Schwere, Elektricität und Magnetismus:111

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 97
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Anziehung des Ellipsoids.

Oberfläche des kleineren Ellipsoids liegt. Der Raum zwischen beiden Oberflächen übt auf den inneren Punkt gar keine Wirkung.

 Hiernach ist die Anziehung eines Ellipsoids von constanter Dichtigkeit auf einen inneren wie auf einen äusseren Punkt dieselbe wie die Anziehung eines Hülfsellipsoids, welches mit dem gegebenen den Mittelpunkt und die Lage der Axen gemein hat und den angezogenen Punkt in seiner Oberfläche enthält. Für einen äusseren Punkt ist das Hülfsellipsoid dem gegebenen confocal, für einen inneren Punkt ist es ihm ähnlich. Die Dichtigkeit des Hülfsellipsoids ist in beiden Fällen constant. Für einen äusseren Punkt hat das Hülfsellipsoid dieselbe Gesammtmasse, für einen inneren Punkt dieselbe Dichtigkeit wie das gegebene.

 Ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des anziehenden Ellipsoids gelegen, so hat man in den Integralen (4) als untere Grenze $\sigma \,$ zu setzen, folglich in (5) als untere Grenze ${\frac {\sigma }{a^{2}}}$. Die Ausdrücke (5) sind also nicht mehr unabhängig von $a\,$. Man kann deshalb ausser dem ersten Ellipsoid ein zweites concentrisches betrachten, dessen Hauptaxen dieselbe Lage haben, aber im Verhältnis $1+\varepsilon :1\,$ grösser sind. Wir wollen dann $\varepsilon \,$ unendlich klein werden lassen und nach der Anziehung der unendlich dünnen Schicht zwischen den beiden ellipsoidischen Oberflächen fragen.

 In den Integralen, welche für (5) an die Stelle treten, ist von einem Ellipsoid zum andern nur die untere Grenze ${\frac {\sigma }{a^{2}}}$ variabel. Man hat also:

$dX=2\pi \rho x{\frac {1}{\Delta \left(1+{\frac {\sigma }{a^{2}}}\right)}}d\left({\frac {\sigma }{a^{2}}}\right).$

 Für $\sigma \,$ gilt die Gleichung:

${\frac {x^{2}}{1+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}+{\frac {y^{2}}{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}+{\frac {z^{2}}{{\frac {c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}=a^{2}.$

Daraus ergibt sich durch Differentiation:

$-\left\lbrack \left({\frac {x}{1+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{{\frac {c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}\right)^{2}\right\rbrack d\left({\frac {\sigma }{a^{2}}}\right)=2\,a\,da$ $=2\,a^{2}\varepsilon ;$