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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.4

Diskriminante des Körpers stets durch $p^{f(e-1)+f'(e'-1)+\cdots }$ teilbar ist und überdies jedenfalls dann keine höhere Potenz von $p$ enthält, wenn sämtliche Exponenten $e$, $e'$, … zu $p$ prim sind; damit ist zugleich der am Anfang des § 10 aufgestellte Fundamentalsatz 31 bewiesen.

§ 13. Die Aufstellung der Primideale. Der feste Zahlteiler der rationalen Einheitsform $U$.

Die wirkliche Berechnung der in einer rationalen Primzahl $p$ aufgehenden Primideale kann auf Grund des Satzes 33 durch Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung ausgeführt werden. Doch ist es von Nutzen zu wissen, unter welchen Umständen hierbei den Parametern $u_{1}$, …, $u_{m}$ in der Fundamentalgleichung spezielle Werte beigelegt werden dürfen. Wir stellen zu dem Zweck die folgenden Betrachtungen an.

Die Diskriminanten aller ganzen algebraischen Zahlen des Körpers erhält man, wenn man in $U^{2}d$ die Parameter $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ alle ganzen rationalen Zahlen durchlaufen läßt. Der größte gemeinsame Teiler aller dieser Diskriminanten braucht nicht mit der Körperdiskriminante $d$ übereinzustimmen, da sehr wohl der Fall eintreten kann, daß die rationale Einheitsform $U$ für alle ganzzahligen Werte der $u_{1}$, …, $u_{m}$ eine Reihe von Zahlen mit einem festen Teiler $\neq \pm 1$ darstellt. Dieser Umstand setzt die Bedeutung des Gebrauchs der Unbestimmten $u_{1}$, …, $u_{m}$ in helles Licht. Man findet auch leicht eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die rationale Primzahl $p$ ein solcher fester Teiler von $U$ ist. Diese Bedingung besteht nämlich darin, daß $U$ in die Gestalt

$pV+(u_{1}^{p}-u_{1})V_{1}+\cdots +(u_{m}^{p}-u_{m})V_{m}$

gebracht werden kann, wo $V$, $V_{1}$, …‚ $V_{m}$‚ ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind [Hensel (1^[1], 2^[2], 5^[3])].

Wenn es nun möglich ist, den Unbestimmten $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ solche ganzen rationalen Zahlenwerte $a_{1}$, …‚ $a_{m}$ zu erteilen, daß für dieselben die rationale Einheitsform $U$ eine durch $p$ nicht teilbare Zahl wird, so darf bei der Zerlegung der rationalen Primzahl $p$ die Fundamentalgleichung so spezialisiert werden, daß die Form $\xi$ durch $\alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$ ersetzt wird. In der Tat, unter der gemachten Annahme ist, wie leicht aus Satz 36 folgt, jede beliebige ganze Zahl $\omega$ des Körpers einer ganzzahligen Funktion von $\alpha$ nach $p$ kongruent, und es ist daher eine ganzzahlige Funktion von niederem als $m$-tem Grade in $\alpha$ niemals durch $p$ teilbar, wenn nicht ihre Koeffizienten sämtlich durch $p$ teilbar sind. Bezeichnen wir die aus $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$, $\Pi '(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$, … durch die Substitution $u_{1}=a_{1}$, …, $u_{m}=a_{m}$ hervorgehenden Funktionen von $x$ allein mit $P(x)$,$P'(x)$, …, so erkennen wir, daß diese Funktionen im Sinne der Kongruenz nach $p$ voneinander verschiedene Primfunktionen sind, und daß

${\mathfrak {p}}=(p,\,P(\alpha ))$,     ${\mathfrak {p}}'=(p,\,P'(\alpha ))$, …

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1. Arithmetische Untersuchungen über Diskriminanten und ihre außerwesentlichen Teiler. Inaugural-Dissert. Berlin 1884.^{[WS 1]}
2. Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor. J. Math. 101 u. 103 (1887), (1888).^{[WS 2]}
3. Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen außerwesentlichen Diskriminantenteiler einer Gattung. J. Math. 113 (1894).^{[WS 3]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über Discriminanten und ihre ausserwesentlichen Theiler, Inaugural-Dissertation, 34 S., Berlin: Schade 1884 GDZ Göttingen
2. Hensel, Kurt: Untersuchung der ganzen algebraischen Zahlen eines gegebenen Gattungsbereiches für einen beliebigen algebraischen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 101 (1887), S. 99-141 GDZ Göttingen
   und
   Hensel, Kurt: Ueber die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103 (1888), S. 230-237 GDZ Göttingen
3. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen ausserwesentlichen Discriminantentheiler einer Gattung, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 130–160 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 91. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/108&oldid=- (Version vom 31.7.2018)