlich $d$ als Rechter und $b$ nach der Voraussetzung: so ergeben sich $ad$ und $bd$ als Sehnen der Winkel $a$ und $b$ in Theilen, von denen $ab$ als Durchmesser des Kreises 200000 enthält, nach dem Verzeichnisse. Und auf dieselbe Weise, wie $ab$, $ad$ und $bd$ der Länge nach gegeben sind, ergiebt sich auch $cd$, als die Differenz von $bc$ und $bd$. Folglich ergiebt sich, aus den bekannten Seiten $ad$ und $cd$ des rechtwinkligen Dreiecks $adc$, auch die gesuchte Seite $ac$ und der Winkel $acd$ nach der obigen Entwickelung.

5.

Nicht anders wird es sich gestalten, wenn der Winkel $b$ ein stumpfer ist, indem das Loth $ad$ von $a$ auf die Verlängerung von $bc$ ein Dreieck $abd$ von bekannten Winkeln bildet. Denn der Aussenwinkel $abd$ ist durch $abc$, und $d$ als Rechter bekannt; es ergeben sich also $bd$ und $ad$ in Theilen, von denen $ab$ 200000 enthält. Und weil $ba$ und $bc$ zu einander ein gegebenes Verhältniss haben: so ergiebt sich auch $bc$ in denselben Theilen wie $bd$, und folglich auch die ganze Linie $cbd$. Da nun auch in dem rechtwinkligen Dreiecke $adc$ zwei Seiten $ad$ und $cd$ gegeben sind: so ergiebt sich auch die gesuchte $ac$ und der Winkel $bac$ nebst dem andern $acb$, was verlangt war.

6.

Wenn eine von den gegebenen Seiten $ac$ und $ab$ dem gegebenen Winkel $b$ gegenüberliegt: so ergiebt sich aus dem Verzeichnisse $ac$ in Theilen, von denen der Durchmesser des das Dreieck $abc$ umschreibenden Kreises 200000 enthält; und da das Verhältniss von $ab$ zu $ac$ gegeben ist: so ergiebt sich $ab$ in denselben Theilen, folglich aus dem Verzeichnisse der Winkel $acb$ nebst dem andern $bac$, aus welchem wiederum $bc$ als Sehne sich ergiebt, und hierdurch sind sie nach jedem beliebigen Maassstabe gegeben.

7.

Wenn alle Seiten eines Dreiecks gegeben sind: so ergeben sich die Winkel. Von dem gleichseitigen Dreiecke ist es zu bekannt, als dass es hervorgehoben zu werden brauchte, dass seine einzelnen Winkel den dritten Theil von zweien Rechten betragen. In dem gleichschenkligen Dreiecke ist es auch klar; denn die gleichen Seiten verhalten sich zur dritten, wie die Hälfte des Durchmessers zu der Sehne des Bogens, woraus der von den gleichen Seiten eingeschlossene Winkel sich aus dem Verzeichnisse in Theilen ergiebt, von denen 360 um den Mittelpunkt herum vier Rechten gleich sind. Demnächst ergeben sich die übrigen Winkel an der Basis, als die Hälften des Restes von zweien Rechten. Es ist also nun noch übrig, dasselbe von den ungleichseitigen Dreiecken zu beweisen, die wir wieder in rechtwinklige zerlegen. Es sei also $abc$ ein ungleichseitiges Dreieck von gegebenen Seiten, und auf die längste Seite z. B. $bc$, ein Loth $ad$ gefällt. Der 13te Satz des zweiten Buches von Euklid sagt uns aber, dass das Quadrat der Seite $ab$, welche einem spitzen Winkel gegenüberliegt, um das doppelte Rechteck von $bc$ und $cd$ kleiner sei, als die Summe der Quadrate der beiden andern Seiten. Der Winkel $c$ muss aber ein spitzer sein, sonst wäre $ab$ gegen die Voraussetzung die längste Seite, was aus dem 17ten Satze des ersten Buches von Euklid und den beiden folgenden Sätzen ersehen werden kann. Es ergeben sich also $bd$ und $dc$, und von den rechtwinkligen Dreiecken $abd$ und $adc$ sind die Seiten und Winkel bekannt, wie das schon öfters wiederholt ist, wodurch denn auch die gesuchten Winkel des Dreiecks $abc$ sich ergeben.

