je nachdem oder nach ist. Man erkennt diese Tatsache leicht aus einer Umkehrung des Satzes 19, wenn man jedesmal aus dem hier angegebenen Zahlenpaare und dem dazu konjugierten die Determinante bildet. In der zweiten Zeile der aufgestellten Tabelle soll eine der Kongruenz nach genügende und dazu im Falle nach ungerade Zahl bedeuten.
Um die gewonnenen Resultate über die Zerlegung der rationalen Primzahlen in übersichtlicherer Weise aussprechen zu können, führen wir folgendes Symbol ein. Ist eine beliebige ganze rationale Zahl und eine ungerade rationale Primzahl, so bedeute das Symbol den Wert , oder , je nachdem die Zahl und quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest nach oder durch teilbar ist; ferner bedeute den Wert , , oder , je nachdem ungerade und quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest nach oder durch teilbar ist. Mit Benutzung dieses Symbols erhält der obige Satz 96 folgende Fassung:
Satz 97. Eine beliebige rationale Primzahl ( oder ) ist im Körper in zwei voneinander verschiedene Primideale zerlegbar oder selbst Primideal oder gleich dem Quadrat eines Primideals, je nachdem , oder ist [Dedekind (1[1])].
Wir unterscheiden, den bisherigen Entwicklungen entsprechend, drei Arten von Primidealen, nämlich:
1. die Primideale ersten Grades , welche von ihren Konjugierten verschieden sind;
2. die Primideale zweiten Grades , die durch die in unzerlegbaren rationalen Primzahlen dargestellt werden;
3. die Primideale ersten Grades , deren Quadrate den in aufgehenden rationalen Primzahlen gleich sind.
Nach den in § 39 und § 41 aufgestellten Definitionen bildet der Körper für die Primideale der ersten Art den Zerlegungskörper, für die Primideale der zweiten Art den Trägheitskörper und für die Primideale der dritten Art den Verzweigungskörper.
Was die Frage nach den Einheiten des Körpers betrifft, so sind nach Satz 47 die zwei Fälle zu unterscheiden, ob ein imaginärer oder ein reeller Körper ist.
Im ersteren Falle enthält nur solche Einheiten, welche zugleich Einheitswurzeln sind; und da in einem quadratischen Körper außer nur die primitiven
Anmerkungen (Wikisource)
- ↑ Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 160. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/177&oldid=- (Version vom 2.7.2019)