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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Geometrische Unterscheidungen.

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man erhält also :

1=\varkappa ^{2}\left\lbrace {\begin{aligned}&&[(\xi -\xi _{m})^{2}+(\eta -\eta _{m})^{2}+(\zeta -\zeta _{m})^{2}]\ [(\mathrm {D} \xi )^{2}+(\mathrm {D} \eta )^{2}+(\mathrm {D} \zeta )^{2}]\\&&-[(\xi -\xi _{m})\mathrm {D} \xi +(\eta -\eta _{m})\mathrm {D} \eta +(\zeta -\zeta _{m})\mathrm {D} \zeta ]^{2}\end{aligned}}\right\rbrace ,\,

oder einfacher geschrieben:

1=\varkappa ^{2}\ \lbrace \varrho ^{2}(\mathrm {D} \sigma )^{2}-(\varrho \ \mathrm {D} \sigma \cos \omega )^{2}\rbrace ,\,

wo $\varrho \,$ und $\mathrm {D} \sigma \,$ die Längen der beiden Linien $\xi -\xi _{m},\eta -\eta _{m},\zeta -\zeta _{m},\,$ und $\mathrm {D} \xi ,\mathrm {D} \eta ,\mathrm {D} \zeta \,$ vorstellen, während $\omega \,$ den Winkel bezeichnet, unter welchem diese beiden Linien gegen einander geneigt sind. Somit folgt:

1=\varkappa ^{2}\varrho ^{2}\ (\mathrm {D} \sigma )^{2}\sin ^{2}\omega ,\,

oder was dasselbe ist:

1=\varkappa ^{2}\ (2\delta )^{2},\,

wo $\delta \,$ den Flächeninhalt des durch den Punct $m\,$ und das Linienelement $\mathrm {D} \sigma \,$ bestimmten Dreiecks vorstellt. Somit ergiebt sich :

(12.)\,

\varkappa ={\frac {\varepsilon }{2\delta }},\ {\text{wo}}\ \varepsilon =\pm 1\ {\text{ist}}.\,

Demgemäss nehmen die Werthe von $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ (11.) folgende Gestalt an:

(13.)\,

{\begin{aligned}\alpha &=\varepsilon \ {\frac {(\eta -\eta _{m})\ \mathrm {D} \zeta -(\zeta -\zeta _{m})\ \mathrm {D} \eta }{2\delta }},\\\beta &=\varepsilon \ {\frac {(\zeta -\zeta _{m})\ \mathrm {D} \xi -(\xi -\xi _{m})\ \mathrm {D} \zeta }{2\delta }},\\\gamma &=\varepsilon \ {\frac {(\xi -\xi _{m})\ \mathrm {D} \eta -(\eta -\eta _{m})\ \mathrm {D} \xi }{2\delta }}.\end{aligned}}\,

Substituirt man aber diese Werthe in die Gleichung (10.a, b), so ergiebt sich sofort, dass die bisjetzt noch zweifelhafte Grösse $\varepsilon \,$ den Werth $+1\,$ besitzen muss ^[1]. Man erhält also schliesslich:

(14.)\,

{\begin{aligned}2\alpha \delta &=(\eta -\eta _{m})\ \mathrm {D} \zeta -(\zeta -\zeta _{m})\ \mathrm {D} \eta ,\\2\beta \delta &=(\zeta -\zeta _{m})\ \mathrm {D} \xi -(\xi -\xi _{m})\ \mathrm {D} \zeta ,\\2\gamma \delta &=(\xi -\xi _{m})\ \mathrm {D} \eta -(\eta -\eta _{m})\ \mathrm {D} \xi .\end{aligned}}\,

Summirt man die erste dieser Gleichungen über sämmtliche Elemente $\mathrm {D} \sigma \,$ der gegebenen Randcurve, so erhält man:

2\alpha \ {\mathit {\Sigma }}\ \delta ={\mathit {\Sigma }}\ (\eta \mathrm {D} \zeta -\zeta \mathrm {D} \eta )-\eta _{m}\ {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \zeta +\zeta _{m}\ {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \eta .\,

Nun ist offenbar ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \xi =0,\,$ ebenso ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \eta =0,\,$ und ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \zeta =0;\,$ ferner ${\mathit {\Sigma }}\ \delta =\lambda ,\,$ falls man nämlich unter $\lambda \,$ den Flächeninhalt des gegebenen Flächenstückes versteht. Somit ergiebt sich: