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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

müssen. Wir denken uns nun sowohl $\Pi (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ als $F(\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ nach fallenden Potenzen der Variabeln $u_{1}$ und die Koeffizienten der Potenzen von $u_{1}$ wiederum nach fallenden Potenzen von $u_{2}$ geordnet usf. Ist dann $\pi$ der erste Koeffizient in $\Pi (\xi )$, welcher nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbar ist, und zutreffendenfalls $\varkappa$ der erste Koeffizient in $F(\xi )$, welcher nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist, so würde $\pi ^{e'}\varkappa \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ folgen, was nicht möglich ist; d. h. sämtliche Koeffizienten von $F(\xi )$ sind durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, und hieraus folgt nach dem Hilfssatz 4, daß $F(x;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ durch $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ nach $p$ teilbar ist. Diese Folgerung widerspricht unserer Annahme.

§ 11. Die Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung. Die Diskriminante der Fundamentalgleichung.

Aus den Hilfssätzen 3, 4 und 5 folgen die nachstehenden wichtigen Tatsachen, welche die Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung betreffen:

Satz 33. Ist die Zerlegung der rationalen Primzahl $p$ in Primideale durch die Formel $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {p}}^{\prime e'}$ … gegeben, so gestattet die linke Seite $F$ der Fundamentalgleichung im Sinn der Kongruenz nach $p$ die Darstellung

$F\equiv \Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'}\ldots$,     $(p)$,

wo $\Pi$, $\Pi '$, … gewisse verschiedene Primfunktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach $p$ bedeuten; überdies ist, wenn

$F\equiv \Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'}\ldots +pG$

gesetzt wird, $G$ eine ganzzahlige Funktion der Veränderlichen $x$, $u_{1}$, …‚ $u_{m}$, welche nach $p$ durch keine der Primfunktionen $\Pi$, $\Pi '$, … teilbar ist.

Satz 34. Die aus der Fundamentalgleichung sich ergebende Kongruenz $m$-ten Grades

$F(x;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})\equiv 0$,     $(p)$

ist zugleich die Kongruenz niedrigsten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten, welcher die Fundamentalform $\xi$, für $x$ eingesetzt, nach $p$ genügt.

Beweis: Es sei $\Phi$ eine ganzzahlige Funktion von $x$, $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ solcher Art, daß die Kongruenz $\Phi (x)\equiv 0$ nach $p$ von der Fundamentalform $\xi$ befriedigt wird. Ferner seien die voneinander verschiedenen, in $p$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … bezüglich von den Graden $f$, $f'$, …; durch Bildung der Norm folgt $p^{m}=p^{fe+f'e'+\cdots }$, d. h. $m=fe+f'e'+\cdots$. Ferner mögen $\Pi$, $\Pi '$, … bez. die zu den Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … gehörigen Primfunktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeuten, wie sie in den vorigen Hilfssätzen gebraucht worden sind. Aus dem Hilfssatz 5 folgt dann

$\Phi \equiv \Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'}\ldots \Psi$,     $(p)$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 88. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/105&oldid=- (Version vom 31.7.2018)