Oder. Dasselbe wird aus dem vorletzten Satze des dritten Buches von Euklid, vielleicht für uns bequemer, sich ableiten lassen. Wenn wir mit der kürzeren Seite $bc$ als Radius, um den Mittelpunkt $c$, einen Kreis beschreiben: so schneidet derselbe entweder die beiden andern Seiten oder bloss eine von ihnen. Zunächst schneide der Kreis beide: $ab$ in $e$, $ac$ in $d$. Wir verlängern $adc$ nach $f$ um den Durchmesser $dcf$ zu vervollständigen. Nach dieser Construction ist aus jenem Satze von Euklid^[49] klar, dass das Rechteck von $fad$^[50] gleich sei dem Rechtecke von $bae$, indem jedes von Beiden gleich ist dem Quadrate der Tangente von $a$ aus an den Kreis. Die ganze Linie $af$ ist aber gegeben, weil alle ihre Stücke gegeben sind; denn $cf$ und $cd$ sind gleich $bc$ als Radien eines Kreises, und $ad$ ist die Differenz von $ca$ und $cd$. Deshalb ist auch das Rechteck von $bae$ gegeben und folglich auch $ae$ seiner Länge nach^[51], und der Rest

$be$, die Sehne des Bogens $be$. Wenn wir $ec$ ziehen: so haben wir ein gleichschenkliges Dreieck $bce$ von gegebenen Seiten. Daraus ergiebt sich der Winkel $ebc$ und dadurch werden auch in dem Dreiecke $abc$ die übrigen Winkel $c$ und $a$ nach dem Früheren gefunden. Schneidet aber der Kreis, $ab$ nicht, wie in der andern Figur, wo $ab$ auf den convexen Bogen trifft: so ist $be$ nichtsdestoweniger gegeben, und in dem gleichschenkligen Dreiecke $bce$ ist der Winkel $cbe$, wie auch der Aussenwinkel $abc$ bekannt, und auf dieselbe Weise, wie vorhin, ergeben sich sofort die übrigen Winkel. Und dies mag für die gradlinigen Dreiecke hinreichen, worauf ein grosser Theil der Geodäsie beruht. Wir wenden uns nun zu den sphärischen Dreiecken.

Capitel 14.

Ueber die sphärischen Dreiecke.

Wir nehmen hier dasjenige convexe Dreieck, welches auf einer Kugeloberfläche von dreien Bogen grösster Kreise eingeschlossen wird; die Differenz und Grösse der Winkel aber auf dem Bogen des grössten Kreises, welcher von dem Schnittpunkte als von einem Pole aus beschrieben wird, und welchen Bogen die Quadranten der den Winkel bildenden Kreise einschliessen. Denn wie der so eingeschlossene Bogen zur ganzen Peripherie: so verhält sich der Winkel am Schnittpunkte zu vier Rechten, welche, wie wir gesagt haben, 360 gleiche Theile enthalten.

1.

Aus dreien Bogen grösster Kreise einer Kugel, von denen zwei beliebige zusammengenommen grösser sind, als der dritte, kann offenbar ein sphärisches Dreieck zusammengesetzt werden. Denn was hier von den Bogen behauptet wird, beweist der 23ste Satz des elften Buches des Euklid von den Winkeln^[52], da das Verhältniss der Winkel und der Bogen dasselbe ist, und grösste Kreise solche sind, welche durch den Mittelpunkt der Kugel gehen: so ist klar, dass jene drei Kreissectoren, von denen jene Bogen sind, am Mittelpunkte der Kugel eine Ecke bilden. Es ist also sicher, was behauptet ist.

2.

Jeder Bogen eines Dreiecks muss kleiner sein, als ein Halbkreis. Denn ein Halbkreis bildet am Mittelpunkte keinen Winkel, sondern projicirt sich als grade Linie. Aber die beiden übrigen Winkel, zu denen die Bogen gehören, können am Mittelpunkte keine Ecke einschliessen, also auch kein sphärisches Dreieck. Und dies ist, wie ich glaube, die Ursache gewesen, warum Ptolemäus bei der Untersuchung dieser Art von Dreiecken besonders an der Figur des Kugelsectors beweist, dass Bogen, die grösser als Halbkreise angenommen werden, nicht existiren.

3.

In sphärischen Dreiecken, die einen rechten Winkel enthalten, verhält sich die Sehne der doppelten Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, zur Sehne des Doppelten einer von den beiden den rechten Winkel Einschliessenden, wie der Durchmesser der Kugel, zu der Sehne des doppelten Winkels, welcher von der übrigen und der ersten Seite auf dem grössten Kreise der Kugel eingeschlossen ist.

