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	Verschiedene: Annalen der Physik und Chemie, Band LXIII Ueber den Ausfluß der Flüssigkeiten aus Oeffnungen in dünner Wand und aus kurzen Ansatzröhren

kreisförmig an für den Mittelpunkt $O$, so wird die Ausflußmasse für den Kreisring, welcher $OS=x$ zum Radius und $dx$ zur unendlich geringen Breite hat, dessen Flächeninhalt also $2\pi x\,dx$ ist, für die Zeiteinheit (welche hier wegen $g$ die Secunde ist) seyn:

$dM=2\pi x\,dx\,{\sqrt {2g{\frac {h^{2}}{MT}}}}$

(1)

In dieser Gleichung bleibt noch übrig $MT$ als $f(x,\ h,\ a)$, wo $a=OF=$ dem Radius der kreisförmigen Ausflußöffnung ist, zu bestimmen. Zu dem Ende sey die Gleichung der Hyperbel für den Mittelpunkt als Coordinatenanfangspunkt allgemein:

$A^{2}{\mathfrak {y}}^{2}-B^{2}{\mathfrak {x}}^{2}=-A^{2}B^{2}$,

wo für unsern Fall, wegen $OS=x$ und $OF=a=$ der Excentricität:

$A^{2}=x^{2};\ B^{2}=a^{2}-x^{2}$

(2)

Die Gleichung einer Tangente an einer Curve in einem Punkte, dessen Coordinaten ${\mathfrak {x}}_{1}$ und ${\mathfrak {y}}_{1}$, ist allgemein:

${\mathfrak {y}}-{\mathfrak {y}}_{1}={\frac {dy_{1}}{d{\mathfrak {x}}_{1}}}({\mathfrak {x}}-{\mathfrak {x}}_{1})$

(3)

also wird die Gleichung der Tangente an der Hyperbel erhalten, wenn wir aus deren Differentialgleichung,

$A^{2}{\mathfrak {y}}_{1}\ d{\mathfrak {y}}_{1}-B^{2}{\mathfrak {x}}_{1}\ d{\mathfrak {x}}_{1}=0$,

den Werth von ${\frac {d{\mathfrak {y}}_{1}}{d{\mathfrak {x}}_{1}}}$ substituiren. Sie ist:

${\mathfrak {y}}-{\mathfrak {y}}_{1}={\frac {B^{2}{\mathfrak {x}}_{1}}{A^{2}{\mathfrak {y}}_{1}}}({\mathfrak {x}}-{\mathfrak {x}}_{1})$

und wegen Gleichung (1):

$A^{2}{\mathfrak {y}}{\mathfrak {y}}_{1}-B^{2}{\mathfrak {x}}{\mathfrak {x}}_{1}=-A^{2}B^{2}$

(4)

Für ${\mathfrak {y}}=0$ erhalten wir ${\mathfrak {x}}=OT$ und zwar:

$OT={\frac {A^{2}}{{\mathfrak {x}}_{1}}}$

(5)

Sonach ist die Länge der Tangente an der Hyperbel zwischen dem Berührungspunkte und der Abscissenaxe:

${\begin{aligned}MT^{2}&=({\mathfrak {x}}_{1}-OT)^{2}+{\mathfrak {y_{1}}}^{2}\\&={\frac {{\mathfrak {x_{1}}}^{2}-A^{2})^{2}}{{\mathfrak {x_{1}}}^{2}}}+{\mathfrak {y_{1}}}^{2}\end{aligned}}$

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Verschiedene: Annalen der Physik und Chemie, Band LXIII. Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1844, Seite 12. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Annalen_der_Physik_und_Chemie_Bd_63_1844.pdf/23&oldid=- (Version vom 31.7.2018)