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	Christian Wolff: Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften

Auflösung.

Es sey die eine Wurzel $=n$, die andere $n+1$, so ist

die grosse Cubiczahl $n^{3}+3n^{2}+3n+1$

die kleine $n^{3}$

der Unterscheid $3n^{2}+3n+1$.

Das ist, $n^{2}+2n+1+2n^{2}+n=(n+1)^{2}+2n^{2}+n$. Also ist der verlangte Unterscheid die Summe aus dem Quadrate der grossen Wurzel, und dem Quadrate der kleinen zweymal genommen, und der kleinen Wurzel. Z. E. es seyn die Wurzeln 8 und 9; so ist der Unterscheid ihrer Cubiczahlen^{[WS 1]} $217=81+128+8=9^{2}+2\cdot 8^{2}+8$.

Die 21. Aufgabe.

55. Zu finden, wie groß in einer arithmetischen Progreßion die Summe der beiden äussersten Glieder sey.

Auflösung.

Es sey das erste Glied $a$, der Unterscheid der Glieder $d$; so ist die Progreßion (§. 54. Arithm.)

${\begin{matrix}a.a+d.&a+2d.&a+3d.&a+4d.&a+5d.\\{\underline {\;a+4d}}&&{\underline {\;a+2d\;}}&&{\underline {\;\;\;\;\;\;a\;\;\;\;\;\;}}\\2a+5d&=&2a+5d&=&2a+5d\end{matrix}}$

${\begin{matrix}a.a+d.&&a+2d.&a+3d.&a+4d.\\{\underline {\;a+3d}}&&{\underline {\;\quad 2\quad \;}}&&{\underline {\;\quad a\quad \;}}\\2a+4d&=&2a+4d&=&2a+4d\end{matrix}}$

Lehrsatz.

In einer arithmetischen Progreßion ist die Summe der beiden äussersten Glieder

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Anmerkungen (Wikisource)

1. Bei $2\cdot 8^{2}$ moderner Mal-Punkt ergänzt

Empfohlene Zitierweise:
Christian Wolff: Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften. Rengerische Buchhandlung, Halle 1772, Seite 722. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Anfangsgr%C3%BCnde_der_Mathematik_III_722.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)