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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

die Norm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ ist, so folgt $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n',\,m}{w}}\right)$ aus der Definition dieser Symbole. Ist der Quotient $\textstyle {\frac {n}{n'}}$ das Quadrat einer rationalen Zahl, so ergibt sich insbesondere die einfache Tatsache, daß der Wert des Symbols $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ ungeändert bleibt, wenn man in $n$ eine Quadratzahl als Faktor zusetzt oder einen darin vielleicht vorhandenen solchen Faktor unterdrückt. Wir nehmen im folgenden der Einfachheit halber an, daß weder $n$ noch $m$ durch das Quadrat einer Primzahl teilbar ist.

Um die Richtigkeit des ganzen Formelsystems zu erkennen, behandeln wir der Reihe nach die folgenden drei Fälle:

     1. Es sei $w$ eine ungerade, in $m$ aufgehende Primzahl.

Ist $n$ nicht auch durch $w$ teilbar, so wird offenbar die Kongruenz

$4n\equiv (2x+y)^{2}-my^{2}$ bez. $n\equiv x^{2}-my^{2}$, $(w)$,

(22)

in ganzen rationalen Zahlen $x$, $y$ dann und nur dann lösbar sein, wenn $\textstyle \left({\frac {n}{w}}\right)=+1$ ist. Umgekehrt, wenn die letztere Bedingung statthat, so ist die Kongruenz $n\equiv x^{2}$ auch nach jeder Potenz von $w$ lösbar, und mithin gilt das nämliche offenbar von der Kongruenz (22). Unter den gemachten Annahmen ist daher $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n}{w}}\right)$.

Wird andererseits auch $n$ teilbar durch $w$ vorausgesetzt, so folgt:

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {-nm,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {-{\frac {nm}{w^{2}}},\,m}{w}}\right)=\left({\frac {-{\frac {nm}{w^{2}}}}{w}}\right)$.

     2. Es sei $w$ eine ungerade, in $m$ nicht aufgehende Primzahl.

Ist auch $n$ nicht durch $w$ teilbar, so hat die Kongruenz $n\equiv x^{2}-my^{2}$ nach $w$ stets Lösungen. Denn die rechte Seite dieser Kongruenz ergibt für die Systeme $\textstyle x=1$, $2$, …, ${\frac {w-1}{2}}$, $y=0$ sämtliche quadratischen Reste und im Falle

$\left({\frac {-m}{w}}\right)=+1$

für die Systeme $x=0$, $y=1$, $2$, …, $\textstyle {\frac {w-1}{2}}$ sämtliche quadratischen Nichtreste nach $w$. Hat man dagegen $\textstyle \left({\frac {-m}{w}}\right)=+1$, und ist etwa $a$ der kleinste positive quadratische Nichtrest für die Primzahl $w$, so sei $y=b$ eine Wurzel der alsdann gewiß lösbaren Kongruenz $-my^{2}\equiv a-1$ nach $w$; wegen $a\equiv 1-mb^{2}$ nach $w$ stellt dann die Form $x^{2}-m(bx)^{2}$ für $x=1$, $2$, …, $\textstyle {\frac {w-1}{2}}$ die sämtlichen quadratischen Nichtreste nach $w$ dar. Aus der Lösbarkeit der

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 163. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/180&oldid=- (Version vom 31.7.2018)