Schwere, Elektricität und Magnetismus:134

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 120
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Zweiter Abschnitt. §. 27.

 Das Integral $J_{2}-J_{4}\,$ kann durch irgend ein anderes ersetzt werden, dessen geschlossener Integrationsweg um $\sigma '\,$ herumführt. Wir machen $\sigma '\,$ zum Mittelpunkt eines Kreises vom Radius $r\,$, der so gewählt ist, dass die Peripherie ganz in das von $L_{2}\,$ und $L_{4}\,$ begrenzte Flächenstück hineinfällt. Wenn man dann das Integral (5) in der Richtung des Pfeiles (Fig. 21) durch die Kreisperipherie erstreckt, so ist sein Werth $=J_{2}-J_{4}\,$. Dieses Integral bedarf noch der Untersuchung. Es ist

$t=s-{\frac {s\,y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2}}},$ $0=\sigma '-{\frac {\sigma '\,y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {\sigma '\,z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}};$

daraus ergibt sich durch Subtraction

$t=(s-\sigma ')\left\lbrace 1-{\frac {\beta ^{2}\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})(\sigma '+\beta ^{2})}}-{\frac {\gamma ^{2}\,z^{2}}{(s+\gamma ^{2})(\sigma '+\gamma ^{2})}}\right\rbrace .$

Wir nehmen auf beiden Seiten Logarithmen und erhalten durch Differentiation

${\frac {1}{t}}{\frac {\partial t}{\partial s}}ds=d\lg(s-\sigma ')+\varphi (s)\,ds,$

wenn mit $\varphi (s)\,$ eine Function bezeichnet wird, die auf der Peripherie und im Innern des Kreises endlich und stetig variabel ist, auch für $s=\sigma '\,$. Dann ist zunächst das Integral

$\int {\frac {(s+\gamma ^{2})\,\varphi (s)\,ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}},$

durch die Kreisperipherie erstreckt, unter keinen Umständen unendlich gross. Denn setzt man $x=0\,$, so erhält man unter dem Integralzeichen ein Product, dessen einer Factor ${\frac {ds}{\sqrt {s-\sigma '}}}$ ist, und dessen anderer Factor auf der Kreisperipherie und im Innern des Kreises überall endlich ist. Da nun das unbestimmte Integral

$\int {\frac {ds}{\sqrt {s-\sigma '}}}=2{\sqrt {s-\sigma '}}$

auf dem ganzen Integrationswege endlich bleibt, so ist auch, durch die Kreisperipherie erstreckt,