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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

im vorliegenden speciellen Falle ist aber $\delta u_{1}=0$, mithin $du_{1}=\Delta u_{1}$, ebenso $dv_{1}=\Delta v_{1},\ dw_{1}=\Delta w_{1}$; so dass man also auch schreiben kann:

$\Delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} du_{1}+\mathrm {B} dv_{1}+\Gamma dw_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}du_{1};$

oder mit Rücksicht auf (47.a):

$\Delta \Omega '=\omega {\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}}+{\overset {II}{\omega }}du_{1}.$

Somit gelangt man zu folgendem specielleren Satz:

Ist $m_{0}$, mit den Coordinaten $x_{0},y_{0},z_{0},$ ein Punct innerhalb eines gegebenen ponderablen Körpers $A$, ferner ${\mathsf {Dv}}_{1}$, mit den Coordinaten $x_{1},y_{1},z_{1}$ irgend ein Volumelement von $A$, ferner $r$ die gegenseitige Entfernung zwischen $m_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$, und sind endlich $u_{1},v_{1},w_{1}$ die Componenten der in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ zur Zeit $t$ vorhandenen elektrischen Strömung, so werden die Componenten $X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt$ derjenigen elektromotorischen Kraft eldy. Us, welche ${\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ im Puncte $m_{0}$ hervorbringt, die Werthe haben:

(48.)

${\begin{array}{l}X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left(\omega {\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}}+{\overset {II}{\omega }}du_{1}\right),\\\\Y_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left(\omega {\frac {y_{0}-y_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}}+{\overset {II}{\omega }}dv_{1}\right),\\\\Z_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left(\omega {\frac {z_{0}-z{}_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}}+{\overset {II}{\omega }}dw_{1}\right).\end{array}}$

Dabei ist vorausgesetzt, dass das zu Grunde gelegte Coordinatensystem ($x,y,z$) in starrer Verbindung steht mit der ponderablen Masse des gegebenen Körpers^[1].

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1. Die hier auftretenden Functionen $\omega =\omega (r)$ und ${\overset {II}{\omega }}={\overset {II}{\omega }}(r)$ sind, wie früher (pag. 148) gefunden war, mit einander verknüpft durch die Relation

   (49.)

   $\omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}.$

   Für den Fall eines beträchtlichen $r$ ist $\psi ={\sqrt {r}}$, die Gestalt dieser Relation also folgende:

   ($\alpha$.)

   $\omega +{\frac {A^{2}}{r}}=r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}.$

   Macht man nun die nicht unwahrscheinliche Annahme, dass für den Fall eines beträchtlichen $r$ die Functionen $\omega ,{\overset {II}{\omega }}$ von der Form sind

   ($\beta$.)

   $\omega =G{\frac {1}{r}},\ {\overset {II}{\omega }}=H{\frac {1}{r}},$

   wo $G,H$ Constante sein sollen, so geht jene Relation über in:

   ($\gamma$.)

   $G+A^{2}=-H,$

   oder

   ($\delta$.)

   $G+H=A^{2}.\,$

   Hieraus folgt:

   ($\epsilon$.)

   $G=A^{2}{\frac {1-k}{2}},\quad H=A^{2}{\frac {1+k}{2}}$

   wo $k$ eine noch unbekannte Constante vorstellt. Endlich folgt aus ($\beta$.) und ($\epsilon$.):

   ($\zeta$.)

   $\omega ={\frac {A^{2}}{r}}{\frac {1-k}{2}},\quad {\overset {II}{\omega }}={\frac {A^{2}}{r}}{\frac {1+k}{2}}.$

   Durch Substitution dieser Werthe ($\zeta$.) würden die Gleichungen (48.) in diejenigen sich verwandeln, von denen Helmholtz bei seinen letzten Untersuchungen ausgegangen ist (vergl. Borchardt’s Journal, Bd. 72, pag. 76). Wenn indessen Helmholtz der Ansicht ist, die hier hineingetretene Constante $k$ müsse Null oder positiv sein; so wird sich im weiteren Verlaufe unserer Untersuchungen das Gegentheil herausstellen, nämlich nachgewiesen werden, dass die Function ${\overset {II}{\omega }}$ identisch mit Null, und dass also [nach ($\zeta$.)] die Constante $k$ identisch mit (−1) sein muss.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 182. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_200.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)