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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.16

die Diskriminante der Zahl $\omega$. Nach § 3 S. 72 ist daher jede ganze Zahl des Körpers $k$ in der Gestalt

$\alpha ={\frac {u+v\omega }{d}}$

darstellbar, wo $u$, $v$ ganze rationale Zahlen sind.

Im Falle, daß $m\equiv 1$ nach $4$ ist, schließen wir aus der Kongruenz $2\alpha m=2u+v+v{\sqrt {m}}\equiv 0$ nach $m$, daß $2u+v$ durch ${\sqrt {m}}$ teilbar sein muß. Die letztere Kongruenz in Verbindung mit der ersteren hat wiederum $v{\sqrt {m}}\equiv 0$ nach $m$ zur Folge, d. h. $v$ muß durch ${\sqrt {m}}$ und daher notwendig auch durch $m$ teilbar sein. Da mithin die ganzen rationalen Zahlen $u$, $v$ beide durch $m=d$ teilbar sind, so ist die im Nenner des obigen Ausdrucks für $\alpha$ stehende Zahl $d$ hebbar.

Ist andererseits $m\equiv \!\!\!\!\!|\,\,1$ nach $4$, so schließen wir aus der Kongruenz $4\alpha m=u+v{\sqrt {m}}\equiv 0$ nach $m$, wie vorhin, daß sowohl $u$ wie $v$ durch $m$ teilbar sein muß und mithin jedenfalls $m$ in Zähler und Nenner des Ausdrucks für $\alpha$ hebbar ist. Wir erhalten dadurch $\textstyle \alpha ={\frac {u'+v'{\sqrt {m}}}{4}}$, wo $u'$, $v'$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Man erkennt aber leicht durch Bildung der Norm $\alpha \cdot s\alpha$, sowohl für $m\equiv 2$ als auch für $m\equiv 3$ nach $4$, daß ein Ausdruck $u'+v'{\sqrt {m}}$ mit ganzen rationalen Zahlen $u'$, $v'$ nur dann durch $2$ teilbar sein kann, wenn $u'$, $v'$ beide gerade sind. Wendet man dieses auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikisource.org/v1/“:): {\displaystyle 4\alpha} und sodann wieder auf $2\alpha$ an, so zeigt sich, daß auch im Falle $m\equiv \!\!\!\!\!|\,\,1$ nach $4$ eine jede ganze Zahl des Körpers $k$ in der Gestalt $u+v\omega$ mit ganzen rationalen Zahlen $u$, $v$ darstellbar ist.

Der zweite Teil des Satzes ergibt sich aus der Formel:

$d=\left|{\begin{array}{cc}1,&\omega \\1,&\omega '\end{array}}\right|^{2}=(\omega -\omega ')^{2}$,

durch welche nach § 3 die Diskriminante des Körpers definiert wird.

§ 60. Die Primideale des quadratischen Körpers

.

Das Problem der Zerlegung der rationalen Primzahlen in Primideale des Körpers $k$ wird durch folgenden Satz zur vollständigen Erledigung gebracht:

Satz 96. Jede in $d$ aufgehende rationale Primzahl $l$ ist gleich dem Quadrat eines Primideals in $k$. Jede ungerade, in $d$ nicht aufgehende rationale Primzahl $p$ zerfällt in $k$ entweder in das Produkt zweier verschiedener, zueinander konjugierter Primideale ersten Grades ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ oder stellt selbst ein Primideal zweiten Grades vor, je nachdem $d$ quadratischer Rest oder Nichtrest für $p$ ist. Die Primzahl $2$ ist im Falle $m\equiv 1$ nach $4$ in $k$ in ein Produkt zweier voneinander verschiedener konjugierter Primideale zerlegbar oder selber Primideal, je nachdem $m\equiv 1$ oder $\equiv 5$ nach $8$ ausfällt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 158. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/175&oldid=- (Version vom 31.7.2018)