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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

(\gamma .)

\left|{\begin{array}{ccccc}{\mathsf {D}}x&&\xi -x&&\cos U\\\\{\mathsf {D}}y&&\eta -y&&\cos V\\\\{\mathsf {D}}z&&\zeta -z&&\cos W\end{array}}\right|=pos,

wo unter $\cos U,\ \cos V,\ \cos W$ die Richtungscosinus von $N$ zu verstehen sind. Ausserdem gelten für diese Richtungscosinus die Relationen:

(\delta .)

(\xi -x)\cos U+(\eta -y)\cos V+(\zeta -z)\cos W=0,\,

(\epsilon .)

{\mathsf {D}}x\cdot \cos U+{\mathsf {D}}y\cdot \cos V+{\mathsf {D}}z\cdot \cos W=0,

(\zeta .)

\cos ^{2}U+\cos ^{2}V+\cos ^{2}W=1.\,

Aus $(\delta .)$ und $(\epsilon .)$ folgt sofort:

(\eta .)

{\begin{array}{ll}\lambda \cos U&=(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z,\\\lambda \cos V&=(\xi -x){\mathsf {D}}z-(\zeta -z){\mathsf {D}}x,\\\lambda \cos W&=(\eta -y){\mathsf {D}}x-(\xi -x){\mathsf {D}}y,\end{array}}

wo $\lambda$ noch unbekannt ist. Erhebt man die Formeln $(\eta .)$ zum Quadrat und addirt, so ergiebt sich mit Rücksicht auf $(\zeta .)$

{\begin{array}{ll}\lambda ^{2}&=\left[(\xi -x)^{2}+\dots \right]\left[({\mathsf {D}}x)^{2}+\dots \right]-\left[(\xi -x){\mathsf {D}}x+\dots \right]^{2},\\&=[r\ {\mathsf {D}}s]^{2}-\left[r\ {\mathsf {D}}s\cdot \cos(r,{\mathsf {D}}s)\right]^{2},\\&=\left[r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)\right]^{2},\end{array}}

folglich:

(\vartheta .)

\lambda =(\pm 1)r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s).

Der Winkel $(r,\ {\mathsf {D}}s)$ mag jederzeit so gerechnet werden, dass er zwischen 0° und 180° liegt, dass also sein Sinus positiv ist. Solches festgesetzt, kann der in $(\vartheta .)$ enthaltene Factor $(\pm 1)$ näher bestimmt werden. Substituirt man nämlich die Werthe von $\cos U,\ \cos V,\ \cos W$ $(\eta .)$ in die Formel $(\gamma .)$ , so erhält man: