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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Fünf Sätze über Curven-Integrale.

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einen Werth besitzen, der sich ausdrücken lässt durch:

$(17.b)\,$

$\lambda \left[\alpha \left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+\beta \left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+\gamma \left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\right],\,$

oder auch durch:

$(17.c)\,$

$\lambda \left[{\frac {\partial (\gamma V-\beta W)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\alpha W-\gamma U)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\beta U-\alpha V)}{\partial z}}\right].\,$

In diesem Ausdrucke bezeichnet $\lambda \,$ den Quadratinhalt der von der Curve umgrenzten ebenen Fläche; ferner bezeich­nen daselbst $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ die Richtungscosinus derjenigen auf $\lambda \,$ errichteten Normale, welche positiv liegt zu der durch $\mathrm {D} x,\mathrm {D} y,\mathrm {D} z\,$ indicirten Umlaufrichtung; endlich bezeichnen daselbst [nämlich in (17.b, c)] $x,y,z\,$ die Coordinaten eines Punctes, welcher auf $\lambda \,$ selber oder unendlich nahe an $\lambda \,$ beliebig gewählt werden darf.

     Beweis. — Um den Satz zu beweisen, setzen wir

$(18.)\,$

$x=x_{m}+\xi ,\quad y=y_{m}+\eta ,\quad z=z_{m}+\zeta ,\,$

und folglich:

$(19.)\,$

$\mathrm {D} x=\mathrm {D} \xi ,\quad \mathrm {D} y=\mathrm {D} \eta ,\quad \mathrm {D} z=\mathrm {D} \zeta ,\,$

wo $m\,$ irgend ein fester Punct sein soll, der entweder auf $\lambda \,$ selber oder unendlich nahe an $\lambda \,$ liegt, und $x_{m},y_{m},z_{m}\,$ die Coordinaten dieses Punctes vorstellen sollen. Alsdann wird:

$U\cdot \mathrm {D} x=U(x,y,z)\cdot \mathrm {D} x=U(x_{m}+\xi ,y_{m}+\eta ,z_{m}+\zeta )\cdot \mathrm {D} \xi ,\,$

und folglich durch Entwickelung nach $\xi ,\eta ,\zeta :\,$

$U\mathrm {D} x=\left[U_{m}+\left({\frac {\partial U}{\partial x}}\right)_{m}\xi +\left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)_{m}\eta +\left({\frac {\partial U}{\partial z}}\right)_{m}\zeta \right]\mathrm {D} \xi .\,$

Hieraus folgt, wenn man über die Randcurve von $\lambda \,$ integrirt, sofort:

$(20.)\,$

${\mathit {\Sigma }}\ U\mathrm {D} x=U_{m}\ {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \xi +\left({\frac {\partial U}{\partial x}}\right)_{m}\ {\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \xi +\left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)_{m}{\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \xi +\left({\frac {\partial U}{\partial z}}\right)_{m}{\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \xi .\,$

     Nun ist ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \xi =0;\,$ ebenso ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} (\xi ^{2})=0,\,$ d. i. ${\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \xi =0.\,$ So­mit ergeben sich die Formeln:

$(21.a)\,$

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \xi &=0,\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \xi =0,\\{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \eta &=0,\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \eta =0,\\{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \zeta &=0,\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \zeta =0.\end{aligned}}\,$

Ferner erhält man ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} (\eta \zeta )=0,\,$ d. i.

${\mathit {\Sigma }}\ (\eta \mathrm {D} \zeta +\zeta \mathrm {D} \eta )=0,\,$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 89. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_107.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)