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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Die im Augenblick $t$ d. i. zu Anfang des Zeitelementes $dt$ im Ringe $A$ enthaltenen Elemente mögen mit ${\mathsf {D}}s_{0}$ benannt sein; andererseits mögen diejenigen Elemente, welche während des Zeitelementes $dt$ in den Ring $A$ eintreten, oder aus ihm ausscheiden, in dem früher (pag. 65) angegebenen collectiven Sinne mit $\Delta s_{0}$ bezeichnet sein. Analoge Bedeutungen mögen ${\mathsf {D}}s_{1}$ und $\Delta s_{1}$ für den Ring $B$ besitzen.

Ausserdem mag vorläufig, der Bequemlichkeit willen, angenommen werden, dass die $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ sämmtlich positiv sind, dass also während der Zeit $dt$ in beiden Ringen nur eintretende, nicht aber ausscheidende Elemente vorhanden sind.

Nach diesen Vorbereitungen gehen wir an die Lösung der gestellten Aufgabe (27.), indem wir dabei zunächst das Gesetz (24.I) zu Grunde legen. Die von ${\mathsf {D}}s_{1}$ in ${\mathsf {D}}s_{0}$ während der Zeit $dt$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft ${\mathfrak {E}}dt$ besitzt alsdann den Werth^[1]:

(\alpha .)

{\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi .\qquad {\scriptstyle \left({{\mathsf {D}}s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}

Die analoge Formel für die elektromotorische Einwirkung eines Elementes $\Delta s_{1}$ auf ${\mathsf {D}}s_{0}$ lautet:

(\beta .)

{\mathfrak {E}}dt=-Y_{1}\Delta s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr+J_{1}\Delta s_{1}\cdot \Phi .\qquad {\scriptstyle \left({\Delta s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}

wo im ersten Gliede $Y_{1}$ den Werth 0 oder den Werth $J_{1}$ , oder vielleicht auch einen Mittelwerth zwischen 0 und $J_{1}$ vorstellt; während andererseits das im zweiten Gliede enthaltene $J_{1}$ denjenigen Zuwachs repräsentirt, welchen die in $\Delta s_{1}$ vorhandene Stromstärke im Laufe der Zeit $dt$ erfahren hat. — Man bemerkt nun sofort, dass in dieser Formel $(\beta .)$ das eine Glied (in Folge der Factoren $\Delta s_{1}$ , $dr$ ) unendlich klein zweiter Ordnung, das andere hingegen (in Folge des Factor $\Delta s_{1}$ ) unendlich klein erster Ordnung ist. Das Glied zweiter Ordnung wird aber gegenüber dem Gliede erster Ordnung zu vernachlässigen sein; so dass man erhält:

(\gamma .)

{\mathfrak {E}}dt=+J_{1}\Delta s_{1}\cdot \Phi .\qquad {\scriptstyle \left({\Delta s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}

Denkt man sich nun die Formel $(\alpha .)$ für sämmtliche ${\mathsf {D}}s_{1}$ , und die Formel $(\gamma .)$ für sämmtliche $\Delta s_{1}$ der Reihe nach hingestellt, so gelangt man durch Addition all’ dieser Formeln zu dem Ergebniss:

(\delta .)

(\Sigma \ {\mathfrak {E}})dt=-J_{1}\cdot \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr\right]+\left(dJ_{1}\right)\Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi \right]+J_{1}\cdot \Sigma \left[\Delta s_{1}\cdot \Phi \right];\qquad {\scriptstyle \left({B \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}

