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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.13

bezüglich $k_{2}$ relativkonjugierten Zahlen zu $\Omega _{1},\,\dots ,\,\Omega _{M},$ so sind die Zahlen

$\omega _{i}^{(l)}=a_{i1}\Omega _{1}^{(l)}+\cdots +a_{iM}\Omega _{M}^{(l)}$

gewisse konjugierte zu $\omega _{i}$, und hieraus folgt, daß die Elemente

$\left(\Omega _{1}-\Omega _{1}^{(l)},\,\dots ,\,\Omega _{M}-\Omega _{M}^{(l)}\right)$

von $K$ in gewissen Elementen von $k_{1}$ aufgehen. Nach der Definition der Relativdifferente und Satz 38 folgt hieraus die Behauptung.

Eine unmittelbare Folge des Satzes 85 ist die weitere Tatsache:

Satz 86. Wenn man aus dem Körper $k$ vom $m$-ten Grade und den sämtlichen zu ihm konjugierten Körpern $k',\,\dots ,\,k^{(m-1)}$ einen Galoisschen Körper $K$ zusammensetzt, so enthält die Diskriminante dieses Körpers $K$ alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen, welche in der Diskriminante des Körpers $k$ aufgehen.

§ 52. Die Zusammensetzung zweier Körper, deren Diskriminanten zueinander prim sind.

Ein besonderes Interesse beansprucht der Fall, daß die Diskriminanten der zusammensetzenden Körper zueinander prim sind. Der wichtigste und fruchtbarste Satz über diesen Fall ist der folgende:

Satz 87. Zwei Körper $k_{1}$ und $k_{2}$ bezüglich von den Graden $m_{1}$ und $m_{2}$, deren Diskriminanten zueinander prim sind, ergeben durch Zusammensetzung stets einen Körper vom Grade $m_{1}m_{2}$.

Beweis. Der aus $k_{1}$ und den sämtlichen zu $k_{1}$ konjugierten Körpern zusammengesetzte Galoissche Körper werde mit $K_{1}$ bezeichnet; die Diskriminante von $K_{1}$ ist nach Satz 86 prim zu der Diskriminante von $k_{2}$. Es sei $\theta$ eine den Körper $k_{1}$ bestimmende Zahl; dieselbe genügt einer irreduziblen Gleichung $m_{1}$-ten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten.

Wäre nun der aus $k_{1}$ und $k_{2}$ zusammengesetzte Körper von niederem als dem $\left(m_{1}m_{2}\right)$-ten Grade, so müßte diese Gleichung im Rationalitätsbereich $k_{2}$ reduzibel werden, d. h. die Zahl $\theta$ würde dann einer Gleichung von der Gestalt

$\theta ^{r}+\alpha _{1}\theta ^{r-1}+\cdots +\alpha _{r}=0$

genügen, deren Grad $r<m_{1}$ ist und deren Koeffizienten $\alpha _{1},\,\dots ,\,\alpha _{r}$ Zahlen in $k_{2}$ sind. Der aus diesen Koeffizienten $\alpha _{1},\,\dots ,\,\alpha _{r}$ zusammengesetzte Zahlkörper werde $k$ genannt. Da $\alpha _{1},\,\dots ,\,\alpha _{r}$ sich durch die $r$ Wurzeln der obigen Gleichung rational ausdrücken lassen, so ist $k$ ein Unterkörper von $K_{1}$, und da $k$ auch zugleich ein Unterkörper von $k_{2}$ ist, so müßte die Diskriminante von $k$ nach Satz 39 sowohl in der Diskriminante von $k_{1}$ als auch in derjenigen von $k_{2}$ als Faktor enthalten sein; hieraus würde für die Diskriminante dieses Körpers $k$ der Wert 1 folgen, und dieser Umstand widerspricht dem Satze 44.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 145. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/162&oldid=- (Version vom 31.7.2018)