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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.

$(18.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 4\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)\right\rbrace ,\,$

oder wenn man an Stelle der Function $\psi \,$ die mit dieser durch die Relation (13.) verbundene Function $\varphi \,$ einführt:

$(19.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace -{\frac {d\varphi }{dr}}{\frac {(x_{0}-x_{1})^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)\right\rbrace .\,$

Beachtet man nun, dass die Richtungscosinus von $\mathrm {D} s_{0}\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ mit $\mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0},\Gamma _{0}\,$ und $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ bezeichnet worden sind; so erhält man successive:

${\begin{aligned}r{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}&=[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+(y_{0}-y_{1})\mathrm {B} _{0}+(z_{0}-z_{1})\Gamma _{0}],\\{\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}&={\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]}{x_{0}-x_{1}}},\\{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)&=-{\frac {[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdots ]}{x_{0}-x_{1}}}+{\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]\mathrm {A} _{1}}{(x_{0}-x_{1})^{2}}},\\{\frac {(x_{0}-x_{1})^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)&=-{\frac {(x_{0}-x_{1})[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdots ]}{r}}+{\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]\mathrm {A} _{1}}{r}},\\&=-{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdot \cdot ]+\left[{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}\mathrm {A} _{0}+\cdots \right]\mathrm {A} _{1},\\&=-{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}\mathrm {E} +{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}.\end{aligned}}$

Somit folgt aus (19.):

$(20.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}\right\rbrace .\,$

Analoge Formeln werden offenbar auch für ${Y_{0}}^{B}\,$ und ${Z_{0}}^{B}\,$ gelten, so dass man also schreiben kann:

$(21.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}\right\rbrace ,\,$

$(22.)\,$

${Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {B} _{1}\right\rbrace ,\,$

$(23.)\,$

${Z_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\Gamma _{1}\right\rbrace .\,$

Aus den beiden letzten Formeln ^[1] folgt sofort:

$(24.)\,$

$y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} -\xi {\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\right\rbrace ,\,$

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1. Die Formeln (21.), (22.), (23.) sind, ziemlich in derselben Gestalt, bereits von Ampère gegeben in seiner Théorie des phénomènes élektrodynamiques (da­selbst pag. 136). Ueberhaupt ist der im gegenwärtigen §. eingeschlagene Weg bis zu dieser Stelle ziemlich in Uebereinstimmung mit den in jener Theorie ge­gebenen Deductionen. Von hier ab folgen nun aber diejenigen Entwicklungen, welche sich vorfinden in der am Schluss des vorhergehenden §. (Note, pag.67) genannten Abhandlung.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. Leipzig 1873, Seite 71. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_089.jpg&oldid=- (Version vom 11.5.2020)