diess ist also die Summe^[2] derjenigen elektromotorischen Kräfte,

↑ Die der Formel (46.) beigefügte Signatur ${\scriptstyle \left({{\mathsf {D}}s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$ hat denselben Zweck, wie bei früherer Gelegenheit (pag. 149).
↑ Bei Bildung dieser Summe, d. i. bei Bildung derjenigen Summe von elektromotorischen Kräften, welche der Inducent $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während der Zeit $dt$ im Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ hervorbringt, sind mithin, wenn wir auf die eben ausgeführte Rechnung [225] zurückblicken, sowohl diejenigen Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ zu berücksichtigen, welche während der ganzen Zeit $dt$ im Inducenten enthalten sind, als auch zweitens diejenigen Elemente $\Delta s_{1}$ , welche erst während dieser Zeit in den Inducenten eintreten.
Die Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ sind zu berücksichtigen insofern, als ihre relative Lage gegen ${\mathsf {D}}s_{0}$ während der Zeit $dt$ sich ändert, und auch insofern, als in ihnen während dieser Zeit die Stromstärke anwächst von $J_{1}$ auf $J_{1}+dJ_{1}$ . Sie liefern zu der in Rede stehenden Summe die in $(\alpha .)$ angegebenen Beiträge.
Andererseits sind die Elemente $\Delta s_{1}$ insofern zu berücksichtigen, als in ihnen die Stromstärke einen plötzlichen endlichen Zuwachs von 0 auf $J_{1}$ erfährt. Sie liefern zu jener Summe die in $(\gamma .)$ genannten Beiträge.
Mein Vater hat in seiner Abhandlung [Ueber ein allgemeines Princip etc. vom 9. August, 1847; vergl. daselbst namentlich die Formeln (9.), (10.), (11.) des §. 4.] den elektromotorischen Einfluss, welchen die Elemente $\Delta s_{1}$ , in Folge der eben genannten plötzlichen Stromänderung, ausüben, unberücksichtigt gelassen, mithin die Beiträge $(\gamma .)$ als verschwindend klein betrachtet. Eine Vernachlässigung derselben scheint mir aber nicht erlaubt zu sein, nämlich in Widerspruch zu stehen mit den für diese Beiträge $(\gamma .)$ gefundenen Werthen.
Uebrigens lassen sich die Resultate, zu denen eine solche Vernachlässigung hinleitet, leicht verfolgen. Man hat zu diesem Zweck in den erhaltenen Formeln z. B. in $(\delta .)$ , ebenso später in (30.I) (31.I), (32.I), u.s. w. nur diejenigen Glieder zu streichen, welche mit den $\Delta s_{1}$ behaftet sind.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 224. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_242.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)

[1] Die der Formel (46.) beigefügte Signatur ${\scriptstyle \left({{\mathsf {D}}s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$ hat denselben Zweck, wie bei früherer Gelegenheit (pag. 149).

[2] Bei Bildung dieser Summe, d. i. bei Bildung derjenigen Summe von elektromotorischen Kräften, welche der Inducent $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während der Zeit $dt$ im Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ hervorbringt, sind mithin, wenn wir auf die eben ausgeführte Rechnung [225] zurückblicken, sowohl diejenigen Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ zu berücksichtigen, welche während der ganzen Zeit $dt$ im Inducenten enthalten sind, als auch zweitens diejenigen Elemente $\Delta s_{1}$ , welche erst während dieser Zeit in den Inducenten eintreten.
Die Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ sind zu berücksichtigen insofern, als ihre relative Lage gegen ${\mathsf {D}}s_{0}$ während der Zeit $dt$ sich ändert, und auch insofern, als in ihnen während dieser Zeit die Stromstärke anwächst von $J_{1}$ auf $J_{1}+dJ_{1}$ . Sie liefern zu der in Rede stehenden Summe die in $(\alpha .)$ angegebenen Beiträge.
Andererseits sind die Elemente $\Delta s_{1}$ insofern zu berücksichtigen, als in ihnen die Stromstärke einen plötzlichen endlichen Zuwachs von 0 auf $J_{1}$ erfährt. Sie liefern zu jener Summe die in $(\gamma .)$ genannten Beiträge.
Mein Vater hat in seiner Abhandlung [Ueber ein allgemeines Princip etc. vom 9. August, 1847; vergl. daselbst namentlich die Formeln (9.), (10.), (11.) des §. 4.] den elektromotorischen Einfluss, welchen die Elemente $\Delta s_{1}$ , in Folge der eben genannten plötzlichen Stromänderung, ausüben, unberücksichtigt gelassen, mithin die Beiträge $(\gamma .)$ als verschwindend klein betrachtet. Eine Vernachlässigung derselben scheint mir aber nicht erlaubt zu sein, nämlich in Widerspruch zu stehen mit den für diese Beiträge $(\gamma .)$ gefundenen Werthen.
Uebrigens lassen sich die Resultate, zu denen eine solche Vernachlässigung hinleitet, leicht verfolgen. Man hat zu diesem Zweck in den erhaltenen Formeln z. B. in $(\delta .)$ , ebenso später in (30.I) (31.I), (32.I), u.s. w. nur diejenigen Glieder zu streichen, welche mit den $\Delta s_{1}$ behaftet sind.

[1]

[2]