Denn es sei $abc$ ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel $c$ ein rechter sei; und ich behaupte, die Sehne des doppelten $ab$ verhält sich zu der Sehne des doppelten $bc$, wie der Durchmesser der Kugel zu der Sehne, welche im grössten Kreise dem Doppelten des Winkels $bac$ angehört. Man nehme $a$ als Pol, beschreibe den Bogen des grössten Kreises $de$ und vollende die Quadranten der Kreise $abd$ und $ace$ und aus dem Mittelpunkte der Kugel $f$ ziehe man den gemeinschaftlichen Schnitt $fa$ der Kreise $abd$ und $ace$, derjenige aber der Kreise $ace$ und $de$ sei $fe$, und $fd$ der von $abd$ und $de$. Ausserdem noch $fc$ von den Kreisen $ac$ und $bc$. Darauf werden $bg$ rechtwinklig gegen $fa$, $bi$ gegen $fc$, und $dk$ gegen $fe$ gezogen und $gi$ verbunden. Weil nun zwei Kreise, wenn sie gegenseitig durch ihre Pole gehen, sich rechtwinklig schneiden: so wird der Winkel $aed$ ein rechter sein; $acb$ ist aber ein Rechter nach der Voraussetzung, und folglich steht jede von den beiden Ebenen $edf$ und $bcf$ senkrecht auf $aef$. Deswegen, wenn auf der gemeinschaftlichen Schnittlinie $fke$ in der Grundebene ($afe$) ein Loth errichtet wird, so schliesst dasselbe mit $kd$ einen rechten Winkel ein, nach der Definition der rechtwinkligen Ebenen. Deshalb steht auch $kd$ nach dem 4ten Satze des elften Buches Euklid’s auf $aef$ senkrecht. Aus demselben Grunde steht auch $bi$ senkrecht auf derselben Ebene, und deshalb sind $dk$ und $bi$ einander parallel nach dem sechsten Satze desselben Buches. Aber auch $gb$ ist parallel $fd$, weil $fgb$ und $gfd$ rechte Winkel sind; und folglich ist nach dem zehnten Satze des elften Buches Euklid’s der Winkel $fdk$ gleich $gbi$. Da aber Winkel $fkd$ ein rechter ist, so ist es auch $gib$ nach der Definition des Perpendikels. Nun sind die Seiten ähnlicher Dreiecke proportional und also $df$ zu $bg$ wie $dk$ zu $bi$. Aber $bi$ ist die Hälfte der Sehnen des doppelten Bogens $bc$, weil $bi$ auf der aus dem Mittelpunkte $f$ gezogenen Linie senkrecht steht, und aus demselben Grunde ist $bg$ die Hälfte der Sehne der doppelten Seite $ba$, und $dk$ die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens $de$ oder des doppelten Winkels $a$, und $df$ die Hälfte des Durchmessers der Kugel. Also ist offenbar, dass die Sehne der doppelten Seite $ab$ zur Sehne der doppelten $bc$ sich verhält, wie der Durchmesser zu der Sehne des doppelten Winkels $a$ oder des doppelten Bogens $de$; was bewiesen zu haben vortheilhaft sein wird.

4.

Wenn in einem rechtwinkligen Dreiecke noch ein Winkel und irgend eine Seite gegeben sind: so ergiebt sich auch der dritte Winkel und die beiden andern Seiten.

Denn es sei $a$ der rechte Winkel im Dreieck $abc$, und ausserdem irgend einer der beiden andern Winkel z. B. $b$ gegeben. Wegen der gegebenen Seite machen wir einen dreifachen Unterschied. Denn entweder liegt sie den beiden gegebenen Winkeln an, wie $ab$; oder nur dem Rechten, wie $ac$; oder sie liegt dem Rechten gegenüber, wie $bc$. Es sei also zuerst $ab$ die gegebene Seite, und es werde aus dem Pole der Bogen eines grössten Kreises $de$ beschrieben, und nachdem die Quadranten $cad$ und $cbe$ vollendet sind, werden $ab$ und $de$ verlängert, bis sie sich in $f$ schneiden. Es wird also wieder in $f$ der Pol des Kreises $cad$ sein, weil die Winkel bei $a$ und $d$ rechte sind. Weil nun, wenn an einer Kugel grösste Kreise sich gegenseitig rechtwinklig schneiden, sie sich halbiren und gegenseitig durch ihre Pole gehen: so sind sowohl $abf$ als auch $def$ Quadranten von Kreisen; und da $ab$ gegeben ist: so ist auch der Rest des Quadranten $bf$ gegeben, und der Winkel $ebf$ ist als Scheitelwinkel dem gegebenen $abc$ gleich. Nach dem vorhergehenden Beweise aber verhält sich die Sehne der doppelten $bf$ zur Sehne der doppelten $ef$, wie der Durchmesser der Kugel zu der Sehne des doppelten Winkels $ebf$. Drei dieser Grössen sind aber gegeben; der Durchmesser der Kugel, die Sehne des doppelten Bogens $bf$ und des doppelten Winkels $ebf$, oder die Hälften davon. Es ergiebt sich also, nach dem 15ten Satze des sechsten Buches Euklid’s, auch die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens $cf$ und aus dem „Verzeichnisse“ der Bogen $ef$ selbst, und daraus der Rest des Quadranten $de$, oder der gesuchte Winkel $c$. Auf dieselbe Weise verhalten sich wieder die Sehnen der doppelten $de$ zu $ab$ wie $ebc$ zu $cb$. Die Sehnen von $de$, $ab$ und vom Kreisquadranten $ebc$ sind aber schon gegeben, es ergiebt sich also auch die vierte Sehne des doppelten $cb$, und die gesuchte Seite $cb$ selbst. Da sich nun die Sehnen der doppelten $cb$ zu $ca$ verhalten wie $bf:ef$, — weil jedes von beiden Verhältnissen gleich dem des Durchmessers der Kugel zur Sehne des doppelten Winkels $cba$ ist, und Verhältnisse, die einem und demselben gleich sind, auch unter sich gleich sind; — und da schon die drei $bf$, $ef$ und $cb$ gegeben sind: so ergiebt sich die vierte $ca$ und daraus die dritte Seite $ca$ des Dreiecks $abc$. Es werde nun die Seite $ac$ als gegeben angenommen, und es sollen gefunden werden die Seiten $ab$ und $bc$ und der Winkel $c$: so wird wiederum die Sehne des doppelten Bogens $ca$ zu der Sehne des doppelten $cb$ dasselbe Verhältniss haben, wie die Sehne des doppelten Winkels $abc$ zum Durchmesser, wodurch die Seite $cb$ sich ergiebt, und aus den Quadranten der Kreise die Reste $ad$ und $be$. Ebenso verhält sich die Sehne des doppelten $abf$, d. h. der Durchmesser, zu der Sehne des doppelten $bf$,

