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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

Nach den Ausführungen in § 19 S. 104 ist

$\left|{\frac {f_{1},\ldots ,f_{m}}{l_{1}(\eta ),\ldots ,l_{m}(\eta )}}\right|=\left|{\frac {n(\eta )}{\sqrt {d}}}\right|$.

Ferner bestehen wegen

$ln(\eta )=l_{1}(\eta )+\cdots +l_{r+1}(\eta ),\qquad l_{s}(\xi )=l_{s}(\xi )=l_{s}(\eta )-{\frac {1}{m}}ln(\eta )$ $(s=1,\,2,\,\ldots ,\,r)$

offenbar die Beziehungen:

$\left|{\frac {l_{1}(\eta ),\,\ldots ,\,l_{r}(\eta ),\,l_{r+1}(\eta )}{l_{1}(\eta ),\,\ldots ,\,l_{r}(\eta ),\,ln(\eta )}}\right|=1,\qquad \left|{\frac {l_{1}(\eta ),\,\ldots ,\,l_{r}(\eta ),\,ln(\eta )}{l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{r}(\xi ),\,ln(\eta )}}\right|=1;$

und da endlich

$l_{r+2}(\eta )=l_{r+2}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{m}(\eta )=l_{m}(\xi )$, $\left|{\frac {ln(\eta )}{n(\eta )}}\right|={\frac {1}{n(\eta )}}$, $\left|{\frac {\varphi _{1},\,\ldots ,\,\varphi _{m}}{f_{1}(\varphi ),\,\ldots ,\,f_{m}(\varphi )}}\right|={\frac {1}{n({\mathfrak {a}})}}$, $\left|{\frac {l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{r}(\xi )}{\psi _{1},\,\ldots ,\,\psi _{r}}}\right|=R$

ist, so ergibt sich durch Multiplikation sämtlicher Gleichungen

$\left|{\frac {\varphi _{1},\,\ldots ,\,\varphi _{m}}{\psi _{1},\,\ldots ,\,\psi _{m}}}\right|={\frac {R}{n({\mathfrak {a}})\left|{\sqrt {d}}\right|}}$.

Das obige Integral besitzt daher den Wert ${\frac {(2\pi )^{r_{2}}R}{n({\mathfrak {a}})|{\sqrt {d}}|}}$; hiermit ist der Beweis für den Hilfssatz 10 erbracht.

Wir setzen im folgenden zur Abkürzung

$\varkappa ={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}}{w}}\cdot {\frac {R}{\left|{\sqrt {d}}\right|}}$,

so daß $\varkappa$ eine durch den Körper allein bestimmte und für diesen charakteristische Größe bedeutet.

§ 26. Die Bestimmung der Klassenanzahl durch das Residuum der Funktion $\zeta (s)$ für $s=1$.

Satz 54. Wenn $T$ die Anzahl aller Ideale einer Klasse $A$ bedeutet, deren Normen $\leqq t$ ausfallen, so ist

${\underset {t=\infty }{L}}{\frac {T}{t}}=\varkappa$.

Beweis. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal der zu $A$ reziproken Klasse $A^{-1}$, und durchläuft ${\mathfrak {x}}$ alle Ideale der Klasse $A$, so stellt das Produkt ${\mathfrak {ra}}$ alle durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale und jedes nur einmal dar. Setzen wir daher in der Formel des Hilfssatzes 10 $t=n({\mathfrak {a}})t'$‚ so bedeutet $T$ zugleich die Anzahl der Ideale ${\mathfrak {x}}$ in $A$‚ für welche $n({\mathfrak {x}})\leqq t'$ ist. Nach Fortheben des Faktors $n({\mathfrak {a}})$ folgt die zu beweisende Formel für $t=t'$.

Da die Zahl $\varkappa$ von der Wahl der Klasse $A$ unabhängig ist, so ergibt sich unmittelbar aus Satz 54 die folgende Tatsache:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 115. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/132&oldid=- (Version vom 31.7.2018)