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die Diskriminante der Zahl . Nach § 3 S. 72 ist daher jede ganze Zahl des Körpers in der Gestalt

darstellbar, wo , ganze rationale Zahlen sind.

Im Falle, daß nach ist, schließen wir aus der Kongruenz nach , daß durch teilbar sein muß. Die letztere Kongruenz in Verbindung mit der ersteren hat wiederum nach zur Folge, d. h. muß durch und daher notwendig auch durch teilbar sein. Da mithin die ganzen rationalen Zahlen , beide durch teilbar sind, so ist die im Nenner des obigen Ausdrucks für stehende Zahl hebbar.

Ist andererseits nach , so schließen wir aus der Kongruenz nach , wie vorhin, daß sowohl wie durch teilbar sein muß und mithin jedenfalls in Zähler und Nenner des Ausdrucks für hebbar ist. Wir erhalten dadurch , wo , ganze rationale Zahlen bedeuten. Man erkennt aber leicht durch Bildung der Norm , sowohl für als auch für nach , daß ein Ausdruck mit ganzen rationalen Zahlen , nur dann durch teilbar sein kann, wenn , beide gerade sind. Wendet man dieses auf und sodann wieder auf an, so zeigt sich, daß auch im Falle nach eine jede ganze Zahl des Körpers in der Gestalt mit ganzen rationalen Zahlen , darstellbar ist.

Der zweite Teil des Satzes ergibt sich aus der Formel:

,

durch welche nach § 3 die Diskriminante des Körpers definiert wird.

§ 60. Die Primideale des quadratischen Körpers

.

Das Problem der Zerlegung der rationalen Primzahlen in Primideale des Körpers wird durch folgenden Satz zur vollständigen Erledigung gebracht:

Satz 96. Jede in aufgehende rationale Primzahl ist gleich dem Quadrat eines Primideals in . Jede ungerade, in nicht aufgehende rationale Primzahl zerfällt in entweder in das Produkt zweier verschiedener, zueinander konjugierter Primideale ersten Grades und oder stellt selbst ein Primideal zweiten Grades vor, je nachdem quadratischer Rest oder Nichtrest für ist. Die Primzahl ist im Falle nach in in ein Produkt zweier voneinander verschiedener konjugierter Primideale zerlegbar oder selber Primideal, je nachdem oder nach ausfällt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 158. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/175&oldid=- (Version vom 31.7.2018)