wie die Sehne des doppelten $ad$ zu der Sehne des doppelten $be$. Es ergiebt sich also der Bogen $bf$, und als Rest die Seite $ab$. Auf ähnliche Weise, wie im Vorhergehenden, ergiebt sich aus den Sehnen der doppelten $bc$, $ab$ und $fbe$, die Sehne des doppelten $de$, oder der Winkel $c$. Wenn ferner $bc$ als bekannt angenommen würde: so würde sich wieder wie vorhin $ac$, $ad$ und $be$ ergeben, wodurch mittelst der Sehnen und des Durchmessers, wie oft gesagt ist, der Bogen $bf$ sich ergiebt und als Rest die Seite $ab$; und aus dem bekannten $bc$, $ab$ und $cbe$ ergiebt sich sogleich nach dem vorhergehenden Lehrsatze der Bogen $ed$, d. h. der Winkel $c$, welchen wir suchten. Und so ist wiederum in dem Dreiecke $abc$, wenn die Winkel $a$ und $b$, von denen $a$ ein Rechter ist, und irgend eine der drei Seiten gegeben sind, der dritte Winkel mit den übrigen beiden Seiten gegeben, was zu beweisen war.

5.

Bei einem Dreiecke von gegebenen Winkeln, von denen irgend einer ein Rechter ist, ergeben sich die Seiten. Behalten wir noch die vorhergehende Figur bei, in welcher wegen des gegebenen Winkels $c$, der Bogen $de$ und, als Rest des Kreisquadranten, $ef$ sich ergeben. Weil nun $bef$ ein rechter Winkel ist, indem $be$ von dem Pole des Kreises $def$ herkommt, und weil der Winkel $ebf$ Scheitelwinkel eines gegebenen ist: so sind die Winkel und Seiten des Dreiecks $bef$, welches den rechten Winkel $e$, den gegebenen Winkel $b$ und die gegebene Seite $ef$ enthält, nach dem vorhergehenden Lehrsatze bekannt; es ergiebt sich also $bf$ und als Rest des Quadranten $ab$; und durch das Vorhergehende ist bewiesen, dass in dem Dreiecke $abc$ ebenfalls die übrigen Seiten $ac$ und $bc$ sich ergeben.

6.

Wenn auf derselben Kugel zwei Dreiecke einen rechten, und ausserdem noch einen gleichen Winkel und eine gleiche Seite haben, mag nun Letztere dem gleichen Winkel an- oder gegenüberliegen: so sind auch die andern Seiten und der dritte Winkel beziehlich gleich.

Es sei $abc$ eine Halbkugel, auf welcher zwei Dreiecke $abd$ und $cef$ angenommen werden, deren Winkel $a$ und $c$ rechte, und ausserdem Winkel $adb$ gleich $cef$ und eine Seite gleich ist, und zwar zuerst eine solche, welche dem gleichen Winkel anliegt, also $ad$ gleich $ce$. Ich behaupte, dass auch die Seite $ab$ gleich $cf$, $bd$ gleich $ef$ und Winkel $abd$ gleich $cfe$ sei. Denn, nachdem $b$ und $f$ zu Polen genommen sind, beschreibe man die Quadranten grösster Kreise $ghi$ und $ikl$ und vollende $adi$ und $cei$, welche sich im Pole der Halbkugel schneiden müssen, der in $i$ liegen mag, weil die Winkel bei $a$ und $c$ rechte sind, und weil $ghi$ und $cei$ durch die Pole desselben Kreises $abc$ beschrieben sind. Da nun

