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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

Primzahl, so bezeichne das Symbol $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ den Wert $+1$, sobald die Zahl $n$ mit der Norm einer ganzen Zahl des durch ${\sqrt {m}}$ bestimmten quadratischen Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ kongruent ist nach der Primzahl $w$, und sobald außerdem auch für jede höhere Potenz von $w$ eine ganze Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ existiert, deren Norm der Zahl $n$ nach jener Potenz von $w$ kongruent ist; in jedem anderen Falle setzen wir $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=-1$. Diejenigen ganzen rationalen Zahlen $n$, für welche $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1$ ist, sollen Normenreste des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ nach $w$ diejenigen Zahlen $n$, für welche $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=-1$ ist, Normennichtreste des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ nach $w$ heißen. Ist $m$ eine Quadratzahl, so werde unter $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ stets $+1$ verstanden. Über die zur Berechnung dienenden Eigenschaften des Symbols $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ gibt der folgende Satz Aufschluß:

Satz 98. Bedeuten $n$ und $m$ ganze rationale, nicht durch $w$ teilbare Zahlen, so gelten folgende Regeln:

für ungerade Primzahlen $w$ wird

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1,$

$(a')$

$\left({\frac {n,\,w}{w}}\right)=\left({\frac {w,\,n}{w}}\right)=\left({\frac {n}{w}}\right)$;

$(a'')$

für $w=2$ wird

$\left({\frac {n,\,m}{2}}\right)=\left(-1\right)^{{\frac {n-1}{2}}\cdot {\frac {m-1}{2}}}$,

$(b')$

$\left({\frac {n,\,2}{2}}\right)=\left({\frac {2,\,n}{2}}\right)=\left(-1\right)^{\frac {n^{2}-1}{8}}$.

$(b'')$

Ferner gelten allgemein für beliebige ganze rationale Zahlen $n$, $n'$, $m$, $m'$ und in bezug auf jede Primzahl $w$ die Formeln:

$\left({\frac {-m,\,m}{w}}\right)=+1$,

$(c')$

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {m,\,n}{w}}\right)$,

$(c'')$

$\left({\frac {nn',m}{w}}\right)=\left({\frac {n,m}{w}}\right)\left({\frac {n',m}{w}}\right),$

$(c''')$

$\left({\frac {n,\,mm'}{w}}\right)=\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)\left({\frac {n,\,m'}{w}}\right)$.

$(c'''')$

Beweis. Zunächst ist folgende Tatsache selbstverständlich: Wenn $n$ selbst Norm einer ganzen Zahl im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ ist, so gilt $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1$. Da insbesondere $-m$ die Norm von ${\sqrt {m}}$ ist, so folgt daraus die Richtigkeit der Formel $(c')$. Sind ferner $n$ und $n'$ zwei ganze rationale Zahlen $\neq 0$, deren Quotient

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 162. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/179&oldid=- (Version vom 31.7.2018)