Seite:Carl Gottfried Neumann - Die elektrischen Kräfte 104.jpg

	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

86

Geometrische Unterscheidungen.

Hiefür endlich kann geschrieben werden:

${\begin{vmatrix}A-A'&\mathrm {A} &\mathrm {A} '\\B-B'&\mathrm {B} &\mathrm {B} '\\C-C'&\Gamma &\Gamma '\end{vmatrix}}={\text{pos.}}\,$

Somit gelangen wir zu folgendem Resultat:

     Satz. Sind im Raume irgend vier Puncte $P,Q,P',Q'\,$ ge­geben, sind ferner $A,B,C\,$ und $A',B',C'\,$ die Coordinaten von $P\,$ und $P',\,$ und sind endlich $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma \,$ und $\mathrm {A} ',\mathrm {B} ',\Gamma '\,$ die Richtungscosinus von $PQ\,$ und $P'Q',\,$ so werden die beiden Linien $PQ\,$ und $P'Q'\,$ positiv oder negativ zu einander lie­gen, jenachdem die Determinante

$(9.)\,$

${\begin{vmatrix}A-A'&\mathrm {A} &\mathrm {A} '\\B-B'&\mathrm {B} &\mathrm {B} '\\C-C'&\Gamma &\Gamma '\end{vmatrix}}\,$

einen positiven oder negativen Werth besitzt.

     Es sei gegeben ein ebenes Flächenstück, begrenzt von einer convexen Randcurve ^[1]; und es seien $\xi ,\eta ,\zeta \,$ und $\xi +\mathrm {D} \xi ,\eta +\mathrm {D} \eta ,\zeta +\mathrm {D} \zeta \,$ die Coordinaten für irgend zwei aufeinanderfolgende Puncte dieser Randcurve; ferner seien $\xi _{m},\eta _{m},\zeta _{m}\,$ die Coordinaten eines beliebigen Punktes $m\,$ im Innern des Flächenstückes. Endlich seien $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ die Richtungscosinus derjenigen in $m\,$ errichteten Normale, welche positiv liegt zu der durch die Reihenfolge $(\xi ,\eta ,\zeta ),(\xi +\mathrm {D} \xi ,\eta +\mathrm {D} \eta ,\zeta +\mathrm {D} \zeta )\,$ indicirten Umlaufsrichtung. Alsdann wird, weil die Curve überall convex ist, die Linie $\mathrm {D} \xi ,\mathrm {D} \eta ,\mathrm {D} \zeta \,$ positiv liegen zur Normale $\alpha ,\beta ,\gamma .\,$ Folglich wird, nach (9.), die Relation stattfinden:

$(10.a)\,$

${\begin{vmatrix}\xi -\xi _{m}&\mathrm {D} \xi &\alpha \\\eta -\eta _{m}&\mathrm {D} \eta &\beta \\\zeta -\zeta _{m}&\mathrm {D} \zeta &\gamma \end{vmatrix}}={\text{pos.}},\,$

d. i. die Relation

$(10.b)\,$

$\alpha \ [(\eta -\eta _{m})\mathrm {D} \zeta -(\zeta -\zeta _{m})\mathrm {D} \eta ]+\cdots \cdot \cdot ={\text{pos.}}\,$

     Andererseits ergeben sich, weil $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ gegen $\xi -\xi _{m},\eta -\eta _{m},\zeta -\zeta _{m}\,$ und gegen $\mathrm {D} \xi ,\mathrm {D} \eta ,\mathrm {D} \zeta \,$ senkrecht steht, sofort die Relationen:

$(11.)\,$

${\begin{aligned}\alpha &=\varkappa \ [(\eta -\eta _{m})\mathrm {D} \zeta -(\zeta -\zeta _{m})\mathrm {D} \eta ],\\\beta &=\varkappa \ [(\zeta -\zeta _{m})\mathrm {D} \xi -(\xi -\xi _{m})\mathrm {D} \zeta ],\\\gamma &=\varkappa \ [(\xi -\xi _{m})\mathrm {D} \eta -(\eta -\eta _{m})\mathrm {D} \xi ],\end{aligned}}\,$

wo $\varkappa \,$ einen noch unbekannten Factor vorstellt. Dieser Factor be­stimmt sich durch die bekannte Relation:

$1=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2};\,$

---

1. Dieses Flächenstück kann also z. B. auch dargestellt sein durch eine Drei­ecksfläche oder überhaupt durch ein ebenes convexes Polygon.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 86. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_104.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)