$ad$ und $ce$ als gleiche Seiten angenommen sind: so werden auch die Reste $di$ und $ie$ gleiche Bogen sein, und die Winkel $idh$ und $iek$ sind gleich, denn sie sind Scheitelwinkel der als gleich angenommenen Winkel; und die Winkel bei $h$ und $k$ sind rechte; und da diejenigen Verhältnisse, welche einem Dritten gleich sind, auch unter sich gleich sind: so verhält sich die Sehne des Doppelten $id$ zur Sehne des Doppelten $hi$, wie die Sehne des Doppelten $ei$ zur Sehne des Doppelten $ik$; da jedes von diesen beiden Verhältnissen nach dem obigen 3ten Satze gleich ist dem Verhältnisse des Durchmessers der Kugel zu der Sehne des doppelten Winkels $idh$, oder zu der gleichen Sehne des doppelten Winkels $iek$. Und da die Sehne des doppelten Bogens $di$ gleich ist der Sehne des Doppelten $ie$: so sind auch nach dem 14ten Satze des fünften Buches der Elemente von Euklid die Sehnen der doppelten $ik$ und $ih$ gleich; und da in gleichen Kreisen gleiche grade Linien gleiche Bogen abschneiden, und die Theile in dem halben Verhältnisse wie die Vielfachen stehen: so sind die einfachen Bogen $ih$ und $ik$ einander gleich, und also auch die Reste der Quadranten $gh$ und $kl$, wodurch sich die Winkel $b$ und $f$ als gleiche ergeben. Weshalb auch zwischen der Sehne des doppelten $ad$ und der Sehne des doppelten $bd$, oder zwischen der Sehne des doppelten $ce$ und der Sehne des doppelten $bd$, dasselbe Verhältniss besteht, als zwischen der Sehne des doppelten $ec$ und der Sehne des doppelten $ef$. Denn jedes von beiden Verhältnissen ist gleich demjenigen der Sehne des doppelten $hg$ oder des diesem gleichen doppelten $kl$, zur Sehne des doppelten $bdh$ d. h. zum Durchmesser, nach dem umgekehrten 3ten Lehrsatze, und $ad$ ist gleich $ce$. Folglich ist nach dem 14ten Satze des fünften Buches der Elemente von Euklid $bd$ gleich $ef$ aus Gleichheit der Sehnen der doppelten Bogen. Auf dieselbe Weise werden wir aus der Gleichheit von $bd$ und $ef$ die Gleichheit der übrigen Seiten und Winkel beweisen. Und wiederum, wenn $ab$ und $cf$ als die gleichen Seiten angenommen werden, so folgen sie derselben Gleichheit in Bezug auf ihr Verhältniss.

7.

Wenn auch der eine Winkel kein rechter, und nur die den beiden gleichen Winkeln anliegende Seite einander gleich wäre: so liesse sich schon dasselbe beweisen. Wie z. B. wenn in den beiden Dreiecken $abd$ und $cef$ die beiden Winkel $b$ und $d$ den beiden Winkeln $e$ und $f$ beziehlich und die Seite $bd$, welche den gleichen Winkeln anliegt, der Seite $ef$ gleich wäre: so behaupte ich wiederum, dass die Dreiecke selbst congruent sind. Denn nachdem wieder $b$ und $f$ als Pole angenommen sind, beschreibe man die Bogen grösster Kreise $gh$ und $kl$. Die Verlängerungen von $ad$ und $gh$ mögen sich in $n$ schneiden und die von $ec$ und $lk$ in $m$. Da nun die beiden Dreiecke $hdn$ und $kme$ die gleichen

Winkel $hdn$ und $kem$ enthalten, welche als Scheitelwinkel von als gleich angenommenen gleich sind, und weil diejenigen bei $h$ und $k$ rechte sind, wegen des Schneidens am Pole: so sind auch die Seiten $dh$ und $ek$ gleich. Die Dreiecke haben also gleiche Winkel und gleiche Seiten nach dem vorigen Beweise. Und wiederum weil $gh$ und $kl$ gleiche Bogen sind, wegen der als gleich vorausgesetzten Winkel $b$ und $f$: so ist der ganze Bogen $ghn$ gleich dem ganzen $mkl$ nach dem Grundsatze der Addition von Gleichen. Es giebt also auch hier zwei Dreiecke $agn$ und $mcl$, welche eine Seite $gn$ gleich einer Seite $ml$ und einen Winkel $ang$ gleich $cml$ und die rechten $g$ und $l$ enthalten. Deswegen sind also auch diese Dreiecke congruent. Wenn nun Gleiches von Gleichem abgezogen wird: so bleibt $ad$ gleich $ce$, $ab$ gleich $cf$, und Winkel $bad$ gleich dem Winkel $ecf$. Was zu beweisen war.

