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Unter Anwendung der Abkürzungen
(52.a)
Π
=
−
4
A
2
(
d
ψ
d
r
)
2
Θ
0
Θ
1
,
Ω
=
ω
Θ
0
Θ
1
+
ω
I
I
E
,
{\displaystyle {\begin{array}{l}\Pi =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\Theta _{0}\Theta _{1},\\\\\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}},\end{array}}}
kann das elektrodynamische Potential
P
{\displaystyle P}
zweier gleichförmiger Stromringe aufeinander nach Belieben dargestellt werden durch die eine oder andere der beiden Formeln
(52.b)
P
=
J
0
J
1
⋅
Σ
Σ
D
s
0
D
s
1
Π
,
P
=
J
0
J
1
⋅
Σ
Σ
D
s
0
D
s
1
Ω
.
{\displaystyle {\begin{array}{l}P=J_{0}J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Pi ,\\P=J_{0}J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega .\end{array}}}
Dabei sind unter
r
,
Θ
0
,
Θ
1
,
E
{\displaystyle r,\Theta _{0},\Theta _{1},{\mathsf {E}}}
dieselben Grössen zu verstehen, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44), andererseits unter
ω
,
ω
I
I
{\displaystyle \omega ,{\overset {II}{\omega }}}
zwei lediglich von
r
{\displaystyle r}
abhängende Functionen, welche durch die Relation
(52.c)
ω
+
4
A
2
(
d
ψ
d
r
)
2
=
r
d
ω
I
I
d
r
{\displaystyle \omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}}
mit einander verknüpft, im Uebrigen aber noch unbekannt sind[1] .
↑ Dass die beiden in (52.b) angegebenen Integrale:
Σ
Σ
D
s
0
D
s
1
Π
{\displaystyle \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Pi }
und
Σ
Σ
D
s
0
D
s
1
Ω
{\displaystyle \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega }
von gleichem Werthe sind, lässt sich übrigens noch auf anderem Wege darthun, nämlich nachweisen auf Grund der Relation (52, c).
Nach (52.a) ist
Π
−
Ω
=
−
[
ω
+
4
A
2
(
d
ψ
d
r
)
2
]
Θ
0
Θ
1
−
ω
I
I
E
;
{\displaystyle \Pi -\Omega =-\left[\omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\right]\Theta _{0}\Theta _{1}-{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}};}
hieraus folgt mit Rücksicht auf jene Relation (52.c):
Π
−
Ω
=
−
r
d
ω
I
I
d
r
Θ
0
Θ
1
−
ω
I
I
E
=
+
r
d
ω
I
I
d
r
∂
r
∂
s
0
∂
r
∂
s
1
+
ω
I
I
(
∂
r
∂
s
0
∂
r
∂
s
1
+
r
∂
2
r
∂
s
0
∂
s
1
)
,
(
v
e
r
g
l
.
p
a
g
.
39
)
,
=
+
ω
I
I
r
∂
2
r
∂
s
0
∂
s
1
+
(
ω
I
I
+
r
d
ω
I
I
d
r
)
∂
r
∂
s
0
∂
r
∂
s
1
,
=
+
ω
I
I
r
∂
2
r
∂
s
0
∂
s
1
+
d
(
ω
I
I
r
)
d
r
∂
r
∂
s
0
∂
r
∂
s
1
.
{\displaystyle {\begin{array}{ll}\Pi -\Omega &=-r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}\Theta _{0}\Theta _{1}-{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}}\\\\&=+r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+{\overset {II}{\omega }}\left({\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right),\ (\mathrm {vergl.\ pag} .\ 39),\\\\&=+{\overset {II}{\omega }}r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}+\left({\overset {II}{\omega }}+r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}\right){\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}},\\\\&=+{\overset {II}{\omega }}r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}+{\frac {d\left({\overset {II}{\omega }}r\right)}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}.\end{array}}}
Setzt man also für den Augenblick:
∫
ω
I
I
r
d
r
=
λ
{\displaystyle \int {\overset {II}{\omega }}\ r\ dr=\lambda }
, so folgt:
Π
−
Ω
=
+
∂
2
λ
∂
s
0
∂
s
1
.
{\displaystyle \Pi -\Omega =+{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}.}
Hieraus aber ergiebt sich sofort:
Σ
Σ
D
s
0
D
s
1
(
Π
−
Ω
)
=
0
{\displaystyle \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left(\Pi -\Omega \right)=0}
, w. z. z. w.