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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

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Fünf Sätze über Curven-Integrale.

und ausserdem durch Benutzung des Satzes (16.):

${\mathit {\Sigma }}\ (\eta \mathrm {D} \zeta -\zeta \mathrm {D} \eta )=2\alpha \lambda .\,$

Aus diesen beiden letzten Relationen folgt sofort ${\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \zeta =\alpha \lambda ,\,$ und ${\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \eta =-\alpha \lambda .\,$ Somit ergeben sich die Formeln:

$(21.b)\,$

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \zeta &=\alpha \lambda ,&\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \eta &=-\alpha \lambda ,\\{\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \xi &=\beta \lambda ,&\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \zeta &=-\beta \lambda ,\\{\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \eta &=\gamma \lambda ,&\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \xi &=-\gamma \lambda .\end{aligned}}\,$

     Mit Hülfe der Formeln (21.a, b) erhält man nun aus (20.) sofort:

$(22.)\,$

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\ U\ \mathrm {D} x&=\lambda \left[\beta \left({\frac {\partial U}{\partial z}}\right)_{m}-\gamma \left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)_{m}\right];\ {\text{ebenso wird:}}\\{\mathit {\Sigma }}\ V\ \mathrm {D} y&=\lambda \left[\gamma \left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{m}-\alpha \left({\frac {\partial V}{\partial z}}\right)_{m}\right],\\{\mathit {\Sigma }}\ W\ \mathrm {D} z&=\lambda \left[\alpha \left({\frac {\partial W}{\partial y}}\right)_{m}-\beta \left({\frac {\partial W}{\partial x}}\right)_{m}\right].\end{aligned}}\,$

Hieraus aber folgt durch Addition:

$(23.)\,$

${\begin{aligned}&{\mathit {\Sigma }}(U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z)\\=&\lambda \left[\alpha \left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+\beta \left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+\gamma \left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\right]_{m},\end{aligned}}\,$

wo der angehängte Index $m\,$ andeuten soll, dass der ganze Ausdruck zu beziehen ist auf den vorhin festgesetzten Punct $m.\,$ Dieser Punct $m\,$ aber konnte auf $\lambda \,$ oder in unendlicher Nähe von $\lambda \,$ beliebig ge­wählt werden. Der aufgestellte Satz ist daher durch die Formel (23.) vollständig bewiesen.

     Zweiter Satz. Es seien $x,y,z\,$ und $x+\mathrm {D} x,y+\mathrm {D} y,z+\mathrm {D} z\,$ (ebenso wie im vorhergehenden Satz) zwei aufeinander folgende Puncte einer unendlich kleinen ebenen geschlos­senen Curve; von analoger Bedeutung seien $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ und $x_{1}+\mathrm {D} x_{1},y_{1}+\mathrm {D} y_{1},z_{1}+\mathrm {D} z_{1},\,$ für irgend eine andere solche Curve; mit Bezug auf diese Puncte seien die Bezeichnungen eingeführt:

$(24.)\,$

${\begin{aligned}(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2}=r^{2}=R,\\x-x_{1}=\xi ,\quad y-y_{1}=\eta ,\quad z-z_{1}=\zeta ;\end{aligned}}\,$

endlich sei $f=f(r)\,$ eine beliebig gegebene Function von $r,\,$ und zur Abkürzung gesetzt:

$(24.b)\,$

${\frac {df}{dR}}=f^{\mathrm {I} },\quad \quad {\frac {d^{2}f}{dR^{2}}}=f^{\mathrm {II} };-\,$

alsdann wird das über beide Curven ausgedehnte Integral:

$(24.c)\,$

$K={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ [f(\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1})]\,$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 90. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_108.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)