8.

Aber auch wenn zwei Dreiecke zwei Paar gleiche Seiten und ein Paar gleiche Winkel enthalten, mögen Letzteren die gleichen Seiten einschliessen, oder mag derselbe an der Basis liegen: so ist auch die Basis der Basis und die übrigen Winkel den übrigen Winkeln gleich. Mag in der vorhergehenden Figur die Seite $ab$ gleich der Seite $cf$, und $ad$ gleich $ce$, und erstens der von den gleichen Seiten eingeschlossene Winkel $a$ gleich dem Winkel $c$ sein. Ich behaupte, dass auch die Basis $bd$ der Basis $ef$, und der Winkel $b$ dem Winkel $f$, und $bda$ dem $cef$ gleich sei. Denn wir haben zwei Dreiecke $agn$ und $clm$, deren Winkel $g$ und $l$ rechte, und $gan$ gleich $mcl$, als Reste von Gleichen $bad$ und $ecf$. Diese Dreiecke sind also, da auch $ga$ gleich $lc$ ist, congruent. Deshalb lassen die Gleichen $ad$ und $ce$ auch gleiche Reste $dn$ und $me$. Es ist aber schon bewiesen, dass der Winkel $dnh$ gleich dem Winkel $emk$ sei und dass die Winkel bei $h$ und $k$ rechte sind, also sind auch die Dreiecke $dhn$ und $emk$ congruent, woraus sich als Reste $bd$ gleich $ef$, und $gh$ gleich $kl$ ergeben; und hieraus folgt, dass die Winkel $b$ und $f$, und also auch die Reste $adb$ und $fec$ einander gleich sind. Wenn aber anstatt der Seiten $ad$ und $ec$, die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Basen $bd$ und $ef$ als gleich angenommen werden: so lässt es sich für die anliegenden auf dieselbe Weise beweisen, weil wir wegen der gleichen Aussenwinkel $gan$ und $mcl$ und der rechten $g$ und $l$ und wegen der gleichen Seiten $ag$ und $cl$ wiederum wie früher zwei Dreiecke $agn$ und $mcl$ von beziehlich gleichen Seiten und Winkeln haben. Auf ähnliche Weise sind auch die Theil-Dreiecke $dnh$ und $mek$ congruent, weil $h$ und $k$ rechte, $dnh$ und $kme$ gleiche Winkel und $dh$ und $ek$ als Reste von Quadranten gleiche Seiten sind, woraus dasselbe folgt, was wir behauptet haben.

9.

Im gleichschenkligen sphärischen Dreiecke sind die Winkel an der Basis unter sich gleich. Es sei $abc$ ein Dreieck, dessen beide Seiten $ab$ und $ac$ gleich sind, so behaupte ich, dass die Winkel an der Basis $abc$ und $acb$ gleich sind.

Durch den Scheitel $a$ werde ein grösster Kreis $ad$ gezogen, welcher die Basis rechtwinklig schneidet, also durch die Pole derselben geht. Da nun in den Dreiecken $abd$ und $adc$ die Seite $ba$ gleich der Seite $ac$, und $ad$ beiden gemeinschaftlich ist, und die Winkel bei $d$ rechte sind: so ist nach dem vorigen Beweise klar, dass die Winkel $abc$ und $acb$ gleich sind, was zu beweisen war.

Zusatz.

Hieraus folgt, dass der Bogen, welcher von dem Scheitel eines gleichschenkligen Dreiecks aus die Basis rechtwinklig trifft, zugleich die Basis und den von den gleichen Seiten eingeschlossenen Winkel halbirt, und umgekehrt, was aus dem eben gegebenen Beweise sich ergiebt.

10.

Irgend welche zwei Dreiecke auf derselben Kugel, haben, wenn ihre Seiten beziehlich einander gleich sind, auch einzeln beziehlich gleiche Winkel. Denn weil drei Abschnitte grösster Kreise auf beiden Seiten Pyramiden bilden, welche ihre Gipfel im Mittelpunkte der Kugel haben, deren Grundflächen aber ebene Dreiecke sind, die von den Sehnen der Bogen der sphärischen Dreiecke eingeschlossen werden, so sind auch diese Pyramiden einander ähnlich und gleich, nach der Definition gleicher und ähnlicher körperlicher Figuren. Der Grund der Aehnlichkeit liegt darin, dass sie Winkel enthalten, die auf welche Weise sie auch genommen werden mögen, einander beziehlich gleich sind; folglich enthalten auch die Dreiecke selbst einander beziehlich gleiche Winkel. Zumal Diejenigen, welche die Aehnlichkeit der Figuren allgemeiner definiren, dieselbe darin finden wollen, dass diese irgendwie übereinstimmend geneigte Ebenen und in denselben einander gleiche Winkel enthalten. Hieraus scheint mir zu erhellen, dass sphärische Dreiecke, welche beziehlich gleiche Seiten haben, ähnlich sind, wie die ebenen.

