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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.16

Dritter Teil.

Der quadratische Zahlkörper.

16. Die Zerlegung der Zahlen im quadratischen Körper.

§ 59. Die Basis und die Diskriminante des quadratischen Körpers.

Es bedeute $m$ eine ganze rationale, positive oder negative Zahl, die durch keine Quadratzahl außer $1$ teilbar und auch von $+1$ verschieden ist; die quadratische Gleichung

$x^{2}-m=0$

ist dann im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel. Wir verstehen im folgenden unter ${\sqrt {m}}$ stets im Falle $m>0$ die positive Wurzel jener quadratischen Gleichung und im Falle $m<0$ diejenige ihrer Wurzeln, welche positiv imaginär ist. Die so festgelegte algebraische Zahl ${\sqrt {m}}$ bestimmt einen quadratischen reellen, bezüglich imaginären Zahlkörper, der $k\left({\sqrt {m}}\right)$ oder auch schlechthin $k$ heiße; dieser Körper ist stets ein Galoisscher Körper. Durch die Operation der Vertauschung von ${\sqrt {m}}$ mit $-{\sqrt {m}}$ in einer Zahl oder einem Ideal des Körpers $k$ geht man zu der konjugierten Zahl bez. dem konjugierten Ideal über. Dieser Übergang werde durch Vorsetzung des Substitutionszeichens $s$ angedeutet.

Unsere erste Aufgabe ist die Aufstellung einer Basis des quadratischen Körpers und die Ermittlung seiner Diskriminante [Dedekind (1^[1])].

Satz 95. Eine Basis des quadratischen Körpers $k$ bilden die Zahlen $1$, $\omega$, wenn

$\omega ={\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},\ {\text{bez.}}\ \omega ={\sqrt {m}}$

genommen wird, je nachdem die Zahl $m\equiv 1$ nach $4$ ist oder nicht. Die Diskriminante von $k$ ist, entsprechend diesen zwei Fällen,

$d=m,\ {\text{bez.}}\,d=4m.$

Beweis. Die Zahl $\omega$ ist stets ganz, da sie der Gleichung

$x^{2}-x-{\frac {m-1}{4}}=0,\ {\text{bez.}}\,x^{2}-m=0$

(21)

genügt. Bezeichnet $\omega '=s\omega$ die zu $\omega$ konjugierte Zahl, so ist $d=(\omega -\omega ')^{2}$

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 157. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/174&oldid=- (Version vom 31.7.2018)