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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

($\tau _{2}$.)

${\begin{array}{ll}V=&d\left[\left({\mathfrak {u}}_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\mathfrak {v}}_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\mathfrak {w}}_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right)\cdot \partial _{1}\psi \right]\\\\&\qquad -\partial _{1}\psi \cdot \left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}d{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}d{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}d{\mathfrak {w}}_{0}\right),\end{array}}$

oder auch so^[1]:

($\tau _{3}$.)

$V=d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{1}\psi \cdot \Delta _{0}\partial _{0}\psi ,$

oder endlich, weil $\partial _{1}\psi$ von ${\mathsf {T}}_{0}$ unabhängig ist, auch so:

($\tau _{4}$.)

$V=d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\Delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right).$

Substituirt man diesen Werth in ($\sigma$.), so erhält man:

($\upsilon$.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\Delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right];$

dies aber ist die zu beweisende Formel (14.).

Der Uebergang von (14.) zu (15.), zu (16.), endlich zu (17.) bedarf keiner weiteren Erläuterung.

III. Zugehörige Integralformeln.

Finden in zwei Körpern $A$ und $B$ irgend welche elektrische Vorgänge statt, so ist das elektrodynamische Potential $P$ der beiden Körper aufeinander definirt durch die Formel (pag. 166):

(18.)

$P=-4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}i_{0}\Theta _{0}i_{1}\Theta _{1}\right],$

wo ${\mathsf {Dv}}_{0},{\mathsf {Dv}}_{1}$ irgend zwei Volumelemente der beiden Körper, ferner $i_{0},i_{1}$ die in diesen Elementen vorhandenen elektrischen Strömungen, endlich $\Theta _{0},\Theta _{1}$ die Cosinus derjenigen Winkel vorstellen, unter denen

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1. Es ist nämlich:
   $\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0},$

   Hieraus folgt durch Ausführung der Operation $\Delta _{0}$:

   $\Delta _{0}\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {w}}_{0},$

   Nun ist im Allgemeinen $df=\delta _{0}f+\delta _{1}f+\Delta _{0}f+\Delta _{1}f$. Die Componenten ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ sind aber unabhängig von $\tau _{0},\ \tau _{1},{\mathsf {T}}_{1};$ so dass also z.B. $\delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0},\delta _{1}{\mathfrak {u}}_{0},\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0}$ Null sind, mithin $d{\mathfrak {u}}_{0}$ sich reducirt auf $\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0}$. Mit Rücksicht auf die Relationen: $d{\mathfrak {u}}_{0}=\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0},\ d{\mathfrak {v}}_{0}=\Delta _{0}{\mathfrak {v}}_{0},\ d{\mathfrak {w}}_{0}=\Delta _{0}{\mathfrak {w}}_{0}$ kann die vorstehende Formel auch so geschrieben werden:

   $\Delta _{0}\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}d{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}d{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}d{\mathfrak {w}}_{0}.$

   Durch diese Erörterungen findet der Uebergang von ($\tau _{2}$.) ZU ($\tau _{3}$.) seine Rechtfertigung.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 208. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_226.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)