11.

Jedes Dreieck, von welchem zwei Seiten nebst irgend einem Winkel gegeben sind, wird dadurch zu einem von gegebenen Winkeln und Seiten. Denn wenn die gegebenen Seiten gleich wären: so würden die Winkel an der Basis gleich sein, und nachdem ein Bogen vom Scheitel gegen die Basis rechtwinklig gezogen ist, ergiebt sich leicht das Gesuchte nach dem Zusatze des neunten Satzes. Wenn aber die gegebenen Seiten ungleich wären, wie in dem Dreiecke $abc$, dessen Winkel $a$ gegeben sei, nebst zweien Seiten, welche den gegebenen Winkel entweder einschliessen oder nicht einschliessen, so

mögen zuerst die gegebenen Seiten $ab$ und $ac$ denselben einschliessen, und nachdem $c$ zum Pole genommen ist, werde ein Bogen eines grössten Kreises $def$ beschrieben, die Quadranten $cad$ und $cbe$ vollendet, und die Verlängerung von $ab$ möge den Bogen $de$ im Punkte $f$ schneiden. So wird auch in dem Dreiecke $adf$ die Seite $ad$ als Rest des Quadranten durch $ac$ gegeben. Auch wird der Winkel $bad$ durch $cab$ zu zweien Rechten ergänzt, denn es herrscht dieselbe Beziehung und Grösse der Winkel, welche durch das Schneiden grader Linien und der Ebenen gebildet werden, und $d$ ist ein rechter Winkel. Folglich ist nach dem vierten Satze dieses Capitels $adf$ ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten. Und wiederum ist der Winkel $f$ des Dreiecks $bef$ gefunden, und $e$ als rechter wegen des Polschnitts, auch die Seite $bf$, um welche die ganze $abf$ die $ab$ übertrifft. Es wird also nach demselben Lehrsatze auch $bef$ ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten sein. Hieraus ergiebt sich durch $be$ auch die gesuchte Seite $bc$ als Rest des Quadranten, und durch $ef$ auch $de$ als Rest des Ganzen $def$, dies ist der Winkel $c$, und durch den Winkel $ebf$ auch der gesuchte Scheitelwinkel $abc$. Wenn anstatt $ab$, die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende $cb$ als gegeben angenommen würde: so ergiebt sich dasselbe. Denn es ergeben sich als Reste der Quadranten $ad$ und $be$, und nach derselben Beweismethode zwei Dreiecke $adf$ und $bef$ von gegebenen Winkeln und Seiten, wie vorhin; wodurch $abc$ ein Dreieck von gegebenen Seiten und Winkeln wird, was verlangt wurde.

12.

Aber auch wenn irgend welche zwei Winkel nebst irgend einer Seite gegeben sind, ergiebt sich dasselbe. Denn wenn die Construction der vorigen Figur bleibt: so mögen die beiden Winkel $acb$ und $bac$ nebst der, beiden Winkeln anliegenden, Seite $ac$ des Dreiecks $abc$ gegeben sein. Wenn nun einer der beiden Winkel ein rechter wäre: so könnten alle übrigen Stücke nach dem obigen 4ten Satze durch Rechnung gefunden werden. Hiervon wollen wir aber den Fall unterscheiden, wo die Winkel keine rechte sind. Es ist nun $ad$ der Rest des Quadranten $cad$, und $bad$ der Rest, wenn $bac$ von zweien Rechten abgezogen wird, und $d$ ist ein Rechter. Folglich ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels, die Winkel nebst den Seiten des Dreiecks $afd$. Durch den gegebenen Winkel $c$ ergiebt sich der Bogen $de$ und der Rest $ef$; $bef$ ist ein Rechter und $f$ ist beiden Dreiecken gemeinschaftlich. Ebenso ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels $be$ und $bf$, wodurch sich die beiden andern gesuchten Seiten $ab$ und $bc$ herausstellen. Wenn ferner einer der beiden gegebenen Winkel der gegebenen Seite gegenüberliegt, z. B. wenn der Winkel $abc$ statt $acb$ gegeben wäre, während die übrigen Stücke dieselben bleiben: so stellt sich durch dieselbe Beweismethode das ganze $adf$ als ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten heraus, und ebenso das Theil-Dreieck $bef$, weil im vorigen Satze bewiesen ist, dass aus dem, beiden gemeinsamen, Winkel $f$, aus dem Winkel $ebf$, welcher der Scheitelwinkel eines gegebenen ist, und aus dem rechten $e$, auch alle Seiten desselben sich ergeben. Hieraus folgt denn endlich dasselbe, was wir behauptet haben. Denn Alles dies steht immer in wechselseitigem und stetigem Zusammenhange, wie es der Form der Kugel zukommt.

13.

Endlich ergeben sich bei einem Dreiecke, dessen sämmtliche Seiten gegeben sind, auch die Winkel. Mögen in dem Dreiecke $abc$ alle Seiten gegeben sein, so behaupte ich, dass auch alle Winkel gefunden werden können. Denn entweder enthält das Dreieck selbst gleiche Seiten, oder nicht. Es seien also zuerst $ab$ und $ac$ gleich: so ist offenbar, dass auch die Hälften der Sehnen der doppelten Seiten gleich sind. Diese mögen $be$ und $ce$ sein, die sich im Punkte $e$ schneiden, weil ihr Abstand vom Mittelpunkte der Kugel auf dem gemeinschaftlichen Schnitte $de$ der Kreise gleich ist, was sich aus der 4ten Definition des dritten Buches von Euklid und deren Umkehrung ergiebt. Aber nach der dritten Proposition desselben Buches ist der Winkel $deb$ in der Ebene $abd$ ein rechter, und $dec$ ebenfalls in der Ebene $acd$. Daher ist der Winkel $bec$ nach der 4ten Definition des elften Buches von Euklid der Neigungswinkel dieser Ebenen, welchen wir auf diese Weise finden. Denn da die Sehne $bc$ eine grade Linie ist: so haben wir ein gradliniges Dreieck $bec$ von gegebenen Seiten, weil ihre Bogen gegeben sind, und folglich auch von gegebenen Winkeln, und wir erhalten den gesuchten Winkel $bec$, d. h. den sphärischen $bac$, und die übrigen nach dem Früheren. Wenn aber das Dreieck ungleichseitig ist, wie in der zweiten Figur: so ist klar, dass die halben Sehnen der doppelten Bogen sich nicht treffen.

Weil wenn der Bogen $ac$ grösser als $ab$ ist, die halbe Sehne des doppelten $ac$, also $cf$, tiefer, wenn kleiner, höher fällt, je nachdem diese graden Linien, nach dem 15ten Satze des dritten Buches von Euklid, näher oder entfernter vom Mittelpunkte treffen. Dann aber wird mit $be$ eine Parallele $fg$ gezogen, welche den gemeinschaftlichen Schnitt der Kreisausschnitte in $g$ schneidet, und $c$ mit $g$ verbunden. Nun ist offenbar, dass der Winkel $efg$ ein rechter ist, nämlich gleich $aeb$; und da $cf$ die halbe Sehne des doppelten $ac$ ist: so ist $efc$ auch ein rechter. Folglich ist $cfg$ der Neigungswinkel der Kreise $ab$ und $ac$, den wir also dadurch auch finden. Denn es ist $df$ zu $fg$ wie $de$ zu $eb$, wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke $dfg$ und $deb$. Es ergiebt sich also $fg$ in denselben Maasstheilen als in welchen $fc$ gegeben ist. Aber

in demselben Verhältnisse steht auch $dg$ zu $db$, es ergiebt sich also auch $dg$ in denselben Maasstheilen, in welchen $dc$ gegeben ist, nämlich in 100000. Auch ist der Winkel $gdc$ durch den Bogen $cb$ gegeben. Es ergiebt sich also nach dem 2ten Satze der ebenen Dreiecke die Seite $gc$ in denselben Maasstheilen, in welchen die übrigen Seiten des Dreiecks $gfc$ gegeben sind, folglich haben wir nach dem letzten Satze der ebenen Dreiecke den Winkel $gfc$, das ist der gesuchte sphärische $bac$, und dann erhalten wir die übrigen nach dem 11ten Satze der sphärischen Dreiecke.

14.

Wenn ein gegebener Kreisbogen irgend wo geschnitten wird, so dass jeder von beiden Abschnitten kleiner ist, als ein Halbkreis, und das Verhältniss der halben Sehne des doppelten einen Abschnittes zur halben Sehne des doppelten andern gegeben ist: so ergeben sich auch die Bogen der Abschnitte selbst.

Denn es sei der Bogen $abc$, dessen Mittelpunkt $d$, gegeben, und er werde in irgend einem Punkte $b$ geschnitten und zwar so, dass die Abschnitte kleiner sind, als der Halbkreis; das Längen-Verhältniss der halben Sehne des doppelten $ab$ zur halben Sehne des doppelten $bc$ sei auf irgend eine Weise gegeben: so behaupte ich, dass auch die Bogen $ab$ und $bc$ sich ergeben. Denn man ziehe die Grade