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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

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Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

(12.)\,

{\begin{aligned}&\mathrm {P} \,(r,\,0,\,0,\,0)={\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}(r),\\&\mathrm {P} \,(r,\,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\,0)={\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r).\end{aligned}}

Diese speciellen Functionen sind nur noch abhängig von $r,\,$ und demgemäss bezeichnet mit ${\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}(r)\,$ und ${\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r).\,$ ^[1]

Die allgemeine Function $\mathrm {P} \,$ lässt sich reduciren auf die speciellen Functionen ${\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }},{\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}.\,$ — Um solches darzuthun, führen wir ein rechtwinkliges Axensystem ein, dessen $x-\,$ Axe mit der Linie $r\,$ zusammenfällt, während die $y-\,$ und $z-\,$ Axe beliebige Lagen haben, und bezeichnen die diesen Axen entsprechenden rechtwinkligen Componenten von $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ mit $\mathrm {D} x,\mathrm {D} y,\mathrm {D} z\,$ und $\mathrm {D} x_{1},\mathrm {D} y_{1},\mathrm {D} z_{1}.\,$ Alsdann ist nach der Hypothese (3.)

(13.)\,

R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})=R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} x_{1})+R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} y_{1})+R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} z_{1}),\,

und durch nochmalige Anwendung desselben Satzes:

(14)\,

{\begin{aligned}R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})&=R(\mathrm {D} x,\mathrm {D} x_{1})+R(\mathrm {D} x,\mathrm {D} y_{1})+R(\mathrm {D} x,\mathrm {D} z_{1})\\&+R(\mathrm {D} y,\mathrm {D} x_{1})+R(\mathrm {D} y,\mathrm {D} y_{1})+R(\mathrm {D} y,\mathrm {D} z_{1})\\&+R(\mathrm {D} z,\mathrm {D} x_{1})+R(\mathrm {D} z,\mathrm {D} y_{1})+R(\mathrm {D} z,\mathrm {D} z_{1}).\end{aligned}}

Von den neun Kräften rechter Hand sind aber, wie aus (9.) folgt, alle Null mit Ausnahme der in der Diagonale stehenden; so dass man erhält:

(15.)\,

R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})=R(\mathrm {D} x,\mathrm {D} x_{1})+R(\mathrm {D} y,\mathrm {D} y_{1})+R(\mathrm {D} z,\mathrm {D} z_{1}).\,

Endlich lassen sich die drei Kräfte, welche jetzt noch auf der rechten Seite stehen, leicht ausdrücken vermittelst der speciellen Funtion ${\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }},{\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}.\,$ Man erhält nämlich aus (11.) und mit Rücksicht auf (12.):

{\begin{aligned}R(\mathrm {D} x,\mathrm {D} x_{1})&=J\mathrm {D} x\cdot J_{1}\mathrm {D} x_{1}\cdot \mathrm {P} (r,0,0,0)=J\mathrm {D} x\cdot J_{1}\mathrm {D} x_{1}\cdot {\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}(r),\\R(\mathrm {D} y,\mathrm {D} y_{1})&=J\mathrm {D} y\cdot J_{1}\mathrm {D} y_{1}\cdot \mathrm {P} (r,{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi ,0)=J\mathrm {D} y\cdot J_{1}\mathrm {D} y_{1}\cdot {\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r).\\R(\mathrm {D} z,\mathrm {D} z_{1})&=J\mathrm {D} z\cdot J_{1}\mathrm {D} z_{1}\cdot \mathrm {P} (r,{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi ,0)=J\mathrm {D} z\cdot J_{1}\mathrm {D} z_{1}\cdot {\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r).\end{aligned}}

Somit folgt

(16.)\,

R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})=JJ_{1}\ [\mathrm {D} x\ \mathrm {D} x_{1}\ {\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}(r)+(\mathrm {D} y\ \mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1}){\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r)],

oder:

(17.)\,

R(\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})=J\mathrm {D} s\cdot J_{1}\mathrm {D} s_{1}\ [\mathrm {A} \mathrm {A} _{1}{\stackrel {\mathrm {I} }{\varrho }}(r)+(\mathrm {B} \mathrm {B} _{1}+\Gamma \Gamma _{1}){\stackrel {\mathrm {II} }{\varrho }}(r)],

wo $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma \,$ und $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ die Richtungscosinus von $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ bezeichnen. Zufolge der Bedeutungen von $\vartheta ,\vartheta _{1},\varepsilon \,$ ist nun offenbar: