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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.12

Als Beispiel für den Satz 80 diene der (im dritten Teil ausführlich behandelte) quadratische Körper, in dessen Diskriminante die ungeraden Primzahlen höchstens einfach und die Primzahl $2$ höchstens zur dritten Potenz aufgeht (vgl. § 59 Satz 95).

12. Die Beziehungen der arithmetischen zu algebraischen Eigenschaften des Galoisschen Körpers.

§ 48. Der relativ-Galoissche, der relativ-Abelsche und der relativ-zyklische Körper.

Ist die Gruppe $G$ der Substitutionen $s_{1}$, …, $s_{M}$ eines Galoisschen Körpers $K$ eine Abelsche Gruppe, d. h. sind die Substitutionen $s_{1}$, …‚ $s_{M}$ untereinander vertauschbar, so heißt der Galoissche Körper $K$ ein Abelscher Körper. Ist jene Substitutionsgruppe $G$ insbesondere eine zyklische, d. h. sind die $M$ Substitutionen $s_{1}$, …, $s_{M}$ sämtlich als Potenzen einer einzigen unter ihnen darstellbar, so heißt der Abelsche Körper $K$ ein zyklischer Körper.

Wenn Wir die nämliche Betrachtung, welche in § 28 für die Idealklassen angestellt worden ist, auf die Substitutionen der Gruppe eines Abelschen Körpers anwenden, so ergibt sich der Satz, daß jeder Abelsche Körper aus zyklischen Körpern zusammengesetzt werden kann. Die zyklischen Körper ihrerseits lassen sich ferner stets aus solchen besonderen zyklischen Körpern zusammensetzen, deren Grade Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind.

Die in Rede stehenden Begriffe lassen folgende Verallgemeinerung zu:

Es sei $\Theta$ die Wurzel einer Gleichung $l$—ten Grades:

$\Theta ^{l}+\alpha _{1}\Theta ^{l-1}+\dots +\alpha _{l}=0$,

deren Koeffizienten $\alpha _{1}$, …‚ $\alpha _{l}$ Zahlen eines Körpers $k$ vom $m$-ten Grade sind. Diese Gleichung $l$-ten Grades sei überdies im Rationalitätsbereiche $k$ irreduzibel und von der besonderen Eigenschaft, daß alle übrigen $l-1$ Wurzeln $\Theta '$, …, $\Theta ^{(l-1)}$ derselben sich als ganze rationale Funktionen der Wurzel $\Theta$ darstellen lassen, wobei die Koeffizienten dieser Funktionen Zahlen des Körpers $k$ sind. Unter dieser Voraussetzung heißt der aus $\Theta$ und den Zahlen von $k$ gebildete Zahlkörper $K$ vom $M=lm$-ten Grade ein relativ-Galoisscher Körper in bezug auf $k$. Der Grad $l$ jener Gleichung ist der Relativgrad von $K$. Wird etwa

$\Theta =S_{1}\Theta ,\ \Theta '=S_{2}\Theta ,\ \dots ,\ \Theta ^{(l-1)}=S_{l}\Theta$

gesetzt, so heißt die Gruppe der Substitutionen $S_{1}$, …, $S_{l}$ die Relativgruppe; ist diese Gruppe eine Abelsche, so heißt der Körper $K$ ein relativ-Abelscher Körper in bezug auf $k$. Ist die Relativgruppe zyklisch, so heißt der Körper $K$ relativ-zyklisch in bezug auf $k$.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 141. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/158&oldid=- (Version vom 31.7.2018)