Schwere, Elektricität und Magnetismus:124

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 26.

 Folglich erhalten wir

(21)	${\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}-{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}.$

 Nun ist für einen Punkt im Innern des unendlich langen Cylinders $\sigma '=0\,$, also

$\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\gamma ^{2}\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},$ $\Psi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\beta ^{2}\,z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}.$

 In diesem Falle haben wir

${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0,\quad {\frac {\partial \Psi }{\partial y}}=0.$

 Für einen Punkt im äusseren Raume ist dagegen $\sigma '\,$ die posisitive Wurzel der Gleichung

(22)	$1-{\frac {y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}=0.$

Daraus berechnet sich

(23)	${\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}={\frac {2\,y:(\sigma '+\beta ^{2})}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}},$

${\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}={\frac {2\,z:(\sigma '+\gamma ^{2})}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}}.$

 Aus (17) und (20) geht dann durch Differentiation hervor

${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}={\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho \,y\,z:\left\lbrace \left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}\right\rbrace }{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}}}.$

 Es ist demnach sowohl für einen inneren, wie für einen äusseren Punkt die zweite der Gleichungen (8) erfüllt.

 Wir gehen dazu über nachzuweisen , dass unsere Ausdrücke für $X,\,Y,\,Z$ auch den Gleichungen (9) und (10) Genüge leisten.

 Aus der Gleichung (5) berechnen wir zunächst

(24)	${\frac {\partial X}{\partial x}}=-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot {\frac {1}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}}.$