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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

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Fünf Sätze über Curven-Integrale.

     Diese Gleichungen (15.) sind vorläufig nur bewiesen für ein ebenes Flächenstück von convexer Randcurve. Doch lässt sich nachträg­lich leicht zeigen, dass sie allgemeinere Geltung besitzen. Ist nämlich ein ebenes Flächenstück gegeben von beliebig geformter Randcurve; so wird man dasselbe offenbar zerlegen können in kleinere Flächenstücke, jedes von convexer Randcurve, z. B. zerlegen können in lauter unendlich kleine Dreiecke. Die Gleichungen (15.) gelten alsdann für jedes dieser kleineren Flächenstücke. Hieraus aber folgt sodann durch Summation sofort, dass sie auch gültig sind für das ge­gebene Flächenstück. Somit gelangen wir zu folgendem Resultat:

     Satz. Sind [mit Bezug auf irgend ein rechtwinkliges Axensystem^[1])], $\xi ,\eta ,\zeta \,$ und $\xi +\mathrm {D} \xi ,\eta +\mathrm {D} \eta ,\zeta +\mathrm {D} \zeta \,$ zwei auf­einanderfolgende Puncte am Rande eines beliebig ge­gebenen ebenen Flächenstückes, sind ferner $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ die Richtungscosinus derjenigen auf dem Flächenstück er­richteten Normale, welche positiv liegt zu der durch $\mathrm {D} \xi ,\mathrm {D} \eta ,\mathrm {D} \zeta \,$ indicirten Umlaufrichtung^[2]), und bezeichnet endlich $\lambda \,$ den Quadratinhalt des Flächenstücks, so werden jederzeit die Relationen stattfinden:

$(16.)\,$

${\begin{aligned}2\alpha \lambda &={\mathit {\Sigma }}\ (\eta \mathrm {D} \zeta -\zeta \mathrm {D} \eta ),\\2\beta \lambda &={\mathit {\Sigma }}\ (\zeta \mathrm {D} \xi -\xi \mathrm {D} \zeta ),\\2\gamma \lambda &={\mathit {\Sigma }}\ (\xi \mathrm {D} \eta -\eta \mathrm {D} \xi ),\end{aligned}}\,$

die Summation (oder Integration) ${\mathit {\Sigma }}\,$ ausgedehnt gedacht über den ganzen Rand des Flächenstückes.

§. 15. Fünf allgemeine Sätze über Curven-Integrale.

     Erster Satz. Sind $x,y,z\,$ und $x+\mathrm {D} x,y+\mathrm {D} y,z+\mathrm {D} z\,$ zwei aufeinanderfolgende Puncte einer geschlossenen, unend­lich kleinen, ebenen Curve, und sind ferner

$U=U(x,y,z),\quad V=V(x,y,z),\quad W=W(x,y,z)\,$

beliebig gegebene Functionen, so wird das über jene Curve hinerstreckte Integral

$(17.a)\,$

${\mathit {\Sigma }}\ (U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z)\,$

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1. Selbstverständlich soll das Axensystem in Einklang gedacht werden mit der ein für alle Mal getroffenen Determination (5.).
2. Unter der Umlaufrichtung $\mathrm {D} \xi ,\mathrm {D} \eta ,\mathrm {D} \zeta \,$ ist diejenige zu verstehen, welche angedeutet wird durch die Aufeinanderfolge der beiden Puncte:

   $\xi ,\eta ,\zeta \ {\text{und}}\ \xi +\mathrm {D} \xi ,\eta +\mathrm {D} \eta ,\zeta +\mathrm {D} \zeta .\,$

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Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 88. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_106.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)