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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

sie ist eine ganze rationale Zahl. Für die Entwicklung der Körpertheorie ist die Untersuchung der in der Diskriminante des Körpers $k$ aufgehenden idealen Faktoren von grundlegender Bedeutung. Es gilt der fundamentale Satz:

Satz 31. Die Diskriminante $d$ des Zahlkörpers $k$ enthält alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen als Faktoren, welche durch das Quadrat eines Primideals teilbar sind.

Der Beweis dieses Satzes hat erhebliche Schwierigkeiten verursacht; er ist zum erstenmal von Dedekind geführt worden [Dedekind (6^[1])]. Hensel hat einen zweiten Beweis dieses Satzes gegeben und dadurch die Kroneckersche Theorie der algebraischen Zahlen in einem wesentlichen Punkte ergänzt. Der Henselsche Beweis beruht auf folgenden von Kronecker geschaffenen Begriffen: [Kronecker (16^[2]), Hensel (4^[3])].

Bedeuten $u_{1}$, …, $u_{m}$ Unbestimmte, und ist $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ eine Basis, so heißt

$\xi =\omega _{1}u_{1}+\cdots +\omega _{m}u_{m}$

die Fundamentalform des Körpers $k$. Dieselbe genügt offenbar der Gleichung für $x$

$(x-\omega _{1}u_{1}-\cdots -\omega _{m}u_{m})(x-\omega '_{1}u_{1}-\cdots -\omega '_{m}u_{m})\cdots (x-\omega _{1}^{(m-1)}u_{1}-\cdots -\omega _{m}^{(m-1)}u_{m})=0$,

welche die Gestalt

$x^{m}+U_{1}x^{m-1}+U_{2}x^{m-2}+\cdots +U_{m}=0$

annimmt, wo $U_{1}$, …, $U_{m}$ gewisse ganze Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$ mit ganzen rationalen Koeffizienten sind. Diese Gleichung $m$-ten Grades heißt die Fundamentalgleichung. Um mit den eben definierten Begriffen operieren zu können, ist es nötig, die Sätze über die Zerlegung von ganzen Funktionen einer Veränderlichen $x$ nach einer rationalen Primzahl $p$ [Serret (1^[4])] auf den allgemeineren Fall zu übertragen, wo die ganzen Funktionen neben der einen Veränderlichen $x$ noch die $m$ Unbestimmten $u_{1}$, …, $u_{m}$ als Parameter enthalten.

Im folgenden werde unter einer ganzzahligen Funktion stets eine solche ganze rationale Funktion der Veränderlichen oder Unbestimmten verstanden, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind. Es heiße ferner eine ganzzahlige Funktion $Z(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ durch eine andere ganzzahlige Funktion $X(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ teilbar nach $p$, wenn eine dritte ganzzahlige Funktion $Y(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ existiert derart, daß identisch in den Veränderlichen $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ die Kongruenz

$Z\equiv XY$,     $(p)$

besteht. Ist eine ganzzahlige Funktion $P$ nach $p$ durch keine andere Funktion teilbar außer durch solche Funktionen, die einer ganzen rationalen Zahl oder

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1. Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.
2. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 1]}
3. Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Teiler ihrer Diskriminante. J. Math. 113 (1894).^{[WS 2]}
4. Handbuch der höheren Algebra 2, Teil 3. Deutsch von G. Wertheim. Leipzig 1879.^{[WS 3]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
2. Hensel, Kurt: Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Theiler ihrer Discriminante, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 61–83 GDZ Göttingen
3. Serret, Joseph Albert^(WP); Wertheim, Gustav (Übers. aus dem Französischen): Handbuch der höheren Algebra. Bd. 2. 2. Aufl. 8+574 S., Leipzig: B. G. Teubner, 1879 GDZ Göttingen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 85. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/102&oldid=- (Version vom 31.7.2018)