Schwere, Elektricität und Magnetismus:070

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 15.


Man kann aber bei eimem gegebenen unendlich kleinen das unendlich kleine so wählen, dass ist. Innerhalb der Integrationsgrenzen und ist demnach für ein unendlich kleines



gleichgültig, ob oder ist. Damit ist die eben behauptete Eigenschaft des Integrals (6) bewiesen auch für ein unendlich abnehmendes . Wir gehen über zu dem Integral


(7)


Da ist für , so kann man im allgemeinen setzen



wobei eine positive Constante und eine Function von und bedeutet, die innerhalb der Integrationsgrenzen überall von Null verschieden, endlich und stetig variabel ist. Daher findet sich



ist ein echter Bruch, der sich für und dem Grenzwerthe annähert. Also ist innerhalb der Integrationsgrenzen endlich. Der grösste Werth dieser Function sei .

 Dann haben wir



und man sieht, dass durch unaufhörliches Abnehmen von der Werth des Integrals (7) unter jede angebbare Zahl herabsinkt. Der Werth dieses Integrals ist demnach für ein unendlich kleines davon unabhängig, ob oder gleich genommen wird.

 Das Integral


(8)


hat für ein endliches einen bestimmten, endlichen Werth, der