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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

die Summation ausgedehnt über sämmtliche Elemente beider Ringe; hieraus folgt durch Substitution des Werthes (45.):

$(47.)\,$

$(d{T_{A}}^{B})_{\textrm {eldy.Us}}=4A^{2}dt\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left(J_{0}J_{1}\cdot 2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right).\,$

     Zufolge (43.a, b, c) sind $s_{0},\tau _{0},s_{1},\tau _{1}\,$ diejenigen vier coordinirten Variablen, von welchen die Entfernung $r,\,$ mithin auch die Function $\psi =\psi (r)\,$ in letzter Instanz abhängt. Bei mehrfacher Differentiation nach jenen vier Variablen wird daher das Resultat unabhängig sein von der Reihenfolge. Somit ist identisch:

$(48.)\,$

$2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\equiv {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right);\,$

und hieraus folgt:

$(49.)\,$

$J_{0}J_{1}\cdot 2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}={\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left(J_{0}J_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left(J_{0}J_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left(J_{0}J_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right)-\Omega ,\,$

wo $\Omega \,$ die Bedeutung hat:

$(50.)\,$

$\Omega =J_{1}{\frac {\partial J_{0}}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}+J_{0}{\frac {\partial J_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}.\,$

Der Uebergang von (48.) zu (49.) bewerkstelligt sich augenblicklich, falls man beachtet, dass $J_{0}\,$ nur von $s_{0},\mathrm {T} _{0},\,$ andererseits $J_{1}\,$ nur von $s_{1},\mathrm {T} _{1}\,$ abhängt.

     Da wir es nun mit Stromringen, d. i. mit geschlossenen Strömen zu thun haben, so nimmt die Formel (47.) durch Substitution von (49.) folgende Gestalt an:

$(51.)\,$

$(d{T_{A}}^{B})_{\text{eldy.Us}}=-4A^{2}dt\left\lbrack {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left(J_{0}J_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right)+{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ \Omega \right\rbrack .\,$

Setzt man also:

$(51.a)\,$

$P\equiv 4A^{2}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left(J_{0}J_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right),\,$

so wird schliesslich:

$(51.b)\,$

$(d{T_{A}}^{B})_{\text{eldy.Us}}=-{\frac {\partial P}{\partial \tau _{0}}}dt-4A^{2}dt\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ \Omega .\,$

     Es mag nun der speciellere Fall ins Auge gefasst werden, dass die Ströme gleichförmig sind, dass nämlich die Stromstärken $J_{0},J_{1},\,$ wenn auch abhängig von der Zeit, so doch unabhängig von den Bogenlängen sind. Alsdann verschwindet der Ausdruck $\Omega \,$ (50.); so dass die Formeln (51.a, b) die einfachere Gestaltung annehmen:

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. Leipzig 1873, Seite 52. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_070.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)