Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 67.

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§. 67. Hülfssatz aus der Analysis.

 Wir zeichnen in dem endlichen Gebiete der $xy\;$Ebene eine Curve, deren Endpunkt und Anfangspunkt zusammenfallen und deren übrige Punkte bei einem einfachen Umlauf sämmtlich nur

einmal getroffen werden. Das Flächenstück, welches von der Curve umschlossen wird (Fig. 36), soll ganz in dem Quadranten liegen,

Fig. 36.

in welchem $x\,$ und $y\,$ positiv sind. Wir durchlaufen die Curve im

positiven Sinne, wenn dabei die Tangente in der Richtung des wachsenden Bogens zu der nach innen gezogenen Normale ebenso liegt, wie die Axe der positiven $x\,$ zu der Axe der positiven $y\,$.

 Es seien $P\,$ und $Q\,$ zwei Functionen von $x\,$ und $y\,$, die innerhalb des von der Curve begrenzten Flächenstückes einwerthig, endlich und stetig variabel vorausgesetzt werden. Wir betrachten das Integral

(1)	$-\iint \left({\frac {\partial P}{\partial y}}\,-\,{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)\delta x\,\delta y,$

ausgedehnt über das von der Curve begrenzte Flächenstück. Dabei bezeichnen$\delta x\,$ und $\delta y\,$ positive Zunahmen der Variabeln. Für den ersten Bestandtheil des Integrals können wir mit der Integration nach $y\,$ beginnen. Wir ziehen die Ordinaten, welche zu den Abscissen $x\,$ und $x\,+\delta x$ gehören. Zwischen ihnen liegt ein unendlich schmaler Flächenstreifen, welcher ebenso oft in das von der Curve begrenzte Flächengebiet eintritt, wie aus demselben austritt. Wir bezeichnen die Ordinaten der Eintrittsstellen mit

$y_{1},\,y_{3},\,y_{5},\ldots y_{2n-1},$

die Ordinaten der Austrittsstellen dagegen mit

$y_{2},\,y_{4},\,y_{6},\ldots y_{2n}$

und bemerken, dass

$y_{1}<y_{2}<y_{3}<\ldots y_{2n-1}<y_{2n}.$

Die Bogenelemente, welche der unendlich schmale Flächenstreifen bei seinem Ein- und Austritt auf der Begrenzungscurve abschneidet, seien

$ds_{1},\,ds_{2},\,ds_{3},\ldots ds_{2n-1},\,ds_{2n}.$

Der Cosinus des Winkels, welchen ein solches Bogenelement mit der Richtung der positiven $x\,$ einschliesst, ist positiv an allen Eintrittsstellen, dagegen negativ an allen Austrittsstellen. Bezeichnet man also (nach Zahlwerth und Vorzeichen) mit $dx_{k}\!$ die Projection von $ds_{k}\!$ auf der Axe der $x\!$, so ergibt sich

${\begin{aligned}&dx_{1}=dx_{3}=dx_{5}=\ldots =dx_{2n-1}=\delta x,\,\\\,\\&dx_{2}=dx_{4}=dx_{6}=\ldots =dx_{2n}=-\delta x.\,\\\end{aligned}}$

Danach finden wir

$\delta x\int {\frac {\partial P}{\partial y}}\delta y=\delta x(-P_{1}+P_{2}-P_{3}+\dotsb +P_{2n})$ $=-P_{1}\,dx_{1}-P_{2}\,dx_{2}-\dotsb -P_{2n}\,dx_{2n}.\!$

Das lässt sich kürzer schreiben

$\delta x\int {\frac {\partial P}{\partial y}}\delta y=-\sum P\,dx,$

wobei das Summenzeichen auf der rechten Seite bedeutet, dass die Werthe von $P\,dx$ an allen Eintritts- und Austrittsstellen des unendlich schmalen Flächenstreifens genommen werden sollen. Die Integration nach $x\!$ wird dadurch ausgeführt, dass man nicht einen einzelnen Flächenstreifen in Betracht zieht, sondern alle, die überhaupt (von Parallelen zur $y\!$-Axe begrenzt) das Flächengebiet durchschneiden. Folglich ergibt sich

$\iint {\frac {\partial P}{\partial y}}\delta x\,\delta y=-\int P\,dx$

und es ist die Integration rechts durch die ganze in sich zurücklaufende Curve zu erstrecken.

 In entsprechender Weise kommen wir zu der Gleichung

$\iint {\frac {\partial Q}{\partial x}}\delta y\,\delta x=-\int Q\,dy,$

und auch hier ist das Integral auf der rechten Seite (im positiven Sinne des Umlaufs) durch die ganze Curve zu erstrecken.

 Danach gelangen wir zu dem Resultat, dass

(2)	$-\iint \left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)\delta x\,\delta y=\int (P\,dx+Q\,dy)$

ist, vorausgesetzt, dass wir unter $P\!$ und $Q\!$ zwei Functionen von $x\!$ und $y\!$ verstehen, die einwerthig, endlich und stetig variabel sind innerhalb des Flächengebietes, über welches die Integration auf der linken Seite ausgedehnt wird, und dass man die Integration rechts in positivem Sinne des Umlaufs durch die Begrenzungscurve erstrecke.*)^[1]

 In dem besonderen Falle, dass innerhalb des von der Curve umschlossenen Flächengebiets überall

(3)	${\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}=0$

ist, geht die Gleichung (2) über in

(4)	$\int (P\,dx+Q\,dy)=0.$

 Uebrigens bleiben, wie man leicht sieht, die Sätze (2) und (4) auch dann gültig, wenn die Curve nicht durchaus in dem Quadranten der positiven $x\!$ und der positiven $y\!$ verläuft. Diese Voraussetzung dient nur zur leichteren Entwicklung des Beweises. Ist sie von vorn herein nicht erfüllt, so kann man, da die Curve sich nirgends ins Unendliche erstreckt, durch parallele Verschiebung der Axen es leicht erreichen, dass die verlangte Lage vorhanden ist.

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1. *) Riemann. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. Göttingen 1851. Art. 7 und 8.