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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.5

heißt die Relativdiskriminante $D_{k}$ des Körpers $K$ bezüglich $k$; dieselbe ist, wie leicht ersichtlich, ein Ideal des Körpers $k$.

§ 15. Eigenschaften der Relativdifferente und der Relativdiskriminante eines Körpers.

Hinsichtlich der soeben definierten Begriffe gelten folgende Sätze [Hilbert (4^[1])]:

Satz 38. Die Relativdiskriminante des Körpers $K$ in bezug auf den Unterkörper $k$ ist gleich der Relativnorm der Relativdifferente von $K$, d. h.

$D_{k}=N_{k}({\mathfrak {D}}_{k})$.

Beweis: Die Relativnorm von der Relativdifferente der Fundamentalform $\Xi$ ist

${\begin{aligned}N_{k}\left(\Delta _{k}(\Xi )\right)&=\pm \left(\Xi -\Xi '\right)^{2}\left(\Xi -\Xi ''\right)^{2}\cdots \left(\Xi ^{(r-2)}-\Xi ^{(r-1)}\right)^{2}\\&=\pm \left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi ,&\ldots ,&\Xi ^{r-1}\\1,&\Xi ',&\ldots ,&(\Xi ')^{r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1}\end{array}}\right|^{2}.\end{aligned}}$

Andererseits ist das rechtsstehende Determinantenquadrat eine Form des Körpers $K$, deren Inhalt gleich der Relativdiskriminante $D_{k}$ ist. Drücken wir nämlich die Terme der obigen Determinante linear durch $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ bezüglich durch die konjugierten Basiszahlen des Körpers $K$ aus, wobei die Koeffizienten in diesen Ausdrücken ganzzahlige Funktionen von $U_{1}$, …, $U_{M}$ sind, so erkennen wir, daß jenes Determinantenquadrat lauter durch $D_{k}$ teilbare Koeffizienten besitzt. Umgekehrt zeigt eine Übertragung des Satzes 36, daß eine jede $r$-reihige Determinante der Matrix (4) nach Multiplikation mit der $r$-ten Potenz einer gewissen in den Parametern $U_{1}$, …‚ $U_{M}$ geschriebenen rationalen Einheitsform durch das Differenzenprodukt

$\left(\Xi -\Xi '\right)\left(\Xi -\Xi ''\right)\cdots \left(\Xi ^{(r-2)}-\Xi ^{(r-1)}\right)$

teilbar wird. Daraus folgt $N_{k}(\Delta _{k}(\Xi ))\simeq D_{k}$.

Satz 39. Bedeuten $D$ und $d$ die Diskriminanten des Oberkörpers $K$ und des Unterkörpers $k$ und bezeichnet $n\left(D_{k}\right)$ die Norm der Relativdiskriminante $D_{k}$, genommen im Körper $k$, so ist

$D=\pm d^{r}n\left(D_{k}\right)$.

Beweis: Ist $\xi =\omega _{1}u_{1}+\cdots +\omega _{m}u_{m}$ die Fundamentalform des Körpers $k$, so genügt $\Xi$, für ${\mathsf {X}}$ gesetzt, einer Gleichung $r$-ten Grades in ${\mathsf {X}}$ von der Gestalt

$\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi )=\Phi _{0}{\mathsf {X}}^{r}+\Phi _{1}{\mathsf {X}}^{r-1}+\cdots +\Phi _{r}=0$,

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1. Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Hilbert, David: Grundzüge einer Theorie der Galois’schen Zahlkörper, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1894, S. 224–236 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 95. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/112&oldid=- (Version vom 31.7.2018)